Распределение полей напряжений в поликристаллических материалах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.414.4

Распределение полей напряжений в поликристаллических

материалах

В.Е. Шавшуков

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Предложен метод прямого вычисления плотностей вероятностей распределения напряжений и деформаций в поликристаллических материалах любой сингонии для произвольного многоосного нагружения. Метод не использует модельные представления о предполагаемом виде функций распределения, применим как к макроскопически изотропным, так и текстурированным поликристаллам. Приведены примеры численной реализации нахождения плотностей распределения напряжений в поликристалле для нескольких видов макронапряженного состояния.

Ключевые слова: поликристаллы, стохастические поля микронапряжений

Stress field distribution in polycrystalline materials

V.E. Shavshukov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

A method of direct calculation is proposed to determine the probability density of stress and strain distribution in polycrystalline materials of any crystal system for arbitrary multiaxial loading. The method makes no use of model approximation of the expected type of distribution functions and is applicable to both macroscopically isotropic and textured polycrystals. Numerical realization of the method is exemplified by finding the stress distribution density in a polycrystal for several macrostress states.

Keywords: polycrystals, stochastic microstress fields

1. Введение

Большинство неорганических конструкционных материалов (металлические сплавы, керамики, природные минералы и пр.) являются поликристаллическими агрегатами, состоящими из макроскопически большого числа кристаллитов, представляющих собой монокристаллы соответствующего вещества. Механическое поведение макроскопического образца поликристаллического материала определяется физико-механическими процессами, происходящими в кристаллитах, и взаимодействием всех структурных элементов поликристаллического агрегата, образующего материал. Таким образом, деформирование поликристаллического материала есть кооперативное явление, типичное для физики и механики конденсированного состояния. Простейшим способом описания таких материалов является представление их в виде однородной среды с эффективными свойствами (например, упругими модулями, которые вычисляются по тем или иным моделям). Это есть суть

макроскопического метода. Однако описание материала на мезоуровне требует анализа процессов внутри кристаллитов. Протекание этих процессов зависит от многих параметров, в том числе от характера распределений напряжений и деформаций в кристаллитах. Описание деформирования поликристаллических материалов на мезоуровне представляет значительные трудности вследствие весьма сложной гетерогенной структуры материалов и анизотропии кристаллитов. Размеры и форма кристаллитов, а также ориентация кристаллографических осей отдельных кристаллитов являются случайными величинами.

Вследствие этого поля напряжений и деформаций в кристаллитах материала являются стохастическими полями, хотя макроскопические напряжения и деформации есть детерминированные величины. Полное теоретико-вероятностное описание стохастических полей заключается в нахождении функций распределения для этих случайных полей. По этим функциям можно вы-

© Шавшуков В.Е., 2012

числять (в соответствии с теми или иными критериями) вероятности различных процессов в кристаллитах.

В работах [1, 2] принималось, что плотности распределения компонент тензора напряжений имеют нормальный вид при любых видах макронапряженного состояния:

1 ! (а-<а))2~

/м (а) =

422лп

ехр

2Б

(1)

где а — любая из компонент тензора напряжений а^; (а) — среднее значение соответствующей компоненты напряжений; Б = ((а-(а))2) — дисперсия. Средние напряжения (а) и дисперсии D вычислялись методом осреднения уравнений теории упругости для гетерогенной среды. Нормальное распределение удобно тем, что оно полностью определяется двумя параметрами — средним и дисперсией — и не требует нахождения статистических моментов более высокого порядка (коэффициентов эксцесса и т.д.), которые обычно трудно вычислить. Однако нормальное распределение имеет экспоненциально затухающие хвосты, т.е. допускает наличие нефизических бесконечно больших напряжений (хотя и маловероятных). Это не существенно, если плотность распределения входит в уравнения той или иной модели материала под знаком интеграла, но может иметь решающее значение при рассмотрении процессов в отдельно взятом кристаллите.

Очевидно, что в каждом кристаллите напряжения изменяются в некоторых конечных пределах. В работе [3] при анализе хрупкого разрушения зерен поликристалла принималось, что напряжения в кристаллитах распределены с равномерной (прямоугольной) плотностью 1

_ п < /Т С Н

(2)

а <а< Ь,

(3)

/(а) = ( а - Ь

-0, а<а, а>Ь,

где а — любая из компонент тензора напряжений а^; параметры распределения а и Ь определялись из условия равенства средних значений (а) и дисперсий D, вычисленных путем осреднения уравнений теории упругости и с помощью распределения (2) для каждой компоненты напряжений а у в отдельности: |а / (а)ёа = <а), I [а-(а)]2 / (а)ёа = Б Аналогичная гипотеза принималась для совместных распределений нескольких компонент напряжений — использовалось многомерное равномерное распределение вероятностей.

В обоих упомянутых случаях осуществляется реконструкция плотности вероятностей по двум известным (вычисленным по той или иной модели) статистическим моментам случайной величины (напряжений). С привлечением разумных аргументов можно использовать и другие двухпараметрические распределения, например «эллиптическое» (кривая плотности распре-

деления в виде полуэллипса с двумя параметрами — полуосями эллипса). Однако маргинальные значения напряжений (и деформаций) для всех таких пилотных распределений будут разными, зависящими от выбранного вида распределения.

В настоящей работе предложен метод прямого вычисления плотностей вероятностей распределения напряжений и деформаций в поликристаллических материалах.

2. Микромеханическое описание полей деформаций и напряжений в компонентах поликристаллической среды

В рамках модели сплошной среды поликристаллическое тело представляет собой многосвязную область объемом ^ с внешней поверхностью Г, состоящую из подобластей (кристаллитов) с объемами Юр и границами Гр, являющимися межкристаллитными (межфазными) границами, ^ = , индекс р нумерует

кристаллиты, N — полное число кристаллитов в теле (макроскопически большое число). В этой работе будет приниматься, что границы Гр имеют нулевую толщину, по которой обеспечивается прочное сцепление кристаллитов. В пределах каждого кристаллита материал однороден, его упругие свойства описываются постоянным тензором С0тп в кристаллографической системе координат, в которой координатные оси параллельны осям упругой симметрии, и тензором Ср1п (г) в глобальной (лабораторной) системе координат, связанной с макрообразцом материала. Эти тензоры связаны обычными соотношениями

С® (г) = аР (г)а® (г)ст> (г)® (гС, (4)

где а® (г) — направляющие косинусы осей лабораторной системы координат относительно кристаллографической системы координат р-го кристаллита.

В макроскопических экспериментах всегда измеряются напряжения и деформации, осредненные по некоторым макроскопическим по размерам площадкам или объемам. В случаях, когда осредненные некоторым образом напряжения и деформации являются гладкими функциями координат и мало меняются на расстояниях намного больших характерных размеров элементов микроструктуры материала, вводят понятие представительного объема материала. В этих случаях под макроскопическими величинами понимаются средние по представительному объему. В конструкционных поликристаллических материалах размеры кристаллитов обычно весьма малы, и поэтому практически всегда может быть использована концепция представительного объема.

Тензор модулей упругости поликристаллической среды имеет вид:

N

V

С]тп (Г) = £Х? (г )С® (г), (5)

1=1

где Х? (г) — индикаторная функция ?-го кристаллита: !1, если г е ю? (?-му кристаллиту),

Х?(г) = 1П

+0 в других случаях.

Тензор Сутп (г) постоянен в каждой области ю? и скачкообразно изменяется при переходе через границу Г? вследствие изменения ориентации в пространстве кристаллической решетки кристаллита.

Краевая задача теории упругости гетерогенной среды состоит из уравнений равновесия и определяющих соотношений: V} а у (г) = 0,

(г) = Сутп (г)Етп (г),

Етп (г) = [Vтип (г) + VпПт (г)]/2, (6)

дгт'

где Еу (г), стгу (г) есть тензоры деформаций и напряжений; щ (г) — вектор смещений.

В пределах применимости концепции представительного объема достаточно [4, 5] рассмотреть граничные условия, соответствующие однородной макродеформации тела:

щ*(г) 1геГ=4г, (7)

где е* есть постоянный тензор однородной макродеформации среды, т.е. Еу = (Еу (г)).

Структура гетерогенной среды задается видом тензор-функции модулей упругости Сутп (г). Для рассматриваемых сред Сутп (г) является стохастической кусочно-постоянной функцией координат г.

Дифференциальные уравнения краевой задачи (6) с помощью стандартной процедуры [4, 5] сводятся к интегральному уравнению для деформаций:

е у (г) = 4 + +1

,у (г г1 ) СИтп (г1 ) Етп (гД (8)

г

где GipAk есть вторая производная тензора Грина изотропной однородной среды с осредненным тензором модулей упругости (С) = 1/П I Сщ (г^г, а символ '

п

здесь и в дальнейшем обозначает флуктуации соответствующих величин: С'Ытп (г) = СШтп (г) -(Ск1тп ) и т.д.

Вторая производная тензора Грина удовлетворяет уравнению

(Ст +8т8(г - г') = 0. (9)

Вследствие того, что в (9) суммирование в первом члене уравнения производится по первому и третьему индексам тензора GkmJj, вторая производная тензора Грина обладает низкой симметрией относительно перестановок индексов. Используя свойства симметрии тензоров деформации и модулей упругости, можно запи-

сать (8) и (9) с использованием симметризированной второй производной тензора Грина gijkl, определяемой уравнением

gijkl=2(^к у+Gjk д). (10)

Уравнение (8) перепишется в виде:

Еу (г) = ЕУ + | ^уЫ (г - г1)Ск1тп (г1)Етп (г1). (11)

г

В (11) суммирование производится по соседним индексам всех сомножителей, что соответствует обычным правилам умножения матриц и удобно для представления тензорных величин многомерными массивами при численном решении уравнений.

Деформации и напряжения Еу (г) и а у (г) среды в целом связаны очевидными соотношениями с напряжениями и деформациями Е®(г) и а® (г) внутри кристаллитов:

N ? N

Еу (г) = ЕХ?(г)е(Р(г), ау (г) = £Х?(^(г). (12)

?=1 ?=1

Умножая уравнение (11) на индикатор ?-го кристаллита Х? (г) получим уравнение для деформаций в ?-м кристаллите:

е®(г) = е;.х? (Г) +

+ Х? (г)I ^ук1 (г г1 )Ск1тп (г1 )Е тп (Г1). (13)

г

Если каким-либо образом найдено решение уравнения (13), то, умножая на С-^ (г), получим напряжения в каждом кристаллите в лабораторной системе координат:

а(Р (г) = Сц (г )е®(г ). (14)

Для анализа поведения отдельных кристаллитов могут потребоваться значения напряжений в кристаллографической системе координат кристаллита а°®(г), в обозначении которых добавлен дополнительный символ 0 в верхнем индексе. Эти напряжения получаются по обычным формулам обратного преобразования координат:

а*®« = Р®(г)Р®(г)Рт?)(г)®Р®(г)а® , (15)

где матрицы '(г) обратны матрицам направляющих косинусов ау '(г) в (4).

3. Стохастическая модель поликристалла

Неупорядоченный поликристалл является макроскопически изотропной средой. Осредненный тензор модулей упругости для него равен

(у ) = 3( К) у + 2(ц) Dijkl, (16)

где Гук1 и Dijkl — шаровая и девиаторные части единичного симметричного тензора 4-го ранга

1ук1 = "~(^гк 8у1 +5Й 8ук ), (17)

а осредненные объемный модуль (К) и модуль сдвига

(ц) выражаются через компоненты тензора модулей упругости в кристаллографической системе координат для каждого типа кристаллической сингонии по известным формулам [4].

Точное выражение для второй производной тензора Грина изотропной среды с осредненными модулями известно. В симметризованном виде она имеет вид:

gуkl (г) - у (г) + У (г) -

Рук1

1

<Ц)

(0, Ф)

(1 -ХЩк1 + (1 --х)

8( г) +

(18)

где 8(г) — дельта-функция Дирака; Рук1 (0, ф) — функция только полярного и азимутального углов 0, ф радиус-вектора г, явный вид которой приведен в [4]; Х = (3( К ) + (ц) )(3( К) + 4(ц)).

Пренебрежение в (18) членом, содержащим Рук1, в теории эффективного модуля называется сингулярным приближением. Эффективный тензор модулей упругости определяется соотношением (ау) = С*к! (ен). В соответствии с этим определением уравнение (8) умножается на Сутп (г) и производится осреднение по объему. Существенно, что отбрасывание формальной составляющей gг(k/ (г) в теории эффективного модуля производится в уравнении для макронапряжений после операции осреднения.

Применим аналогичный прием к уравнению (13) до операции осреднения краевой задачи, а не после осреднения. Интеграл от сингулярной части в уравнении (13) элементарно вычисляется и уравнение перепишется так:

е;

■®(г) =

(Г) = £*Др (г) -

3(ц)

(1 - X) V

утп

х [ сттпм (Стпк) ] £кр ? (г).

1--X Ю-

5 А ^утп

(19)

Уравнение (19) можно рассматривать как систему N уравнений для функций е® (г), где число функций N — макроскопически большое число кристаллитов в образце материала. Все эти уравнения отличаются только видом тензора С^Пк! (г) в подынтегральном выражении, который для каждого уравнения имеет вид:

С

.®к (г) = а® (Г)аЩ> (г)а® (г )а® (г ,

(20)

а различие сводится к изменению значений направляющих косинусов а,' (г), однозначно определяемых по углам Эйлера, задающим ориентацию осей кристаллографических систем координат кристаллитов по отношению к лабораторной системе.

При большом числе кристаллитов для исследования статистических свойств полей е,'(г) и а,'(г) можно заменить всю совокупность макроскопически большого числа исходных уравнений (представляющими в теоре-

тико-вероятностной терминологии генеральную совокупность) конечным числом случайно выбранных уравнений. Множество выбранных таким образом кристаллитов можно назвать репликой, т.е. малой копией исходного поликристалла, которая в статистическом смысле ему эквивалентна. Будем нумеровать кристаллиты реплики индексом а число кристаллитов в реплике п << N. Уравнения (19) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами для компонент тензоров деформаций е(0.

утп + (5 + 4х) Юутп

5 - 2Х,

Р(£) =

уИ к1 =

,(0 = 1 Г

уМ =1?Н

3х

(ц)

V С® +

* утп^тпк

С

(Р)

« ~ • (21)

Всего система (21) содержит 6п линейных уравнений для е(р, которая может быть решена современными численными методами даже при большом размере выборки.

В рассматриваемом приближении моделью поликристаллического материала является совокупность 6п уравнений (21), в которых коэффициенты ф(к определяются только углами ориентации кристаллографических осей кристаллита, например углами Эйлера. Алгоритмическая реализация модели сводится к следующему. Задаются числовые значения компонент тензора модулей упругости С0тп конкретного материала в кристаллографической системе координат, значения шести компонент тензора макродеформации е*, массив п троек случайных значений углов Эйлера ф, V, 0. Затем вычисляются коэффициенты ф(к и решается система линейных уравнений (21). Решением этой системы является массив значений деформаций в кристаллитах по которым могут быть вычислены компоненты

Ж)

ческие напряжения (ау) = 1/п £ а®

напряжений ау в кристаллитах, найдены макроскопи-

, , ., п с?)

при заданной

макродеформации е* и, следовательно, вычислены эффективные модули и т.п.

В настоящей работе предложенная модель применена для построения плотностей распределения вероятностей напряжений в кристаллитах.

В макроскопически изотропных неупорядоченных поликристаллических средах ориентации кристаллографических осей кристаллитов случайны и никак не кор-релированы для всех кристаллитов. Этому соответствует плотность вероятностей совместного распределения углов Эйлера ф, % 0 вида [2]: 1

/ (Ф, V, 0) =—sin е.

8п

(22)

Массивы случайных углов Эйлера, соответствующих плотности распределения (22), получаются с помощью генератора случайных чисел.

Плотности распределения компонент напряжений Р(у) (а) (заключение индекса у в круглые скобки означает, что речь идет не о тензорах, а о компоненте напряжений, к которой относится распределение) в кристаллитах аппроксимируются ступенчатыми функциями по массивам найденных напряжений а' следующим образом. Задается одномерный массив значений аргумента а: {Ха} = Х1, Х2,..., Х5, элементы которого монотонно возрастают с малым шагом (но таким, что этот

из

шаг содержит некоторое количество значений ау соответствующего массива) и покрывают область возможных значений исследуемой компоненты напряжений в кристаллитах при заданной макродеформации. Вычисляются значения функции распределения вероятностей напряжений в дискретных точках по формулам

у Ха ) = —, (23)

п

где па — число кристаллитов в выборке, для которых а у' < Ха. Дискретные значения плотности распределения в точках Ха вычисляются по формулам разностной аппроксимации производной от функции распределения

P(ij)(Xa) =

F(ij) (Xa ) - F(ij) (Xa-1 )

X„ _ Xa_i

(24)

4. Примеры численной реализации

В качестве примера рассмотрим поликристалл цинка. Монокристалл цинка имеет кристаллическую решетку с гексагональной плотной упаковкой (ГПУ) и высокую степень анизотропии, характеризуемую отношением периодов решетки с/a = 1.856.

Тензор модулей упругости ГПУ-кристалла имеет пять независимых компонент и в кристаллографической системе координат принимает вид (ось 3 направлена вдоль оси гексагональной симметрии):

Cijmn = a8ij 8mn + b(8¿m8 jn + 8¿n8 jm ) + + Y8¿38 j38m38n3 + K(8i38 j38 mn + 8ij8m38n3 ) + P(8in8j38 m3

+ 8i38n38 jm + 8im8 j38n3 + 8i38m38 jn X (25)

где

a = C1122, b = (C1111 _ C1122)/2'

Y = C1111 + C3333 _2C1133 _ 4C2323 ,

K = C1133 _ C1122,

P = C2323 _(C1111 _ C1122 .

Для цинка числовые значения упругих постоянных равны C10111 = 165 ГПа, С0122 = 31 ГПа, C10133 = 50 ГПа, C30333 = 62 ГПа, C0323 = 39.6 ГПа [6].

В вычислениях использовано 104 кристаллитов в реплике, шаг изменения аргумента в ступенчатой аппроксимации плотностей распределения Pj (а) взят равным Д = 0.1 МПа. При значениях компонент макродеформации порядка 0.1-0.01 % во все интервалы Д по-

-10 0 10 Напряжение, МПа

Рис. 1. Плотности распределения нормальных (а) и сдвиговых (б) напряжений при одноосном растяжении в кристаллографической системе координат е* = 0.0003

падает в среднем 5-20 значений а(? '(г) или а^ (г). Флуктуации этого числа (в силу стохастичности модели) приводят к локальным осцилляциям аппроксимирующих кривых функций р(у )(а) (рис. 1). Уменьшение А ведет к увеличению осцилляций, увеличение А — к сглаживанию осцилляций, но к гистограммообразному виду графиков.

На рис. 1, а приведены плотности распределения нормальных напряжений в кристаллитах (в кристаллографической системе координат), на рис. 1, б — плотности распределения сдвиговых напряжений при простом одноосном растяжении с макродеформацией Е*1 = = 0.0003. На рис. 2 показаны плотности распределения напряжений в кристаллитах при простом (в одной плос-

0( )

0.15

-10 0 10 Напряжение, МПа

к

I

аз ц

е

ч:

е р

п

Го 0.05

о о

н

I-

о ц

П

0.00

б

(0)-„13 1 х.

,1 #г Щ „(0) „■СТ23 ||

0 ш „(0)

-20

20

-10 0 10 Напряжение, МПа

Рис. 2. Плотности распределения нормальных (а) и сдвиговых (б) напряжений при простом сдвиге в кристаллографической системе координат е12 = 0.0003

кости) сдвиге е12 = 0.0003, на рис. 3 — при сдвиге в

*

трех взаимно перпендикулярных плоскостях е23 =

= 0.0003, е*3 = 0.0002,

е*2 = 0.0001.

Из приведенных графиков видно, что плотности распределений существенно отличаются от нормального и равномерного распределений. В распределениях отсутствуют экспоненциально затухающие гауссовы хвосты, которые характерны для статистики независимых событий. С другой стороны, вероятности маргинальных значений напряжений достаточно велики, а уровень этих экстремальных напряжений выше, чем при равномерном распределении. Поведение кривых плотностей распределения напряжений вблизи маргинальных значений близко к тяжелым хвостам степенных распределений. В работе [7] отмечается, что такого типа распределения ведут к явлениям самоорганизованной критичности деформационных процессов. В настоящей работе функции распределения напряжений получены не зависимым от идей теории эволюции сложных систем [8]

0.15

е

I

?Р 0.10

п

о

а р

§ 0.05 с

0.00

| а

„(0) „33

„(0) „11

Ж „227 К

-20 -10 0 10

Напряжение, МПа

20

30

*010

и н е

ё

:е р

п

га 0.05 р

о о

н

I-

о ц

П

0.00

б

„(0) „23. „(0) „13 1 1 х^

д М '

(0) „12 .1 М \ц

-20

10

30

0 10 20 Напряжение, МПа

Рис. 3. Плотности распределения нормальных (а) и сдвиговых (б) напряжений при сдвиге в трех ортогональных плоскостях в23 = = 0.0003, 6*3 = 0.0002, е12 = 0.0001

способом. Это может являться дополнительным свидетельством универсальности автомодельных явлений в сложных системах, к которым относятся и поликристаллы. С помощью предложенного метода могут быть построены плотности распределения инвариантов напряжений, а также любых функций напряжений (и деформаций).

5. Заключение

Предложенный в работе метод позволяет вычислять плотности распределения напряжений и деформаций в поликристаллах любой сингонии без привлечения модельных представлений о форме распределений при произвольном многоосном макронапряженном состоянии материала. Расчетные кривые плотностей распределений напряжений имеют несимметричный вид относительно средних значений (в отличие, например, от нормального распределения), а их поведение вблизи маргинальных значений близко к степенным распределениям, которые ведут к явлениям самоорганизованной критичности [7]. Полученные распределения могут использоваться для вычисления вероятностей различных

процессов в кристаллитах. В работе приведены результаты вычисления плотностей распределения для макроскопически изотропного поликристалла. Метод легко распространяется на текстурированные поликристаллы. Например, одноосная текстура учитывается введением в плотность вероятностей совместного распределения углов Эйлера/(ф, 6) соответствующих ограничений на полярный угол 6.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-08-96062-урал_а) и Минобрнауки России (госконтракт 16.740.11.0508).

Литература

1. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. - Минск: Изд-во БГУ, 1976. - 206 с.

2. Богачев И.Н., Вайнштейн А.А., Волков С.Д. Статистическое метал-

ловедение. - М.: Металлургия, 1984. - 176 с.

3. Shavshukov V., Tashkinov A., Strzhemechny Y., Hui D. Modelling of pseudoplastic deformation of carbon/carbon composites with a pyrocarbon matrix // Model. Simul. Mater. Sc. - 2008. - V. 16. - No. 5. -P. 1-18.

4. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

5. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. - М.: Наука, 1984. - 116 с.

6. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. - Киев: Наукова думка, 1982. - 286 с.

7. Макаров П.В. Самоорганизованная критичность деформационных

процессов и перспективы прогноза разрушения // Физ. мезомех. -2010. - Т. 13. - № 5. - С. 97-112.

8. Макаров П.В. Математическая теория эволюции нагружаемых твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - №2 3. - С. 1935.

Поступила в редакцию 09.07.2012 г., после переработки 01.10.2012 г

Сведения об авторе

Шавшуков Вячеслав Евгеньевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, [email protected]