Экстремальные флуктуации деформаций в поликристаллических материалах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.414.4

Экстремальные флуктуации деформаций в поликристаллических материалах

В.Е. Шавшуков

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Стохастическая структура поликристаллических материалов является причиной высокой степени неоднородности кинематических и силовых полей в зернах материалов и появления больших флуктуаций этих полей. Неоднородность и флуктуации несущественны в одних случаях, но приобретают решающее значение в исследовании различных критических явлений, возникновение которых сильно зависит от типа микроструктуры материала. Флуктуации обусловлены в основном упругим взаимодействием зерен, которое имеет дальнодействующий характер. Поэтому необходим учет взаимодействий большого числа зерен, что трудно осуществимо традиционными методами (прямого компьютерного моделирования и другими). В настоящей статье флуктуации неоднородных мезодеформаций в зернах поликристаллических материалов оценены с помощью теоретико-полевого подхода к решению краевой задачи деформирования микронеоднородных материалов. Особое внимание уделено определению экстремальных величин флуктуаций, имеющих важное значение для некоторых критических явлений, таких как зарождение трещин при сверхвысокоцикловой усталости, когда амплитуда макронапряжений и средние напряжения в зернах намного меньше величин, входящих в любые макроскопические критерии повреждений или усталости. Максимальные мезодеформации в зернах могут превосходить макродеформации в несколько раз. Экстремальные флуктуации в каком-либо зерне генерируются в кластерах зерен специфических конфигураций. Примененный подход позволяет прогнозировать паттерны таких кластеров. Экстремальные значения флуктуаций во внутренних зернах поликристаллического тела значительно выше, чем в зернах на поверхности, что обусловливает различие в поведении поверхностных слоев и глубинных объемов материала. Количественные данные приведены для случая одноосного растяжения поликристаллического цинка.

Ключевые слова: поликристаллы, неоднородные стохастические поля мезодеформаций, флуктуации деформаций DOI 10.24411/1683-805Х-2018-15007

Extreme strain fluctuations in polycrystalline materials

V.E. Shavshukov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

The stochastic structure of polycrystalline materials causes a high inhomogeneity of the kinematic and force fields in grains of materials and large fluctuations of these fields. The inhomogeneity and fluctuations are insignificant in some cases, but they become crucial in the study of various critical phenomena whose occurrence strongly depends on the type of material microstructure. Fluctuations mainly arise due to the elastic interaction of grains, which has a long-range effect. Therefore, it is necessary to account for the interaction of a large number of grains, which is difficult to do using conventional methods (direct computer modeling and others). In the present paper, inhomogeneous mesostrain fluctuations in grains of polycrystalline materials were estimated using a field-theoretical approach to a boundary value problem of microheterogeneous material deformation. Particular attention is paid to the calculation of extreme fluctuations that are important for some critical phenomena, such as, e.g., crack initiation under ultra high cycle fatigue when the macrostress amplitude and the mean stresses in grains are much lower than the quantities included in any macroscopic damage or fatigue criteria. The maximum mesostrains in grains can exceed several times the macrostrains. Extreme fluctuations in a grain are generated in grain clusters of specific configuration. The applied approach makes it possible to predict patterns of such clusters. Extreme fluctuations in the bulk grains of a polycrystalline body are much higher than in the surface grains, due to which the behavior of the material surface layers and bulk volumes is different. Quantitative data are given for the case of uniaxial tension of polycrystalline zinc.

Keywords: polycrystals, inhomogeneous stochastic mesostrain fields, strain fluctuations

1. Введение

Поликристаллические материалы являются неоднородными на мезоскопическом масштабе и имеют стоха-

© Шавшуков В.Е., 2018

стическую микроструктуру. Их механические и другие параметры являются быстроосциллирующими функциями координат. Поля мезодеформаций и мезонапря-

жений есть случайные функции. Эти поля можно изучать либо как случайные функции координат в конкретном макроскопическом образце поликристалла, либо как случайные величины в точке для ансамбля конфигураций микроструктур поликристалла. В рамках эргоди-ческой гипотезы эти подходы эквивалентны. В настоящей работе используется метод статистических ансамблей. Для его реализации нужно решить краевую задачу для полей деформаций в точке для каждой реализации структуры тела из ансамбля, а затем исследовать статистические характеристики полученных массивов данных. Традиционное решение задачи, в котором поликристаллы рассматриваются как неоднородные составные тела, наталкивается на две основные трудности: большое количество областей однородности (зерен), геометрию которых необходимо описать явным образом, и стохастический характер материальных функций, случайно изменяющих значения при переходе из одной области однородности в другую или при переходе к другой реализации микроструктуры в ансамбле. Решение краевых задач для большого количества реализаций, независимо от способа решения, представляет сложную проблему. В работе использован альтернативный по отношению к широко используемым методам решения краевых задач (конечных элементов, статистических осреднений и других) теоретико-полевой подход [1].

Механические свойства поликристаллов зависят от многих параметров микроструктуры. Некоторые зависимости имеют качественный характер, а связанные с ними параметры не имеют строгого количественного определения. Из множества этих параметров можно выделить геометрические (форма и размеры кристаллитов), кристаллографические (анизотропия зерен и ориентация их осей в пространстве), физические (энергия границ зерен, равновесные углы в тройных стыках и т.д.). С точки зрения континуальной механики важны первые две группы параметров.

Наиболее полное описание стохастических полей состоит в построении функций распределения или вычислении статистических моментов всех порядков. Для поля в точке зерна поликристалла можно построить функции распределения для ансамбля значений теоретико-полевым методом, изложенным в [2]. Но эта задача весьма трудоемкая. В то же время для многих явлений важно знание не всей функции распределения, а лишь величин флуктуаций или экстремальных значений, связанных с наступлением критических событий. Здесь мы ограничимся поиском экстремальных деформаций в поликристаллических телах.

Задача оценки величин максимальных флуктуаций деформаций имеет большое значение в проблеме сверх-высокоцикловой усталости. В этом режиме время до

разрушения практически полностью определяется инкубационным периодом зарождения первой трещины. Амплитуды макронапряжений малы, а макродеформации являются с большой точностью упругими. Необратимые деформации, являющиеся предшественником зарождения трещин, возникают лишь в малом количестве зерен, в которых флуктуирующие разрешающие напряжения превосходят критические напряжения в отдельных системах скольжения. Решающую роль в появлении больших флуктуаций играет микроструктурная неоднородность поликристаллов [3]. Экспериментально установлено, что такие флуктуации имеют место в кластерах специфически ориентированных (по отношению к внешним нагрузкам) зерен [4]. В настоящей работе экстремальные мезодеформации в зернах для ансамбля всех возможных конфигураций микроструктур поликристалла вычисляются с помощью теоретико-полевого метода решения краевых задач механики.

Для макроскопического образца нетекстурирован-ного однофазного поликристалла при среднем размере зерен порядка десятков микрометров и габаритах образца порядка десятков миллиметров поликристаллическое тело содержит около одного миллиарда зерен. Статистический ансамбль различных микроструктур такого поликристалла будет содержать большое число возможных конфигураций. Для каждой конфигурации необходимо решить краевую задачу деформирования неоднородного тела, а затем из полученного массива данных выбрать экстремальные значения. Ясно, что традиционными методами решить такую задачу невозможно.

2. Теоретико-полевой метод вычисления деформаций в поликристаллических (микронеоднородных) телах

Традиционным методом нахождения полей деформирования в неоднородных телах является решение краевой задачи в дифференциальной форме или эквивалентной вариационной постановке (метод конечных элементов и другие методы). Материальные свойства и механические поля в поликристаллах являются разрывными функциями координат. Поэтому необходимо раздельно для каждого зерна рассматривать производные этих функций, которые входят в уравнения краевых задач, и вводить условия сопряжения на границах зерен. При большом числе зерен это создает значительные вычислительные трудности. В случае поликристаллических тел прямое компьютерное моделирование традиционными методами также становится весьма затруднительным в силу большого количества структурных элементов — зерен. Ограничение модели несколь-

кими тысячами зерен (предел возможностей современных компьютеров) вызывает много вопросов — статистической достаточности, математической генерации геометрии микроструктур, влияния граничных условий и т.д. Многие из этих трудностей преодолеваются при переходе от дифференциальной формы краевой задачи к интегральной (заметим, что переход от дифференциальных уравнений к эквивалентным интегральным есть основной прием в квантовой теории поля). Наибольшее распространение интегральная форма нашла в теории дислокаций. Сделаем такой переход для краевой задачи линейной упругости поликристаллического тела, основываясь на схеме [5].

В рамках модели сплошной среды поликристаллическое тело представляет собой многосвязную область объемом V с внешней поверхностью состоящую из подобластей (кристаллитов) с объемами ю- и границами Б-, являющимися межкристаллитными (межфазными) границами:

N

V =Е®е, 1=1

индекс - нумерует кристаллиты; N — полное число кристаллитов в теле (макроскопически большое число).

Тензор модулей упругости поликристаллической среды имеет вид

N

Сутп (г) (г )С®„ (г),

1=1

(1)

где А- (г) — индикаторная функция --го кристаллита с

тензором модулей С-^п (г): Ц если г еюе,

(г) = 1

[О, в других случаях.

Тензор Сутп (г) постоянен в каждой области ю- и скачкообразно изменяется при переходе через границы Б-вследствие изменения ориентации в пространстве кристаллической решетки кристаллита.

Краевая задача теории упругости для неоднородного тела в перемещениях состоит из уравнений равновесия и определяющих соотношений:

у (г) + Л (г) = О,

(г) = Сутп (г)етп (гX (2)

етп(г) = [ит,п(г) + ип,т (г)]/2,

где Еу (г), а у (г), щ (г), Л (г) — глобальные тензоры деформаций, напряжений и векторы перемещений, объемных сил. Индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате. Используем граничные условия в перемещениях:

щ (г)1 гег=¥.- (г), (3)

где (г) — гладкая функция координат.

Структура поликристаллического тела задается тензор-функцией модулей упругости Сутп (г), являющейся кусочно-постоянной функцией координат. Разлагаем глобальный тензор модулей упругости на осредненную

и флуктуирующие части: Ск1тп (г) = (СМтп ) + Ск1тп (г) и

рассматриваем две краевые задачи: для вектора перемещений щ (г) неоднородного тела (исходная задача)

Си к л (г) + \.С'уЫик ,1 (г)Ъ + Л (г) = О (4)

и вектора перемещений и* (г) однородного тела с осред-ненным тензором модулей упругости

<Сда)и*а (г) + Л (г) = О (5)

и граничными условиями и* (г) | геГ = ф (г). Вводим функцию Грина для уравнения (5):

(Сук1 ]1 (г) + 8т8(г) = О (6)

и с помощью теоремы Грина преобразуем уравнение (5) в интегро-дифференциальное и*т (г) = |в?г% (г - г') +

+ 1 ^Б'- (Ст )[и*к; (г' (г - г') -

V

- и;(г'^кт,1 (г - г')]. (7)

Аналогично преобразуем уравнение (4), рассматривая в нем два последних слагаемых как новый вектор объемных сил:

ит (г) = I ¿МС'й (х')ик^ (г')]>л 0 - О +

V

+ | ёУЛ (г')'т (г - г') +

V

+ 1 <&л(Сук!Ж/ (г')'т(г - г') -

Б

- и (г')'кт,/ (г - г')]. (8) Если выбрать граничные условия для обеих задач одинаковыми фг- (г) = ^г(г), то правая часть (7) и вторая строка в (8) совпадают. Вычитая из (8) уравнение (7), получаем

ит (г ) = ит (г ) +

т V / т ^

+ | а3г'\С'ук1 (г')ик; (г')],у (г')Ош (г - г').

(9)

Производя дифференцирование в (9) по хп и интегрируя по частям, получим уравнение для градиента перемещений:

ит,п (г) = и*т,п (г) + 3

+ I d3г'[С'к! (г>к,1 (г')'т,п (г - г')],у +

V

+ I ^гС'ц (г')икI(г'Щтп (г - г,).

(10)

Первый интеграл в (10) преобразуем в поверхностный

I Ю'уСу! (r/)Uk>^ (г')'ы>п (г - Л

Б

В случае поликристаллического тела под интегра-

лом стоит произведение быстроосциллирующей около нуляфункции Cjkl (r') на гладкую функцию ukl (r') х х Gim n (r - r'). Поэтому для большого поликристаллического тела этот интеграл обращается в ноль на любом макроскопическом участке поверхности и для всего тела в целом. Далее, симметризуя по индексам m и n, получаем искомое интегральное уравнение для глобального тензора деформаций в поликристаллическом теле:

eij (r ) = ej (r 0 +| drl'g jl(r - r1) Cklmn (r1) emn (r1) > (11)

V

где gijki - y2(Gik ji + Gjk,u) — тензор Грина °дн°р°д-ной среды.

Для поликристаллического тела уравнение (11) является точным. Его отличительным свойством является то, что в нем разделено влияние на решение граничных условий (вынесено в отдельную задачу для ej (r) однородного тела) и влияние неоднородностей (объемный интеграл, не зависящий от граничных условий, а только от структуры поликристалла). Такой вывод можно сделать только для поликристаллических или зернистых тел с быстроосциллирующими материальными константами, содержащих очень большое количество зерен. Это свойство будет использоваться ниже. Решение е j (r) для однородного тела считаем известным. Оно может быть неоднородным. Для случая однородных граничных условий

uj(r)| геГ = ejxj'

где ej = const, е* (r) = (е^). В дальнейшем будут использованы только эти граничные условия.

Для исследования деформаций в отдельных зернах представим глобальный тензор деформаций в виде суперпозиции локальных тензоров с помощью индикаторных функций

N

jr) = (r )e^>(r)

(12)

1=1

и вместе с (1) подставим в (11). В итоге получим систему интегральных уравнений для локальных полей

4§)(г):

е®(г=) = е* +| ¿Г giJkl (г, - г, )С® (г,) е«^)+

+ £ I ¿гПgiJkl (г, - гП )С£)Й СгП) е™«). (13)

В теоретико-полевой терминологии [1] уравнение (13) означает, что деформация в какой-либо точке зерна есть суперпозиция внешнего поля е*, результатов взаимодействия с деформациями в других точках этого зерна (второе слагаемое в правой части) и с деформациями во всех остальных зернах поликристалла (члены под знаком суммы), причем вклады от взаимодействий аддитивны.

3. Алгоритм поиска экстремумов флуктуаций для ансамбля микроструктур поликристалла

Для нахождения экстремумов деформаций в каком-либо зерне нужно зафиксировать в нем точку и решить серию краевых задач для ансамбля всех конфигураций поликристалла. После этого выбрать из результатов экстремальное значение и повторить вычисления для других точек. Ансамбль возможных конфигураций содержит бесконечное число возможных конфигураций. Если заменить бесконечное множество дискретным, то для достижения статистической достаточности потребуется большая статистическая выборка. При такой реализации данный алгоритм не выполним. Аддитивность задачи на несколько порядков сокращает размер необходимых выборок и позволяет решить задачу.

Выберем способ приближенного решения системы (13). Применим для локальных полей кусочно-постоянную аппроксимацию. Для этого разбиваем каждое зерно на большое количество субзерен и представляем локальные внутризеренные поля в виде суперпозиции субзеренных полей, каждое из которых полагаем постоянным в пределах субзерна, с помощью индикаторных функций субзерен (латинские индексы нумеруют субзерна):

еj (r|) а(r|)е(

a=1

(a)(5) ij,

(14)

где п — число субзерен в зерне, при этом объем зерна равен сумме объемов субзерен. После этого система интегральных уравнений (13) для локальных полей трансформируется в систему линейных алгебраических уравнений для сублокальных полей:

_ B(aa)(Q ]e(aXD =

ij ijmn

Ъф a

= е* + V B (ab)(5)е(Ъ)(5) + V V B (а®)(П)е(е)(П) (15) ij ¿-j Bijmn mn Bijmn mn ' v /

e=1

где Iijmn — единичный тензор, а коэффициенты

Bijynn^ = J drb gijkl (ra _ rb ) ' ^n >

(16)

в (ае)(п) - Г ¿г' „ с~ ) с'(п)

°утп - I ¿ЧИуЫ (га гЬ ) ' ск1тп

юь

описывают взаимодействие субзерен в одном зерне и в разных зернах соответственно и находятся численно для конкретной микроструктуры поликристалла.

Система (15) решается методом теории возмущений [6]. За возмущение принимаются все члены под знаками сумм в правой части (15). Решение представляется в виде суммы поправок различных порядков относительно возмущения. В [6] показано, что величины поправок быстро уменьшаются с ростом их порядка. Здесь мы ограничимся первым порядком теории возмущений. Искомое решение записываем в виде

р( а,Ь,е)(5,п)

(г) =

р(0)( а,Ь,е)( 5,п)

(г) +еЦ)( аЬе)( 5>п)(г), (17)

а для поправок нулевого и первого порядков получаем систему

р(0)(5) - в(аа)(5)р(0)(5) _ р*

у Вук1 к1 _ру >

с(1)(а)(5) _ в(аа)(5)р(1)(а)(5) _

'у'к1

_Ь В

п#5

.( ап)р(0)( п) 'уИ Ък1 >

где новый коэффициент

Щт = I ^п 8уМ (га _ Гп ) ' СкШп

(18)

(19)

определяет интенсивность взаимодействия субзерна в 5-м зерне с п-м зерном в целом. Этот коэффициент зависит от положения субзерна в 5-м зерне, от взаимного расположения 5-го и п -го зерен и от ориентации кристаллографических осей этих двух зерен. Взаимодействие с субзернами других зерен учитывается интегрально, т.е. фактически разбивать на субзерна достаточно только рассматриваемое конкретное зерно. Устремляя объем субзерен к нулю, получим решение в точке внутри зерна.

Система (17) имеет размерность ЛПхЛП. Для практического решения разбиваем сумму по всем зернам в правой части (17) на сумму по ближайшим зернам-соседям (1-й пояс соседей), по зернам следующего по удалению 2-го пояса, 3-го пояса и т.д. Такое разбиение удобно для анализа зависимости упругого взаимовлияния от расстояния, поиска специфических кластеров зерен. Система (17) принимает вид

р(0)(5) _ о(аа)(5)р(0)(5) _ р*

у Вук1 к1 _ру >

р(1)(а)(5) _ в(аа) р(1)(а)(5) _ ьу вук1 тп

(20)

1st 2М

_ V %(ап)р(0)(п) + V %(ап)р(0)(п) +

_ Ь вук1 рк + Ь вук1 рк1 + ••••

Коэффициенты в суммах монотонно убывают с расстоянием, хотя и достаточно медленно [6]. Упругое взаимодействие является дальнодействующим. Ниже будет показано, что в силу случайной ориентации кристаллографических осей зерен можно ограничиться суммами для зерен до 3-го пояса по величине удаления. Выражение (20) подтверждает аддитивность вклада взаимодействия с разными зернами в деформацию в рассматриваемой точке рассматриваемого зерна. Поэтому достаточно найти экстремальные вклады для всех зерен-соседей по отдельности, а затем сложить результаты.

Деформация в любом выделенном зерне поликристалла зависит от параметров этого зерна (формы и ориентации его кристаллографических осей по отношению к внешним нагрузкам), микроструктуры окружающих зерен, влияющей на интенсивность упругого взаимодействия, и удаления зерна от поверхности поли-

кристаллического тела. Последняя зависимость обусловлена дальнодействующим характером упругого взаимодействия, вследствие чего приповерхностные зерна взаимодействуют с меньшим количеством зерен-соседей, чем зерна в объеме материала.

4. Численная реализация для модельного поликристалла

В качестве примера рассмотрим поликристалл цинка. Каждое зерно поликристалла есть маленький монокристалл, свойства которого известны. Монокристалл цинка имеет кристаллическую решетку с гексагональной плотной упаковкой (ГПУ) и высокую степень анизотропии, характеризуемую отношением периодов решетки с/а _ 1.856, параметром анизотропии Зинера А _ 2С44/(Сп _ С12) _ 0.59. Использованы следующие числовые значения упругих постоянных в кристаллографической системе координат, в которой ось Х3 есть ось гексагональной симметрии [7]: СЦ _ 165 ГПа, С2 _ = 31 ГПа, С0, _ 50 ГПа, С303 _ 62 ГПа, С404 _ 39.6 ГПа.

Рассмотрим модельный трехмерный поликристалл с кубическими зернами одинакового объема, схематически изображенный плоском на рис. 1 (показано только центральное сечение) вместе с осями глобальной системы координат. Рассматриваемое зерно находится в центре и затемнено. Показаны зерна 1-го и 2-го по удалению поясов. Первый пояс содержит 26 зерен (из них в сечение на рисунке попадает только 8 зерен), 2-й пояс — 98 зерен (в сечении на рисунке только 16 зерен), 3-й пояс (не показан на рисунке) — 218 зерен и т.д.

Из (19) следует, что поправки нулевого порядка определяются исключительно формой и ориентацией рассматриваемого зерна. Они соответствуют пренебрежению межзеренными взаимодействиями, но учету внутризеренных взаимодействий. Это приближение рассмотрено в работе [2]. Максимальные значения нулевых поправок получаются при ориентации кристаллографических осей зерна симметрично относительно

Хз

0-

Х2

Рис. 1. Модельный поликристалл с кубическими зернами

Рис. 2. Сечение зерна

направлений действия нагрузок. Мы рассмотрим одноосное растяжение поликристалла вдоль оси Х3 глобальной системы координат: (а33) = 33.6 МПа, остальные (а^)= 0, что соответствует макродеформациям (е33) = 3 -10-4, (е11) =-0.75-10-4, (е22) = -0.75-10-4 Будем искать экстремумы деформации е33)(^)(г) в разных точках зерна для ансамбля всех возможных микроструктур поликристалла. В данной модели ансамбль возможных конфигураций микроструктур сводится к множеству всех возможных ориентаций кристаллографических осей для каждого зерна по отдельности. Для каждого зерна нетекстурированного поликристалла ориентация зерна задается непрерывным распределением углов Эйлера с условием обеспечения равновероятности всех ориентаций. Поправки нулевого порядка е3°)(максимальны при ориентации рассматриваемого зерна гексагональной осью параллельно оси Х3 системы координат. Поэтому будем искать экстремумы в точках зерна с такой ориентацией. Это будут абсолютные экстремумы для всего поликристаллического тела.

В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть деформации только в точках вертикального сечения зерна, проходящего через центр (рис. 2).

Поправки нулевого порядка практически постоянны для всех точек зерна внутри вписанного шара с диаметром 90 % от длины ребра кубического зерна и равны е3°3) = 4.55 • 10-4 Вблизи ребер и вершин куби-

33 190% сфера

Экстремальные деформации

ческого зерна возможны сингулярности, характерные для континуальных моделей, и предлагаемый подход (как и традиционные) не работает. Экстремальные вклады от взаимодействия с зернами-соседями находятся следующим образом. Для каждого зерна-соседа с помощью генератора случайных чисел задается массив троек углов Эйлера с обеспечением равновероятности всех ориентаций. Размер массива — 5 • 105 троек углов. Для каждой тройки углов из массива решается система (18) с одним зерном в правой части второго уравнения и выбирается максимальное (положительное) и минимальное (отрицательное) значение поправок е33( а)((г). Процедура повторяется для всех зерен окружения. Затем экстремумы вкладов всех зерен суммируются, что дает абсолютный экстремум. Аддитивность вкладов от взаимодействия существенно сокращает размер необходимых статистических выборок. Разработанный алгоритм фиксирует также углы экстремальной ориентации каждого зерна. Вычисления показали, что при одноосном макрорастяжении для каждой точки в зерне максимальные поправки 1-го порядка от каждого зерна-соседа всегда положительны, а минимальные всегда отрицательны со средним значением равным нулю. При этом модули этих экстремумов не равны, а для разных зерен, даже в пределах одного пояса по удалению от выделенного зерна, сильно различаются. Таким образом, только часть зерен-соседей дает основной вклад. Максимальные значения деформации е3<3)(,)(г) = = е3з)(а )(,)(г) + е33(а)®(г) достигаются на периферии зерна — на наружной поверхности (сфере) вписанного шара, причем для всех точек этой поверхности максимальные значения практически одинаковы (но обуславливаются отличающимися структурами окружения). В табл. 1 приведены результаты вычислений для точки в центре зерна и в зените вписанной сферы. Вычисления выполнены с учетом взаимодействия с 26 зернами 1-го по удалению пояса соседей, 98 зернами 2-го пояса и 218 зернами 3-го пояса. Для наглядности раздельно приведены вклады зерен этих поясов.

Из таблицы следует, что максимально возможная деформация (11.3423 • 10-4) превосходит макродеформацию (3.0-10-4 ) в 3.78 раза. Она достигается в зерне со

Таблица 1

вклады разных групп зерен

Поправки

о(0)

е (1)| ь33 126

е(1)| ь33 1 98

Р (1)| ь33 1 218

Полная деформация е33

Центр зерна

Периферия зерна

Максимум

2.8716-10"

1.9449 -10-

1.2968-10-

10.6668-10"

Минимум

-3.6581-10"

-2.1001 -10-

-1.4382-10"

-3.6629-10"

Максимум

4.5535-10-

3.6731 -10-

1.8857-10

\-4

1.2301 -10

ч-4

11.3423-10

у-4

Минимум

-3.7850-10

-4

-2.1683-10

-4

-1.4002-10

-4

-2.7998-10

-4

м X 1 0 X X X

—► X X 0 X X

X X X 0 X X X

о о — — о о

X X 0 X X

—► X X 0 X м -----

X 1 0 X X X

Рис. 3. Экстремальные ориентации зерен-соседей: горизонтальное (а) и вертикальное сечение (б). Условные обозначения приведены в тексте

специфической ориентацией окружающих зерен, образующих специфический кластер зерен в микроструктуре поликристалла. Вероятность реализации такого кластера в макрообразце поликристалла с числом зерен порядка миллиарда может быть конечной. Аналогичным образом минимальные деформации достигаются в зерне с другим специфическим окружением. В этом случае взаимодействие с окружением генерирует сжимающие локальные деформации в зерне, несмотря на то что поликристалл подвергнут макрорастяжению.

Из таблицы также видно, что вклад упругого взаимодействия достаточно медленно убывает с расстоянием до взаимодействующих зерен. Вычисление вкладов удаленных зерен не представляет затруднений. Однако вычислять поправки от зерен 4-го и других дальних поясов, содержащих большие количества зерен, не имеет практического смысла по следующим соображениям. Максимальному вкладу каждого зерна соответствует некоторая его ориентация, которая имеет конечную вероятность реализации. Вероятность одновременной реализации конкретных ориентаций большого числа статистически независимых зерен стремится к нулю. Поэтому суммарный вклад зерен дальних поясов приближается к нулю с близкой к единице вероятностью.

Экстремальным вкладам в табл. 1 соответствуют специфические ориентации каждого из взаимодействующих зерен. Взаимная ориентация этих зерен обладает интересной геометрической симметрией. На рис. 3 показаны экстремальные ориентации зерен первых трех поясов соседей, генерирующих максимум деформации в центре зерна, в вертикальном и горизонтальном сечениях поликристалла. Шестиугольник условно изображает плоскость гексагональной упругой симметрии монокристаллов зерен. Символ О соответствует положению плоскости симметрии в плоскости рисунка, значок <«-► изображает положение перпендикулярно плоскости рисунка, а его наклон примерно показывает

угол между нормалью к плоскости упругой симметрии и оси Х3, значок {} соответствует наклонному положению к плоскости рисунка под некоторым углом, но при этом нормаль плоскости симметрии перпендикулярна оси Х3.

В экстремальной конфигурации кластеры зерен-соседей образуют симметричные паттерны. В ГПУ-кристаллах любое направление в плоскости трансвер-сальной изотропии (угол 90о к оси гексагональной симметрии) соответствует максимуму отношения модуля Юнга в этом направлении к модулю Юнга в поперечном направлении (угол 0о к оси гексагональной симметрии). Для цинка это отношение равно [8] 119047 МПа = 34Ш Е0° 34843 МПа ' ' Заметим, что абсолютный максимум модуля Юнга в монокристалле цинка равен 124100 МПа и наблюдается под углом примерно 70о к оси гексагональной симметрии. Но для этого направления указанное отношение равно

"70°

124100 МПа

Е20° 42358 МПа

: 2.9297.

Рис. 4. Зависимость максимальных деформаций е33 от расстояния до поверхности

В горизонтальном сечении все зерна-соседи ориентированы так, что направления максимальной жесткости (на рисунке они совпадают со стрелками) ориентированы строго по лучу в центр выбранного зерна. Для каждого зерна существует единственная экстремальная ориентация (с точностью до отражения оси гексагональной симметрии). В вертикальном сечении картина иная. Зерна во внешних квадрантах (по 9 штук в каждом) имеют по две эквивалентных ориентации. На рис. 3 они изображены сплошными и штриховыми линиями-стрелками. Оси гексагональной симметрии этих зерен лежат в плоскости сечения, но направления максимальной жесткости образуют некоторые фиксированные углы к направлению нагрузки (ось Х3). Зерна центрального вертикального столбца ориентированы осью гексагональной симметрии перпендикулярно направлению нагрузки, но в остальном их положение произвольно, а их вклад не зависит от поворота вокруг вертикальной (по рисунку) оси. Зерна центрального горизонтального ряда ориентированы однозначно. Интересно, что ближайшие соседи образуют вокруг центрального зерна плоский дискообразный кластер из 9 зерен одинаковой ориентации (на рис. 3 они затемнены), плоскость которого перпендикулярна направлению действия нагрузки. Жесткость на растяжение этих 9 зерен минимальна в направлении нагрузки, тогда как окружающих зерен максимальна. Они образуют своеобразную зону ослабления. Диаметр этой зоны равен трем диаметрам зерна. Если ввести в модель зону ослабления в 5 диаметров зерна, то деформация в центральном зерне уменьшится. Экспериментально было обнаружено, что при сверхвысокоцикловой усталости трещины зарождаются в кластерах одинаково ориентированных зерен [4]. В вертикальном (вдоль нагрузки) направлении и в двух ортогональных к нему горизонтальных направлениях зерна-соседи образуют цепочки максимальной жесткости на растяжение. Они играют роль силовых тяг, усиливающих деформационное воздействие на центральное зерно. Это напоминает формирование силовых цепочек в гранулированных средах, в которых локализуется распространение силового воздействия на среду [9].

Конфигурация микроструктуры на рис. 3 есть совокупность вполне определенных ориентаций окружающих зерен. В реальном поликристалле может случайным образом реализоваться конфигурация, близкая по симметрии положения упругих осей зерен к правильному паттерну, но с достаточно произвольными формами зерен. Вычислительные эксперименты показали, что зависимость вклада взаимодействующего зерна в деформацию другого описывается пологой функцией углов Эйлера вблизи экстремумов. При этом зависимость от типа анизотропии значительно сильнее зависимости от формы зерен. Поэтому существует мно-

го близких конфигураций, дающих почти одинаковый вклад, а вероятность реализации подобных микроструктур может быть конечной в большом поликристалле.

Размер флуктуации различен для глубинных и поверхностных зерен поликристалла. Зерно на поверхности взаимодействует с вдвое меньшим количеством соседей, чем зерна в объеме образца. В результате максимально возможные деформации в поверхностных зернах меньше на 40 % по сравнению с зернами в объеме образца. Также уменьшается размах флуктуаций. На рис. 4 показана зависимость максимальной деформации в зерне от расстояния до его центра от поверхности образца. Таким образом, поверхностные зерна образуют особый слой материала. В некотором смысле это область разгрузки поликристаллического тела. Толщина поверхностного слоя равна примерно четырем средним диаметрам зерна.

Отмеченная особенность поверхностных слоев поликристаллического тела есть следствие исключительно неоднородности структуры. Для однородного тела этот эффект пропадает. Такой вывод получается из уравнений континуальной механики деформируемого твердого тела. В ней пренебрегается дополнительной поверхностной энергией твердых тел, связанной с межатомными взаимодействиями, которая также может быть источником поверхностных эффектов. Таким образом, даже с точки зрения классической континуальной упругости механическое поведение поверхностных слоев поликристаллов отличается от такового для всего объема. Это созвучно концепции [10] об особой роли поверхностей твердых тел.

5. Заключение

Характерной особенностью поликристаллических материалов является высокая степень неоднородности кинематических и силовых полей в сочетании со стохастической внутренней структурой. Эта неоднородность несущественна в одних случаях, но приобретает решающее значение в исследовании различных критических явлений, возникновение которых зависит от типа микроструктуры материала. Стохастическая природа неоднородностей предписывает теоретико-вероятностный метод их изучения. Во многих случаях вместо полного описания случайных полей, т.е. построения функций распределения или вычисления всех статистических моментов, достаточно исследовать маргинальные значения полей для множества всех случайных событий. В данной работе были исследованы экстремальные деформации в зернах поликристаллов с помощью теоретико-полевого подхода. В поликристалле цинка, зерна которого имеют высокую анизотропию, максимальные деформации в зерне в 3.7 раза превос-

ходят макродеформацию. Такая концентрация обусловлена исключительно упругим взаимодействием неодно-родностей структуры. Максимальные деформации в зернах в объеме материала на 40 % выше, чем в поверхностных. Это может быть причиной перемещения очагов повреждений с поверхности внутрь образцов при переходе от многоцикловой к сверхвысокоцикловой усталости.

Вычисления проведены для модельных поликристаллов с кубическими зернами. Вычисления для поликристаллов с другой формой зерен (сферической и других) дают близкие результаты. На фоне геометрической симметрии моделей наглядно проявляются паттерны экстремальной микроструктуры окружения зерен, генерирующей экстремальные деформации. Конкретный вид паттернов зависит от анизотропии зерен и типа нагружения. В частности, теоретически показано, что максимальные деформации при одноосном растяжении возникают в центре кластера из ближайших соседей с одинаковой ориентацией, т.е. большого зерна специфической формы. При одноосном растяжении это дискообразный кластер с перпендикулярной к нагрузке плоскостью. Для других типов нагружения кластеры имеют другой вид.

В работе приведены результаты вычисления экстремальных деформаций для макроскопически изотропного поликристалла. Данный метод применим для текс-турированных поликристаллов.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 18-01-00675, 17-41-590433 и 16-01-00682).

Литература

1. Shavshukov V, Tashkinov A. Quantum field theory approach to mechanics of polycrystals // Solid State Phenom. - 2016. - V. 243. -P. 131-138. - doi 10.4028/ww.scientific.net/SSR243.131.

2. Шавшуков В.Е. Распределение полей напряжений в поликристаллических материалах // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 6. -C. 85-91.

3. Zimmermann M. Diversity of damage evolution during cyclic loading at very high numbers of cycles // Int. Mater. Rev. - 2012. - V. 57. -No. 2. - P. 73-91.

4. Oja M., Chandran K.S.R., Tyron R.J. Orientation imaging microscopy of fatigue crack formation in waspaloy: Crystallographic conditions for crack nucleation // Int. J. Fatig. - 2010. - V. 32. - P. 551-556. -doi 10.1016/j.ijfatigue.2009.01.012.

5. deWitR. The continuum theory of stationary dislocations // Solid State Phys. - 1960. - V. 10. - P. 249-292.

6. Ташкинов A.A., Шавшуков A.A. Решение задач механики деформирования поликристаллических материалов на основе теории возмущений // Вычислительная механика сплошных сред. -2016.- Т. 9. - № 4. - С. 486-497. - doi 10.7242/1999-6691/ 2016.9.4.41.

7. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута C.A. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. - Киев: Наукова думка, 1982. - 286 с.

8. Най Дж. Физические свойства кристаллов. - М.: Мир, 1967. -386 с.

9. The Physics of Granular Media / Ed. by H. Hinrichsen, D.E. Wolf. -Dordrecht: Wiley, 2004. - 364 p.

10. Поверхностные слои и внутренние границы раздела в гетерогенных материалах / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Изд. СО РАН, 2013. - 519 с.

Поступила в редакцию 10.08.2018 г.

Сведения об авторе

Шавшуков Вячеслав Евгеньевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, shavshukov@pstu.ru