CC BY
51
УДК 539.3
А.А. Ташкинов, В.Е. Шавшуков Пермский государственный технический университет
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПИРОУГЛЕРОДНЫХ МАТРИЦ
Abstract
The earlier developed model of pyrolytic carbon matrix as multiphase polycristal is applied to forecast thermal properties of pyrocarbon matrix. The general formulae to calculate the macroscopic thermal characteristics of arbitrary polycristal in correlative approximation are derived. These formulae are applied to calculate the thermal stresses coefficients tensor, thermal expansion tensor, and thermal conductivity tensor of pyrocarbon matrix. It is derived the numerical data for thermal properties of pyrocarbon matrix.
Одно из основных применений углерод-углеродных композитных материалов (УУКМ) связано с использованием в теплонапряженных деталях [1]. Поэтому важное значение имеет прогнозирование теплофизических характеристик пироуглеродных матриц УУКМ, в первую очередь тензора коэффициентов тепловых напряжений (или, соответственно, тензора коэффициентов теплового расширения) и тензора коэффициентов теплопроводности.
В [3,4] описана модель пироуглеродной матрицы, согласно которой пироуглеродная матрица представляет собой многофазный поликристалл, состоящий из кристаллитов пироуглерода и пор. В исходном, недеформированном состоянии матрицы кристаллиты пироуглерода являются кристаллами с гексагональной упругой симметрией. Тензор модулей упругости такого кристалла содержит пять независимых компонент, тензор коэффициентов тепловых напряжений, тензор коэффициентов теплового расширения и тензор теплопроводности имеют по две независимых компоненты. В модели принимается, что размеры и форма кристаллитов случайны, ориентация кристаллографических осей кристаллитов случайна, свойства среды постоянны внутри кристаллита и скачкообразно изменяются при переходе границы кристаллитов, все корреляционные функции предельно локальны.
Тензоры коэффициентов тепловых напряжений Ду и коэффициентов теплового
расширения ац неоднородной среды определяются уравнениями Дюамеля - Неймана
Gij (Г) = Цм(Г)% (г) - Ру ОЖг),
ц (г) = Sijkl (г )ак1 (г) + а у (г)в(г), (1)
где G— тензор напряжений, £,у - тензор деформаций, СцШ - тензор модулей упругости, Spy - тензор податливости, & = Т-Т0 - разность температур в конечном и начальном состоянии.
В стохастически неоднородной среде все входящие в (1) полевые характеристики являются случайными функциями координат. Эффективные характеристики среды определяются соотношениями
(2)
в которых угловыми скобками обозначена операция статистического осреднения.
Для вычисления эффективных характеристик необходимо рассмотреть связанную краевую задачу термоупругости, которая в общем случае состоит из уравнений движения и уравнения теплопроводности неоднородной среды [2]
(Г) + I, (Г) = Р(Г) ,
Э г
ЗО(г') Зе„ (г)
У.Ху «V Дг) - сЕ (г) Л - Щ (г) = -и-(г), (3)
^7 Э
с соответствующими граничными и начальными условиями, где V ■ = — - оператор
дг}
дифференцирования, /- вектор объемных СИЛ, иг вектор перемещений, Ху - тензор теплопроводности, с£- теплоемкость при постоянном объеме, п- плотность объемных источников тепла.
с — с
Слагаемое с сомножителем Г0(57 пропорционально отношению где са-
се
теплоемкость при постоянном давлении. Это отношение мало для всех твердых тел. Поэтому при квази статическом деформировании этим членом в уравнении теплопроводности можно пренебречь. “Деформационный” член в уравнении теплопроводности становится заметным только при очень высоких скоростях деформирования е&9 возникающих, например, при распространении высокочастотного ультразвука. При отсутствии «деформационного» члена уравнение теплопроводности не содержит материальные величины Сук1 и . Поэтому случайное поле температур
0(г) не зависит от случайных полей упругих свойств (г) и Р^(г) и от случайных
полей напряжений и деформаций.
Для определения эффективных макроскопических характеристик достаточно рассмотреть уравнения равновесия в отсутствии объемных сил и стационарное уравнение теплопроводности в отсутствии источников тепла, с какими-либо частными граничными условиями. Подставляя в (3.2) соотношения Дюамеля - Неймана, получим следующую частную краевую задачу термоупругости в перемещениях:
V/% (г)е*/ (г) -[Ру (г)0(г)] = О,
^Х,(г)У7.0(г) = О. (4)
Граничные условия на границе тела Г для уравнений равновесия выберем в виде и.(г)| г = £*гГ/, где £*• - заданный постоянный тензор макродеформаций, граничные
• Г€ 1 .. / ^ +
условия для уравнения теплопроводности в виде 9(г)|геГ=0 , где 0 - заданная
постоянная температура на границе тела.
Для определения эффективных коэффициентов тепловых напряжений Д*
произведем осреднение уравнений равновесия. Как обычно, разлагая случайные величины на средние и флуктуационные составляющие,
С„И=«^,) + С'И)
£И =£Ц 4 2 *-мч1
приведем уравнения равновесия к виду
(Сук1 Iйк - ~ Д,#]. (5)
Для решения этого уравнения используем корреляционное приближение.
Вводя тензор Грина среды с осредненным модулем упругости, определяемый уравнением
(Сутп УУ»&тк (Г> Г1) = ~8(Г - Г1 )8л >
и пренебрегая в корреляционном приближении членом {ик, получим для
флуктуаций перемещений
щ (г) - \ск) Ск1 (г - г, )Ут [с'Шр й Кр - (Г1 ЖГ1)] ■ (6)
Интегрируя в (3.2.6) по частям и подставляя результат в определяющее соотношение ац = ^т£к\ > получим для структурных напряжений
% (г) - Сук г (г)4 + сукг (г) 1*) Ок1гт (г - г,) [с;тр (г, )гпр - р/т (г, )9(г,) .
(7)
Осредняя (3.2.7), будем иметь
Щ) = [{С1]пр) + С,кКгт (г - г, ){С']кг (г)С'1тпр (г,))] Е^р -
-1 ’<*■. Оыгп («- - Г1 Щш- (г )Р* От,)) • <0(г,)). (8)
Во втором слагаемом в правой части (8) учтено, что случайная температура 0(г{) статистически не зависит от (г) и $1т (г,).
Сравнивая (8) с определением эффективных характеристик (2), видим, что выражение в квадратных скобках есть эффективный тензор модулей упругости в корреляционном приближении . Во втором интеграле (8) примем, что (0(г)) есть медленно меняющаяся функция координат на расстояниях порядка радиуса корреляции случайных полей Сцкг и Д/я|> и ее можно вынести из-под знака интеграла. С целью
вычисления эффективных свойств ее вообще можно считать равной константе. Тогда для эффективного тензора тепловых напряжений в корреляционном приближении получим выражение
(3* = рг, (г - г, )(Сукг (г)р/и (г,)), (9)
или, представляя С = (С) + С', /3 - < Д) + Д',
% = |г/г,Ок1ггп(г - г, )(Сф.(г)). ф/л? (г,)) + Ц(7,, (г - г, )<С',Г (г)^(г,)). (10)
В (10) входят различные статистические моменты. Средние {С1]к1) и <Дя?)не
зависят от координат. Для статистического момента <С^ (г)^^ (^)) полагаем, что как и
в случае корреляционного тензора модулей упругости [2] имеется следующая координатная зависимость:
(С'чкг £*0> = (С^ (г)р;т (Г))ф(|г - г, |) г (Сукг$',т )ф(|г - г, |),
|ф(г)с/г = 1. (II)
Тогда, производя интегрирование в (10), получим следующее выражение для эффективного тензора тепловых напряжений произвольного многофазного поликристалла в корреляционном приближении:
р; = т9 + Щ > • (I2)
Осреднение в (12) производится по всевозможным ориентациям кристаллографических осей в каждом кристаллите и по объему среды.
Применим формулу (12) к однофазному гексагональному поликристаллу, каковым является неповрежденная пироуглеродная матрица без пор. Выше отмечалось, что тензор коэффициентов тепловых напряжений отдельного кристаллита пироуглерода имеет две независимых компоненты. В кристаллографической системе координат, в которой ось 3 направлена вдоль оси упругой симметрии 6-го порядка кристаллита, этот тензор имеет вид
Р<0) =Р18У + (Р3-Р1)81.35,3> (13)
а в произвольной системе координат
Ру (г) = р,% + (Рз - р, )сх0 (г)а/3 (г), (14)
где направляющие косинусы. Тензор модулей упругости кристаллита в
кристаллографической системе координат
С^„ = а^Ат + Щт + §,л8;т) + у6,з§,.3§т38„з +
+к(8,18/,8тп + 8,у8т36л3) +
+Р(5;Аз8тз + &йМл, + 81т8у38п3 + 8,38т38>п), где через а,Ь,у,к,р обозначены пять независимых упругих постоянных гексагонального кристалла. Они выражаются через компоненты тензора модулей упругости в матричных обозначениях стп (которые определяются стандартным образом [2] по компонентам в тензорных обозначениях) формулами
а = сп, Ь = ~(си-с12), У—си+съъ-2сп — 4с44,
!/ ч
к — сп с,2, р — с44 2 ^
Тензор модулей упругости кристаллита в произвольной системе координат записывается аналогично (14).
Вычисляя свертки статистических моментов, входящих в (12), получим следующее выражение для эффективного тензора тепловых напряжений неповрежденной пироуглеродной матрицы:
_2Д+|| 2 .2(5-2»)^. „ 1/0 0
Р{/ ~ ^ % н 135^ ^ 33 13 ” 11 ~~ 12 ~ Рі )°*у • (15)
Для вычисления эффективного тензора коэффициентов теплового расширения ос*., определяемых (2), необходимо рассмотреть уравнения равновесия в напряжениях [2]:
е,рдеЫ^ р4., [-V* (г)°/» (Г) + «р (Г)0(Г)] = -% , (16)
гДе ет единичный антисимметричный тензор Леви-Чивита, Т|й- тензор несовместности.
Осреднение (16) дает выражение для а*. Соответствующие вычисления
приведены в [2], которые дают следующий результат для эффективного тензора теплового расширения произвольной среды в корреляционном приближении:
07)
где
^ " 3(%) •{$ + ~Ф ^ ~ + <6"+ } ’
а параметры податливости я и q среды с осредненными свойствами определяются из
3(^+2 (Ч)1]р11.
Произведем вычисление статистического момента в (17) для пироуглеродной матрицы. Для гексагонального кристалла тензор податливостей в кристаллографической системе координат
—18.^8 + т(3 8 + 8 8 ) + п8,8-,8 -,8,
УРЯ У РЧ ■ >Р ЛЯ щ ір' іЗ ;3 рЪ цЪ
+
+«адл+8р$чАі )+
+«(ЗДЛ++ЗАА) • (|8)
где через 1>т,п,1,и обозначены материальные постоянные . Они выражаются через компоненты тензора податливостей в кристаллографической системе координат в матричных обозначениях
от=^(5п-Цг), и = 5н + $31-25^-2$^,
? = 513-512,М = 1(544-5и+5|2). (19)
В свою очередь 5^ связаны с компонентами тензора модулей упругости в матричных обозначениях формулами
5П-
1 г 4- — 1 > с „ сп
2 ч С *11 “ С\2 9 °33
с\ъ С 1 1
с > 44 с44 > °66 с66
5 =1
’ 12 2
V с с\\ с\г
(20)
•44 *66
Вид тензора а.; аналогичен (13).
Производя с помощью (18) вычисления в (17), получим следующее выражение для эффективного тензора коэффициентов теплового расширения неповрежденной пироуглеродной матрицы в корреляционном приближении:
2аI + а3 х <6^ + 1д)
135<?> •<* + <?>
агу - 1 _ - (5ц +^із ^*2 )(осз а{)^у? (^2)
где <*> = ~(5„ + 533 + 85,3 + 5512 - 2ад, (д) = ^(75п + 2533 + 6544 - 55„ - 4513).
Для определения эффективного тензора коэффициентов теплопроводности разбиваем в стационарном уравнении теплопроводности краевой задачи (4) все величины на средние и флуктуационные составляющие
К = (К) + К', 0 = (0) + 0', (К)-2К'+Кз ,
и преобразуем уравнение к виду
<К)У/У,в'(г) = -[(К)У/V,- + У,К' (г)У,]<6(г)>.
Вводя скалярную функцию Грина стационарного уравнения теплопроводности осредненной среды С (г), удовлетворяющую уравнению
<К^.У/?(г) = -6(г), получим для флуктуаций температуры
0'(г) = \скх С (г - г, )[К V, (г, )У, (г,) + V, (г, )8^ (г, )У, (г, )]<0(г», (23)
Тензор коэффициентов теплопроводности определяется с помощью закона теплопроводности Фурье
<?/ (г) - -К,у (г)У у9(г), (24)
где вектор плотности теплового потока, а эффективный тензор теплопроводности определяется с помощью соотношения
<?,> = -КХ<0>- (25)
Вводя в (24) флуктуационные составляющие и осредняя, получаем
<?,>=-Х^/-<к;у/>=
= - К У;0 “ < К,у(г)У; (г) рг,С(г - г, )[КУ^УА +У^;/У,р'(г1)) =
щ
= -К Уу0 - \(кхсм (г - г, )< 4(г)Ги(г,)) • <0'(г,)) •
Принимая координатную зависимость корреляционного тензора коэффициентов теплопроводности в виде
< Щ (г)К.1 ш)) = < Ху ки >Ф(|Г - Г11)
и подставляя явный вид второй производной функции Грина уравнения теплопроводности [2]
получим для средней плотности теплового потока
<д1) = ■-< К) V,- (0(г)> + У/ <0(Г)). (26)
Отсюда следует выражение для эффективного тензора коэффициентов теплопроводности произвольной среды в корреляционном приближении
(27)
J CV
где по определению { X) = N дп .
Для неповрежденной пироуглеродной матрицы из (27) после вычисления корреляционного тензора для гексагонального поликристалла следует формула для эффективного коэффициента теплопроводности в корреляционном приближении
к=кч>
+ (28) 3 9 2К,+Х3
Применим полученные формулы для нахождения численных значений эффективных характеристик реальной пироуглеродной матрицы.
В [3,4] были приведены средние по различным источникам численные значения компонент тензора модулей упругости кристаллита пироуглерода в кристаллографической системе координат, Вычисленные по ним с помощью (20) численные значения компонент матрицы податливости в кристаллографической системе координат для монокристаллита пироуглерода равны:
£п = 3,174 -1 (Г5 МПа, % = 9,523 • 1 (Г5 МПа , Si2 = -1,585 • 1(Г6 МПа ,
5,з = -1,428 ■ 1СГ5МПа , S44 =4,347 1(Г4МПа, Sm = 6,666 -1 (Г5 МПа .
Численные значения коэффициентов теплового расширения в кристаллографической системе координат по данным монографии [5] в диапазоне температур 20-100 °С равны:
щ =(-1,3)1(Г6 н-(-0,2)10-€ 1/°С, сс3 =19 1(Г6-22 1СТ6 1/°С, по данным фирмы Advanced Ceramics Corporation (США) [6],
а, = 0,5 • 10-6 1/ °С, а3 = 6,5 ■ 10-6 1 / °С.
Значения компонент тензора тепловых напряжений кристаллита пироуглерода в
кристаллографической системе координат находим из определения
которое для гексагонального кристалла сводится к двум равенствам
р! =а,(сп +с12) + а3с13, рз =2аіСіз + а3с33. (29)
С помощью (29) получаем численные значения для компонент тензора тепловых напряжений, соответствующие экспериментальным данным для ах и аъ из [5]
Р, =8,98-10-3 МПа / град, =24.2 I О"3 МПа / град.
и экспериментальным данным для ах и а3 из [6]
01 = 29,9 • 10'3 МПа / град, Р3 =8,53 10-3 МПа / град.
Численные значения коэффициентов теплопроводности в кристаллографической системе координат по данным [5] при температуре 20 °С равны:
X, =330-^-1100Вт/м • К, К3 = 2,2*6,5 Вт/м К, а по данным фирмы Advanced Ceramics Corporation (США) [6] при той же температуре,
Kj >400 Вт/м К, К3 >3,5 Вт/м • К .
Столь широкие пределы для приведенных значений теплопроводности обусловлены тем, что теплопроводность углеграфитовых материалов очень сильно зависит от степени совершенства кристаллической решетки. Поэтому для реальных пироуглеродных матриц, даже прошедших длительную высокотемпературную обработку, правильнее использовать значения для К, и К3ближе к нижнему пределу.
Эффективные характеристики поликристаллической пироугл ер одной матрицы, вычисленные по приведенным значениям кристаллографических постоянных, сведены в таблице
Эффективные характеристики поликристаллической пироуглеродной матрицы
Р МПа/К а' 1/К к-, Вт м К /? = 0% к', Вт м-К /> = 17,6%
Кристаллографические постоянные по [Иск. графит] ах = -0,75'Ю^6; дг3 = 20,5 *10^ ^=330; К3 =2,2 і о 04 4,88-10 6 185 141
Кристаллограф ические постоянные по [АёуСегСогр] а, = 0,5 10~6; аг = 6,5-10^ К, =400; Х3 = 3,5 6,25 • 3 О'3 2,09 -10* 224 171
/?* *
Эффективные величины г и а вычислены при нулевой пористости. В корреляционном приближении, как следует из (3 5) и (22), эти эффективные характеристики не зависят от пористости пироуглеродной матрицы.
Эффективная теплопроводность при ненулевой пористости вычислена по формуле
Х*=(1-|а)Х, (30)
где р - пористость, а X - эффективная теплопроводность беспористой матрицы.
Формула (30) получается из общего выражения (27), если последнее применить к статистической смеси двух изотропных компонент, первая из которых совпадает с беспористой пироуглеродной матрицей, а вторая - поры, т.е. среда с нулевой теплопроводностью К2 =0.
Вычисленные эффективные значения теплопроводности матрицы с порами можно использовать при не слишком высоких температурах, при которых можно пренебречь лучистым теплопереносом через поры. Оценку верхнего предела такой температуры можно получить, если потребовать
Я лучистый ^теплопров ■
Лучистый поток через единичную пору по порядку величины Лучистый -^т)> гшахи ттш - максимальная и минимальная температура на
внутренней поверхности поры, а а = 5,67 -10-8 Вт/м2 • К4 - постоянная Стефана -
Больцмана. Пироуглеродная матрица является хорошим проводником тепла, и величины Гтах и Тт{п близки для пор любого размера. Поэтому
Лучистый-Тт1л) = 0Т?сНТ, где Т, - некоторая средняя температура, с! - диаметр поры.
Так как |#тешюПров|= |^Г|, то получаем следующую оценку для температур,
при которых можно пренебречь радиационным переносом тепла в пористой среде:
Предельная температура уменьшается с увеличением размера пор. Для пироуглеродной
матрицы и даже для очень больших пор с/~1мм получаем Г«13000°С, т.е.
радиационным вкладом в теплопроводность пористой пироуглеродной матрицы можно
пренебречь.
Библиографический список
1. Технология и проектирование углерод-углеродных композитов и конструкций/ Ю.В. Соколкин, А.М. Вотинов, А.А. Ташкинов, А.М. Постных, А.А. Чекалкин. -М.: Наука, Физматлит, 1996. - 240 с.
2. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.: Наука,1977. -400 с.
3. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А., Шавшуков В.Е. Прогнозирование эффективных модулей и статистических характеристик полей микронапряжений в пироуглеродной матрице углерод-углеродных композитов // Прочностные и динамические характеристики машин и конструкций: Сб. науч. тр. - Пермь, 1994. -С.34-41.
4. Ташкинов А.А., Шавшуков В.Е. Прогнозирование механических свойств упругохрупкой углеродной матрицы в композитах // Математическое моделирование систем и процессов: Сб. науч. тр. / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 1995. - №3. -С. 97-100.
5. Искусственный графит /В.С, Островский, Ю.С, Виргильев, В.И. Костиков, Н.Н. Шипков. - М.: Металлургия, 1986. - 272 с.
6. Справочные материалы фирмы Advanced Ceramics Corporation (США), www.advceramics.com
Получено 03.06.2002
