Распределение по сечению между зернами тепла, передаваемого в сухом сыпучем зернистом материале Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 109 I960

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПО СЕЧЕНИЮ МЕЖДУ ЗЕРНАМИ ТЕПЛА, ПЕРЕДАВАЕМОГО В СУХОМ СЫПУЧЕМ ЗЕРНИСТОМ

МАТЕРИАЛЕ

А. С. ЛЯЛИКОВ • (Представлено проф. докт. техн. паук Г. И. Фуксом)

Расчет коэффициента теплопроводности X сыпучего зернистого материала основывается обычно на рассмотрении передачи тепла в элементарной типичной ячейке зернистого материала. В качестве наиболее общего вида представим структуру зернистого материала такой, какой она показана на рис. 1. Зерна материала имеют неправильную форму. Каждое зерно занимает положение устойчивого равновесия, опираясь на три нижележащих зерна. Места касания их — контакты— могут быть в виде точек и площадок, причем в пределах площадок возможно наличие зазоров, обусловливаемых микрошероховато-стыо поверхности зерен. Пространства между зернами заполнены газовой средой. Элементарную типичную ячейку такого материала можно представить в виде куба abed, сторона которого равна среднему размеру зерна. В нее входят части соприкасающихся зерен и соответ- рИс. 1.

ствующие пространства, заполненные газом. Средняя пористость элементарной ячейки равна общей пористости материала.

Одной из особенностей зернистого материала является наличие соприкосновений (контактов) между зернами, влияние которых на коэффициент теплопроводности должно быть учтено при расчете. Поэтому при разработке метода теоретического расчета д важно выяснить типичный характер контактов между зернами и установить, какая доля от всего передаваемого ячейкой тепла приходится непосредственно на контакт, на близлежащие зоны и остальные участки сечения, то есть установить распределение передаваемого тепла по сечению и влияние на него характера контактирования.

0

Здесь мы не будем пытаться установить типичный характер контактирования, а поставим задачу оценить роль мест соприкосновения в тепловом процессе зернистого материала при различных случаях, контакта.

Для получения качественной картины явления и облегчения использования аппарата математики рассмотрим распределение передаваемого тепла по сечению ячейки, пользуясь представлениями о „фиктивном" слое, частицы которого одинаковы по размеру, имеют упорядоченную укладку и правильную, например, шаровую форму. Ограничимся рассмотрением одного из контактов, входящих в элементарную ячейку, так как явления в остальных будут иметь тот же характер.

А. Случай, когда между зернами имеется плоский контакт

Два шаровых зерна соприкасаются по круговой площадке, радиус которой равен г0 (рис. 2). Эта площадка может являться результатом:

деформации шаров от внешних нагрузок на слой или от веса вышележащих слоев материала. Пусть горизонтальным плоскостям, проходящим через точки О' и О", соответствуют температуры и Пространство между зернами заполнено газообразной средой с коэффициентом теплопроводности \г\ для материала зерен он равен Хм.

Тепловые потоки по сечению

При имеющемся перепаде температур — = М тепловой поток дх в сечении йхйу зависит от термического сопротивления /?Гг меняющегося с изменением координаты х. Допускаем, что изотерми-

ческие плоскости параллельны оси х. Тогда тепловые потоки на уча стке от х = 0 до х = г0:

А I

Яг

и

2 г

'■М

2 г

(а)

на участке от х = г0 до х = г:

я =

Л £

м

я

X

2а

или

Ях

М

2г

А ^

•м

(б)

Производя замену о — 2 (г — у г2 — л- )> мы не учитываем некоторое смещение контуров полушаров вследствие деформации в контакте. При выяснении количественных характеристик допустимость такой подстановки требует доказательства. В данном случае, как это выяснится в дальнейшем, замена о = 2 (г — у _х2)> соответствующая

предположению о точечном контакте, позволяет получить качественно правильное представление, что й является нашей ближайшей задачей.

А £

Общий множитель — в уравнениях (а) и (б) есть величина, про-

2 г

порциональная тепловому потоку. В условиях стационарного потока

М

и заданного зернистого материала — есть величина-постоянная, ко-

2 г

торую можно обозначить через С\. Тогда (а) и (б) перепишем в виде

с,-

С11М = сопэ!:, 1

0)

(2)

Выражения (1) и (2) характеризуют изменение тепловых потоков по относительной координате.

Тепло, передаваемое через сечение между двумя зернами, и его распределение по сечению

В плоскости ху полная площадь, через которую проходит тепло от одного зерна к другому, равна площади круга с радиусом г0.

Тепло йС1х, проходящее в единицу времени через кольцевую площадку сечения с1Бх> можно записать:

Я* "

На участке от л=0 до х-

сК2х =

М.2~.х.ёх ).м Л 1.2-.х йх

2 г

•м

2 г

¿я:

Аналогично для участка от х kt.2-x.dx

г0 до х = г Ы .ъ .х Лх

2а_ 'м/

м

1

Л

V

1

Уравнения (г) и (д) можно переписать в виде:

I X Гп

а

X

А t ~ г А

(г)

(д)

М.-.г

■м

(ж)

Полученные производные представляют уравнения распределения тепла по относительной координате для рассматриваемого случая.

Произведение Л ¿-г, являющееся множителем в уравнениях (е) и (ж), может рассматриваться как

Д Ьъгт.

М.2-.Г1

2 С1.50,

где 50~тгг2—-полная площадь сечения теплового потока между зернами. Величина 2С150 есть, так же, как и Си величина, пропорциональная тепловому потоку. Обозначи

Тогда уравнения распределения тепла по относительной координате для случая касания зерен по площадке окончательно запишутся:

dQ'

^ X

С 2

dQ;

а

----- с

л*

/ х \

Ь)

(3)

1

л.

(4)

М

Г

Б. Случай, когда между зернами имеется точечный контакт

В отличие от предыдущего случая при точечном соприкосновении

отсутствует участок от х — 0 до х

г0 с линеиным законом измене-

ния тепловых потоков и передаваемого тепла. Следовательно, тепловые потоки определяются соотношением

Чх = С1-:-—-г—1—--(5)

— +

Распределение передаваемого тепла также описывается одним уравнением, действительным от х^О до х = г:

¿Я*

X

= С, —■■--.-У^—;- • (6)

X

х_\ " 1_ , / I____/

г ! \г ■ \ \м Лг / \

г

В. Случай, когда между зернами имеется зазор (соприкосновения нет)

Пусть зерна разделены зазором, величина которого по оси о'о№ вна 80 (рис. 3). В этом случае тепловые потоки по сечению выражаются:

АI М

д х =--; ::::---------

КХ 2С1 3 : Й0

А „ .

или

'/-V С, -------.......;------,----------—--. (?)

1 V. . ,,

/ г йХг \ХМ /-2 / г \ г

где й — 2г.

Те же рассуждения, что и в случаях А и />, приводят к следую щему уравнению распределения передаваемого тепла:

= С, ---------------------------.1 Г.....------. (8)

* \ "1 . VI , / 1 1 \. Г. Т^Г^

¿■'■г 1 V >-м / V 1

Г ' и . /., \ /ч 1 г I- »Г / 1/ \

Из (7) и (8) видно, что при наличии между зернами зазора о0 тепловые потоки дх и передаваемое тепло С}х зависят, кроме прочих фак-

о,

торов, от относительной величины зазора

й /

Полученные уравнения (1) —(8) позволяют анализировать характер изменения тепловых потоков и распределение передаваемого тепла по относительной координате на примере конкретных материалов при различном характере контакта А, Б и В.

Для того, чтобы наиболее полно охватить диапазон материалов с различной теплопроводностью зерен, нами произведены вычисления ¿Ях

величин •дх и -для зернистого материала с зернами из хоро-

шо проводящего тепло материала — стали = 30 ккал\м яас°) и из слабо проводящего — кварца (Км = 5,2 ккал/м час0). Теплопроводность воздуха принята Хг = 0,022. Численные значения постоянных С1 и С2 нас не интересовали, так как при графическом построении рассматри-

Рис. 3.

ваемых зависимостей они влияют только на масштаб графика и: не меняют характера функций. Поэтому для упрощения можно принять С1 = 1 и С2 = 1. Результаты вычислений для случаев Л, и В (послед-

О р1

ний для двух значений —= 0,01 и -^-=0,1) приведены на рис. 2,

(I й

3 и 4.

Как выяснилось, в случае Б тепловые потоки и распределение тепла отличаются от А тем, что на весьма ограниченном участке от х=0 до х = г0 линейный характер функции заменяется криволинейным с большим радиусом кривизны, поэтому вычисления для случая Б сделаны только для зернистого материала из стали. При построении кривых, характеризующих изменение тепловых потоков и распределение передаваемого тепла, оказалось, что кривые для случая А и Б практически совпадают, поэтому кривые для случая Б не приводятся.

у

При вычислении входящего в (3) и (4) отношения —— исполь-

г

зевана связь между силой, деформацией, механическими свойствами

5В

материала и размером шара

с. 353

для случая шаров одинакового диаметра и свойств к виду

, которую можно преобразовать

ги = 0,712|/^^0-°а) , (9)

где р0 — усилие в контакте; й= 2г — диаметр зерна;

Е — модуль упругости материала зерна;

г0 — радиус площадки, образованной в результате деформации; а — коэффициент Пуассона.

В уравнение (9) входит сила /?0, деформирующая шар. Рассмотрением тетраэдрической укладки (три точки контакта для каждого шара) она найдена нами в зависимости от размера зерна и полного давления в слое Рг и выражается

З1/3"

р„ =--_ ■ &. рх - 0,353 а1. рг.

2 (1/24 • 1/6)

Подставляя это в (9), получаем:

= 2.0,712 ^/0,353^(1-^) .

г у ь

С 10>

Приняв для стали Е = 2,1.10° — = 2,1.101п —

см- я

кг-

0,3, = 7900

ж

и толщину вышележащего слоя 2 = 0,202 ж, при тетраэдрическои укладке с пористостью т — 0,259 будем иметь:

Г = (1-/и)Тл = 5850

м

Р2 = т.г = 1727 —.

м'

С помощью (10) получаем:

— 6,23 Л О" 3. г

у

Вычисления — для кварца аналогичны. г

Значения —, соответствующие максимуму кривой распределе-г

ния передаваемого тепла (когда последний затруднительно выявить при графическом построении этой функции), определялись по обычным правилам математики с последующим нахождением и самого максимума.

На рисунках соответствующие величины со значком „с" относят ся к стали, с я/си—к кварцу. Индекс Л —к случаю А, индекс 1 от-

носится к случаю В при -^-0,01, индекс 2-при ^-=0,1.

с1 й

Графики рис. 2, 3 и 4 позволяют отметить следующее, а) При наличии между зернами идеального контакта по площадке (случай А, рис. 2) последней соответствует максимальный тепловой поток, который имеет постоянную величину при значениях х от х=0 до х—г0. При -О^о он резко убывает. Величины максимального значения дх и крутизна кривой определяются коэффициентом теплопроводности материала зерен и наиболее ярко выражены для материалов с высоким 1М.

Кривая распределения передаваемого тепла состоит также из двух участков: от 0 до г0 —:—— возрастает линеино, а далее — по кри-

вой, имеющей максимум. Величина и положение максимума ее определяются коэффициентом теплопроводности материала зерен

Площадь под кривой распределения тепла есть полное количество тепла, передаваемого от зерна к зерну. Как видно из графика, она тем больше, чем больше теплопроводность твердого материала Доля тепла, передаваемого непосредственно через контакт, несмотря на большие тепловые потоки, незначительна. Это связано с малой

площадью контакта. Больше того, через более широкую зону, чем кон-

X х,

такт (например, до — = 0,05 или даже — = 0,1), передается сравни-

г г

тельно небольшая доля тепла, которая снижается с уменьшением теплопроводности материала \м> При этом возрастает роль теплопередачи через остальные участки.

Случай Б не анализируем, так как он несущественно отличается от А.

б) Как видно из рис. 3 и 4, кривые тепловых потоков резко ме-

, Зг,

няют свои характер в рассматриваемом интервале отношении — =

й >

= 0,01—0,1. Для — = 0,01 — это круто падающая кривая> для — = (I с1

0,1—слабо снижающаяся линия.

о,

Интересно отметить, что при одинаковых значениях — (особен-

й

но при повышенных) для кварца и стали величины тепловых потоков приблизительно одинаковы.

На рис. 3 видно также, что передаваемое тепло в основном за-

>

°<>

висит от относительного зазора — и мало зависит от теплопроводно-

й

сти зерен Через область, лежащую около — = 0, передается ни-

г

чтожное количество тепла.

>

При относительно больших --(например, 0,1) распределение пе-

й

X

редаваемого тепла носит такой характер, что область' — >0,5 ста-

г

новится по передаче тепла приблизительно равноценной области х

7 < 0,5.

в) На рис. 4 приведены зависимости тепловых потоков д и пере-

¿<3 Л о /°0 АЛ1 \ Г> (\

даваемого тепла

Х

для случаев Л, В, = 0,01 |ий2 № = )

при одном и том же материале (кварц). Видно, что тепловые потоки и количество передаваемого тепла зависят от способа контактирования, причем приближенно можно оценить, что тепло, передаваемое в случае Л, Вх и В2, относительно как 3:2:1.

Из этого рассмотрения фигур 2, 3 и 4 мы делаем три вывода, которые необходимо учитывать при разработке метода теоретического расчета теплопроводности зернистого материала.

1. В любом из трех рассматриваемых случаев контактирования

X X

через контакт и область от —--0 до —^0,02—0,03 передается пре-

г г

небрежимо малое количество тепла ввиду ничтожной площади, приходящейся на контакт и эту область.

2. Расчет теплопроводности зернистого материала должен производиться с учетом передаваемого тепла по всему сечению вплоть до

— — 1( особенно для неметаллических материалов. г

3. Предпосылкой разработки надежного метода расчета является правильный выбор характера контактирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Л я л и к о в А. С. К вопросу о теплопроводности зернистого материала, дис-I сертация, .Томск, 1956.

2. Машиностроение., Энциклопедический справочник, т. 1, кн. 1, М., 1947.