CC BY
45
УДК 621.382.001.5
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТОКА И ТЕМПЕРАТУРЫ В БИПОЛЯРНЫХ ТРАНЗИСТОРНЫХ СТРУКТУРАХ С ДЕФЕКТАМИ В АКТИВНОЙ ОБЛАСТИ
© 2005 А. М. Ходаков Ульяновский филиал Института радиотехники и электроники РАН
Приведена теплоэлектрическая модель и получены аналитические выражения для неоднородных стационарных распределений плотности тока и температуры в биполярных транзисторных структурах, с эмиттерами полосковой геометрии при рассеивании постоянной мощности и наличии неоднородности инжекционного типа в активной области структуры. Предложен алгоритм численного решения задачи, с учетом температурной зависимости плотности мощности в дефектной и бездефектной областях структуры. Представлены зависимости плотности тока и температуры от параметров и положения неоднородности. Произведена оценка термонапряжений, возникающих в подобных структурах
Большинство полупроводниковых изделий характеризуется неоднородным распределением плотности тока и температуры в активной области полупроводниковой структуры. Дефекты различной природы в приборных структурах приводят, как правило, к возрастанию этих неоднородностей, ограничению функциональных возможностей полупроводниковых приборов, а в некоторых случаях их отказу в работе. Поэтому, исходя из общей постановки задач диагностики, контроля качества и прогнозирования надёжности полупроводниковых изделий, необходима предварительная оценка распределений температуры и плотности тока в зависимости от геометрических и теплофи-зических параметров полупроводниковой структуры и дефекта. Наиболее характерно и опасно проявление эффектов неоднородного токораспределения для биполярных транзисторных структур, поскольку в этих структурах действует положительная тепловая обратная связь, обусловленная экспоненциальной зависимостью плотности эмиттерного тока от температуры. Исследованию распределений температуры и плотности тока в биполярных транзисторных структурах посвящён ряд работ [13]. В них подобные расчёты осуществлялись численными методами в одномерном приближении, или без учёта месторасположения дефекта в активной области структуры.
Целью настоящей работы являлось получение аналитических выражений для рас-
чёта температурных полей в биполярных транзисторных структурах с дефектами (нео-днородностями) инжекционного типа в области эмиттерного перехода, определение степени зависимости максимальной температуры структуры от геометрических и тепло-физических параметров структуры и дефекта, расчёт плотности эмиттерного тока в активной области с учётом тепловой обратной связи.
Рассмотрим плоскослоистую конструкцию (рис. 1), состоящую из полупроводни-
У, У А
L У
Ц d Ц
х, х
£ £,
L ,
Рис. 1. Геометрия поверхности полупроводниковой структуры:
П0 - полупроводниковая пластина толщиной Lz; П - активная область; Пй - дефект
0
ковои пластины прямоугольной геометрии толщиной Lz и идеального теплоотвода, толщина которого много больше толщины пластины и поэтому будем считать его полубесконечным. Источник тепла с плотностью теплового потока q, расположен на верхней поверхности П0 полупроводниковой пластины и занимает активную область П прямоугольной формы. Часть этой области П является дефектной и характеризуется плотностью теплового потока qd. Отвод тепла через боковую поверхность полупроводниковой структуры и внешнюю поверхность с источником тепла отсутствует. Нижняя поверхность полупроводниковой пластины поддерживается при постоянной температуре Тт теплоотвода. Координаты геометрических центров областей П и П равны (Е, и (Е, ^^ соответственно. Краевая задача теплопроводности формулируется следующим образом:
- уравнение
АТ=0, (1)
где Т=Тш-Тт - разность температур полупроводниковой пластины и теплоотвода; А - оператор Лапласа;
- граничные условия
дТ
дх
х=0,Ьх
- яд!
дz
дТ
ду
= 0
у=0,Ьу
z=0
qd,(x,y) е Пd
q, (х, у) е (П - щ) 0, (х,у) е (П0 - П)
стеме координат, а х ,у - точки, принадлежащие области П, при краевых условиях
50
дх
х=0,Ьх
дО
ду
= 0
у=0,Ьу
= 0, (6)
- Я50 дz
z=0
= ё(х - х')5(у-у'), (7)
где 5 (х - х')(у - у') - дельта функция.
Применяя двойное преобразование Фурье по координатам х и у [4], нахэдим
0 = 4 £ Япш , - z)) .
^х^ п,т=1 ^пт ch(/nmLz)
•cos
плх
V Lx У
cos
тлу
V Чу У
q00 /Т \ + — (Ч - z), (8)
я
где
^=ч = 0, (2)
(3)
qnm = )С^(—\п*0, т*0),
1 ,тлу\
q0m =
1 ,пях\
= qoo = 1,
2 (п^)2 + (т^)2 Упт = (—) + (—. Чх Чу
Температуру структуры Т(х,у^) можно выразить через функцию О следующим образом:
где Чх и Чу - характерные размеры области П0, я - коэффициент теплопроводности полупроводника.
Выполняется общий баланс мощности:
^ = Л q(x, y)dxdy + Л qd (x,y)dxdy (4)
п-П Пd , ( )
где W0 - полная мощность тепловыделения.
Рассмотрим решение задачи в предположении, что плотности тепловых потоков q и qd постоянны. Введём функцию 0(х,у,г,х',у'), которая является решением уравнения Лапласа
А О = 0, (5)
Т^у^) = q|| О^у^, х',у') dx'dy'
+
П
+ (qd -q)ЛG(x,y,z, х',у') (9)
Пd
Подставляя в (9) выражение (8), для температуры поверхности кристалла (при 2=0) получаем
16 х
Т(х,у,0) =—^ £(Anmq + Adnm(qd -q))•
л Я
п,т=0
( плх
'ЛСГптМ^— | ^
( \
тлу
V Т7 У
+ с*^^ , (10)
где А z - оператор Лапласа в декартовой си- где
А = ■ -^пт
-Бт
•cos
птГп
( пж1Л
V Lx у
пМ,
V Lx у
Б1П
V Т7 у
СОБ
( \ тп]
V V У
(п*0, т*0),
Ап0 =■
П,
1
А 0т =
2Ly пГп0 т1х
{птхл
V Lx у
СОБ
г пт1л
V Lx у
1
2Lx тГ0т
^ тт1у ^
LУ
V у у
СОБ
( \
тп]
LУ
V у у
п Г
П
с(Ч,Чё) = Ч + - Ч^)— I. (11)
ЛПг
П
Рис.2. Схема поверхности планарной эпитаксиальной полупроводниковой структуры (К - кристалл, Э - эмиттер, Т - теплоотвод, Д -дефект): Lx=Ly=2,4мм; Lz=0,2мм; 1х=0,1мм; 1у=1,2мм;Тт=300К
коллекторном переходе. Коллекторный переход в таких структурах много тоньше пластины, расположен на глубине нескольких микрон от поверхности, поэтому источники тепла можно считать поверхностными, а распределение плотности потока тепла по площади активной области структуры совпадает с распределением плотности тока через эмиттерный р-п переход. Если пренебречь величиной обратного тока коллекторного перехода, то плотности токов можно представить в виде [1]
Коэффициенты Аёпт аналогичны коэффициентам А , только величины 1, 1, £, ц
т ^ пт у1 1
заменяются на соответствующие величины в дефектной области, с индексом ё. В двойной сумме выражения (10) исключается член, когда п=0 и т=0 одновременно.
Для проведения численных расчётов, с учётом температурной зависимости плотности мощности, была выбрана планарно-эпи-таксиальная структура мощных биполярных транзисторов с дефектом электрофизической природы в области эмиттера (рис. 2). При работе транзистора в нормальном активном режиме основная мощность выделяется в
.¡а(т) = I-
j(T) = Bexp
Е§ - е(иэб - Лк^(Т)) ^
кТа ,
Её - е(Цэб - Рп.КТ))^ кТ
,(12)
, (13)
где ], - плотности токов через бездефектную и дефектную области эмиттерного р-п перехода соответственно; В и Вё - слабо зависящие от температуры параметры дефектной и бездефектной областей эмиттера, Иэб -напряжение эмиттер-база, рпё~р п=гпЦ Ее -ширина запрещённой зоны полупроводника, к - постоянная Больцмана. Используя условие постоянства полного входного тока для транзисторной структуры
10 = ](П - Пё) +
(14)
получаем нелинейную систему уравнений относительно ] и Иэб.
Система уравнений (12)-(14), при неоднородном распределении температуры, определяемом выражением (10), решалась итерационным численным методом. На каждом последующем шаге итерации в выражении (10) подставлялись усреднённые плотности тепловых потоков по активной области структуры
Чё =
|jd(x,У)UкэdxdУ
Я =
1
Ij(x, УРкэ^У
(15)
(П - ПОщ-ЦО
где Икэ - напряжение коллектор-эмиттер, и по ним рассчитывались новые распределения температуры и плотности тока.
Геометрические размеры планарно-эпи-
1
таксиальной структуры указаны на рис.2. Всего дорожек 8, с координатами расположения относительно поверхности пластины: £ =(0,6+0,5Г)мм, где 1=0,_,7; л=2,3 мм. Размеры дефекта варьировались в пределах 1^=0,1 мм, 1^=(0,1-0,5) мм, Полная мощность тепловыделения составляла W0=(10-20) Вт, коэффициент мощности Kw=Wd/W =(0,02-0,07), где W, Wd - мощность тепловыделения на эмиттере и его дефектной части соответственно. В качестве полупроводникового материала выбирался Si.
На рис. 3 и 4 представлены неоднородные распределения температуры вдоль дорожки эмиттера без дефекта и с дефектом. Можно отметить, что уменьшение продольных размеров дорожки и увеличение коэффициента мощности К^ приводит к возрастанию неоднородности распределения температуры и увеличению максимальной температуры активной области. При малых размерах области дефекта и при изменении его параметров, приводящему к возрастанию коэффициента мощности, из-за увеличения плотности теплового потока в области дефекта, максимальная температура может приближаться к критической (>400К), даже при небольших общих мощностях тепловыделения. Влияние месторасположения дефекта в ак-
Рис. 4. Распределение температуры вдоль дорожки
эмиттера с дефектом: ^=20 Вт, I =0,1 мм, I =0,2 мм, хх =1,6 мм, Г^=1,8 мм, К : 1 - 0,02; 2 - 0,03; 3 - 0,05; 4 - 0,07
w ' ' ' ' ' ' '
тивной области структуры показано на рис. 5. Сдвиг области дефекта к центру структуры, при постоянной координате приводит к повышению максимальной температуры активной области на 4,5о К, а при изменении координат геометрического центра (£ от (0,6;1,3) до (2,1;2,3), она повышается на 80 К. Форма кривых распределения плотности тока (рис. 6) подобна форме кривых распределения температуры (рис. 4). Как видно из
Т, К
Рис. 3. Распределение температуры вдоль дорожки эмиттера без дефекта: W=10 Вт, £=2,1 мм, ^=2,3 мм, 1х=0,1 мм, I: 1- 0,3; 2 - 0,5; 3 - 0,9; 4 -1,2 мм
Рис. 5. Зависимость максимальной температуры поверхности полупроводниковой структуры
от положения дефекта: W0=20 Вт, 1х(=0,1 мм, 1^=0,2 мм, К,=0,05;
% : 1 - 1,3; 2 - 1,8; 3 - 2,3 мм
3
2
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
у:
1.5
2
2.5
3
3.5
, А/см2
50
40
30
20
10
у мм
1.5
2.5
3.5
Тм, К 400
380
340
320
а, МПа 40 -
0.03
0.07
Kw
Рис. 7. Зависимость максимальной температуры поверхности (1)и нормальных напряжений (2) полупроводниковой структуры от коэффициента мощности W0=20 Вт, 1^=0,1 мм, 1^=0,3 мм, £=1,б мм, ^=1,8 мм
ренных теплоэлектрических величин. Наиболее опасными точками кристалла, с точки зрения механических термонапряжений являются точки внешней поверхности пластины, так как источники тепла расположены вблизи неё. Для оценки нормальных механических напряжений а в точке поверхности кристалла, где температура достигает своего максимального значения, определим среднюю температуру поверхности кристалла следующим образом
Т(х,у,0) = —Ц Т(х,у,0)ёхёу
. (16)
Рис. 6. Распределение плотности тока вдоль дорожки эмиттера с дефектом: W0=20 Вт, 1^=0,1 мм, 1уЬ=0,2 мм, £а=1,б мм, ^=1,8 мм, К : 1 - 0,02; 2 - 0,03; 3 - 0,05; 4 - 0,07
w ' ' ' ' ' ' '
графика, значение максимальной плотности тока в области дефекта возрастает в 3 раза, при изменении коэффициента мощности от 0,02 до 0,07.
По зависимости максимальной температуры поверхности полупроводниковой структуры от коэффициента мощности (рис. 7), можно оценить термонапряжения, которые возникают в кристалле прибора в результате неравномерности распределений рассмот-
Подставляя в интеграл выражение (10), получим
Т(х,у,0) = С(^) • Lz, (17)
где коэффициент C(q,qd) определяется формулой (11). Тогда будем иметь
а = Еа[Тм - Т(х,у,0) ] =
= Еа [Т - (17)
где Тм максимальная температура поверхности кристалла; Е - модуль Юнга, а - коэффициент линейного теплового расширения. Комплекс Еа = 0,42 МПа/К [5]. На рис. 7 представлена зависимость величины термонапряжения от коэффициента мощности. Пунктирной линией показан предел прочности кремния аВ = 37 МПа [6].
Заключение
В результате аналитического решения стационарной задачи теплопроводности получены выражения для неравномерного трёхмерного распределения температуры по активной области поверхности прямоугольной полупроводниковой структуры, находящейся на идеальном теплоотводе. В качестве примера, проведены расчёты температуры и плотностей токов для биполярных транзисторных структур с эмиттерами полосковой геометрии, при рассеивании постоянной мощности и наличии неоднородности инжек-ционного типа в активной области. В процессе проведения последних, численно решена нелинейная система уравнений, которая связывает величины плотностей токов и температуру в рассматриваемой структуре. Пред-
4
2
3
лагаемая модель позволила оценить характер влияния коэффициента мощности Kw и местоположения дефекта в области эмиттера на неоднородные распределения температуры и плотности тока, а также на максимальную температуру активной области. Отмечено, что при увеличении коэффициента мощности от 0,02 до 0,07, наблюдается возрастание максимальной плотности тока в области дефекта в 3 раза. Сдвиг геометрического центра дефекта от края активной области к её центру, приводит к повышению максимальной температуры активной области на 8о К. По приведённым оценкам термонапряжений, возникающих в подобных структурах, можно определить теплоэлектрические условия работы полупроводниковых приборов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нечаев А.М., РубахаЕ.А., Синкевич В.Ф. Тепловое шнурование в транзисторных структурах с неоднородностью // Радио-
техника и электроника. 1981. №8.
2. Абдурахманов К.П., Квурт А.Я., Минд-линН.Л. и др. Исследование переходных тепловых характеристик транзисторных структур с дефектами // Электронная техника. Сер.2. Полупроводниковые приборы. 1982. Вып. 5 (156).
3. Zhou W., Sheu S., Liou J.J., Huang C.I. Analysis of non-uniform current and temperature distribution in the emitter finger of AlGaAs/GaAs heterojunction bipolar transistors // Solid-State Elektronics. 1996. Vol. 39. No. 12.
4. Янке Е., Эмде Ф. Интегральные преобразования. М.: ИЛ, 1959.
5. КонцевойЮ.А.,ЛитвиновЮ.М., Фатта-хов Э.А. Пластичность и прочность полупроводниковых материалов и структур. М.: Радио и связь, 1982.
6. Захаров Н.П., Кузнецов О.А., Летягин В.А., Сергеев В.С. Напряжения и деформации в элементах микросхем. М.: Радио и связь, 1987.
DISTRIBUTION OF A CURRENT DENSITY AND TEMPERATURE IN BIPOLAR TRANSISTOR STRUCTURES WITH DEFECTS IN ACTIVE AREA
© 2005 A.M. Hodakov
Ulyanovsk Branch of Institute of Radio Engineering and Electronics of Russian Academy of Sciences
Is adduced thermalelelektric model and the analytical expressions for stationary non-uniform distributions of a current density and temperature in bipolar transistor structures with emitters of strip-geometry are obtained at dispersion of constant power and availability of a non-uniformity of an injected type in an active area of structure. The algorithm of a numerical solution of a problem with allowance for of temperature dependence of a power density in defective and indefective areas of structure is offered. The relations of a maximum current density and temperature fromparameters and position of a non-uniformity are submitted. The estimation of the thermal stresses arising in similar structures is made.
