Распределение напряжений в композиционных трубчатых анкерах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 622.281.74.001.2

М. Д. Войтов, Ю. А. Фадеев, Т. Е. Трипус

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В КОМПОЗИЦИОННЫХ ТРУБЧАТЫХ АНКЕРАХ

Задача по определению распределения напряжений в однородных трубках в литературе рассматривалась многократно с привлечением теории устойчивости упругих систем [1]. Рассмотрение задач данной тематики вызвано многообразным практическим применением трубчатых конструкций, которые находятся под внешним или внутренним динамическим воздействием [2,3].

Особый интерес вызывают многослойные трубчатые конструкции, которые по своим механическим свойствам не уступают монолитным и потому находят большое применение в различных отраслях промышленности [4,5]. Применение различных композиционных материалов в качестве оболочки позволяет улучшать динамические характеристики таких конструкций в целом.

Решению одной из частных задач в изучении распределения радиальных напряжений в многослойных трубчатых анкерахпосвящена данная работа.

Для решения поставленной задачи будем исходить из расчетов, проводимых на модели в виде однородной трубки с постоянным сечением без днищ.

Такая модель представляет собой открытый нагруженный цилиндр.

Предполагаем, что в среде на цилиндрическую трубку по всей её длине будет действовать постоянное по величине давление. В этом случае деформации напряжения для всех участков поперечных сечений будут одинаковые. Для предло-

женной модели выполняется гипотеза плоских сечений, согласно которой поперечные сечения цилиндра до и после нагружения остаются плоскими. В этом случае, достаточно рассмотреть лишь небольшой участок цилиндра с поперечным сечением в виде кольца, с внешним (наружным) гн и внутренним радиусом гв, соответственно. Величины ширины кольца для упрощения расчетов принимаем за единицу.

Допустим, что кольцо может быть подвержено переменному внешнему и внутреннему давлению. Обозначим амплитудные значения соответствующих давлений за рнар. и рвн..

Дальнейшее изложение расчета проводится по аналогичной схеме, изложенной в [6].

Выделим бесконечно малый элемент кольца аЬсй на расстоянии р от его оси (рис. 1). Цилиндрические поверхности по линии Ьс и йа будут располагаться от центра на расстояниях р+ йр и р, соответственно.

Нормальные напряжения, возникающие при деформации кольца по граням аЬ и сй равны по величине и имеют противоположные направления.

Проекции сил действующих по меридиану в направлении к оси симметрии определяются выражением

- рхёр<Лф (1)

Знак «-» говорит о том, что проекции сил направлены к центру.

На грань ай и Ьс будут действовать соответст-

вующие силы

- pzpdv1

- Pz + Op- dPp + dppdtyl = op

= pz pd^l + pzdpdtyl +

+ 0Pz (dp2 ')dg>l + 0Pz dppdg>l

(2)

PzpcIv1 + PzpcIv1 +

°PZ

Op

dppd^l

Так как проекция рйрна направление гравна нулю, получаем

др

р2Ы.рс1ф1 ч------— рс1рс1р1 (3)

др

Отсюда следует уравнение равновесия

дР—

р йрШрч-------— pdpd.pl - р dpldp =

= dpldp

Op °p p +—-z Op

p-p

x

= 0,

т.к.

получаем

Г

dpldp Ф 0,

Op

Л

Pz ^^p-Px Op

= 0

(4)

(5)

В случае деформации кольца радиальное смещение точки, расположенной на расстоянии рот оси кольца выражается соотношением р + dp При бесконечно малом смещении по направ-

ди ,

лению радиуса получаем приращение — dp.

др

Относительное радиальное удлинение по направлению от центра выражается равенством

ди

ez =

Op

Поскольку длина окружности возрастает пропорционально ее радиусу, то относительное удлинение окружности будет выражаться формулой

2^(р + и)-2пр и

ех =------- ---------= — • (6)

2пр р

Относительное удлинение по соответствующим осям будет задаваться последующими уравнениями

в2 = Р— -ор^ и ех = рх-о— — Е Е Е Е

где о - коэффициент поперечного сжатия, Е - модуль упругости.

Выразим напряжения рх и р—

(7)

Е ( \ E

Px =-----2 (ex +ОБz) = ■

Pz =■

1 -a

E

i -a2

(e z +ae x ) = ■

1 -a

E

u Ou

—Ha—

p op.

f

1 -a

Ou

u

\

-------+ a —

dp pj

(8)

(9)

Подставляя уравнения (9) и (8) в уравнение равновесия (5) получаем

O 2u

1 Ou u

н-----------------= 0

Op2 pOp p

(10)

Из (10) следует, что

Ou u

----1— = const. (11)

op p

Напряжения px для всех точек растягивающие и поэтому имеют положительное значение.

При действии на цилиндр только наружного или внутреннего давления знаки эпюр во всех точках цилиндра одинаковы.

Эпюры изменения радиального и окружного напряжения для случая действия только наружного давления показаны на рис.2.

Эти напряжения во всех точках цилиндра отрицательны, что соответствует сжатию

При нагружении внутренним давлением эпюры изменения радиального и окружного напряжений показаны на рис.3.

Окружное напряжение в этом случае является расширяющим, а радиальное сжимающим.

Принимая

, в л

u = ApH , А и В постоянные, (12)

p

получаем

u .B Ou B

— = A + — и— = A-------------- . (13)

p p2 Op p2

Подставляя (13) в (8) и (9), получаем

Px =

E

1 -a2

E

Pz =

1 -az

E

p2 J

A(1 + a)+-B- (1 -a)

p

1 -a

B

A(1 + a)+ -B (1 -a)

p

(14)

(15)

Рассмотрим частные случаи, когда р = Ь и напряжение р— соответствует наружному давле-

нию -

рнар

A(1 + a) - ~~2 (1 - a) = -рнар.

1 -a

~~Ё

2

(16)

Внутренне напряжение соответственно определяется уравнением при р = а

Рис. 2.Эпюры изменения радиального и окружного напряжения для случая действия наружного давления

Рис. З.Эпюры изменения радиального и окружного напряжения для случая действия внутреннего давления

А(1 + о)—^(1 -о) = -рвн •—“— (17) а2 Е

Используя выражения (16) и (17), находим

значения постоянных А и В.

А =

В =

(1 + о)

( 2 а

Е

рвн. Ь рнар.

Л

(1 + о)

22 Ь - а

рвн.- р

нар.

Л

2,2 а Ь ,

(18)

(19)

Е { Ь2 - а2 у

Подставляя (18) и (19) в (14) и (15), получаем ,2. ли „ )а 2ь 2

рх =

а рвн. Ь рнар. а (^вн. рнар.

1,2 2 Ь - а

- + -

р2 (ЬОГ

(20)

_ а рвн. - Ь рнар. а (рвн. - рнар. )а Ь

р р2 (ь2 - а2)

(21)

Величина перемещения будет определяться по формуле

^а2р - Ь 2р ^

гвн. -ТН

5 1 -о

и = Арч— =-----

р Е

Ь2 - а2

р +

+

1 + О а2 (рвн.- рн

(22)

Е р(Ь - а2

Если наружное давление отсутствует и, принимая во внимание, что р = а , выражение (22) преобразуется к виду

рвна

(1 -о)ар2 +(1 + о )аЬ

Е

_ рвн а

(Ь2 - а2 )р

Е

Л 2 2

Ь + а

~П 2

Ь - а

(23)

+ о

где 8} - увеличение внутреннего радиуса.

Это уравнение равносильно напряженному состоянию всей оболочки.

В случае действия только внешнего давления напряжения будут определяться формулам

рх =

р— =

Ь2 р

(

нар.

Ь - а

рнар.

7 2 2

Ь - а

1 +

1 -

о! ^

р2 у

2 ^

а

““2 р У

(24)

(25)

С увеличением наружного давления происходит уменьшение радиуса на величину

82 = рш^ ь

2 Е

22 Ь + а

\

72 2 -о

VЬ - а У

(26)

Рассмотрим трубчатую конструкцию, состоящую из двух соосных трубок с плотно прилегающими поверхностями (рис. 4).

Внешнее давление рнар. вызовет сокращение наружного радиуса.

Внутреннее давление рвн., напротив, вызовет увеличение радиуса внутренней цилиндрической оболочки.

Разность между радиусами при давлении р определяется соотношением:

8 = 8Х + 82 =

рена

Е

( Ь2 + а2 Ь2 - а2

\

- + о

рвн. ,( Ь2 + а2

+ ^~ Ь Е

Л

Ь2 - а2

-о

(27)

рЬ 2Ь2 (с2 - а2)

= Е (Ь2 - а2 )С2 - Ь2)

Из (27) находим

= Е8(Ь - а2)(с2 - Ь) (28)

р Ь 2Ь2 (с 2 - а2)

Применяя выражение (28), где а = 0,01 м, Ь =

У

и

Ь

2

0,02 м, с = 0,03 м, рвн = 20 кПа, модуль упругости материала (сталь)цилиндров Е = 2 103н/м2, 8 =

0,01 м, получаем р = 0,23 кПа.

Установившееся давление р будет определяться как упругостью материала, так и его геометрическими параметрами.

Если конструкцию дополнить эластомерной тонкой оболочкой между металлическими трубками, у которой модуль упругости на четыре порядка меньше, чем у металлов (рис. 5), то в целом вид эпюры, представленной на рис. 3 не изменится. В этом случае при увеличении внешнего дав-

ления, внутренняя оболочка будет защищена от разрушения.

Согласно [1], при уменьшении напряжений в точках на внутренней поверхности между цилиндрами происходит повышение прочности цилиндров и потому достаточно провести замену сплошного цилиндра на многослойный.

Исходя из изложенного, можно заключить, что многослойные трубчатые системы позволяют экономить материал без ухудшения её проч ностных характеристик.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко, С. П. Сопротивление материалов: в 2 т. - Москва: Наука, 1965.

2. Пат. 124310 РФ, Е 21 Б 21/00. Трубчатый анкер фрикционного типа / Войтов М. Д., Копытов А. И., Трипус Т. Е. - № 2012117494/03; Заявл. 26.04.2012; Опублик. 20.01.2013; Бюл. № 2.

3. Пат. 133199 РФ, Е 21 Б 21/00. Анкер / Войтов М. Д., Копытов А. И., Трипус Т. Е. - № 2013118036/03; Заявл. 18.04.2013; Опублик. 10.10.2013; Бюл. № 28.

4. Буялич, К. Г. Оценка параметров герметичности гидростоек механизированных крепей. - автореф. диссертации на соискание уч. степени к.т.н. - Кемерово, 2012. - 19 с.

5.Ткачев, В. А. Исследование напряженно-деформированного состояния трубчатого анкера фрикционного типа в массиве пород / В. А. Ткачев, А. Ю. Прокопов, В. Е. Толкачев // Горный информационно -аналитический бюллетень № 2 (научно-технический журнал) - Москва: Горная книга, 2010. - 35 с.

6. Першин, В.Ф. Тонкостенные оболочки вращения, толстостенные и составные цилиндры: Ме-тод.указ. / Сост.: В.Ф. Першин, Ю.Т. Селиванов. Изд. Тамб. гос. техн. ун-та. - Тамбов, 2001. - 20 с.

Авторы статьи:

Войтов Михаил Данилович, канд. техн. наук, проф. каф.строительства подземных сооружений и шахт КузГТУ Тел. 8-3842-396378

Фадеев

Юрий Александрович, докт. физ. мат. наук, проф. каф. математики КузГТУ Тел. 8-3842-396318

Трипус Татьяна Евгеньевна, ассистент каф.строительства подземных сооружений и шахт КузГТУ. Тел. 8-3842-396378