Расчет напряженно-деформированного состояния теплообменных аппаратов. Ч. 1 Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 539.3

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ. Ч. 1

© 2006 г. Г.В. Воронцов, Б.И. Плющев

1. Расчетные схемы теплообменных аппаратов

На прочность трубных решеток, цилиндрического корпуса, соединительного кольца, опорного стержня и комбинированной оболочки существенное влияние оказывают конструктивные особенности теплообмен-ного аппарата. Кожухотрубные вертикальные аппараты разделяют на три основных вида (рис. 1): жесткого типа, с плавающей головкой и с и-образными трубками [1].

В теплообменных аппаратах жесткого типа (рис. 1а) трубные решетки жестко соединены кольцом со стенкой корпуса и оболочкой (головкой), в то время как в теплообменном аппарате, представленном на рис. 16

3

корпус не связан с нижней головкой. В обоих случаях для повышения жесткости трубных решеток они могут быть усилены радиальными ребрами и соединены центральным несущим стержнем. В аппаратах типа рис. 1,в нижняя головка вообще отсутствует.

Наиболее общей является расчетная схема тепло-обменного аппарата жесткого типа (рис. 1а). Из нее, как частные случаи, могут быть получены расчетные схемы теплообменников с плавающей головкой и с И-образными трубками (рис. 1в).

При расчете «жестких» аппаратов полагаем, что поперечная плоскость АВ является плоскостью симметрии как конструкции, так и температурно-силовых воздействий (рис. 2а).

Выход 1

Выход 2

А

i i i iA

\

р2

i

J 1

ttttt

р1, ti

. Выход 1

/

В

Выход 2

L Г

. Выход 1

Выход 2

Выход 1

Выход 2

Рис. 1. Схемы вертикальных теплообменников жесткого типа (а), с «плавающей нижней головкой» (6) и И-образными трубками (в): 1 - трубная решетка; 2 - цилиндрический корпус; 3 - комбинированная оболочка; 4 - соединительное кольцо;

5 - опорный стержень; 6 - трубки теплообменника

4

2

5

6

С целью упрощения расчета вводим ряд допущений.

1. Отверстия в пластине расположены равномерно по всей ее поверхности, включая зоны примыкания ребер жесткости. В соответствии с этим полагаем, что трубки образуют непрерывное квазиупругое основание с постоянным коэффициентом «постели».

2. Ширину ребер считаем малой по сравнению с радиусом трубной решетки и аппроксимируем зоны контакта ребер с пластиной прямыми линиями. Так, отношение общей площади контактов пластины с ребрами к полной площади при

Ь/л/Ь2 — 4ac = 0,02 и п = 8 составляет ~1 %. Здесь

Ь -ширина ребра, R - радиус пластины, п - число ребер.

3. Перфорированную пластину заменяем сплошной с приведенными модулем линейной деформации

* *

Eп и коэффициентом Пуассона | п. Значения * *

Eп, | п зависят от отношения толщины пластины

8п к «шагу» треугольной перфорации 5 и диаметра d отверстий; при 8п / В > 4 они не зависят от вида деформации [1].

2 (1+к) (5п—d)

ЕП

(3+к)

-1,39

1+

П' ^П • " -1

Л

1-к 3 + к

^ п ;

t-d

(1)

В дальнейшем индексы * опускаем.

4. Трубки считаем линейно деформируемыми, а напряжения сжатия в трубках - не превосходящими критических (эйлеровых) значений. Интенсивностями распределенных реактивных моментов, пропорциональных углам поворота нормалей трубной решетки, пренебрегаем.

5. Ядро части решетки, соединенной с центральным (опорным) стержнем, полагаем абсолютно жестким.

6. Ограничиваемся рассмотрением симметричного относительно средней плоскости АВ аппарата как по конструкции, так и нагружению, включая температурное поле. Собственным весом аппарата пренебрегаем.

2. Расчетная схема теплообменного аппарата жесткого типа

Расчетную схему выбираем в предположении симметричности напряженного состояния аппарата относительно оси Z и плоскости АВ (рис. 2), причем ограничиваемся рассмотрением половины аппарата.

Определяем координаты ае, фе «центральных» линий крепления пластины (е = 1), корпуса (е = 2) и оболочки (е = 3) к опорному кольцу (е = 4), центр кручения Скр которого принимаем за начало коор-

динат с угловым X1 и линейными X2, X3 перемещениями.

уЕтЛт

А Ж

Хз

Рис. 2. Расчетная схема теплообменного вертикального аппарата

Смещения Х1е, х2е, Х3е (е = 1,2,3,4), отвечающие расчетным линиям соединения отдельных элементов с кольцом (рис. 2, 3) находим по выражениям

е = 1,2,3;

Хе1 " 1 ! 01 о" i i " X1"

Х е = Хе2 = -ае$\ще ¡ 1 ¡ 0 1 J X 2

.Хе3 _ аесо8фе ¡0 ¡ 1 _ X 3 _

(2)

x 41 " 1 ! о i 0 " X"

Х4 — Х42 — -a4sin (Ф4 -9 ¡ cos9 sin9 X 2

_ Х43. a4sin (Ф4 +9) ¡ -sin9 cos9 X 3

(3)

Здесь 9 - угол наклона главных осей моментов поперечного сечения кольца (рис. 36). Перемещения X4 соответствуют главным центральным осям моментов инерции поперечного сечения и углу закручивания кольца.

Вводя вектор

X = [[ 1 х2 х3 хст] и добавляя к смещениям (2), (3) вертикальное перемещение Х5 = :Хст , отвечающее деформации опорного стержня (е = 5)

х5 =[0 0 0 1]Х, (4)

к

записываем соотношения (2)-(4) в виде

Л j X, j = 1...5; Л5: =[0 0 0 1].

Здесь, например

" 1 0 0 0"

Л е = -аеБШф е 1 0 0

ae соБф е 0 1 0

е = 1,2,3.

Обозначая через Н ] матрицы жесткостей отдельных элементов аппарата, получаем матрицу жест-костей, отвечающую расчетной схеме рис. 2.

Н=Х Л*Н ] л ].

]=1

Соответственно находим векторы реакций элементов от нагрузок и разности температур: 5 , / л

j=1

+ r

jt"

(5)

Для j = 5 реакции и ° являются скалярными величинами.

Or

2

X3

C

х3е

(¿7

x2e -►

' x1e

WW

14

Л

W

Фе

Xi

W-

X2

Каноническую систему уравнений метода перемещений записываем в виде

н X + Р = о.

Интенсивности нагрузки на трубную решетку определяем с учетом: разности давлений р^, р2; ос-редненных нормальных напряжений в трубках а : = dСр (р1 — р2 )/25; температурных деформаций £ I = аАГ °, а также «отпора» трубок, обусловленного деформациями и>(г) и перемещением Х2. В итоге получаем

Я (г ) = ^г(прЛ2 — р 2 [ля! ^ / 4

тdСp (р1 — р 2 )пЕт Лт / 25—аАГ I пЕт Лт }—

-[Х2 + v(p)]- ПЕт Ат

(( -/4) /

(6)

Обозначая через q^ сумму известных слагаемых выражения (6), находим

q=q^- к [x 2+v (р)] ,

(7)

где коэффициент «постели» квазиупругого основания пластины

к=

пЕ т Ат

(( -nndн /4) /

В формулах (6), (7) обозначено: Ri и R2 - радиусы пластины; йн и dCp - наружный и средний

диаметры трубок; п - их число; ЕтАт - жесткость трубки; | и а - коэффициенты Пуассона и температурной деформации.

3. Матрицы жесткости и векторы реакций элементов теплообменного аппарата

3.1. Цилиндрическая оболочка корпуса

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности цилиндрической оболочки при осе-симметричной деформации корпуса представляем в виде

DvW (z )-Nv"(z )+Bv(z ) = - p 2 (z ), где обозначено:

б

Рис. 3. Определение перемещений по расчетным линиям соединения конечных элементов 1, 2, 3 с кольцом 4 и смещений центра тяжести поперечного сечения кольца в направлениях главных осей моментов инерции

D =

Eh3 = Eh 12(l-|2 ) RЦ (l-|2)

D (Нм), В

с \ Н

N (Н) - продольное усилие в корпусе.

м

a

e

1

4

3

а

Введем новые неизвестные функции по схеме

v Х1

v

X 2

v X з

v

X 4

^V (z );

^ X (z ),

(8)

так, что

X2 =X1, Xз =X 2, X4 =X 3,

x4 = D (-p 2 + nX з- BX1 )•

(9)

" 0 1 0 0" " 0

0 0 1 0 0

A = , P(z ) =

0 0 0 1 ' V / 0

- B / D 0 +N / D 0_ [ p (z)

получаем матричное уравнение

х' (1 ) = АХ (z )+ Р (z ),

решение которого представляем в виде

Х (z ) = П^ )х (0)+} П(z Ч)Р d ъ,

V (1 ) = П (1 )У (0)+} П (1 -Ъ)Р dz,

0

где переходная матрица

П (1 ) = Be Л В-1 = e А, В = [ В^.Б 4 ]'

(12)

е Л — diag

Л^ I X 2 z I I X 4 z

" 0 " " v1(()" " 1 " " v3 (()

1 0 . П(() 0 0

v1 (0) — vi (() v'3 (0) — v3 (()

.vT (0). . 0 . .v3 (0). . 0 .

позволяющие найти реакции от смещений у' (0) = 1 и у(0) = 1:

Гц = Ву\(0), Г13 = Г31 = Ву\(0), Г33 = БУЗ(0).

Кроме того, легко определяются перемещения

V (1) и изгибающие моменты М (1) в оболочке при

в любом сечении 1.

Аналогичные реакции и перемещения, возникающие от давления на стенках цилиндра, находим из уравнения

Полагая

X(z) = colon[X1 (z) | X2(z) X3(z) ¡X4(z)], (10)

(11)

Здесь В1,...,В4 и А 1,...,А4 - собственные векторы и характеристические числа матрицы А .

Учитывая условия у ' (() = 0, у" (()= 0, составляем уравнения

п(( )

" v p (() " 0 "

0 —П (() 0

v#p (() r1 p

0 r3 p .

J П (( - z )P (z )dz.

+

Иной метод решения задач предусматривает представление краевых условий в виде

ГI Уп (0)=г;, Г^ 9п (/)=у к, (13)

где индексы означают размеры матриц, причем

V + к = п = 4. Все строки матриц Г 0 и Г к полагаем

линейно независимыми. Принимая

/

Vn (/) = П пп (/V (0) + }Р(1 )П пп (/ -1

0

получаем соотношение

ця

Пnn (l)Vn (0)+JP(z)П nn (l- z)dz

0

=Y ц .

которое совместно с первой зависимостью (13) составляет систему уравнений

vn

Г ця П nn (l)

Vn(0)

•••Y 0 •

Y Ц - Г цп JP(z )П nn (l - z ) dz

0

достаточную для определения начальных условий

Vo.

Дальнейшие вычисления выполняем по формуле

Гп (1 )=ппп (1 V(0)+р;)Ппп (1 -Ъ) dЪ.

0

3.2. Трубчатая решетка теплообменника

Ограничиваемся рассмотрением осесимметричной деформации пластинки с постоянной толщиной, приведенными характеристиками упругости (1) материала и загруженной усилиями (5), (6).

Уравнение изогнутой поверхности пластинки записываем в виде [3]

,IV

(р)+^ (p)+V(P)+

Р

+-3у'(р)— ку(р) = — кХ 2. Р

Вводя по схеме выражений (8)-(11) новые функции X] (р) = V]—1 (р), ] : = 1,...,4, получаем

систему уравнений первого порядка с переменными коэффициентами

X' (р) = А(р)х (р)+ ^1 — кХ21.

Здесь обозначено:

A(p)=

" о 1 о о "

о о 1 о

о о о 1

- к -1 / Р3 -1 / Р2 -2 / р

1 = :

см. выражения (6), (7).

Обозначая через Ф(р) фундаментальную матрицу решений однородного уравнения х '(р) = А(р)х (р)

составляем переходную матрицу

П(pi, Р2 ) = Ф(Р1 )Ф 1 (p2 )

такую что

3.3. Переходная матрица сферической оболочки

Расчетная схема сферической оболочки верхней головки теплообменного аппарата, напряженное и деформированное состояния элемента dsm X ds к оболочки представлены на рис. 4.

n, w(p), p

N ds,

Ет(ф), И(ф)

/3

a3

Ö(Vo) фо \/f

(

Nm(Wo)

Лц(/з)

rda

Qrda Nmrda

Mm+...

Mfdsk Nkrdsk

(Q +...)(r +...)da

n, ^(ф), pi А

£к(ф) Х(Ф)

X (р) = П(р,р 0 )Х (р 0 )+ 1 П(р, Г )(я2— кХ 2 )ит;

Р0 р

К(р) = П(р,р 0 ) (р 0 )+ 1 П(р,г )(я2— кХ 2 )1Ф,

Р0

(14)

сравним с выражениями (12). м(ф), £т(ф)

Существенным отличием уравнений (14) от (12) является вхождение в правые части неизвестных пе- в

ремещений х22 (по вертикали) линии соединения РИС. 4. Расчетная схема головки аппарата (а); напряженное (6) пластины с опорным кольцом, см. формулу (2) при и деформированное (в) состояния элемента сферической е : = 2. Эти перемещения, в свою очередь, зависят от оболочки

обобщенных перемещений Х1, Х2 : Все результаты, полученные ради упрощения всех

выкладок, легко переносятся на нижнюю головку. Напомним предположение о симметричности конст-

х 22 =(-a 2^ПФ е )) 1 + X 2-

z

а

б

z

рукций и нагружения аппарата относительно плоскости АВ, см. рис. 1, 2. Индексами «т» и «к» обозначаем напряжения и деформации (зависящие от координаты ф или ^ = ф — Ф0), действующие в меридио-

Напомним, что Е и К - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала; к - толщина стенки;

Б = Ек /12 - так называемая цилиндрическая жесткость. Подставляя в выражения (19) формулы (18), налъном и широтном (круговом) сечениях оболочки, получаем в совокупности с формулами (15)-(17) сис-причем радиуса кривизны Ят = Як = : Я . тему семи уравнений относительно неизвестных

Отсекая круговым сечением п,ф верхнюю часть функций

оболочки и составляя условие ее равновесия, получаем

Nт (ф)—0(ф)^£ф—рЯ = 0. (15)

Из условия равенства проекций сил, действующих на элемент dsm Xdsк в направлении нормали (рис. 46), имеем

1 '

—[0(ф)г (ф)] — Ык (ф)—

-Nm (Ф)+pR — 0.

(16)

1 '

—jMm (Ф) r (ф) ]

+M к (ф)-Q^)R — 0.

+

(17)

(18)

(19)

и(ф), ч(ф), б(ф), Ыт (ф), Мк (ф),Мт (ф),Мк (ф) .

В дальнейшем основными неизвестными считаем перемещения и (ф), ч(ф) и поперечную силу 0 (ф). Если ввести приращение

0(Ф) — R [^'(Ф)-u И]

Наконец, составляя сумму моментов сил относительно оси dsm , получаем

На основании рис. 4в формируем зависимости между деформациями элемента и его перемещениями:

£т (ф) = ЯЯ[и'(ф)+ Ч(ф) ],

ек (ф)=Я[и(ф)с1§ф + Ч(ф)];

?т [ч'(ф) — и(ф)] ,

Я

<5к (ф)^^с1§ф[ч'(ф) — и(ф) ]. Я

С другой стороны,

ет (ф) = Ек[Ыт (ф)—КЫк (ф) ],

е к (ф)=Ек[ Ык (ф)—кМт (ф) ];

<5т (ф) = Б[Мт (ф)—к (ф) ], ?к (ф) = ББ[Мк (ф)—КМт (ф) ],

где е т (ф) , е к (ф) - относительные деформации; ? т, *э к - приращения кривизны элемента.

Я

угла наклона нормали к меридиану, уравнения (18), (19) для приращения кривизны получают вид

? т (ф) = ^ ? к (ф) = С|фв(ф).

Исключая из формул (18) и (19) функции

е т, е к, <5 т, <5 к, имеем

N к (ф) = к1 [ки '(ф)+ (1+к)ч(ф)+и (ф)с^ф], Ыт (ф) = к1 [и'(ф)+ 2ч(ф)+|ки(ф)с^ф]; (20)

Мк (ф) = к 2 [к(ф)—и'(ф))+с^ф(ф)—и(ф))], Мт (ф) = к 2 [Ч(ф)—u,/ф)+кctdф/w,/ф)—и(ф)

(21)

где коэффициенты

Eh

D

(1+ц2)) (1-ц2 )r

Наконец, подставляя выражения (20), (21) в условия равновесия (17), (16), (15), формируем систему

уравнений относительно функций и (ф), ч(ф), 0(ф),

представляемую в виде

Ч(ф)+Уп (ф)ч"(ф)+У12 (ф)ч'(ф)+У1з (ф)и"(ф)+ +У14 (ф)и'(ф)+У15 (ф)и(ф)+У1 (ф)0(ф) = 0,

(22)

и'(ф)+У 21 (ф)и(ф)+У 22 (ф)ч(ф)+У 23 (ф)0'(ф) + +У 24 (ф)б(ф) + У 25 (ф)Р = 0,

(23)

и '(ф) + У 31 (ф)и (ф)+У 32 (ф)ч(ф)+

+У33 (ф)б'(ф)—РЯ = 0. (24)

Формулы для вычисления функций у е] (ф) весьма громоздки и ради сокращения статьи их не приводим.

Вводя новые неизвестные %1 (ф),...,%6(ф) по

схеме

w w' tr w u / u 6

Xi X 2 X 3 X 4 X 5 X 6

и формируя вектор

х(ф) = colon [xi (ф) I х2 (ф) г - •! X6 (ф)] >

преобразуем систему уравнений (22)-(24) к матричному уравнению первого порядка типа

= Асф (ф) X(ф) + В(ф)р = 0. (25)

Пусть передаточная матрица уравнения (25)

П(ф,т) = Х(ф)Х-1 (т), ф>т

осуществляет переход от «точки» Т до «точки» ф, тогда обратный переход представим матрицей

П (т, ф)= X (т)Х -1 (ф)= П -1 (ф, т).

Следовательно, решение уравнения (25) может быть представлено в виде

Ф0

х(т) = П(т,фо )(фо )- | П(т,ф)Я(ф) ¿ф,

т

т<фо-

Здесь Х(ф) есть матрица фундаментальных решений уравнения

Х'(ф) = Асф (ф) Х(ф).

Приведенные в статье формулы для определения коэффициентов матрицы жесткости конечноэлемент-ной модели конструкции теплообменного аппарата, а также реакций связей от силовых и температурных воздействий, после реализации соответствующих компьютерных программ обеспечат достаточную корректность расчета напряженно-деформированного состояния аппарата. Эти вопросы будут освещены в последующих статьях авторов.

Литература

1. Справочник по теплообменникам: В 2 т. Т. 1 / Пер. с англ. под ред. Б.С. Петухова, В.К. Шикова. М., 1987.Т. 2 / Пер. с англ. под ред. Мартыненко и др. М., 1987.

2. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек: Учеб. пособие для строит. вузов. М., 1987.

3. Воробьев Л.Н. Краткий курс теории упругости, пластин и оболочек / НПИ. Новочеркасск, 1975.

Южно-Российский государственный технический университет

(Новочеркасский политехнический институт) 19 июня 2006 г.