Распределение кислорода по толщине плоской многослойной окалины Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК

ПРИАЗОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

1999г. Вып.№7

УДК 621.746.6:669.018

Казанцев Е. И.1

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КИСЛОРОДА ПО ТОЛЩИНЕ ПЛОСКОЙ МНОГОСЛОЙНОЙ ОКАЛИНЫ

На основе полученного решения дифференциального уравнения диффузии с помощью интеграла ошибок Гаусса) рассмотрено изменение концентрации кислорода по толщине окалины и металла, описываемое кусочно-непрерывной функцией, претерпевающей разрыв непрерывности на границах фаз. Такая окалина образуется на различных металлах: меди, железе, вольфраме, марганце и др. Приведено решение конкретной задачи образования многослойной окалины, образующейся на плоской поверхности стального изделия.

Решение дифференциального уравнения диффузии дает параболический закон роста слоя окалины во времени. Рассмотрение распределения концентрации кислорода по толщине окалины на основе этого решения может быть использовано лишь для металлов, образующих однослойную окалину. Многие металлы образуют окалину, состоящую из нескольких слоев, так, например, на меди образуется окалина, состоящая из двух слоев: закисного Си20; и окисного СиО; на железе образуется трехслойная окалина РегО; - Ре304 - РеО, на вольфраме трехслойная, состоящая из , \У205, ¥/03: марганец дает 4 окисла МпО, Мп?0.( , МльОз , МпСЬ и т.д. В связи с этим представляет интерес решение задачи о распределения концентрации кислорода в отдельных слоях многослойной окалины и в чистом металле.

Рассмотрение задачи произведем на примере образования окаллкы ка железе. На рис. ! представлено схематическое изображение распределения концемгргшш кислорода ьп толщине слоев окалины :<а железе. Пунктирными линиями показаны стехиометрические составь! отдельных фаз

Рис. 1 - Схематическое изображение распределения концентрации кислорода по толщине окалины на железе.

1 ДонГТУ, д-р техн. наук, проф.

Рассматриваемая нами система ограничена с одной стороны и имеет безграничную протяженность с другой стороны, т.е. является полубесконечной.

Изменение концентрации кислорода по толщине окалины и металла может быть описано кусочно-непрерывной функцией, претерпевающей разрыв в точках £,п и 4пь т.е. на границах фаз. В этом состоит принципиальное отличие этой задачи от задач теории теплопроводности.

Внутри каждого слоя концентрация кислорода меняется от максимального содержания в данной фазе С1 до минимального значения С2. Эти значения необходимо определить из диаграмм состояния соответствующих систем. В частности, в нашем случае величины концентраций С) и С2 находят по диаграмме железо-кислород [1].

Изменение концентрации кислорода внутри каждого слоя должно удовлетворять дифференциальному уравнению диффузии второго закона Фика. Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений: 5С_0 д^С дх~ 1 ' дх2

где: i=Fe203; Fe304; FeO; Fe.

(1)

Краевые условия задачи можно записать следующим образом, с использованием обозначений рис. 1, начальные состояния обозначив индексом «о». При х > для момента времени т=0 имеем C!je = Const = О

При х -> со для момента времени т>0 имеем С,е = Const = О

(2) (3)

При х = 0 для момента времени т>0 имеем С = С[е2°' (4)

При х = для момента времени т>0 имеем С!е'°3 = К, -С^30' (5)

Здесь К] - скачок концентрации кислорода на границе фаз, равный отношению концентраций

Fe-O,

/Г

■ Fe-,0.

т > О

т> О

рТч^О, _ тг pFeO — 2 1

с™ s кх'е

(6) (7)

пс:нсни:1 системы уравнении «':) можно представить в виде

(х:.г*= А. -G| \

' ' I J4D,x I

где: е--Fe?03; Fe30.<; FeO; Fe.

(8)

Здесь, [2], - G

л!Щ?)

- функция Крампа или интеграл ошибок Гаусса.

G

Л 2 М

где z =

л/407

А{ и В; - произвольные постоянные, определяемые из краевых условий задачи в соответствии с уравнениями (2)-(7).

Таким образом, для нахождения 8-ми неизвестных постоянных величин мы имеем 6-ть уравнений краевых условий.

Поскольку функция Крампа имеет следующие значения

х = О

00

G

G

( \

X = G(0) = 0

U4D,-xJ

С \ X >

= G(co) = 1

[м-ь

то, прежде всего мы получим из уравнения (4) С, (0; т) = С[е А = А, + В, • О(О) = А, откуда: А, = С,РеА

Из уравнения (3) имеем: С1У (оо; т) = 0 = А1У + В1У • 0(со) = А1У + В1У

откуда: А1У = -В1У

Уравнение краевых условий (2) дает нам:

С1У (х;0) = 0 = А[У + В1У • 0(оо) = А1У + В!У • 1 = О

откуда: А[У = -В1у и дальше

г \

X

л/40

С1у(х;-с) = А1У+В1У-в Из уравнения (7) имеем:

= А

IV

1-е

(

х

л/40

ТеО . 2 '

С,„(х;т)= Аш+Вш-0

4 4

5III

V 4ВРе0-т

С[У(^ш;т)=е°=А[У Откуда:

1-0

А,,,

г* Ре

ч

В соответствии с соотношением (! 1а) имеем В у

С

1-е

е

Из условий (5) имеем:

с„(Ы=с

1ре,04 . 1 '

С1(51;т) = С2лЛ=А1+В1-0

'2 '

Э1

С[(х;т)=А,+В10

= сГеА+в,-о

(■ \ $1

1 т

г \

')

Сп(51;т)=СГ'а=АП+Вп-0

Э1

^Ре203 _^^ге201 _^

откуда: В[ = —г-1----1-

$1

дСр

О

л/40

Ре,О,

в

( \

/ Л

§1

в

и40'«.* •

Из условия (6) имеем:

сш йп; т) - С™; С„ (§п; т) = С2реА; Сп (4,;т) = С?*;

/ \ (

Сп(х;т) = Аи+Вп-0

\

, * ; Сп(§п;т) = СГ4=Ап+В„-0

( £ ^

/

Сш ; т) = С*° = Аш + Вга • О

и4Е>РеО^. з уравнения (17) уравнение (14) и получим

Г £ 1 Г £ ^

• Гт __ 4-П.Гт

_к_

Вычтем из;

Г<!:е0 г> г. ^111

Сг _Вп|,(}Ж

откуда:

_ рНеО .

В

>111

дСРеО

Ст

\

I !

I I К

о___

№ ' '' )

/ А ¡А

/40

.. ^ !

¡ОЛСТаВ-Ш й

V Л/

ие (\ 1) В;н ич у;

' /4Э • т

ч V Ре0 ) уравнений (18) имеем:

-в

л

}но ■т

/V

I £

Дальше можно записать: Сп (Д,; х) = С^'04

Г Л

СиЙ„;т)=С^ =Ап+Вп.О

1Ме,04 ;

Вычтя из уравнения (21) уравнение (20) получим:

( Л (

с\ф* = С|''еА -В„ - в . ^ +В„ в —г

лМБ^о. -т

[Щ

'рсо-т

^еО ' Т у

/

= Ап+Вп.О

Л

В,

11 ~~ /

-Вп-в -7=^

, +Вп-0

откуда:

_рРе,04 2

Л /

/

дСРе,04

\ Л

--^- в ^---

[ ,/4Е>РеА ■ т ] [ л/40ре,о4 ■ т J ^ ^з04 •т

Подставив Вп из уравнения (23) в (20) получим:

(

-в

ъп__

лСРе304 0

А _ Гре Ап -

V

в

\ г в

(20а)

Таким образом, определены все постоянные для уравнений системы (3). Стало быть, можно записать уравнения для распределения концентрации кислорода в отдельных слоях окалины и по толщине металла. Для слоя гематита имеем: при 0<Х<^

(24)

Для слоя магнетита уравнение имеет вид: при

в

-О

Си(х;т) = С,

РеА _дСРе

О

-5(1

-о

(25)

Для слоя вюстита. после подстановки постоянных, получим: при £ц<Х'

О

(

-О!

ч-.'Чп.".,-т.1 "и-ш,*.-

(.„о >. е^ - „

О

в

Ь 1ч

- I - О

Наконец, для слоя металла уравнение будет: при Х>£,ш х

1-0

1 Ре

С1У (х; т) — С} ^ 1-0

л/40

Ре ' Т

(27)

5 iii

л/40

РеО ' Х /

Значения виртуальных значений концентрации кислорода в отдельных фазах Сь точно

также, как и пределы колебаний концентраций кислорода С в отдельных фазах, определяются из соответствующих диаграмм состояния систем. В нашем случае нужно пользоваться диаграммой состояния системы Бе - О, приведенной в [1].

Как видно из структуры уравнений (25) и (26) они совершенно аналогичны, и при увеличении слоев окислов в окалине, что, например, может иметь место для окислов титана, необходимо по аналогии записать еще одно выражение.

Полученные выше уравнения можно обобщить и получить уравнение в более общей форме следующим образом:

£ре20, _£ре303

в

■Дол |ехр(- г1)йг

С -С С« с.

в

о

V х

^40

Ре203 'Ту

-в

■Дол |ехр(- z2)dz

М^оГ

\ / -в

■ J

\

Т4^

п т

О,, у

(29)

1-в

с,-с, с,-с2

л

л/40

Ре 'х ;

(30)

1-0

МП

л/^е

Или в общем виде формула будет иметь вид:

/ \

0 С, - С, -0 V

с, - с, ~ / с \ (

С V ___ Ст|

1

(31)

)П-|

При 1 вторые члены в числителе и знаменателе, в соответствии с выражением (9). пре-зрашздотся р- нули и уравнение (31) переходит в выражение (28).

При н-1У, £П->оо и первый член в знаменателе равен С(<ж)=1, тогда, после элементарных преобразований, уравнение (31) переходит в уравнение (30).

Наконец, если левую и правую части выражения (31) вычесть из единицы, то получим в общем виде распределение концентрации как долю от максимального перепада концентраций в данной фазе:

в

С -С

С,-С,

2 _ .

> -0 Г X 1

л/40, ■Ъ {№;"*)

ч -0 Г £ )

л/4С, ■Т / {М-*)

(32)

Таким образом, выражения (31) и (32) являются наиболее общими уравнениями для распределения концентрации кислорода в отдельных слоях окислов и в самом металле.

При распределении концентрации кислорода в слое железа, без окалины величины

4„->оо, с,п_г=0 и выражение (32) запишется:

/ \

С-Сп

Г -Г

1-0

(33)

Здесь Со=С2 - начальная концентрация кислорода в железе. Эта формула общеизвестна и встречается в курсах диффузии [3, 4].

Для уравнения (32) рассчитана номограмма (см. рис. 2) при п=1, т.е. это означает, что на графике приведены кривые распределения кислорода в первом наружном слое. Перенося по-

с*

и

I

н

U

с* U

к и

0.1 0.5 1.0 и 2-°

Рис. 2 - Кривые распределения кислорода для наружного слоя при одномерной диффузии.

следовательно начало координат, по графику можно определить распределение кислорода во

всех слоях окалины и в металле.

Для определения количества кислорода, поступающего в каждый слой окалины, воспользуемся общим способом: Пусть к элементу поверхности йу йг за время с!х из соседней фазы слева (см. рис. 1) перетекает количество кислорода, равное

/дС-^

-Di - I dv-dz-dt

{дх j

(34)

Для нахождения количества кислорода Q, получение го слоем, нужно тго вырачеени* протгеегрировать по поверхности к интервалу времени, т.е.

/яг'

' С ■ (" '• 1

Q= jJ-Dj ■---¡■dy-dz-dt

Поскольку нами рассматривается плоская задача, то распределение концентрации не зависит от у и г и для плоскости уг найдем:

'ас;

дх

F-dt

(36)

Величину градиента концентрации кислорода можно получить, продифференцировав выражения (24)-(27). После подстановки производных в уравнение (36) получим:

дСРе20,.р '

Q

D

I ~ (

G

Si

'4DFeA-t

Fe,0,

я

• exp

х

4D FeA-x;

(37)

Qn =

дСреА F

G

Л /

-G

/

-iFeO

Si

№

Fe,0

i

D

Fe,0„

П

•exp

4D

:3U4 J

Qm=~

G

AC'C0-F

>1п

\ У -G

FeO У

DFeO^

л/40

FeO " Т У

V 71

•exp

FeiO.

.2 4\

(38)

4DFe0"Cy

(39)

Qiv =

c,fef

1-g

ЗШ

2iL1 n

,2 Л

•exp

4DFe-ry

(40)

Уравнения (37)-(40) дают возможность определить количество кислорода, проходящего через какое-либо поперечное сечение любого из четырех слоев. Подставив вместо х величины толщины \ отдельных слоев окалины, получим количество кислорода, входящего в данную фазу. При х=0 получим общее количество кислорода, переданное через поверхность из газовой

фазы.

g

$1

№

71

Количество кислорода, переданное из слоя гематита в слой магнетита, будет равно:

Г .. \

QFe304 ~ ( g

дс

Fe,04

Л (

-G

/

\

4DFeA

(42)

Количество кислорода, поступившее в слой вюстита равно:

д£ре° р _ /

Ррео = —/-----у—--:--л '~г ' '^ехр

0( !

ьш

i /4П Т !

\ V FeO • j

-g

4,.

л/^-о'Ъ

5..

4dfe0-xy

(43)

Наконец, количество кислорода, переданное через поверхность металла во внутренние

е.'.лм буд.~т оязно"

О .

•Jl\, -yfx'QXp

с

4Dfc-f

(44)

U'4IVb

Как видно из этих выражений, количество кислорода, поглощенного из газовой фазы, прямо пропорционально времени протекания процесса в степени 0,5 и коэффициенту диффузии кислорода в данной фазе также в степени 0,5, т е. имеет место параболический закон поступления во времени кислорода из газовой фазы.

Вычитая из уравнения (41) уравнение(42) получим количество кислорода, оставшееся в слое гематита:

AQFeA :

g

Л /

g

(

Sn

I

Аналогичным образом для слоя

Г 4

Л /

g

&QF«A :

магнетита найдем:

•ехр

л

4DFe3o4-x

f-7t

(45)

AC^-^/D^-exFj

g

_111__q|_^_ g . -g| -j=i

>d^J U4IW\j U4D^-y U4D.

_V

л f

4д

VeAjV \

¿".jD^.J-JbJ

_V 41>,FeO V

Л f

-g

^FeO 'X )

F-Vt

4n

(46)

И, наконец, для слоя вюстита получим:

AQpeA =

S„

«Wt,

Cfc • exp

эШ

4DFe-ty

G

S

щ

\ f -G

FeO ТУ

V

l-G

У

ЗП1

V4D

F-Vt

yfîî

(47)

Общее количество кислорода, оставшееся в слоях окалины будет равно:

/ V л

¿Qok =

Cfe • exp

FeA

S

III

V

4DFe-xy

G

Si

l-G

oui

Fe-Ъ

F-VT л/я

(48)

Аналогичные выражения могут быть написаны для окалины, образовавшейся не на железе, а на других металлах.

Если обозначить количество кислорода, потребного для образования единицы толщины отдельных слоев окалины через Ъх, где ¡^е^Оч; Ре^О^ РеО, то

тогда

Si =

AQ

Fe,0,

LFe20,

SlI =

aQ

Fe304

и

f _ aQfeO

Siii — T Ьс

(49)

■^еА ^РеО

Таким образом мы имеем семь неизвестных величин и семь уравнений, что дает возможность решить тгу систему уравнений и определить неизвестные величины.

Разработана методика математического описания и получены ч-раиииьия для процесса 1 кф-фузии кислорода и-; г азовой фазы через многослойную ок^л-ну к основной Разработанный математический аппарат может быть использован при описании процессор восстановления или окисления окислов металлов

Перечень ссылок

1. Даркен U.C., Гурри Р.В. Физическая химия металлов. - М.: Металлургиздат, 1960. 372 с.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.; Л.: ГИТЛ, 1951. -660 с.

3. Герцрикен С.Д., Дехтяр И.Я. Диффузия в металлах и сплавах в твердой фазе. -М.: Физмат-гиз, 1960.-320 с.

4. Зайт В. Диффузия в металлах. Процессы обмена мест. -М.: Изд-во иностр. лит., 1958. -381 с.

Казанцев Евгений Иванович. Д-р техн. наук, засл. деятель науки Украины, проф. кафедры «Техническая теплофизика» Донецкого государственного технического университета, окончил Днепропетровский металлургический институт в 1948 году. Основные направления научных исследований - математическое моделирование в металлургической теплотехнике, энергосберегающая технология нагрева изделий, высокотемпературная коррозия металлов, интенсификация процессов сжигания топлива и защита и защита окружающей среды.