CC BY
23
УДК 519.217.8
РАСПОЛОЖЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ КВАЗИСТОХАСТИЧЕСКИХ МАТРИЦ
ВЕПРИКА.Е.___________________________________
Рассматривается множество кр характеристических корней всех квазистохастических матриц п -го порядка с максимальным по модулю элементом р . Определяются границы этого множества для произвольных значений р и n.
Рассмотрим множество М п всех стохастических
матриц п -го порядка и обозначим через Mn множество характеристических корней всех таких матриц. В работах [1,2] множество Mn определено полностью.
В работе [1] показано, что для п = 2 Mn представляет собой отрезок действительной оси [-1,1], а для п = 3 — объединение треугольника с вершинами в точках (1,0), exp(2ni/3), exp(4ni/3) и отрезка действительной оси [-1,1].
В работе [2] показано, что для п > 3 фигура Мп симметрична относительно действительной оси, заключена в круге |z|< 1 и имеет с окружностью |z| = 1 общие точки exp(2nia /b), где о < а < b < п . Граница
Мп состоит из этих точек и соединяющих их в круговом порядке криволинейных дуг. Каждая из этих дуг задается одним из следующих параметрических уравнений:
I. 7q(7p - t)r = (1 - t)r ; (1)
II. (7b - t)d = (1 - t)d 7q , (2) где параметр t изменяется в пределах 0 < t < 1, а b,d,p,q,r — натуральные числа, которые определяются следующим образом. Пусть концы некоторой дуги, взятые против часовой стрелки, суть exp(2nia'/b') и exp(2niaM/bn). Возможны два случая:
а) b''[n/b''] > b'[n/b'],
б) b''[n/b''] < b'[n/b'].
Если для некоторой дуги имеет место случай а), то для комплексно-сопряженной дуги имеет место случай б), и наоборот. Поэтому, в силу симметрии
Mn, достаточно определить дуги, удовлетворяющие условию а).
Пусть ^ = b'', r2 = a'', r3,...,rm — последовательность остатков, получающихся при нахождении наибольшего общего делителя чисел b'' и a'' посредством алгоритма Евклида. Если [n/b''] = 1 и для некоторого целого s : r2s = 1, то дуга, соединяющая точки exp(2nia'/b') и exp(2nia''/b''), задается уравнением (1), где r = r2s-1, а числа p и q определяются из соотношений
a''p = 1modb''(0 < p < b''), a''q = -rmodb''(0 < q < b'').
В противном случае дуга, соединяющая точки exp(2nia'/b') и exp(2nia''/b''), задается уравнением (2), причем d = [n/b''],b = b'', а q определяется из соотношения a''q = -1modb''(0 < q < b'') .
Исследуем самый первый участок границы Mn . Это криволинейная дуга, соединяющая точки (1,0) и exp(2n /п), т. е. в данном случае
а' = 0 , b' = п, а'' = 1, b'' = п .
Тогда b''[n/b''] = п[п/п] = п, а b'[n/b'] = п[п/п] = п, т.е. данный случай относится к а). Далее, [n/b''] = [п/п] = 1 и для целого s = 1 r2 = 1 в последовательности остатков алгоритма Евклида r1 = n, r2 = п,.... Тогда эта дуга задается уравнением (1), причем p = п, а q = 0 .
Таким образом, для всех п > 3 участок границы фигуры Mn, соединяющий точки (1,0) и exp(2n / п), удовлетворяет параметрическому уравнению
(7-t)n =(1 -t)n , где 0<t< 1.
В этом параметрическом уравнении точке (0,1) соответствует значение параметра t = 1, а точке exp(2n /п) — значение параметра t = 0:
7 (0) = exp(2 п / п), 7 (1) = 1.
Преобразуем параметрическое уравнение для 7(t) к параметрическому уравнению для 7(u), где u = 1 -1:
(7(u) -1 + u)n = un, где 0 < u < 1,
(7(0) = 1, 7(1) = exp(2п /п)) .
Рассмотрим параметрическое уравнение для вспомогательной дуги z(u) = 7(u) -1 + u :
z(u)n = un, где 0 < u < 1.
(z(0) = 0, z(1) = exp(2n / n)).
Тогда argz(u) = 2п /n, |z(u)|=|u| для 0 < u < 1.
Таким образом, дуга z(u) представляет собой прямолинейный отрезок, соединяющий точки комплексной плоскости 0 и exp(2ni / п). Координаты точек данного отрезка удовлетворяют параметрическим уравнениям x(u) = cos(2п / n)u, y (u) = sin(2п / n)u, где 0 < u < 1. Тогда координаты точек отрезка дуги 7 (u) удовлетворяют параметрическим уравнениям x(u) = (cos(2п / n) - 1)u +1, y(u) = (sin(2rc / n))u, где 0 < u < 1.
Таким образом, отрезок дуги 7(u) представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки комплексной плоскости 1 и exp(2rci / п).
Рассмотрим произвольную ненулевую квазистохастическую матрицу A є Rnxn , т.е. матрицу, эле-
60
РИ, 1998, № 3
менты которой ajj (1 < i,j < n) удовлетворяют следующим условиям:
1) ajj < 0 1 < i < n ;
2) aij > 0 1 < i,j < n,i ф j;
n
3) ^aij = 0 1 < i < n •
j=1
Пусть p — максимальный по модулю диагональный элемент матрицы A • Из условия 1 следует, что p — максимальный по модулю отрицательный элемент матрицы A, а из условий 2 и 3 следует, что p — максимальный по модулю элемент матрицы A.
Построим матрицу следующим образом:
B = (A+|p|E)/|p|,
где e — единичная матрица. Элементы матрицы bij (1 < i, j < n) удовлетворяют следующим условиям:
1) 0 < bij < 1, 1 < i,j < n;
n
2) ^bij = 1, 1 < i < n •
j=1
Таким образом, матрица А является стохастической. Найдем границы множества собственных значений квазистохастической матрицы A. Пусть некоторое число X 0 является характеристическим корнем матрицы A. Тогда оно удовлетворяет характеристическому уравнению матрицы A:
|A -X 0E|= 0,
||p|(B-E)-X0E|= 0 ,
||p|B - (X 0 +|p)E/|p||= 0.
Таким образом, число (X 0 +|p|)/|p| удовлетворяет характеристическому уравнению матрицы B и, следовательно, является характеристическим корнем стохастической матрицы B.
Обозначим множество характеристических корней всех квазистохастических матриц n -го порядка
с максимальным по модулю элементом p через кП . Из сказанного следует, что все элементы множества Kn получаются из элементов множества Mn умножением на число |p| и вычитанием числа | p|. Таким образом, для квазистохастических матриц n -го порядка с максимальным по модулю элементом p справедливы следующие утверждения:
Kp представляет собой отрезок действительной
оси [-2|p|,0]. Kp представляет объединение треугольника с вершинами в точках (0,0), |p|exp(2ni / 3)-|p|, |p|exp(4ni / 3)-|p| с отрезком действительной оси
[ 2|p|,0].
Для n > 3 фигура кП заключена в круге |z+|p||<|p| и имеет с окружностью |z+|p||=|p| общие точки
|p|exp(2nia / b)-|p|, где 0 < a < b < n . Граница кП состоит из этих точек и соединяющих их в круговом порядке криволинейных дуг.
Отрезки границы множества Kp, проходящие
через точку комплексной плоскости (0,0), представляют собой отрезки прямых, соединяющих точки |p|exp(2ni(n -1) / n)-|p| и (0,0), (0,0) и |p|exp(2ni / n)-|p| соответственно.
Литература: 1 .Дмитриев Н.А., Дынкин Е.Б. Характеристические корни стохастических матриц // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1946. № 10. C.167-184. 2.Карпеле-вич Ф.И. О корнях матриц с неотрицательными элементами // Изв. АН СССР. Серия математчиеская. 1951. № 15. C.361-383.
Поступила в редколлегию 22.09.98 Рецензент: д-р техн. наук Гиль Н.И. Веприк Александр Ефимович, научный сотрудник кафедры ПМ ХТУРЭ. Адрес: Украина, Харьков, ул. Командарма Уборевича, 20-А, кв.10, тел. 65-90-38.
УДК 519.217.8
ДОСТИЖЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА ЗА КОНЕЧНОЕ ВРЕМЯ
ВЕПРИКА.Е.
Рассматривается однородный марковский случайный процесс с непрерывным временем, для которого выполняются условия сходимости к стационарному распределению. Предлагается способ управления параметрами процесса в целях достижения стационарного распределения марковского процесса за конечное время.
Рассмотрим однородный марковский случайный процесс с непрерывным временем x(t) и конечным состоянием n. Такой процесс рассмотрен в [ 1]. Пусть для этого процесса выполнены условия теоремы о
сходимости к стационарному распределению. Тогда существует набор стационарных вероятностей, к которым стремятся с течением времени соответствующие вероятности нахождения данного процесса в его состояниях, причем этот набор единственен. Ставится задача управления значениями параметров однородного марковского случайного процесса в целях ускорения достижения вероятностями нахождения данного процесса в его состояниях стационар -ных вероятностей. Для решения этой задачи разработан алгоритм управления значениями параметров данного процесса.
Лемма 1. Рассмотрим однородный марковский процесс с конечным числом состояний n и параметрами X ij (1 < i, j < n). Пусть для этого процесса выполняются условия теоремы о сходимости к стационарному распределению, причем все стационарные вероятности не равны нулю: p* ф 0, 1 < i < n.
Определим матрицу A следующим образом:
РИ, 1998, № 3
61
