CC BY
28
ления данных на основе формата, доступного для прочтения человеком. Появление языка XML и спецификаций, связанных с ним, призвано решить проблемы, связанные со смысловым представлением данных и интеграцией технологий и услуг в Internet. Взяв за стандарт метаязык и обеспечивая совместимость на уровне метаязыка, W3C, таким образом, делает совместимыми все реализации XML, что обещает упростить интеграцию сетевых услуг и
УДК 519.23/25
РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ МАРКОВА, ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ КОТОРЫХ ИМЕЮТ ТОЧКИ ФОКУСИРОВКИ БОНДАРЕНКОМ.Ф., ГЕРАСИНС.Н.______________
Построены эффективные вычислительные процедуры для нахождения предельных распределений вероятностей неоднородных марковских систем в случае, когда их инфинитезимальные характеристики имеют особенности типа полюс. Приведены условия, гарантирующие фокусировку на заданное распределение специального вида.
Одним из важнейших приложений теории марковских процессов является задача стабилизации распределений. Теоретической основой для решения подобных задач служат теоремы о предельных распределениях, в частности, теорема о фокусировке [ 1]. При этом приходится рассматривать поведение процесса при резко изменяющихся характеристиках, что вызывает значительные вычислительные трудности.
Рассмотрим произвольный неоднородный марковский процесс с непрерывным временем, множеством состояний I , числом состояний n и инфинитезимальной матрицей A(t). Вероятности нахождения процесса в i -м состоянии і єі в момент времени t обозначим Pi(t).
В работе [1] рассмотрены процессы, инфинитезимальные матрицы которых имеют особенности (полюсы) в некоторых точках t . Там же показано, что при выполнении определенных условий в этих точках, названных точками фокусировки процесса, существуют пределы, к которым сходятся вероятности
Pi(t). Эти пределы не зависят от того, в какой момент времени начался данный процесс, и от распределения вероятностей в начальный момент времени.
Ставится задача численного моделирования тако -го неоднородного марковского процесса. Попытка решить ее “в лоб” каким-либо простейшим явным методом приводит к неудаче.
Выбор методов численного интегрирования системы дифференциальных уравнений Колмогорова для некоторого марковского процесса зависит от расположения собственных значений инфинитезимальной матрицы этого процесса. Инфинитезимальная матрица марковского процесса является квазистохастической. Задача Коши в данном случае имеет вид
p'(t) = AT(t)p(t), p(0) = p0,
ресурсов, а также разработку интеллектуальных информационных систем.
Поступила в редколлегию 12.06.98
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Терзиян В.Я.
Евсюков Александр Юрьевич, аспирант филиала кафедры ИИИС. Научные интересы: объектно-ориентированные технологии, компонентные модели, Internet-технологии. Адрес: 310145, Украина, Харьков, ул. Новгородская, 20, кв. 54, тел. 45-51-32, e-mail: aye@bigfoot.com
где p(t) є Rn — вектор вероятностей; p0 — начальное распределение вероятностей.
Матрица Якоби для этой задачи совпадает с
матрицей AT(t). Как показано в работе [2], множество характеристических корней матрицы Якоби заключено в круге |z+|p||<|p| и имеет с окружностью lz+|p|| =|р| общие точки |p|exp(2nia/b)-|р|, где
0 < a < b < n; р— максимальный по модулю элемент инфинитезимальной матрицы марковского процесса. Граница области состоит из этих точек и соединяющих их в круговом порядке криволинейных дуг.
Отрезки границы множества характеристических корней матрицы Якоби, проходящие через точку комплексной плоскости (0,0), представляют собой отрезки прямых, соединяющих точки
| p|exp(2ni(n - 1)/n)-| р|, (0,0), (0,0) и | p|exp(2ni/n)-| р| соответственно. В окрестности полюса инфинитезимальной матрицы максимальный по модулю элемент р неограниченно растет, однако это не влияет на правую границу множества характеристических корней матрицы Якоби.
Действительно, точки
| р| exp(2ni / n)-| р| =| p|(exp(2ni / n) -1) лежат на одном луче, соединяющем точки (0,0) и exp(2ni / n) -1 независимо от величины р , а точки
| р| exp (2 ni(n -1) / n) -| р| =| р| (exp (2ni(n -1) / n) -1) лежат на луче, соединяющем точки (0,0) иexp(2ni(n -1) / n) -1 независимо от | р| . Таким образом, все характеристические корни матрицы Якоби удовлетворяют условию |arg(-z)| < 2nn .
Для численного решения уравнения Колмогорова применены неявные методы — Эйлера и трапеций.
Первый имеет вид
ym+1- ym = hAT (tm+1)ym,
где ym єRn — приближение на m-м шаге метода;
h — шаг метода; tm єR .
Определим область абсолютной устойчивости неявного метода Эйлера. Его первый характеристический полином р(9) = 9 -1, второй — ст(9) = 9 . Полином устойчивости неявного метода Эйлера n(r, hX) = p(r) - hXo(r) = r -1 - h .
Здесь X — характеристический корень матрицы Якоби задачи Коши.
Метод абсолютно устойчив для некоторого hX , если все корни полинома устойчивости лежат внутри единичного круга:
80
РИ, 1998, № 2
r -1 - hXr = 0 » r(1 - hX) = 1» r = 1/(1 - hX),
1/|1 - h X| < 1 »|h X-1|> 1.
Таким образом, неявный метод Эйлера является абсолютно устойчивым для всех hX , лежащих вне круга | hX -1| < 1.
Как было показано выше, для нашей задачи Коши все характеристические корни матрицы Якоби удовлетворяют условию
|arg|(-z)| < 2п /п .
Тогда при любом h > 0 величины h X будут лежать вне круга | hX -1| <1 и, следовательно, неявный метод
Эйлера абсолютно устойчив для любого h > 0. Неявный метод трапеций задается формулой
Уш+1 - ym = hAT (tm+ 1)(ym + ym+1) / 2,
где ym eRn — приближение на m —м шаге метода;
h — шаг метода; tm є Rn .
Определим область абсолютной устойчивости неявного метода трапеций. Первый характеристический полином неявного метода трапеций
р(0) = 0-1,
второй ст(0) = 0/ 2 +1/2 .
Полином устойчивости неявного метода трапеций n(r, hX) = p(r) - hXo(r) = r(1 - hX /2) - (1 + hX /2),
где X — характеристический корень матрицы Якоби задачи Коши.
Метод абсолютно устойчив для некоторого hX , если все корни полинома устойчивости лежат внутри единичного круга:
r(1 - hX/2) - (1 + hX/2) = 0 » r = (1 + hX/2)/(1 - hX/2). |(1 + hX / 2)|/|(1 - hX / 2)|< 1» r =| (1 + hX / 2)| <|(1 - hX / 2)| ^ Re(hX) < 0.
Таким образом, неявный метод трапеций является абсолютно устойчивым для всех hX, лежащих в левой полуплоскости комплексной плоскости. Как было показано выше, для нашей задачи Коши все характеристические корни матрицы Якоби удовлетворяют условию |arg|(-z)|< 2п /п .
Тогда при любом h > 0 величины hX будут лежать в левой полуплоскости комплексной плоско -сти и, следовательно, неявный метод трапеций абсолютно устойчив для любого h > 0 .
Для оценки погрешности интегрирования используется способ вложенных методов [3, с.60]. На каждом шаге численного метода осуществляется численное интегрирование задачи Коши неявными методами Эйлера и трапеций. Погрешность интегри -
рования оценивается величиной d = (y2 -y1)/h , где
У1 — приближение методом Эйлера; у2 — приближение методом трапеций.
В случае, если погрешность интегрирования превышает некоторую, наперед заданную точность вычислений, шаг интегрирования уменьшается и процесс повторяется снова. Вообще говоря, для численного интегрирования нашей задачи Коши пригодны
любые методы, область абсолютной устойчивости которых включает клин
|arg|(-z)|< 2п /п .
Таковыми являются A - устойчивые методы, т.е. такие, область абсолютной устойчивости которых включает левую полуплоскость комплексной плоскости, либо А(а) -устойчивые методы, т.е. такие, область абсолютной устойчивости которых включает бесконечный клин комплексной плоскости
|arg(-z)| < а , если а < 2п / n .
Известно, что явный линейный многошаговый метод не может быть A-устойчивым, что порядок неявного линейного многошагового A-устойчивого метода не может превосходить двух, причем наиболее точным из них является метод трапеций [3, с.119]. Рассмотрим неоднородный марковский процесс с инфинитезимальной матрицей A(t), которая имеет вид
Г -2 -^--10 + 10t 2 5 - 5t X 5 - 5t
1 -1 3 1 -1 -3 -^--10 + 10t 5 - 5t 5 - 5t
1 -1 5 1 -1 5 1 1 1 О 2
5 5 1 - t 3 1 -1 -3 -—^--10
V 1 -1 1 -1 2
Все вычисления проведены с точностью 0,001. Для этого процесса выполнимы условия существования точки фокусировки и предельных вероятностей в этой точке (в данном случае это точка t = 1), не зависящих от начального распределения вероятнос -тей и момента времени, с которого начинается процесс. Нас в первую очередь интересует случай, когда матрица A(t) обладает следующим свойством: ее нулевой собственный вектор имеет доминирующие координаты, например первую и вторую, остальные координаты мало отличаются от нуля. Ниже приведены результаты вычислительного эксперимента, заключающегося в численном решении системы уравнений Колмогорова для этого неоднородного процесса. Вектор начального распределения в момент времени t = 0 имеет вид p =(1,0,0,0), а в точке фокусировки t = 1 предельный вектор p имеет вид p = (0,55; 0,37; 0,05; 0,03). Понятно, что предельный вектор ортогонален слева всем столбцам фокусирующей матрицы, а значит, является ее левым нулевым собственным вектором.
Литература: 1. Методы и алгоритмы фокусировки распределений марковских процессов / Веприк А. Е., Герасин С. Н., Дикарев В.А и др. // Харьков, изд-во ХВУ, 1997. 160 с. 2. Герасин С.Н. Области локализации характеристических корней квазистохастических матриц // Проблемы бионики, 1998, вып.49. С. 31-34. 3. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Дж. К. Батчер, Дж. Л. Лэмберт, A. Протеро и др. М.: Мир, 1979. 312 с.
Поступила в редколлегию 14.05.98
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Синекоп Н.С.
Герасин Сергей Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Область научных интересов: теория вероятностей и ее приложения, стохастический анализ, теория процессов Маркова. Адрес: 310166, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-72, (0572) 72-12-38. e-mail: hm@kture.ua.
РИ, 1998, № 2
81
