Расчёт средней длины очереди в смистемах дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, А. С. Титовцев

РАСЧЁТ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ ОЧЕРЕДИ В СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО

ОБСЛУЖИВАНИЯ ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ ПОТОКОВ

Ключевые слова: Система массового обслуживания, система дифференцированного обслуживания, поликомпонентный поток требований, очередь.

В работе представлен алгоритм расчёта очереди открытых систем массового обслуживания с поликомпо-нентным входным потоком и множеством ограничений на длину очереди в стационарном режиме функционирования.

Keywords: queuing system, system of difference service, polycomponentflow of requirements, queue.

This paper presents an algorithm of the calculation of the queue of open queuing systems with a polycomponent input stream and a great number of restrictions on the length of the queue in the stationary mode offunctioning.

В последнее время появляется всё большее количество различного рода товаров и услуг, и всё чаще возникают проблемы, связанные с организацией пунктов торговли и обслуживания населения. Для описания подобных объектов хорошо подходят модели систем массового обслуживания (СМО) с пуассоновскими потоками заявок, рассмотренные в цикле работ [1 - 8]. Однако, СМО, встречающиеся в повседневной практике, зачастую представляют собой сложные системы, имеющие во входном потоке заявки разных типов. Предположим, что рассматриваемая СМО имеет т обслуживающих устройств и входной поток требований, содержащий заявки нескольких типов:

- 0-й тип - заявки, которые обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь. В случае, если на момент поступления в систему очередной подобной заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства, данная заявка покидает систему необслуженной.

- 1-й тип - заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа 81. В случае,

когда в очереди уже имеется 81 или более требований, вновь поступившая заявка 1-го типа получает отказ и выбывает из системы необслуженной;

- 2-й тип - заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа 82 . В случае,

когда в очереди уже имеется 82 или более требований, вновь поступившая заявка 2-го типа получает отказ и выбывает из системы необслуженной, и т. д.;

- И-й тип - заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа . В случае,

когда в очереди уже имеется или более требований, вновь поступившая заявка И-го типа получает отказ и выбывает из системы необслуженной.

Рис. 1 - Граф состояний и переходов СМО

Потоки заявок такого рода будем называть поликомпонентными, а системы, обслуживающие каждый тип заявок по отдельным правилам, - системами дифференцированного обслуживания поли-компонентных потоков [9, 10]. Граф состояний и переходов такой СМО приведён на рис.1.

Принятые обозначения:

є — Е — 0" є — Е ' є — Е + Е '•••

°0 0 ’ 1 V 2 1 2’

1 1

єє — ^ Еі — ^ Еі - ограничения длины очереди і—0 і—1

для заявок _|-го типа;

Лс = £ Л" Л, — £ Лу; Л2 =]Т Яу.; ■■■

1=0 1=1 1=2

ЛІ1 — Я ' гдЄ Я - интенсивности потоков заявок ]-го типа;

-0 — ^ Р" -1 — Е Р" -2 — Е Р" ■

1—0 У—1 У—2

Л,

—, — р,; — —--------, где р■ - приведенные интен-

м

сивности потоков заявок _|-го типа. В этих соотношениях величины Еj имеют смысл разностей между предельными длинами очередей заявок ]-го и _/-1-го типов.

Потоки заявок каждого типа, образующие поликом-понентный поток, являются простейшими и имеют

интенсивности Я, суммарные поликомпонентные потоки с интенсивностями Л у также являются простейшими (пуассоновскими) [11]. Среднюю интенсивность обслуживания заявок одним обслуживающим устройством обозначим как м . В этом случае интенсивность выходного потока обслуженных заявок до т -го состояния кратна м и зависит от числа занятых каналов. После т-го состояния интенсивность потока обслуженных заявок равна тм. Поток обслуженных заявок также носит простейший характер.

С учётом принятых обозначений и допущений получим непрерывную марковскую цепь, граф состояний которой приведен на рис. 1. С учетом формул, полученных для вероятностей стационарных состояний Р/, приведенных в работе [12], найдём общую зависимость средней длины очереди от параметров входного потока заявок в стационарном режиме работы системы:

+Є2Рт+є2 + (є2 + 1) Рт+є2+1 + ■ + ЄЬРт

— р + 2Р + ■ +

т+1 т+2

+Є1 ( Рт+є1 + Рт+є1+1 + Рт+є1 +2 + ‘ " + Рт+є2 -1) + +Рт+є1 +1 + 2Рт+є1 +2 + ‘ " + (Е2 - 1)Рт+є2 -1 +

+Є2 (Рт+є2 + Рт+є2+1 + Рт+є2 +2 + + Рт+є3-1) +

+Рт+є2+1 + 2Рт+є2+2 + + (Е3 - 1) Рт+є3 -1 + '" +

+Є,-1 ( Рт+єь-1 + Рт+єь-1 +1 + Рт+єь-1+2 + + Рт+є, -1) +

+Р„.„ .« + 2Р

т+є,-1 +1 т+є,-1 +2

+ ( - 1)Рт+Сє -1

+Є ЬРт+єІ1

-тР-1

т! 0 т

Р (я, іЕ1 -тР-2

+Є1РБ 2 + I і Р0 Х

І т і т! т

чЕ,-2

+ Є2РБ3 +

(ъ у (- і1 тР-+, х

кт ) ^т) т! 0 т

1+2 -++...+(-1)) -+Т+-2

т х \ т і

+ЄЇ1-1РБЬ +

/ ^ \Е„-1

+ ••• +

г'Л-1 ——2 I

1 т І 1 т і

я. + ( -

1 + 2 + ■

т

т

-0тР0 -х

т! т

^Е„-2" + ЄЬРт+єн ~

Л-1

^ ЄіРБі+1 + ЄґіРт+єь

і—1

І — £(/■ - т )Рі — Рт+1 + 2Р

т+2

+ ••• +

і—т+1

+Є1Рт+є1 +(є1 + 1)Рт+є+1 +(є1 + 2) Рт+є+2 + ‘ " +

х

X

х

Я™ ЛП Г Яд ЛЕдо

Р ЕП

д =0 ^ т )

т

Л_1

= Е 8рБ!+1 + еЛРт+еЛ +

Л

+Е

/=1

I=1

_°]^_Р _ Ет р

Б1 „ п т+е:

т _ Я, т _ Я,

Л_1

= Е еРБ/+1 + ^ЛРт+еЛ +

+Е

I=1

__Р _-ЯЕ—Р _ЕР

Б/ „ п т+е, I т+е.

т _ Я, Б| т _ Я

Р _ЕР

Б1 1т+е

= Е Я/

ы т _ Я,

Л_1

+Е е1РБ+1 + еЛРт+еЛ =

_Е Е1Рт+е: +

1 = 1

Р _ЕР

1 Б1 I т+е

= Е —Я—

ы т _ 0

Л

+еЛРт+е, _Е Е Рт+е, =

+ Е е1_1РБ1 + 1=2

=1

Р _ЕР

Б I 1т+е.

Е 0

Ы1 т _ Я1

Л Л

+^ЛРт+еь еРт+е + е_1Рт+е =

Л

+ Е е_1РБ1 + 1=2

1=1

1=1

Р _ЕР

Б I 1т+е

= Е Я1

Ы1 т _ Я1

Л Л

_Ее_1Рт+е_ 1 +Ее_1Рт+е 1=2

+ Е е _1РБ1

1=2

= Е °

Ы1 т_Я!

Р _ЕР

Б1 I т+е

Л

Е

1=2

Я

+ Ее _1 Л Р0

т!

1_ IЯ

т

П

1 Г о уд 1_1 Г я Л

Я

1 _ IX д=0 т

т)

П

д=о

V т )

I Г Я Л

+П 0д'

д=0

V т )

Р _ЕР

1 Б1 ‘- Г т+е

ят

Ее ч—р0

^ м т! 0

1=2

*П

д=о

Е-Я^-

Ы1 т_Я!

Р _ЕР

1 Б1 ‘- Г т+е

+Е*-1 2

Однако, при приближении приведённой интенсивности входного потока Я(- к значению, равному числу обслуживающих устройств т, полученная формула неприменима, поскольку даёт неоп-ределённость типа 0/0. Для раскрытия неопреде-лённости, применяя правило Лопиталя, найдем предел

||т '

°1 ^тт_Я'

Р _ЕР

Б' 1т+е

—^1 Л I

т I--------

Я

т

1 I о V

^ [ т) _Е г я,'*

1_ Я

т

I_1 г я ЛЕд я

П1 т) Я 1.0 Vт)

т!

-Р =

П

д=о

х 11т

Я ^

т

1 Г Яд Хд Я,

0 Ро х

V т ) т!

Я _| Я Т+' Е+1)+Е, IЯ

т V т) V т

ЙИ

E'+2

X

т

X

т

п

4- P x

9=0 І m j

m I

x ilm -

R ^1

m

1 -(+1)2 Г m jEi+e (e+2)(m T1

п

9=0

1Г R9 Л 9 Rm

Іm j

m I

4E, -1

r -(+1)2 e Г m j

iim-----------—-— +

+ ilm

E, ( + 2)(E +1)) Rl

R 1 —L^1 m

i -1

0 о

П

9=0

E, ( +1)

Тогда, средняя длина очереди в общем случае запишется в следующем виде:

_ h

I = t <

i=1

R

m _ R,

P _EP

БІ І m+є,

т+є.-*’ І

R, = m

+

hR +tєi 1 RiPEii. t2 І-1 m БІ

Легко показать, что при стремлении параметра / к нулю, полученные зависимости], как и следовало ожидать, переходят в формулы классической теории

массового обслуживания для однокомпонентных потоков заявок [7, 8].

Результаты, полученные в настоящей работе, могут быть использованы при оптимизации и проектировании объектов, работающих по принципу систем массового обслуживания.

Литература

з

Кирпичников, А.П. Системы обслуживания с неоднородным входным потоком требований, отказами и очередью./ А.П. Кирпичников, А.С. Tитовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 20ll. - №5. - C. l54 - l6l.

Кирпичников, А.П. Системы массового обслуживания с отказами и неограниченной очередью./ А.П. Кирпичников, А.С. Tитовцев // Обозрение прикл. и промышл. ма-тем. - 2007. - T. l4 - Вып. 5. - С. 893 - 896.

Кирпичников, А.П. Методика оптимальной организации систем массового обслуживания с отказами и очередью./ А.П. Кирпичников, А.С. Tитовцев // Обозрение прикл. и промышл. матем. - 2008. - T. l5 - Вып. 6. - С. l090 -l09l.

4. Кирпичников, А.П. Открытые системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков./ А.П. Кирпичников, А.С. Tитовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 20l2. - T.l5-№l. - C. l48 - l52.

5. Кирпичников, А.П. О нестационарном режиме в системах дифференцированного обслуживания поликомпо-нентных потоков./ А.П. Кирпичников, А.С. Tитовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 20l2. - T.l5-№6. - C. 20l

- 202.

6. Кирпичников, А.П. Характеристики систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков./ А.П. Кирпичников, А.С. Tитовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 20l2. - T.l5-№8. - C. 337 - 340.

7. Кирпичников А.П. Прикладная теория массового обслуживания. Казань: Изд-во Казанского университета, 2008.

8. Кирпичников А.П. Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань: Изд-во. Казанского университета, 20ll.

9. Титовцев, А.С. Открытые многоканальные системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков: дис. ... канд. техн. наук / А.С. Tитовцев. - Казань, 20ll. - l43 с.

10. Титовцев А. Системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков. Модели и характеристики. Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 20l2.

11. Хинчин А.Я. Работы но математической теории массового обслуживания. М.: Едиториал УРСС, 2004.

12. Кирпичников, А.П. Вероятностные характеристики систем дифференцированного обслуживания поликом-понентных потоков./ А.П. Кирпичников, А.С. Tитовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 20l3. - T.l6-№6. - C. 248

- 252.

m

2

© А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected]; А. С. Титовцев - канд. тех. наук, доц. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected].