CC BY
9
УДК 004.01
Винокуров М.А. студент второго курса магистратуры Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Россия, г. Самара
РАСЧЁТ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ СВЯЗИ ПРИ ФМ-8
Аннотация: В данной статье проведён расчёт помехоустойчивости системы цифровой связи при использовании фазовой модуляции. Также по результатам расчёта построен график вероятности ошибки на бит и на символ от отношения энергии элемента сигнала к спектральной плотности мощности шума.
Ключевые слова: телекоммуникация, сигнальное созвездие, вероятность ошибки, помехоустойчивость
Vinokurov M.A.
Students of magistracy Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics
Russia, Samara CALCULATION OF THE NOISE IMMUNITY OF THE COMMUNICATION SYSTEM WITH FM-8
Abstract: In this article, the calculation of the noise immunity of a digital communication system using phase modulation is carried out. Also, according to the results of the calculation, a graph of the probability of error per bit and per symbol from the ratio of the signal element energy to the spectral density of the noise power is constructed.
Keywords: telecommunications, signal constellation, error probability, noise immunity
Фазовая модуляция - вид модуляции, в которой в зависимости от значения информационного элемента изменяется только фаза сигнала при неизменной амплитуде и частоте.
Поток информационных битов, которые поступают на вход модулятора, разбиваются по 3 бита на группы. Чтобы осуществить ФМ-8, необходимо и достаточно иметь 8 канальных символов, начальные фазы которых отличаются от начальной фазы немодулнрованного несущего колебания на угол, кратный 45°. Если же амплитуды всех канальных символов равны, то сигнальные точки располагаются строго на окружности, радиус которой нормирован к единице (рис. 1)
Цифровой сигнал ФМ можно вы
(г) = g(г)С08
2 л/ + — (т -1)
^ Му 1
эазить так: 1 < т < М, 0 < г < Т,
и он будет иметь следующее векторное представление
2 л , „ч пт- .2 л
^ (г)
т V /
ТС" С0§—(т -1) л/^Т вш— (т -1)
где ^ = 1 ^ - энергия каждого сигнала, а g (г) - огибающая импульса
(1)
(2)
передаваемого сигнала. Поскольку сигналы имеют одинаковую энергию, то оптимальный детектор в канале с абсолютным белым гауссовским шумом (АБГШ), вычисляет корреляционные метрики
С(г,8т) = г ■ 8т, т = 1,2,...,М. (3)
Иными словами, принимаемый вектор г = [ г1 г 2] проецируется на М
возможных сигнальных векторов, и, следовательно, решение принимается в пользу того сигнала, у которого будет наибольшая проекция.
Корреляционный детектор, который описан выше, эквивалентен фазовому детектору. Данный детектор определяет фазу принимаемого сигнала г и выбирает сигнальный вектор 8т, фаза которого ближе всего к фазе г.
Поскольку фаза вектора г равна
0г = агС£ —.
(4)
Если определить ФПВ ©г, то сможем в дальнейшем вычислить вероятность ошибки.
Рассмотрим случай, когда фаза передаваемого сигнала ^ (г) равна © = о. Следовательно, вектор переданного сигнала
* = [>/£ 0"
(6)
а вектор принимаемого сигнала имеет компоненты
Г =^ +
Г2 = П2'
Поскольку п и п2 являются совместно гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними, следует, что г и г2 являются совместно гауссовскими случайными величинами с
Е ( Г1 ) = Е (Г2) = 0, и а2 = а22 = 1 ^ = . (7)
Следовательно,
Pr (i, r2) =
1
exp
(ri )
2 2 2 + Г22
2а;
(8)
ФПВ фазы ©, можно получить с помощью замены переменных (1,г2) на
V = Л2
2 2 + r2
2
©r = arctg( Г2/ri). Что даёт совместную ФПВ
Pv ,©,(V, ©) =
V
2па2
exp
V2 + £, - cos ©r 2©2
(9)
(10)
Интегрирование pv 0 (V, ©) по области V даёт
= ± p-Ys sin2 ©r JVe-(Vcos ©r )V2^V,
P©r (©r ) = J Pv,©r (V, ©r )dV = — e 0 2л
(11)
где для удобства ОСШ обозначено символом у5 = ^ .
Когда передаётся ^ (^), ошибочное решение произойдёт, если шум
вызовет нахождение фазы уж вне области -л/М <©г < л/М.
Следовательно, вероятность приёма с ошибкой
п/ы (12)
^М = 1 - | Р©г (©г ¥©г.
-п/М
В целом, интегрирование (©) не приводится к простой форме и
следует выполнить численное интегрирование, исключая случаи М = 2 и М = 4.
Для двоичной фазовой модуляции два сигнала ^ (г) и я2 (г). противоположны, и, следовательно, вероятность ошибки
P2 = Q
fe N
Когда М = 4, имеем случай двух двоичных фазово-модулируемых сигналов в квадратуре. Так как здесь нет переходных помех или интерференции между сигналами на двух квадратурных несущих, вероятность ошибки на бит идентична той, которая определяется (2.1.13). С другой стороны, вероятность ошибки на символ, при М = 4 определяется с учётом того, что
(14)
Pc = (1 - P2)2 =
1 - Q
í?4
ч N0 j
где р - вероятность правильного приёма для двух битовых символов. Результат (14) следует из статистической независимости шума на квадратурных несущих. Следовательно, вероятность ошибки на символ для М = 4 выражена следующим образом
P4 = 1 - Pc = 2Q
fe N0
1 -1Q 2
fe N0 j
(15)
Аппроксимация вероятности ошибки для больших значений М и для больших ОСШ можно получить по первой аппроксимации р& (0Г). Для
1 и |0Г| < 1 п р& (0Г) хорошо аппроксимируется так:
P0r (0г
I^ cos 0re-2yssin2 0 n
(16)
Подставив (2.1.16) в (2.1.12) и выполнив замену переменной 0, на u = y¡2уs sin 0r, найдём
n/M ж -u >2
2Y~-2y sin2 0,
P
M
1 - í
-n/M
71
s cos 0r e
d 0*J-
JL ж
-u ' ¿
e du;
>/2y7 sin( 7m )
(17)
PM = 2QI fiü sin^ = 2Q 42kУb sin77
M
M
где к = М, ув = куъ. Отметим, что эта аппроксимация вероятности ошибки одинаково хороша для всех значений М.
Эквивалентная вероятность ошибки на бит М-позиционной ФМ хорошо аппроксимируется выражением:
Р = рм/к, (18)
где к - количество бит в одном символе.
Для того чтобы определить помехоустойчивость системы передачи
при ФМ-8 необходимо рассчитать следующие вероятности: 1. Вероятность ошибки на принимаемый бит
р = Р 2
РЬ = рМ
к-1
2к -1
2. Вероятность ошибки на принимаемый символ:
Ры = 20
100'1'^ В1И п
8
(19)
(20)
где х - это у6, выраженная в дБ.
Функции 0(х) и erf(х) связаны следующим выражением:
0 (и ) = 0,5
1 - ей"
^л/2 у
следовательно
Ры = 0,5 • 2
1 - ей
л/2 • 3 • 1
1001^х б1И
V 8 у
(21)
(22)
Итак, зная все необходимые для расчёта формулы, можно приступить к построению графиков, которые будут отражать помехоустойчивость системы 40 и 50 при ФМ-8 (рис. 2).
1. Вероятность ошибки на принимаемый бит:
' г г
4 •
0,5 • 2
1 - ей
Р =
V у
л/2 • 3 • 100Д"х б1И
/'-пЛ^ л
8
V 8 у
72
7
(23)
2. Вероятность ошибки на принимаемый символ:
Ры = 0,5 • 2
1 - ей
л/2 • 3 • 1
100Д"х б1И
V 8 у
л/2
У у
уу
(24)
Результат теоретического расчёта системы передач, представлен на рисунке 2. На оси абсцисс (рис. 2) расположены два параметра к2
(отношение энергии элемента сигнала к спектральной плотности мощности
шума). Первый параметр (къ ) отображает отношение энергии бита сигнала к
2
спектральной плотности мощности шума, а второй (Ьт) - отношение энергии символа к спектральной плотности мощности шума. Данные параметра необходимы для того, чтобы сравнить графики, полученные с помощью теоретических расчётов и по результатам компьютерного моделирования, так как в графиках, строящимся исключительно по результатам моделирования на ЭВМ, по оси абсцисс откладывается
параметр Ьт - отношение энергии символа к спектральной плотности мощности шума. Величина кт больше величины Ь приблизительно на 5 дБ.
Это число обуславливается количеством битов в переданном символе.
Рис. 2 - Помехоустойчивость ФМ-8 Использованные источники:
1. Прокис Дж. Цифровая связь: монография. Пер с англ. / Под ред.: Д.Д. Кловского. - М.: Радио и связь. 2000. - 800 с.: ил.
2. Лагутенко О.И. Современные модемы. - М.: Эко-Трэндз, 2002 - 346 с. - (Техническая литература).
