Расчетная модель упорного подшипника скольжения с повышенной несущей способностью, работающего на неньютоновских смазочных материалах с адаптированной опорной поверхностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Расчетная модель упорного подшипника скольжения с повышенной несущей способностью, работающего на неньютоновских смазочных материалах с адаптированной опорной поверхностью

К.С. Ахвердиев, М.А. Мукутадзе, Е.О. Лагунова, К.С. Солоп, А.М. Мукутадзе

Умение правильно выбирать противоизносные присадки [1-6] позволяет создать смазочные материалы, которые в тонких слоях обладают иными свойствами, чем в больших объемах. Считается, что присадки функционируют лишь в зоне граничной смазки и, тем самым, не входят в область гидродинамической теории смазки. Однако, благоприятное влияние присадок как указывается во многих работах [1-5] имеет место в режиме «тонкого слоя» гидродинамической смазки.

Как известно, подшипники жидкостного трения работают на разных видах смазочных материалов, которые состоят из масляной основы и композиции присадок, обеспечивающих маслу необходимые функциональные свойства. При добавлении полимеров с высоким молекулярным весом масла приобретают вязкоупругие свойства. Анализ существующих работ [7-9], посвященных расчету подшипников скольжения, работающих на вязкоупругой смазке, показывает, что в них не учитывается зависимость вязкости и модуля сдвига от давления и температуры, а режим трения предполагается ламинарным. Как известно [10], высокоскоростные подшипники работают в турбулентном режиме трения, более высоким повышенным давлением и температуры и поэтому разработка методов расчета подшипников скольжения, работающих на вязкоупругой смазке требует учета выше указанных факторов.

В связи с выше написанным приведем сначала разработку расчетной модели упорных подшипников, работающих на микрополярной смазке с учетом вязкостных характеристик этих смазок от давления в отличие от

существующих расчетных моделей, не учитывающих этих зависимостей (задача 1).

А затем рассмотрим расчетную модель упорного подшипника повышенной несущей способности, работающего на вязкоупругой смазке с учетом зависимости ее характеристик от давления (задача 2).

1. Постановка задачи 1. Рассмотрим установившееся движение жидкости, обладающей микрополярными свойствами, в зазоре упорного подшипника (между ползуном и направляющей). Предполагается, что ползун неподвижен, а направляющая движется со скоростью и * по направлению оси Ох' (рис. 1.1). Также предполагается, что вязкостные характеристики

микрополярной жидкости зависят от давления

г арг арг ар

М = Мое ,к = к0е р ,у =/ое '

(1.1)

Здесь

и

0

характерная вязкость ньютоновской смазки;

К0

и

Го _

характерные вязкости микрополярной смазки; р - гидродинамическое

давление;

а _

экспериментальная постоянная величина.

Рис. 1.1 Схематическое изображение пары трения «ползун-направляющая» с адаптированным профилем ползуна

В декартовой системе координат х Оу направляющей и ползуна можно записать в виде:

уравнение контура

у' = 0, у' = И0 + х'tgа - а Бт со'х',

(1.2)

где а - угол наклона ползуна с линейным контуром к оси 0х'; и

а

^0 будем считать малыми величинами одного порядка; ® =®'ь - подлежит определению.

2. Основные уравнения и граничные условия задачи 1.

Учитывая зависимость вязкости от давления в качестве основных

уравнений рассмотрим систему безразмерных уравнений движения смазочного материала, обладающего микрополярными свойствами, для «тонкого слоя» с учетом (1.1) и уравнение неразрывности

д2 и о ду 1 ёр д V V 1 ди ди ду ,л

—- + N — =--— —- =— +--— + — = 0 . (1.3)

,2 Я-,, яаР Нт Я-1,2 4 7

ду2 ду еар ёх ду2 N N ду, дх ду Приведем связь размерных величин и' , у', V', р', х', у', ¡и', к' , у' с безразмерными величинами и, у, V, р, х, у, и, к, у.

и' = и * и, у' = и *£У, V ' = V*V, р' = р * р, ¡и = и0 и,

_ (2и0 + х0\Ъи * ,л

х' = ьх, у' = к0 у, к =кк, Г=Г0 Г, р* =у \ °-, (1.4)

2 ^

е = V* = —, N2 = —^-, N = 4, 12 =

I 2 ^0 2и0 + х0 ^0 4 ¡0

Здесь Ь - длина ползуна; V ' - скорость микровращения; и' , у' -компоненты вектора скорости.

1 ёр 1 ёг

/-»г 7 = е~ар еар ёх а ёх

Обозначим 7 = е , тогда .

Учитывая, что параметр Nl >>1 решение задачи (1.3)-(1.5) будем

искать в виде рядов по степеням малого параметра

1 ад 1 ад 1 ад 1

N

= Т^7Гик, у = ^ТГТук, 7 = Т^7Г7к, V = ЪTтГV . (1.6)

к=0^*1

Щ к=0 N1k к=0 N1k к=0 N1

и

Подставим (1.6) в (1.3), тогда для нулевого приближения получим систему уравнений и граничных условий к ним

д и0 _ 1 dz0 ди0_ + д^ _ 0 ^ = 0

ду2 a dx ' дx ду ; (1-7)

и0 _ 0, v0 _ 0 при у _ 1 + щ - п1 sin сох

-aPa.

P*

и0 = 1, у0 = 0, при у = 0, г(0) = z(1) = е р* . (1.8)

Для задач (1.7)-(1.8) автомодельное решение ищем в явном виде

д д и =— + и 0 ( У0 ), Vо =--^ + Г0 (xо, У0 ), и 0 (xо, У0 ) = ~0

ду ду

V (Х0, у 0 )_-~0 (%), %_ Т7~7, t (%), = ^ + (1-9)

h(х) a dx h h

h(x) _ 1 + цх - n sin ex,

tu и V Z ^

где Y 0, 0, 0, 0 являются решением следующей задачи

d3y/0 ~ d 2и0 ~ d~0 du

-з c2, .„2 c1

+ _ 0 (1.10)

dd£2 d% d%

_ 0, при % _ 0, % _ 1; u0 _ 0, ~0 _ 0 при % _ 1;

d%

1

~0 _ 1, v0 _ 0 при % _ 0; |~0 (%%)d% _ 0,

(1-11)

P*

с = 6 с г(0) = г(1) = е

где 1 ' 2 определяется из условия V у V ) .

Решение системы уравнений (1.10)-( 1.11) найдем непосредственным

интегрированием. В результате будем иметь

{~0 = ~(~о = с С-Г~+1)2+1,

2 v ' u 1 2

v 2

a а

/1 l(x2 - x)-a£L (coscx -1)+^^ (cose- 1)x + / p*, (1-12)

2 с с

1 + n + n (cose-1)

2 с

Приведем системе уравнений и граничных условий к ним для первого приближения:

дЧ + N2v _-ldz1 _0 (113)

ду2 ду a dx ' д x ду ' ду2 ду

u1 = 0, Vj = 0, v = 0 при y = 0, u1 = 0, v = 0, v = 0 при y = h( x); zj(0) = zj (1) = 0.

(1.14)

После необходимых вычислений решение задачи запишется в виде

vi =

~2 6 ^ У3 Г

- +— I -

h3 h2 J 6

С + 4] / + Г С

2h2 hJ 2

— +1| У

12h J

u1 = -N2

6 ^ y4 Г

- +- I y-

h3 h2 J 24

■ + —

4 ^ У3 Г

2h2 hJ 2

• +

2

У2 1 dz1 y2

12h

+1 К--

2 a dx 2

+

Л r2 h 1 dz1 h

+ N — +--L—

V 12 a dx 2y

y,

(1.15)

=

5N2

1_24f1 - VП V 2 a v

cos®

-1)

37 aN2

z1 =

[- 2n - r/®x - r/ax2 + 2n cos ax - 2na(cosa - 1)x]

10а

где ^ - добавочный безразмерный расход, обусловленный микрополярными свойствами смазочной жидкости.

Для определения гидродинамического давления имеем

1

z0 +— Zj = e

0 N

-ap

(116)

Воспользуемся асимптотическим разложением функции e Р в

принятом нами приближении выражение

Q(a3),

O

a

1

N

1 у

получим следующее

p = J^-ф p *

1 + a

f \

Ра V Р * J

a ~2

2Г Р Л

± а

v Р * j

(1.17)

ф = 3n(x2 - x) + (cos ax -1) - (cos a -1) +

a

a

+ 37N [- 2n1 - nax + r/ax2 + 2n cos ax - 2n1a(cosa - 1)x]

где 10aN1 (2.6.18)

Используя (1.17) и (1.18), для безразмерной несущей способности

будем иметь

2

ж

1 + а

а л £л

V Р * У

а ~2

2 а л2

Ра

V Р У

*

3 6БШ ю 3 Бт ю

+

ю

ю

ю

+

+

37 N2

10 юЖ

цю ~6~

с

2 -

2Б1И ю ю Бт ю

+

ю

2

- ю

(1.19)

Приведем результаты численного анализа (рис. 1.2-1.3) найденного аналитического выражения для несущей способности подшипника:

1. Несущая способность подшипника существенно зависит от параметров микрополярного смазочного материала N и а также от параметра а, обусловленного зависимостью вязкостных характеристик от давления.

2. С увеличением значений параметра N несущая способность подшипника возрастает.

3. С увеличением значений параметра N несущая способность

подшипника снижается. При ^го значение несущей способности

стремится к соответствующему значению несущей способности для случая ньютоновского смазочного материала.

4. С увеличением значений параметра а несущая способность подшипника возрастает. При значении а«0,4 в зависимости несущей способности от а наблюдается ярко выраженный максимум.

5. Наиболее рациональными по несущей способности являются значения параметров N2 « 0,95; а е [0,4;0,5].

3

6. При значении параметра ю близком к — п рассматриваемый

радиальный подшипник (по сравнению с ю = 0) обладает свойством подшипника, так называемого, «двойного действия», по несущей способности.

Рис. 1.2. Зависимость безразмерной Рис. 1.3. Зависимость безразмерной

несущей способности упорного несущей способности упорного

подшипника от параметров N и а подшипника от параметров N и N

(при учет зависимости вязкости от (при учет зависимости вязкости от

давления).

давления).

Рассмотрим теперь расчетную модель упорного подшипника повышенной несущей способности, работающего на вязкоупругой смазке с учетом зависимости ее характеристик от давления (задача 2).

1. Постановка задачи 2. Рассматривается установившееся движение смазки, обладающей вязкоупругими свойствами, между направляющей и ползуном. Предполагается, что ползун неподвижен, а направляющая движется со скоростью и * по направлению оси Ох'. Также предполагается, что зависимость вязкости и модуля сдвига давления выражаются формулами

А = Ае- , О' = ^0е- , (2.1)

А

сдвига; А - динамический коэффициент вязкости; р - гидродинамическое давление; а - экспериментальная постоянная величина.

О' = О0 еар ,

где 0 - характерная вязкость; 0 - характерное значение модуля

О0

В декартовой системе координат х Oy уравнение контуров направляющей и ползуна можно записать в виде:

у' = 0, y' = h0 + х ' tga- a sin a'x' (2 2)

¡ igq

Здесь a - угол наклона ползуна с линейным контуром к оси Ox'; h°

a

и ho - малые безразмерные величины одного порядка; h° - толщина пленки в начальном сечении; ® =®'1 - подлежит определению.

В дальнейшем для решения рассматриваемой задачи сделаем следующие общепринятые допущения:

1. В качестве смазочного материала рассмотрим неньютоновскую жидкость вместо ньютоновской смазки.

2. Давление p' постоянно по толщине пленки, заданной уравнением (2.2).

3. Характеристики применяемой максвелловской жидкости выражаются следующим уравнением [7-9]

dvX = т' 1 дт' ду' / G' dt'

(2.3)

В случае установившихся условий производную —-, фигурирующую в

д1'

уравнении (2.3), можно заменить производной и *. Следовательно,

д х'

характеристики потока приближенно выражаются уравнением

дут' и * дт' —=-+--

дУ' О' дх', (2.4)

в котором и * - скорость движения направляющей, т' - касательное напряжение.

2. Основные уравнения и граничные условия задачи 2

В рамках приведенных допущений уравнение равновесия жидкостного элемента, расположенного между поверхностями упорного подшипника, записывается в виде

дт' = ду' dx'

(2.5)

где

P ' -

гидродинамическое давление.

После интегрирования вышеуказанного уравнения, получим ' dP' ' и Л

т = у + c (х )

dx

Запишем градиент скорости для максвелловской жидкости с характеристиками потока (2.4)

dc' ^

1 , (2.6)

д V ' 1 (dP' , ./.Л u * (d2 P'

дУ' А'

г >( Л м

-у + c (х )1 + — dx I О

dx

- У +

dx'

Продифференцируем обе части уравнения (2.6) по у', тогда получим

д2 VI 1 dP' u * d2P' -=---1---

ду '2 А dx' О ' dx'2 (2 у)

В качестве исходных уравнений рассмотрим уравнение неразрывности и уравнение (2.7)

д V У ' д V '

• + ■

= 0

ду' дx'

Осуществим переход к безразмерным переменным'

(2.8)

x ' = Lx, у' = h0 у, v'x' = u * V, V У = u *еи, е=—, а = а0 а,

а0 u * l

L

U * а

T' = Т0 T, P' = p * p, p* = ^" , о' = о * о, о* =■

(2.9)

h12

h

Т И

где Ь - длина ползуна; 0 - толщина пленки в начальном сечении.

Подставляя (2.9) в (2.7) и (2.8), получим:

d2 V = 1 dp + в d2 р

dy2 а dx а dx2

ди дv

— + — = 0 ду дх ,

(2.10) (2.11)

в =

где

А0и * ОЬ

- число Дебора.

h = e ~гзе, y = аL .

Выпишем граничные условия для решения системы

дифференциальных уравнений (2.10) и (2.11), определяющие прилипание

смазочного материала к поверхности ползуна

^ ; ( \ 1 • L tgа а ,

u = 0, v = 0 при у = h^)= 1 + nx-ц1slnюx, г/=-, П =—, ю = ю L .

h0 h0

прилипание смазочного материала к направляющей поверхности

u = 0, v = 1 при у = 0 . условия, накладываемые на давление на торцах упорного подшипника

p (0) = 0 при x = 0, x = 1. (2.12)

Запишем дополнительные граничные условия, учитывающие случай поступления смазки в упорный подшипник при отсутствии в деформации упругого компонента

= 0, ££. = 0 при x = 0. (2.13)

dx dx

Введем допущение, описывающее случай, когда смазочный материал, находясь в ненапряженном состоянии, подвергается внезапному сдвигу с заданной скоростью в момент подачи смазки в подшипник

~ = 0 при x = 0 , откуда следует

с = 0, ^ = 0 при x = 0 (2.14)

dx

3. Точное автомодельное решение задачи 2.

Для системы дифференциальных уравнений (2.10) - (2.11), запишем в явном виде автомодельное решение с учетом граничных условий (2.12) -(2.14)

д¥ тт( \ Тг( \ 1 dp в d2p ~1 ~2

u = -— + U(x,y), v = + V(x, у), —= ^^ + 2

дx ду / dx / dx2 h2 (x) h3 (x)' (2 15)

у = у() V(x, у) = U у) = «()■ h' (x), £= -(-).

Подставим (2.15) в (2.10) и (2.11), получим

цТ = ~2, ~' = с1, ~ '' = 0, (2.16)

1

~ (0)= 0, ~ (0) = 1, ~ (0)= 0, ' (1)= 0, ~ (1)= 1, ~ (1)= 0, | ~ с1р = 0. (2.17)

0

Решение системы уравнений (2.16) - (2.17) находится непосредственным интегрированием. В результате после необходимых исследований имеем:

г 2 г 2

~ = ~2— + е1р + 02 , ~ = + е3р+ 04 , ~ = {Р~'

= 6, е2 = а ез = -4, е! = -где 2 .

4 Определение гидродинамического давления в смазочном слое задача 2.

Для определения безразмерного гидродинамического давления в смазочном слое используем уравнение

„d2 p 1 dp ~ с9

в—т+—2+~Г dx а dx И И (2 18)

Введем обозначение

2 = е

йх . (2.19)

С учетом (2.19) с точностью до членов °(аР) уравнение (2.18) примет

вид

Л2 2 dZ (

в—- +-= -а

dx dx

С1 02

1 ■ + ■ 2

VИ2^) И3^(2.20)

Решение системы (2.9), удовлетворяющее граничным условиям (2.12) и (2.13) можно записать в виде

7 = а (х)-^2 ~ (х )-вА

ас2

(

в

в

Л

б в-1

V У

-а— -а—

+ е Р* = -а¥ (х) + е Р*,

где с2 =---с1, А =

а

~1а(~2 (1)-Jfз (1)) J3(1) + в2 -в2е^

(2.21)

Л (х) = {е в Jk(x)dx, Jk (х) = |тк7_)dx. 0 0 h \х)

„Ра

Воспользуемся аналитическими разложениями функций е ар и е Р*. С точностью до членов о(а2) включительно получим алгебраическое уравнение для нахождения безразмерного параметра Р

ар2 -2р + 2—^-а

^ Л2 р

+ 2^ (х )= 0

^ У

(2.22)

Решая уравнение (2.22), с точностью до членов получим следующее выражение

0(а2 ^2 (х ))

О

( „ \

Л

а

V Р * У

Р =

+ ^ (х)

+ Р^ а- 1-РЬ а2 ^

2 р

У

(2.23)

При вычислении интегралов, входящих в формулы (2.21),

К - • )

воспользуемся асимптотическим разложением функции / (1 + пх п *тсох)

1

1 + пх-п1 б1п ю х

= 1 + цх-ц1 б1п ю х + (п1 в1п ю х-цх)2 +...

С точностью до членов оОп ), о(п1) для % после необходимых вычислений получим следующее выражение

р

X

р

X

*

а

а

*

*

2 = е

в\ А6 Аз - А4 - А6е^ + А2е^ I - А, А4 + А3А2

в + А1-ве - А

+

+

е в -

ав(А2 + А6А3 - А6А1 -А4) ^

в + А1 -ве - А 3 А 4-А 2-вА 6 \1 - е ^

-а-

-а

(

в + А1 -ве^в-А

6пx + 12 в пx-6цx2 -

3 2 3 п®в

x + 3вnx--r|x -■

2

со2 в2 +1

Slnax -•

3П

л

со2 в2 +1

СОSaX

У

Пцсв •

со2 в +1

Slnсx -■

12П1

Л

с в +1

• СОSЮX

= е - а Ф ^)

у

(2.24)

где

3П

12П1

А1 =--^, А2 =—^, у = со в +1, А3 = 1 + 3вп—п -

3 3пвс

3 П\

7

7

2

■• Б1ПС---• СОБС

7

7

г л^п , 12 п в® • 12 п . , „„ 3пвсо2 А4 = 6 + 12вп - 6п--—— Б1ПС--'-1 • СОБС, А5 = 1 - 3вп--——

7 7 7

А 6 = 6 - 12вп-

12 п1 в®:

7

Для безразмерного гидродинамического давления в рассматриваемом случае получим выражение аналогичное (2.23)

= ^ + )

1 + ^ а-

1 г>2 Л 1 Ра а2

2 p

у

(2.25)

С учетом (2.25) для поддерживающей силы будем иметь

№ - * 0 V p *у

„ = p * II „ ^а

dx

(2.26)

Сила трения определяется выражением

Ьдд =

Аи * 1 (9"(0) , ~ ' (0)

И

■I

И2

+

И

eаpdx

(2.27)

Результаты численного анализа, приведенные при различных значениях параметра в \ показывают, что:

2

*

p

3

3

*

1. В случае вязкоупругой смазки имеет место уменьшение несущей способности подшипника, работающего в стационарном режиме трения по сравнению с этим показателем для ньютоновской смазки.

2. В случае стационарного режима с увеличением значений параметра в = 0,2 несущая способность резко уменьшается, при значении параметра в = 0,6 несущая способность стабилизируется.

3. С увеличением значений параметра а несущая способность подшипника возрастает.

4. При значении параметра со близком к 0,5 рассматриваемый радиальный подшипник (по сравнению с ю = 0) обладает свойством подшипника, так называемого, «двойного действия», по несущей способности.

0,00300,00230,00200,00130,0010-: 0,0005-

Рис. 2.1. Зависимость безразмерной несущей способности упорного подшипника от параметров ю и в- при учет зависимости вязкости от

давления.

Литература:

1. Мигун, Н.П., Гидродинамика и теплообмен градиентных течений микроструктурной жидкости / Н.П. Прохоренко // Наука и техника. - 1984. -264 с.

2. Типей, Н. Анализ смазки подшипников микрополярными жидкостями и его применение к коротким подшипникам / Н. Типей // Проблемы трения и смазки. - 1979. - № 3. - С. 122-131.

3. Allen, S. Y., Lubrication theory for micropolar fluids / S.Y. Allen, K.A. Kline// Trans. Asme, 1971. - V. E38. - No 4. - P. 646-656.

4. Вовк, А.Ю., Математическая модель прогнозирования значений безразмерных критериев микрополярной смазки, обеспечивающих рациональный режим работы упорного подшипника скольжения / А.Ю. Вовк, М.А. Савенкова// Труды РГУПС. - 2006. - № 2. - С. 29-34.

5. Ахвердиев, К.С., Математическая модель гидродинамической смазки бесконечно широких опор, работающих в турбулентном режиме на микрополярной смазке / К.С. Ахвердиев, А.Ю. Вовк, М.А. Мукутадзе, М.А. Савенкова // Трение и смазка в машинах и механизмах.- 2007.- № 9. - С. 12 -15.

6. Эркенов, А.Ч. Гидродинамический расчет радиального подшипника, близкого к круговому, работающего на микрополярной смазке / А.Ю. Вовк, И.С. Семенко, В .А. Константинов // Вестник РУПС. - 2009. - № 1. - С. 148152.

7. Ахвердиев, К.С. Установившееся движение вязкоупругой жидкости между наклонным ползуном и направляющей с учетом сил инерции смазочной композиции / К.С. Ахвердиев, И.А. Журба // Трение и износ. -2004. - Т. 25. - №6. - С. 567-576.

8. Ахвердиев, К.С., Об устойчивости движения направляющей при неустановившемся течении вязкоупругой смазки в системе «ползун -направляющая» / К.С. Ахвердиев, И.А. Журба // Вестник РГУПС. - 2005.-№1. - С. 5-11.

9. Ахвердиев, К. С., Гидродинамический расчет подшипников скольжения с учетом сил инерции смазочной жидкости, обладающей вязкоупругими свойствами / К.С. Ахвердиев, М.В. Яковлев, И. А. Журба // Трение и износ.- 2003. - Т. 24. - №2. - С. 121-125.

10. Уилкок, Д.Ф. «Расчет упорных подшипников с эффективной работой в турбулентном режиме» /Д.Ф. Уилкок // Проблемы трения и смазки: Труды Американского общества инженеров-механиков. - 1977. - № 1. -С. 118-126.

11. Дерлугян Ф.П., Щербаков И.Н. Обоснование процесса получения композиционных антифрикционных самосмазывающихся материалов с заданными техническими характеристиками методом химического наноконструирования. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2010 г., №4 - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/287 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

12. Reynolds, O. On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp Tower"s experiments / O. Reynolds. - Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1886, vol. 177, pt. 1.

13. Мукутадзе М.А., Расчетная модель гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной подачи смазки [Электронный ресурс] / Флек Б.М., Задорожная Н.С., Поляков Е.В., Мукутадзе А.М.// «Инженерный вестник Дона», 2013 г., №3 - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n3y2013/1765 (доступ свободный) -Загл. с экрана. - Яз. рус.