Расчетная модель радиального подшипника скольжения на основе нелинейного реологического уравнения Максвела, с учетом существования предельного напряжения сдвига Текст научной статьи по специальности «Физика»

N Инженерный вестник Дона, №4 (2015) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2015/3438

Расчетная модель радиального подшипника скольжения на основе нелинейного реологического уравнения Максвела, с учетом существования предельного напряжения сдвига

К. С. Ахвердиев, Е. О. Лагунова, К. С. Солоп Ростовский государственный университет путей сообщения

Аннотация: В работе дается метод гидродинамического расчета радиального подшипника скольжения, работающего на смазочном материале, обладающем одновременно вязкоупругопластичными свойствами. При разработке расчетной модели в качестве исходных уравнений используется нелинейная модель Максвелла с учетом существования предельного напряжения сдвига. Асимптотическое решение рассматриваемой задачи найдено по четным степеням параметра, обусловленного наличием предельного напряжения сдвига смазочного материала. Найдено поле скоростей и давлений в смазочном слое, получено аналитическое выражение для несущей способности подшипника. Дана оценка влияния параметров, характеризующих упругие свойства смазочного материала (число Дебора) и безразмерного параметра, характеризующего вязкопластичные свойства смазочного материала (параметр пластичности) на несущую способность радиального подшипника.

Ключевые слова: радиальный подшипник, несущая способность, предельное напряжение сдвига, параметр пластичности, деформация.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Рассмотрим стационарное движение смазочной жидкости с вязкоупругопластичными свойствами в зазоре радиального подшипника бесконечной длины. Подшипник считается неподвижным, а шип вращается с угловой скоростью О. В полярной системе координат (г, в) с полюсом в

центре шипа уравнение контура шипа и подшипника (рис. 1) запишется в виде:

г' = г0, г ' = г1 + е собО (1)

где г0 - радиус шипа; г1 - радиус подшипника; е - эксцентриситет.

Реологическое уравнение движения смазочной жидкости в рассматриваемом случае запишется в виде:

^^ Т +1 ^ (2)

дг' М т0 О &'

Здесь О - модуль упругости; м - динамический коэффициент вязкости; т0 - предельное напряжение сдвига; - время; у'в - компонента

М з

вектора скорости в окружном направлении; — = Л - характеризует время

О

релаксации жидкости; Т - касательное напряжение.

В случае установившегося движения жидкости (в рассматриваемом

д

случае) производная — в уравнении (2) может быть заменена производной

д

а

с

дв

Уравнение (2) примет вид:

дув т0 . Т ю дТ ...

—в = +----(3)

дг' м т0 О дв

N Инженерный вестник Дона, №4 (2015) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2015/3438

При вышеуказанных допущениях рассматриваемое равновесие элемента жидкости, находящейся между поверхностями ползуна, приводит к следующему уравнению:

дт' 1 Ср'

дг' г0 dв

где р' гидродинамическое давление в смазочном слое. Интегрируя уравнение (4) будем иметь:

т=I +е (в)

г0 dв

С учетом (5) уравнение (3) приводится к виду:

(4)

(5)

1

1 dp' ,

г + с (в)

ч г0 dв

Л

+ —

Л в

дг' ^

Дифференцируя это уравнение по г', получим:

1 d2р' , Сс' -г + — свв

г0 Св

(6)

дЧ

дг'2

1 Ср'

¡иг0 С в

ск

1

1 Ср' ,

г + с (в)

К г0 св

су

+

(7)

При анализе рассматриваемой системы за исходное берется уравнение (7) и уравнение неразрывности.

д I , \ ду'в _

—(г'уг ) + —в = 0

дгЛ г' дв

(8)

Система уравнения (7) (8) решается при следующих граничных условиях:

у'в=0.г0, V;, =0 при г' =0,

у'г, = 0 при г' = 1 + ^СОБв (9)

vв= 0,

Ср'

р'(а ) = р'(а) = 0, ва ) = 0

где а1 и а2 соответственно координаты начала и конца свободной

поверхности. Кроме граничных условий (9) для гидродинамического

давления получаем дополнительные условия в предположении

существования определенного состояния жидкости в момент вхождения в подшипник.

В случае, когда смазка находится в ненапряженном состоянии и внезапно подвергается сдвигу с определенной скоростью в момент ее поступления в подшипник будем иметь:

'п йр' п '

с = 0, —— = 0 при г = а

(10)

Для случая, когда смазка поступает в подшипник при полной релаксации упругого компонента деформации, дополнительные условия запишутся в виде:

йс' 0 й2р' 0 '

— = 0, —^т- = 0 при г =а йв йв2

Перейдем к безразмерным переменным по формулам: у'г , = О8и, у'в = Ог0У, г' = г0 + 8г, у = г1 - г0

(11)

. * * МО ¿г

р = р p, р = —^г, 8

2 мОго2

с = с с, с =■

82то

Подставляя (12) в (7), (8), (9) и (10) с точностью до членов о

8

г

V 'о у

(12)

будем

иметь:

д2у йр (йр

дг2 йв

ск

йв

-Л + АС

+ в

у

й2 р йв2

* = А_ к (л йр дг Л8

Л^- + АС

V йв

у йв2 йв

(13)

(14)

ди ду — + — = 0

дг дв

Здесь Л = М2, р =

т08 О8

Граничные условия (10) запишем в виде:

и = 0, V = 1 при г = 0; и = 0, V = 0 при г = 1 + п соб в;

Ср

р (а1 ) = р (а2 ) = 0

св

0,

в=а

е

п = —

5

(15)

V = v0 + ALvx + Л\2 +

и = и0 + Л и1 + Л и2 + ,

(16)

Полагая Л ^ 1 и воспользуемся разложением скх и sкx, то асимптотическое решение системы уравнений (16), удовлетворяющее граничным условиям (15) будем иметь в виде рядов по четным степеням малого параметра А:

+ Л41 + Л41

р = р0 + Л2 л + Л4 р2 +...,

с = с0 + Л2с1 + Л4с2 +...;

Подставляя (16) в (14) и (15) с учетом асимптотического разложения функций скх и sкxдля коэффициентов разложения с точностью до членов

О (Л2) включительно, придем к следующей системе уравнений и граничных

условий к ним:

д Ч = СР° + рС 2 рр

дvn

дг

дг2 свв ' " свв1 сп ■ г „ Ссп „ с2 р0 + г ср°

+ --

5 Св свв2

5 свв

дV ди

0

дв дг и° = 0, v0 = 1 при г = 0;

и° = 0, v0 = 0 при г = 1 + псоБв;

ф,

(17)

р° (а1 ) = Р° (а2 ) = °

св

0,

в=а

с° Ц = 0

(18)

д \ Ср1 С2 р1 1 2 ср°

дг2 Св

св2

с1в'

N Инженерный вестник Дона, №4 (2015) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2015/3438

ду1 = го .3 , г0 ( ФоЛ

дг О8

с0 +

О8

V йв у

+ сп

( Ф0> ^2

V йв у

- + с,

2 Фо 1 йв 2

+

й2 р1 йс1 г1 г1 йр1 +в—^ + в—1 + — с, +

йв2 йв 8 1 8 йв

до+ди1=0.

дв дг ' и1 = 0, у1 = 0 при г = 0;

и1 = 0, у1 = 0 при г = 1 + ^соБв;

ф,

(19)

А (а1 ) = р1 (а2 ) = 0

йв

0,

в=а,

с, в = 0

11в=а,

(20)

Точное автомодельное решение задачи (17) - (18) будем иметь в виде:

д^о

уо = Щ + V (г ,в), ио + ио (г ,в),

дг дв

Щ = Щ (4), уо (г,в) = уо (4), ио (г,в) = йо (4)к ,

4

со = со (в), +

й 2 ро , ФО с1

• + •

(21)

1 + псоБв 0 ич ^ ' в йв к2 (в) к3 (в)

Подставляя (21) в (17) и (18) придем к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Щ0= ^

йо + 4 = 0

у0 = ^

в

й 2 ро , ФО с1

■ +

+ ■

в йв к2 (в) к3 (в)

^ (в)

в^+с0 го+Мв-в^ - ГО фО.=^^^^ йв 0 8 к2 (в) к (в) в 8 йв 1

(22)

и

с0 \в=а, = 0

(1) = о, у (1) = О, щ (0 ) = 0, Щ (1) = 0;

1

йо (0) = 0, уо (О) = 1, |УО (4)й4 = 0;

ФО

йв

0, ро (а1 ) = РО (а2 ) =

(23)

и

Решение рассматриваемой задачи, связанной с определением поля скоростей, находим непосредственным интегрированием.

у>° (4) = | (2 -4), Vo (4) = с 4+ (-1 - Ц +1 (24)

где с1 = 6, ~2 в дальнейшем определяется из условия р° (а1) = р° (а2) = 0 Функцию Ф° (в) представим в виде ряда Тейлора

ф° (в) = ф° (а)+ф° (а )(в-а)+ф(« )(в-а )2 ■ 2+... (25)

где Ф (а1 ) =-6-- + ■ с

(1 + псоБа1 )2 (1 + псоБа1 )3

Ф' (а ) =-£-Ц. + 2/ 1

(1 + псоБа1 )3 (1 + псоБа1 )4

п, ч 12^соБа1 (1 + псоБа1) + 36п2Бт2а1

Ф (а1 )= 7. \4 +

(1 + псоБа1)

+ 3с2цсоБа1 (1 + псоБа1) +12^2 бШ2 а1

(26)

(1 + псоБа1)

С учетом (26) для определения функции р° приходим в принятом нами приближении к следующему уравнению:

рвв+Св=Ф° (а)+Ф° (а )(в-а)+ф° («1 )(в-а )■ 2 (27)

Решение уравнения (27) будем искать в виде:

р° = Р+рг (28)

где Р° - общее решение этого уравнения без правой части; Рг - частное решение с правой частью.

Р° = Д + Vв (29)

где Д1 и Д2 - постоянные интегрирования.

и

Функцию Рг будем иметь в виде:

Рг = В3 (в-а,) + В4 (в-а, )2 + В5 (в-а, )3 (30)

Подставляя (30) в уравнение (27) для определения Ц (I = 3,4,5) приходим к следующей алгебраической системе уравнений.

2вА> + Въ = Фо (а,), 6в^5 + 2 В, = Ф0 (а,), Ф0 (а,)

3В,

2

Решая систему (31), получим:

„/ ч 1 1 ч ч вФ0(а,)

В = Ф0 (а, )• 1 В4 = - Фо (а,

Въ = Фо (а, )-вФ0 (а, ) + в2Ф''(а,).

Используем граничные условия:

Ро (а, ) = 0, Р0 (а, ) = 0

для В, и В2 будем иметь:

В = -В2е

а, 1

В2 =вВ3е в

Константа ~2 определяется из условия:

Ро (а2 ) = 0

Из этого условия следует, что:

(31)

(32)

(33)

(34)

В, + В2е в + В3 (а2 - а,) + В4 (а2 - а,) + В5 (а2 - а,) = 0 С учетом (34), (33), (32), и (26) получим ~2. В виду громоздкости явный вид выражение для ~2 в статье не приводим. Для определения функции с0 имеем:

в-в + со 88 = ^ (в)

ав г

(35)

N Инженерный вестник Дона, №4 (2015) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2015/3438

Здесь F1 (в) известная функция от в.

Приведем решение уравнения (35) для случая экстремального значения

F (в).

Введем обозначения: max F (в) = F*

М0,2*] в(36) в- =р~х (( = 40, в2-1 = 100, в3-1 = 200, в-1 = 500, в5-1 = 1000)

Обозначим T = F* , ,

i в-1=в-

Решение уравнения (35) с учетом (36) удовлетворяет граничным условиям c0 (а1) = 0 запишем в виде:

T -в

c0 = r°- + e r°e • C3, где C3 0 S 3 3

r-

SL e rPS

(37)

Перейдем к решению задачи для первого приближения. В системе уравнений (19) нелинейные слагаемые заменим их максимальным значением. Пусть

B = max ^

ХЕ[а,а2] de

Точное автомодельное решение этой задачи будем искать в виде

(38)

=

дь

дг

¥ = ¥fe), S =

U, = -- , 1 дв

r

т

С = С (в)

в ^ + Ф +1 в = С3

с1в2 с1в 2 И3

(39)

Подставляя (39) в (19)-(20), придем к следующему дифференциальному уравнению с граничными условиями:

= с*,~ ~1(ах) = 0, ^1(а2) = 0. (40)

Решая задачу (41) для у, будем иметь:

*

У1 = у (2 - «)

Для определения безразмерного гидродинамического давления р1 будем исходить из уравнения и граничных условий:

р^+Ф.Дв = (41)

d0- de 2 h

Pl («1 ) = Pl («2 ) = 0 dPl

=с U =0 (42)

в=а1

dd

Интегрируя уравнение (41) с граничными условиями (42) с точностью до членов ü(r\2), получим:

1 1 —

p1 =--5 (-8С 4 (1 + п) ве в - 4 Bife - 20 Btfe - 40 Btfe +

8 (1 + n)

+П (с* f—e5 - 11ве4+1 (12 + 132в2 )e3 +1 (-24 в- 2б4в )e2 +

v 5 3 2 (43)

8e + 24ев + 264ee4) - 40 ве) + n( с* -5-e5 + ee4+3 (12 - 12в2 )e3 + +1 (-24в + 24в3)e2 + 16e - 24в4е + 24в2 е) - 20ве - 4ве + 8с*е) + с5

Константа интегрирования с4 и с5 не посредственно находятся из

граничного условия (42). В виду громоздкости их выражения в статье не приводим.

Найдем безразмерную несущую способность:

а2

W =¡(P0 + АР1 )de (44)

N Инженерный вестник Дона, №4 (2015) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2015/3438

Рис. 1. - Зависимость безразмерной несущей способности Ж от параметрав 1 1 - А = 1,5, в = 0 - истинно вязкопластичный смазочный материал;

2 - А = 0,1; 3 - А = 0,7; 4 - А = 0,9.

5 - А = 0, в = 0 - истинно вязкий смазочный материал;

6 - п = 0,1; 7 - п = 0,3; 8 - п = 0,5;

Выводы

1. Несущая способность, полученная на основе нелинейного уравнения Максвелла, учитывающее нелинейный фактор (т.е. одновременно случай, когда смазочный материал обладает вязкоупругими и вязкопластичными свойствами) существенно отличается от несущей способности, полученной на основе линейного уравнения Максвелла, соответствующая случаю вязкоупругого смазочного материала.

2. В случае вязкоупругого смазочного материала с увеличением параметра в-1, несущая способность увеличивается и при в-1 ^ стремится к случаю, соответствующему истинно вязкому смазочному материалу,

оставаясь при этом меньше этого значения. Наиболее резкое увеличение несущей способности наблюдается при малых значениях параметра в-1 < 10 .

3. В случае, когда смазочный материал является вязкопластичным, несущая способность на 15 % больше случая истинно вязкого смазочного материала.

4. В случае, когда смазочный материал обладает вязкоупругопластичными свойствами, с увеличением параметра в-1 несущая способность увеличивается и при в-1 ^стремится к случаю истинно вязкопластичного смазочного материала, при этом оставаясь меньше этого значения.

Литература

1. Ахвердиев К.С., Яковлев М.В., Журба И.А. Гидродинамический расчет подшипников скольжения с учетом сил инерции смазочной жидкости, обладающей вязкоупругими свойствами// Трение и износ. - 2003. - Т. 24, № 2. - С. 121-125.

2. Ахвердиев К.С., Воронцов П.А., Черкасова Т.С. Гидродинамический расчет подшипников скольжения с использованием моделей слоистого течения вязкой и вязкопластичной смазки // Трение и износ. - 1998. - Т. 16, № 6. - С. 698-707.

3. Ахвердиев К.С., Колесников И.В., Мукутадзе М.А., Семенко И.С. Математическая модель микрополярной смазки подшипников скольжения с податливой опорной поверхностью // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2012. - № 6, - С. 22-25.

4. Ахвердиев К.С., Журба И.А. Об устойчивости движения направляющей при неустановившемся течении вязкоупругой смазки в системе «ползун-направляющая» //Вестник РГУПС. - 2005. - № 1. - С. 5-11.

5. Ахвердиев К.С., Мукутадзе М.А., Лагунова Е.О., Солоп К.С. Расчетная модель упорного подшипника скольжения с повышенной несущей способностью, работающего на неньютоновских смазочных материалах с адаптированной опорной поверхностью // Инженерный вестник Дона. - 2013.

- № 4. - URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2201

6. Буяновский И. А., Хрущов М.М. Трибологические методы испытаний смазочных материалов // Вестник машиностроения. - 2002. - № 2. - С. 17.

7. Задорожная Е.А., Мухортов И.В., Леванов И.Г. Применение неньютоновских моделей смазочных жидкостей при расчете сложнонагруженных узлов трения поршневых и роторных машин // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2011. - № 7. - С. 22-30.

8. Павлик Б.Б., Фельдмане Э.Г. Об учете вязкоупругопластических свойствах смазки при расчете коэффициента трения линейного УГД контакта.- Рига: Риж. политехн. ин-т, 1988. - С. 5—14.

9. Ахвердиев К.С., Мукутадзе М.А., Лагунова Е.О., Солоп К.С. Расчетная модель радиального подшипника скольжения с повышенной несущей способностью, работающего на микрополярной смазке, с учетом ее вязкостных характеристик от давления // Инженерный вестник Дона. - 2013.

- № 4. - URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2200

References

1. Akhverdiyev K.S., Yakovlev M.V., Zhurba I.A. Trenie i iznos. 2003. T. 24, №

2. pp. 121-125.

2. Akhverdiyev K.S., Vorontsov P.A., Cherkasova T.S. Trenie i iznos. 1998. T. 16, № 6. pp. 698-707.

3. Akhverdiyev K.S., Kolesnikov I.V., Mukutadze M.A., Semenko I.S. Trenie i smazka v mashinakh i mekhanizmakh. 2012. № 6. pp. 22-25.

4. Akhverdiyev K.S., Zhurba I.A. Vestnik RGUPS. 2005. № 1. pp. 5-11.

IBM Инженерный вестник Дона. №4 (2015) НИ ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2015/3438

5. Akhverdiyev K.S., Mukutadze M.A., Lagunova E.O., Solop K.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, No 4. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2201

6. Buyanovsky I.A., Hrushchov M.M. Vestnik mashinostroeniya. 2002. № 2. pp. 17.

7. Zadorozhny E.A., Mukhortov I.V., Levanov I.G. Trenie i smazka v mashinakh i mekhanizmakh. 2011. № 7. pp. 22-30.

8. Pavlik B.B., Feldman E.G. Rizh. politekhn. in-t, 1988. pp. 5--14.

9. Akhverdiyev K.S., Mukutadze M.A., Lagunova E.O., Solop K.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. No. 4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2200