CC BY
42
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ
То м XI 19 80
М 4
УДК 518.5 : 533.6.011.5
РАСЧЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕДОРАСШИРЕННЫХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СТРУЙ, ИСТЕКАЮЩИХ ИЗ МНОГОСОПЛОВОЙ компоновки
М. Я• Иванов, В. П. Назаров
Проведено численное решение залачи о взаимодействии недо-расширеиных сверхзвуковых струй идеального газа, истекающих из многосопловой компоновки в пространство с заданным постоянным давлением. Интегрирование системы уравнений, описывающих пространственные сверхзвуковые течения,' выполнено с помощью явной монотонной конечно-разностной схемы сквозного счета первого порядка точности на гладких решениях. При этом используется расчетная сетка, конфигурация которой позволяет избежать потери точности получаемых результатов во всей вычисляемой области потока. Представлены результаты для трех-, четырех- и шестисопловой компоновок.
Газодинамические задачи о взаимодействии сверхзвуковых нерасчетных струй с поверхностями или друг с другом весьма трудны для численного решении в силу сложной структуры реализующегося течения. Характерными особенностями подобных задач являются заранее неизвестная форма границ струй и, следовательно, расчетной области, а также наличие в потоке взаимодействующих скачков и тангенциальных разрывов. Положительный результат в этом направлении дало применение конечно-разностных схем сквозного счета. Не останавливаясь на многочисленных работах, в которых с использованием таких схем рассчитывались свободные недорасширенные и перерасширенные сверхзвуковые струи, отметим лишь некоторые численные исследования по .нормальному* соударению сверхзвуковых струй со стенкой [1 — 3| и по „боковому* взаимодействию сверхзвуковых струй друг с другом или с поверхностями [4—6). Расчет сверхзвуковых струй, истекающих из многосопловой компоновки в спутный сверхзвуковой поток, проведен в приближении идеального газа в работе [4], а с учетом вязких эффектов—в работе [7|. Некоторые результаты по решению задачи о взаимодействии затопленных сверхзвуковых составных струй можно найти в работах [8—12].
В настоящей работе расчет интерференции недорасширенных сверхзвуковых струй, истекающих из связки сопл в затопленное пространство, проведен с помощью монотонной разностной схемы первого порядка точности [13—15]. Полученные ранее с использованием указанного метода результаты по расчету двумерных и пространственных сверхзвуковых струй идеального и вязкого газа можно найти в работах [15—17], где содержится также дополнительная библиография по данному вопросу.
1. Рассмотрим интерференцию сверхзвуковых недорасширенных струй идеального газа, истекающих из связки N одинаковых сопл
в пространство с заданным постоянным давлением ре, причем предполагается, что проекция и вектора скорости газа на ось х декартовой системы координат хуг во всей рассчитываемой области превосходит местную скорость звука а. Пусть р — давление, р— плотность, <7 — модуль, а V ч но— проекции на оси у и г вектора скорости. Ограничимся случаем течения совершенного газа с постоянными теплоемкостями и показателем адиабаты •/, и пусть энтальпия потока на срезе сопл (а следовательно, и во всем потоке) постоянна.
Начало декартовой системы координат расположим в выходном сечении связки сопл и совместим с ее центром, а оси направим так, как показано на рис. 1 для четырехсопловой компоновки. Жирные сплошные линии отвечают выходным сечениям сопл. Картина реализующегося течения в рассматриваемом случае N одинаковых сопл, центры которых расположены равномерно на одной окружности с диаметром (1, имеет 2N полуплоскостей симметрии, пересекающихся на оси х. Угол между двумя соседними полуплоскостями симметрии обозначим через я, причем а = к/М Радиус
выходного сечения одного из сопл выберем в качестве характерного размера.
Определяющими газодинамическими параметрами задачи, помимо показателя адиабаты х, являются число М на срезе сопл М0>1 и величина нерасчетности истечения п—р0 ре, где р0 — статическое давление на срезе сопл. Поток газа в выходном сечении сопл предполагается равномерным и параллельным оси х.
Исходными уравнениями при построении разностной схемы служат интегральные законы сохранения, которые записываются в декартовой системе координат по аналогии с работами [13—15]. На произвольной плоскости x=const берется некоторый замкнутый контур Г, ограничивающий площадку S. Контур Г и площадка S считаются известными функциями х, а их деформация определяется
лежащим в плоскости х — const вектором \ = dnjdx, где dn — проекция смешения Г на свою внешнюю нормаль. В каждой точке контура Г вектор I полностью определяется проекциями ;у и ;* на
оси v и г.
С использованием введенных обозначений интегральные законы сохранения массы и импульса могут быть записаны в виде
— f f a dy dz — ri {с — a¥)dv — (b — aty)dz, (1.1)
dx Js г
где в плоскости yz интегрирование вдоль Г осуществляется в положительном направлении (против часовой стрелки), а а, Ь и с — векторы-столбцы:
ри pV pw
- р + ри- yuv ~ pUW
а = pUV ’ 0 = P + W2 ' Cz= P vw
р UW pVW p -f- pw~
В (1.1), (1.2) и далее все переменные удобно считать безразмерными. Приведение к безразмерному виду достигается отнесением пространственных переменных к характерной длине (радиусу выходного сечения сопла), плотности и скорости к соответствующим критическим значениям р* и <?«. потока газа на срезе сопл и давления— к произведению р*^. В силу этого, а также вышеуказанных предположений о свойствах газа и постоянстве полной энтальпии потока, система уравнений (1.1) замыкается соотношением
X-- 1 р %- 1
причем <?2 = и2 -+■ V2 4- да2.
2. С учетом того, что при сформулированной постановке задачи картина течения имеет 2^полуплоскостей симметрии, рассчитывается только область сверхзвукового потока в угле, образованном двумя ближайшими полуплоскостями симметрии, а именно: между полуплоскостью ху(у^О) и соседней, наклоненной под углом а = гс/ЛГ.
Остановимся подробно на особенностях использованной расчетной сетки. Метод ее построения учитывает значительные деформации формы поперечных сечений струй от полуокружности (на начальном участке струн) до близкой к треугольнику с одной криво-
5—»Учсные записки» Л'» 4
65
Рис. 2
линейной стороной (на достаточно больших удалениях от выходных сечений сопл после взаимодействия струй друг с другом).
На рис. 2, а и 2,6 показана геометрия расчетной сетки для двух характерных сечений х — const. Для получения расчетных ячеек отрезок прямой, проходящий под углом г к оси у и принадлежащий области потока (штриховой отрезок на рис. 2), разбивается на 2J одинаковых интервала, причем точкам разбиения присваиваются целые номера / = 0, 1, . . J в направлении от границ области потока к ее центру. Из средней точки разбиения с номером J под углом —,3 проводится отрезок прямой (второй штриховой отрезок на рис. 2), который разбивается на У одинаковых интервалов, а точки разбиения нумеруются аналогичным образом. Указанные штриховые отрезки делят рассчитываемую область на две части: .нижнюю* и „боковую*.
Из точек разбиения штриховых отрезков в нижней части области проводятся линии, параллельные оси г, в боковой части области— линии, параллельные оси у. Отрезки этих линий, принадлежащие рассчитываемой области, равномерно разбиваются на интервалы, число которых для каждого отрезка различно и равно номеру соответствующей точки разбиения на штриховых отрезках. Окончательная форма расчетных ячеек на плоскости .r=>const получается после соединения отрезками прямых ближайших точек проведенного разбиения (см. рис. 2). При этом общее число расчетных ячеек равно /(2У4- I). Ячейки, которые примыкают к полуплоскости симметрии, проходящей через центр выходного сечения сопла, имеют треугольную форму; если же ячейка примыкает к другой плоскости симметрии, являющейся плоскостью взаимодействия соседних струй, она принимает форму прямоугольника.
Построенная таким образом расчетная сетка в плоскостях х = const весьма удобна при решении рассматриваемой задачи В частности, все ячейки имеют конечные и примерно одинаковые размеры в отличие от расчетной сетки, использовавшейся при решении аналогичных задач в цилиндрических координатах [5, 6, 14, 15]. Пространственная расчетная сетка является совокупностью элементарных объемов, передние и задние (в направлении оси х) грани
которых являются полученными выше ячейками разбиения и принадлежат соседним плоскостям х = х0 + А, и х*=х0, где hx — шаг интегрирования по х. Боковые ребра таких объемов образуются отрезками прямых, которые соединяют одинаковые по порядку точки разбиения на указанных сечениях х — const.
Разностная схема, при помощи которой по величинам в сечении х — х0 и по параметрам на боковых гранях расчетных объемов определяются параметры в сечении x = x0 + hx, получается интегрированием уравнения (1.1) по х от х = ха до x=x0 + hx с последующим применением теоремы о среднем. Вывод разностных соотношений, формулы для определения параметров на боковых гранях из расчета автомодельной задачи о взаимодействии двух плоских равномерных полубесконечных потоков, условия устойчивости и другие особенности расчета подробно изложены в работах [13—15) и поэтому здесь не приводятся. Укажем только, что данная разностная схема является явной, монотонной, имеет первый порядок-точности и позволяет вести расчет скачков сквозным образом (без их выделения, как разрывов'. Параметры газа в треугольных ячейках, примыкающих к полуплоскости симметрии, определяются после расчета параметров во всех остальных ячейках из условий симметрии с помощью квадратичной интерполяции.
В заключение изложения метода решения поставленной задачи подчеркнем еще раз то обстоятельство, что во всей рассчитываемой области поток должен оставаться сверхзвуковым в направлении оси х (в том числе и вдоль оси составной струи). Это условие накладывает определенные ограничения на возможные сочетания определяющих параметров задачи (я, М0, d и *).
3. Некоторые результаты расчета взаимодействия сверхзвуковых струй друг с другом на начальном участке распространения в затопленном пространстве представлены на рис. 3—7. Давление в донной части многосопловой компоновки принимается равным давлению в окружающей среде (отметим, однако, что данное допущение не является принципиальным для развитого метода решения). Везде ниже предполагается, что поток газа в выходных сечениях сопл равномерен и параллелен оси х, показатель адиабаты *=1,4.
Первые результаты демонстрируют зависимость геометрических и газодинамических характеристик течения от числа расчетных точек для четырехсопловой компоновки, в которой центры сопл расположены на окружности с диаметром, равным пяти (N = 4, d = 5). Значения характерных газодинамических параметров при этом были
следующие: число М в выходном сечении сопл М0 = 3, степень не-расчетности истечения и =10. Приведена геометрия границы струи в различных поперечных сечениях х = 0; 2; 4; 6; 8 и 10. Сплошные линии отвечают расчету с суммарным числом ячеек, равным 465, кружочки — результат расчета при 210 ячейках.
На рис. 4 с помощью аналогичных обозначении показано в зависимости от координаты х распределение давления р=-р р0 вдоль трех направлений: по оси многосопловой компоновки (кривая и кружочки, /), по прямой, параллельной оси х и проходящей через центр соила (2), и но прямой, также параллельной оси х и проходящей через среднюю точку расстояния между центрами соседних сопл (3). Отметим удовлетворительное соответствие приведенных
данных. Поэтому все последующие результаты были получены при 465 расчетных ячейках.
Остановимся на некоторых особенностях течения. Встреча двух соседних струй, происходящая, как следует из рис. 3 и 4, для рассматриваемого случая при х^.2, приводит к повышению давления в зоне взаимодействия и к растеканию газа из этой зоны к оси связки струп и к внешней границе струи в направлении оси у. На рис. 3 хорошо прослеживается связанное с этим изменение формы границы струи. В окрестности оси блока при дг^;3,8 происходит очень интенсивное вторичное сжатие вследствие повторного разворота потока (см. рис. 4, линия /). Скачок, распространяющийся от оси блока, достигает при л=10 линии, проходящей через центр выходного сечения сопла параллельно оси х. При х^> 10 градиенты параметров в потоке значительно меньше, а давление близко к своему значению во внешней среде.
На следующем рисунке, который аналогичен рис. 4, представлены распределения давления для двух значений степени нерасчет-ности истечения струй п = 10 и 20 (соответственно сплошные и штриховые линии) при одинаковых остальных параметрах N = 4, ^ = 5 и М0 = 4. При большем значении п взаимодействие струй начинается раньше, причем возникающие скачки уплотнения имеют большую относительную интенсивность.
Дополнительную информацию о направлении потока в окрестности плоскости взаимодействия можно получить из рис. 6, где показано изменение отношения V и в зависимости от у в различных сечениях л* = 3,1; 4,2; 6,2; 8 и 12. Как отмечалось выше, в начале взаимодействия струи часть газа течет к оси блока (отрицательные значения отношения V и при л;^8), а на более значительных расстояниях, например, при х = 12, весь газ растекается от оси блока.
На рис. 7, который также аналогичен рис. 4. показаны распределения давлений по х для трех-, четырех- и шестисопловых ком-
поновок (соответственно сплошные, штриховые и штрихпунктирные кривые) при одинаковых остальных параметрах й=5, М0 = 4 и я=10. Отметим увеличение интенсивности скачков уплотнения, наблюдающееся при возрастании количества взаимодействующих струй.
Картина течения в плоскости взаимодействия соседних струп (плоскость г = 0) показана на рис. 8 для случая истечения из шестисопловой компоновки при с1 = Ъ, М0==4 и «=10 в виде линий постоянства числа М, построенных через одинаковый интервал ЛМ = 0,2. Некоторые крайние значения числа М приведены рядом с кривыми. Жирная кривая отвечает линии пересечения границ струй с плоскостью г = 0.
Отметим, что задача о взаимодействии сверхзвуковых струй, истекающих из двухсопловой компоновки, была решена ранее в работе [5] с помощью того же метода сквозного счета (13, 14]. Там же приведено сопоставление результатов расчета с экспериментальными данными при близких к рассмотренным выше значениях определяющих параметров Мс, п, й и х и продемонстрировано удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных результатов.
Расчеты настоящей работы проведены на ЭВМ БЭСМ-6 по программе, составленной на алгоритмическом языке АЛГОЛ-бО для транслятора, созданного в ВЦ АН СССР. Время счета одного варианта при 465 расчетных ячейках равнялось примерно 30—40 минутам.
Авторы признательны А. Н. Крайко за внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. S і n h a R., Z а к к а у V., Erdos J. Flowiield analysis of plume of two-dimensional underexpanded jets by a time-dependent method. „АІАА-, J„ vol. 9, N 12, 1971.
2. Д у б и н с к а я Н. В., Иванов М. Я. К расчету взаимодействия сверхзвуковой струи идеального газа с плоской преградой, перпендикулярной ее оси. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 6, № 5, 1975.
3. Дуби некая Н., В., Иванов М. Я. Численное исследование стационарных режимов взаимодействия сверхзвуковой недорас-ширенной струи с плоской преградой, расположенной перпендикулярно к ее оси. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, 1976, № 5.
4. D’Attore, Nowak G., Thomnien H. V. An inviscid analysis of the plume created by multiple rocket engines and comparison with available schlieren data. Part II: A finite difference method. AIAA Paper, N 66-651. 1966.
5. Иванов М. Я., Назаров В. П. Численное решение задачи о .боковом* взаимодействии нерасчетных сверхзвуковых струй идеального с плоскостью и друге другом. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.*, т. 14, № 1, 1974.
6. Иванов М. Я., Назаров В. П. Исследование .бокового" взаимодействия сверхзвуковой недорасширенной струи идеального газа с поверхностями различной формы. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1974. .4! 6.
7. Бондарев Е. Н., Гущин Г. А. Пространственное взаимодействие струй, распространяющихся в спутном сверхзвуковом потоке. .Изв. АН СССР. МЖГ*, 1972, № 6.
8. Гинзбург И. П., Приходько В. Д., Сизов А. М. Исследование составных струй. В сб. .Газодинамика н теплообмен", 1970. № 2.
9. Приходько В. Д., Сизов А. М. О приближенном расчете параметров потока при взаимодействии сверхзвуковых струй. .Изв АН СССР, МЖГ*, 1973. № 1.
10. Л ей тес Е. А. Исследование течения в области взаимодействия двух и четырех струй. Труды ЦАГИ, вып. 1575, 1974.
11. Кононов Ю. Н., Лейтес Е. А. Параметры течения в составных струях. Труды НАГИ, вып. 1721, 1975.
12. Rudraan S. Multinozzle plume flow fields stucture and numerical calculation. AIAA Paper, N 77-710, 1977.
13. Иванов М. Я., К p а й к о A. H., Михайлов H. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. .Ж. вычисл. матем. и матем. физ.*, т. 12. № 2, 1972.
14. Иванов М. Я., К р а й к о А. Н. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. .Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-, т. 12, М° 3, 1972.
15. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., К р а ft-ко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., .Наука*. 1976.
16. Иванов М. Я., К рай ко А. II. К численному решению задачи о нерасчетном истечении сверхзвуковой струи вязкого газа в спутный сверхзвуковой поток. .Численные методы в механике сплошной среды*, 1975, т. 6, № 2.
17. Д у б и н с к а я Н. В., Иванов М. Я., Курочкина Н. Я. Расчет произвольных двумерных сверхзвуковых течении идеального газа. .Численные методы в механике сплошной среды*, 1978, т. 9, № 2.
Рукопись поступила 12111/ 1979
