Расчет вынужденной вибрации корпуса судна Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.12:534.647

И. И. Трянии, д. т. ы., профессор, ВГАВТ. 603950, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5а.

РАСЧЕТ ВЫНУЖДЕННОЙ ВИБРАЦИИ КОРПУСА СУДНА

Волновую вибрацию корпусов судов внутреннего плавания следует рассчитывать по линейной теории. Если внешние силы, возбуждающие вибрацию, несамоуравновешены, то они вызывают качку судна, и при расчёте вынужденной вибрации надо учитывать силы инерции и силы сопротивления при качке. Часто вибрация рассчитывается путем разложения отклонения в ряд по формам главных свободных колебаний корпуса; в этом случае надо в ряд добавить линейные члены; иначе расчёт дает существенную ошибку

Термины «волновая вибрация» и «волновой вибрационный изгибающий момент» в научной литературе используются неоднозначно. Так в книге ленинградских авторов [1] волновая вибрация делится на вибрацию корпуса, вызываемую линейными составляющими сил взаимодействия судна с волнами, и на вибрацию, вызываемую нелинейными составляющими этих сил. Под последними нагрузками понимаются силы, возникающие при днищевом слеминге, бортовом слеминге и накате волны на палубу [1, с. 146]. При описании экспериментальных исследований в этой книге (глава 4) Я. И. Короткин использует английские термины «выпинг» и «спрининг», которые совершенно чужды русскому языку и, к счастью, не привились [1, с. 202], хотя в недавно изданной книге Г. Б. Крыжевича [2, с. 132] они тоже используются.

В настоящее время напряжения и моменты, возникающие при днищевом и бортовом слеминге, называются ударными. Хотя при ударе всегда возникает вибрация, мы не будем называть их вибрационными. В настоящей работе ударные напряжения и моменты не рассматриваются. Линейная волновая вибрация и качка судна вызываются одними и теми же волновыми нагрузками.

В научной литературе [2], [3] приводится критика применимости теории линейной волновой вибрации к оценке прочности корпусов морских судов. Она основана на утверждении, что волновые вибрационные моменты возникают только при резонансе, когда кажущаяся частота волны примерно равна частоте первого тона упругих вертикальных колебаний корпуса судна [3, с. 94-95]. Для морских транспортных судов для резонанса необходимо, чтобы длина «резонансных» волн в 10 или даже в 25 раз была меньше длины судна. Длина таких коротких волн соизмерима с осадкой судна. С увеличением глубины гидродинамические давления быстро убывают (поправка Смита), а потому переменные волновые давления на днище будут малыми и не могут вызвать значительную вибрацию. Для расчёта волновой вибрации, определение которой в книге [3] дано очень расплывчато («Волновая вибрация отличается сравнительно большой стационарностью процесса обусловленных ею динамических напряжений, изменяющихся как и в первых двух случаях (т. е. при днищевом и бортовом слеминге - И. Тр.) с частотой первого тона собственных изгибных колебаний корпуса „„» с. 73) разработана методика расчёта нелинейной волновой вибрации, источником которой является, главным образом, взаимодействие носовой оконечности с волной. Поэтому результаты расчёта зависят от полноты и формы носовой оконечности [3, с. 113]. Дальнейшая разработка теории нелинейной волновой вибрации содержится в книге Г. Б. Крыжевича [2]. В соответствии с его исследованиями «значения длин резонансных волн, вносящих существенный вклад в волновую вибрацию водоизмещающих судов, обычно входит в диапазон (1/10 - 1/3)» [2, с. 137].

Теория нелинейной вибрации основана на большом числе трудно проверяемых предпосылок и допущений. По нашему мнению, в настоящее время она не может быть

основой для составления соответствующих нормативных документов. Возможно, для некоторых типов морских судов её можно применять на практике; решение этого вопроса должно быть предоставлено специалистам по прочности морских судов. Однако, в последнее время были попытки ввести в Правила Российского Речного Регистра формулы для вычисления вибрационного изгибающего момента корпусов судов внутреннего плавания, основанные на этой теории, что вызывает серьезные возражения.

По этим формулам вибрационный момент пропорционален скорости хода судна. Следовательно, для судна, не имеющего хода, он равен нулю, что противоречит наблюдаемым случаям нарушения общей прочности легких судов низших классов РРР при воздействии на них резонансных волн на стоянке. Испытания моделей речных судов в опытовом бассейне ВГАВТ показали, что суммарные изгибающие моменты (волновые плюс вибрационные) почти не зависят от скорости хода.

Следует учитывать существенную разницу между характеристиками корпусов морских судов и характеристиками судов внутреннего плавания. Вследствие большей загруженности морских судов (волновыми нагрузками) в их корпуса приходится закладывать больше металла, чем в корпуса судов внутреннего плавания, вследствие чего их жесткость много больше, чем жесткость корпусов речных судов. По этой причине частота собственных колебаний первого тона корпуса речного судна оказывается существенно меньше частоты колебаний корпуса морского судна той же длины.

Осадка, определяющая степень уменьшения переменных волновых давлений на днище (поправку Смита), у речных судов много меньше, чем у судов морских.

Спектр волнения, на которое рассчитывается речное судно, определяется волнами небольшой длины и, следовательно, большей частоты, чем при расчёте морского судна. Это увеличивает вероятность возникновения резонанса. Так несколько десятилетий назад дополнительные волновые моменты находились статической постановкой судна на некоторую условную волну, например, для судов класса «О» на волну 2x20 м (И=2 м, Х=20 м). Такая волна укладывается на длине, например, т/х «Волго-Дон» 7 раз, и на основании заключений книги [3] можно утверждать, что волны, определяющие величину волнового момента при ходе прямым курсом, являются резонансными. Имеются экспериментальные подтверждения сделанных выше замечаний [4, с. 270-271].

Наконец, при исследовании вопроса, нельзя исходить только из того, есть резонанс или нет. Надо учитывать не одну резонансную волну, а совокупность волн в околорезонансной зоне. При приближенном исследовании с достаточной точностью можно рассматривать корпус как тело с одной степенью свободы, для которого коэффициент динамичности

*<>=—Ц-. (1)

я?

если не учитывать сопротивление колебаниям, что вдали от резонанса делать можно. При и = где и - частота волны (скорость хода судна здесь мы не учитываем), X, -частота свободных колебаний корпуса первого тона, получим резонанс, а в диапазоне

0,311< со < 1,ЗЗА] (2)

в соответствии с формулой (1) коэффициент динамичности по абсолютной величине не менее 1,1, т. е. вибрационный момент составляет от волнового не менее 10 %. Это не малая поправка, и её следует учитывать. Таким образом, частоты рассматриваемых при волновой вибрации волн уменьшаются более, чем в три раза, а их длины увеличиваются примерно в 10 раз.

Приведенные аргументы, по нашему мнению, убедительно свидетельствуют, что вибрационные изгибающие моменты для корпусов судов внутреннего плавания надо находить, основываясь на теории линейной волновой вибрации.

Отметим, что применимость линейной теории волновой вибрации к судам внутреннего плавания признается в научной литературе, в том числе и авторами нелинейной теории. Так в книге [3, с. 119] сказано: «У крупнотоннажных судов больших раз-мерений, а также сравнительно гибких и мелкосидящих судов (суда ограниченного, смешанного и внутреннего плавания) ...возможно значительное влияние днищевой компоненты внешних сил (учитываемой линейной теорией - И. Тр.), а при прямо-стенных обводах носовой оконечности возможно и преобладающее ...». Аналогичная мысль имеется и в книге [1, с. 146]: «Отметим, что вибрация, вызванная линейной нагрузкой, может быть существенной только у судов, имеющих большую длину и низкую жесткость корпуса. Этот вид вибрации характерен для судов типа река-море и некоторых речных судов, эксплуатируемых в водохранилищах».

Выясним силы, вызывающие вибрацию корпуса. Пусть на корпус действуют внешние возмущающие силы интенсивностью цв{х, ?), Это могут быть как распределенные нагрузки, так и сосредоточенные переменные во времени силы и моменты; последние можно рассматривать как силы бесконечно большой интенсивности, распределенные на бесконечно малом участке [4, с. 124]. Под действием этих сил корпус будет перемещаться как абсолютно твердое тело (испытывать качку) и деформироваться (вибрировать). Можно было исследовать единый динамический процесс, не разделяя его на качку и вибрацию. Но при движении судно взаимодействует с водой. Это взаимодействие учитывается путем введения в расчет присоединенных масс воды и демпфирующих сил, а они при качке и вибрации различны. Поэтому обычно качка (для нас представляет интерес продольная качка) и вибрация исследуются отдельно.

Чтобы исключить деформацию корпуса, наложим на него дополнительные связи, исключающие искривление оси корпуса. Рассчитаем колебания корпуса с этими связями (качку) и найдем силы, действующие на корпус при качке, включая силы инерции и демпфирующие силы. Корпус будет загружен силами интенсивностью

дк (*,/) = Чв (*.') + (*, 0 + <?4 0,0 + <75 (*.') + Я6 (*>')• (3)

Здесь интенсивности нагрузок [5, с. 71-72]:

<7з(;с,/) - восстанавливающих сил;

<74(х,0 - инерционных сил присоединенных масс воды;

д^(х/1) - демпфирующих сил;

</б(х,/) - сил инерции масс судна.

Уберем дополнительные связи, предоставив возможность корпусу деформироваться. Под действием сил интенсивностью #к(лО корпус будет вибрировать; при расчёте вибрации их можно рассматривать как внешние силы. Отметим, что эти силы самоуравновешены (их главный вектор и главный момент равны нулю). Поэтому они не вызовут качки; корпус при их действии будет испытывать только вибрацию.

Для нахождения вертикальных перемещений (прогибов) И'О*:,') в рассматриваемом колебательном процессе надо перемещения при качке м'Дд:,/) просуммировать с перемещениями при вибрации и^л:,/):

и'(х,0 = и'к(х,/) + усв(х/0. (4)

Итак, мы пришли к выводу, что вынужденную вибрацию корпуса надо рассчитывать, считая, что на корпус действуют силы интенсивностью На практике обычно вы-

нужденная вибрация рассчитывается на действие только возмущающих сил qe(x,t); остальные силы, стоящие в правой части равенства (3) и возникающие при качке, игнорируются. Из приведенного выше анализа следует, что такие расчёты справедливы лишь в том случае, когда возмущающие силы самоуравновешены и качки не вызывают. Если же возмущающие силы не самоуравновешены, тогда они должны вызывать и качку, и вибрацию. В обычных расчётах с помощью различных математических приемов делают так, чтобы качка отсутствовала [4, с. 216-217], [1, с. 185], [6, с. 186]. Следует отметить, что В.В.Давыдов, рассматривая прочность гибких водоизмещающих судов [4, с. 298-303] на волнении, рекомендует сначала выполнить расчёт качки, а потом расчёт волновой вибрации на действие нагрузки, названной им дополнительной и близкой к нагрузке qk{x,t), т. е. схема расчёта волновой вибрации очень близка к рекомендуемой нами. Однако так следует поступать не только при расчёте волновой вибрации, но и при расчёте всякой вынужденной вибрации корпуса, например, вызываемой усилиями от поршневых механизмов и усилиями, возникающими при вращении гребного винта.

Конечно, обычный расчёт, не учитывающий качку, логически неверен. С первого взгляда, он должен привести к значительной ошибке. Однако, это не так. В линейных задачах применим принцип наложения (суперпозиции). В обычном расчёте вибрация корпуса вызывается только внешней нагрузкой q/x,t); результат этого расчёта обозначим Далее рассчитаем вибрацию на действие нагрузок от качки q^x.t) - qdx,t)\ результат этого расчёта обозначим wB2(x,t). Тогда суммарные перемещения по формуле (4)

w(x, 0 = wei (х, t) + wg2 (*, I) + wK (x, t). (5)

Но перемещения при вибрации we2(x,t) имеют знак, противоположный знаку перемещений при качке vv^x, f); поэтому эти два слагаемых в правой части равенства (5) на самом деле не складываются, а вычитаются так, что

w(x,t)*we ,(*,Г). (6)

Слагаемые we2(x,í) и и\.(х,/) не могут полностью погасить друг друга, так как присоединенные массы воды и коэффициента сопротивления при качке и при вибрации различны. Величину возникающей ошибки можно оценить с помощью сопоставительных расчётов. Для простаты рассчитаем призматический с прямоугольным поперечным сечением корпус, основные характеристики которого совпадают с характеристиками судна, рассмотренного в книге [4, с. 180]:

¿=37, 2 м; 5=7,4 м; МО,236 м"1; wc=10 т/м.

На носовом перпендикуляре приложена сосредоточенная сила Р cos ut с частотой о) = 20 с'1. Силы сопротивления не учитываются ни при расчёте качки, ни при расчёте вибрации. Статическое воздействие воды учтено путем введения в расчётную схему упругого основания.

Расчёт качки ведем в соответствии с рекомендациями книги Ю. В. Ремеза [7]. Так как судно симметрично относительно плоскости миделя, центр масс лежит в этой плоскости, то вертикальную и килевую качку можно рассматривать отдельно.

При вертикальной качке погонная присоединенная масса воды [7] /Х33 = 22,34 т/м. Ординаты вертикальной качки

ç = {Р/L) cos at Ну В - m к(о2) = -2,09.10-6 Р cos cot, (7)

где 7=9,81 кН/м3 - удельный вес воды;

тк = Шс+fJ.зз = 32,34 т/м - погонная масса при качке.

Дифференциальное уравнение килевой качки на тихой воде [7, с. 107]:

сР-

(/ + Л/55)—= (/»¿/2)со8ю/, (8)

с1г

где 1у = 42899 т м2 - момент инерции массы судна относительно поперечной оси;

Мц = /Х33 I,3/12 = 95836 т.м2 - момент инерции присоединенной массы воды относительно оси у;

Н - 84,5 м - начальная продольная метацентрическая высота. Решая уравнение (8), найдем

у/ = -0,3352 Рсо&со1. (9)

Силы инерции и силы поддержания, действующие на призматический корпус при качке, распределены по длине корпуса по линейному закону. Они легко находятся из условий равновесия (начало координат на миделе):

?*(*»/) = -{0,02688-1- 0,004336 х)Р сое Ш. (10)

Как обычно, положим при расчёте вибрации

*в(Х,Г) = /(Х)С05С01, (11)

где форма колебаний определяется дифференциальным уравнением

Е1/1У(х)-твсо2Дх) = дк(х) (12)

при граничных условиях

/"(-¿/2) = /'\-Ы2)~ /"(¿/2) = 0, Е1/"(Ы2) = -Р. (13)

Способы решения уравнения (12) хорошо известны. Поэтому, опуская выкладки, приводим в табл. 1 результаты различных вариантов расчётов.

Таблица I

Амплитуды колебаний (мм) в корме /(-Ь/2), на миделе ДО) и в носу /(1У2)

при Р=10 кН

Номер варианта расчета А-Ш) т Ли 2)

I 0.041 -0.021 -0.083

2 0.629 -0.382 0.505

3 0.578 -0.356 0.607

4 0.619 -0.377 0.524

Примечание к габл. 1:

1 - по расчету качки;

2 - по расчету вибрации, при котором усилия при качке не учитываются (ду(х,1)=0У,

3 - по расчету вибрации с учетом усилий при качке;

4-суммарные амплитуды при качке и вибрации.

Как следует из табл. 1, максимальная разница вычисленных амплитуд (вариант 4 точный расчёт; вариант 2 - обычно выполняемый расчёт) составляет 3,6 %. Эта разница не имеет существенного значения. Возможно, в других случаях она может быть больше.

Вынужденная вибрация реальных не призматических судовых корпусов с неравномерно распределенными массами часто рассчитывается путем разложения решения

соответствующего дифференциального уравнения в ряд по формам главных свободных колебаний [4, с 213-217], [6, с. 185-191]. По способам выполнения такого решения необходимо сделать следующие замечания.

Для простоты изложения рассмотрим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний корпуса без учёта сил сопротивления и деформации сдвига. Добавление сил внутреннего сопротивления не сказывается на применимости решения. При гармонической нагрузке форма колебаний определяется уравнением

[£/(*) /"(*)]" - т(х) со2/{х) = д(х). (14)

В учебниках [4] и [6] предлагается решать это уравнение в виде суммы (запись несколько изменена)

Ях)=к£ПакП(х), (15)

к = 1

где фк(х) - форма главных свободных колебаний корпуса к-го тона, подчиняющаяся дифференциальному уравнению

[Е1<рк']"-А2кт<рк=0. (16)

Подстановка равенства(15) в уравнение (14) при учёте уравнения (16) дает

*£\(Л?-й>2)т^ =<?(*)■ (17)

к = 1

Проинтегрируем равенство (17), а также это же равенство, умноженное на х, в пределах от 0 до Ь (при начале координат на кормовом перпендикуляре). Так как функции фк(х) обладают свойством

Ь Ь

\т(х) <рк(х) сЬс = \хт(х) <рк(х) ск = 0, (18)

О О

то после интегрирования левая часть равенства обратится в нуль, и мы получим

I £

\я(х)с!х= /х<7(*)Л = 0, (19)

О О

т. е. возмущающая нагрузка должна быть самоуравновешенной. К сожалению, это требование к нагрузке при использовании равенства (15) в известных автору руководствах нигде не упоминается. Решение задачи о вынужденной вибрации, возбуждаемой неуравновешенной нагрузкой [4, с. 216-217], при использовании равенства (15) будет содержать ошибку.

Если нагрузка не является самоуравновешенной, то вместо равенства (15) надо использовать равенство

/(х) = с0+сЛ + кТПаксрк(х). (20)

ь к = 1

Способ расчёта вибрации путем разложения прогиба (формы колебаний) в ряд по формам главных свободных колебаний является разновидностью метода Бубнова-Галеркина, в котором функции фк(х) обычно называются координатными. Одно из требований к координатным функциям состоит в том, что они должны образовывать

полное семейство функций при п-* со. Формы главных свободных колебаний корпуса этому требованию не удовлетворяют; добавление линейных членов в равенстве (20) делает это семейство полным при решении задач вынужденной вибрации корпуса.

Чтобы оценить ошибку, возникающую при использовании равенства (15) при неуравновешенной нагрузке, рассчитаем вибрацию рассмотренного выше призматического корпуса длиной Ь = 37,2 м. Если учитывать в расчёте силы инерции и силы сопротивления при качке, то совокупность внешних сил будет самоуравновешенной, и расчёт с использованием равенства (15) будет точным. Этот случай для нас сейчас интереса не представляет; поэтому качку, как это делается в обычном расчёте, не учитываем. Считаем, что корпус загружен только силой Лсобш/ на носовом перпендикуляре; эта сила, разумеется, не самоуравновешена. В отличие от предыдущего расчёта будем пренебрегать статическим воздействием воды на корпус.

С первого взгляда, равенства (15) и (20) нельзя применять к рассматриваемой задаче, так как они не удовлетворяют четвертому из граничных условий (13). К тому же, граничные условия должны быть однородными, а четвертое условие неоднородно. Однако сосредоточенную силу мысленно можно заменить силой бесконечно большой интенсивности, распределенной по бесконечно малому участку, прилегающему к концу корпуса. Тогда на конце балки срезывающая сила будет равна нулю, и все граничные условия - однородными [4, с. 124]. Конечно, такой искусственный прием замедляет сходимость рядов; они будут непригодными для вычисления третьей производной /"(*)■ Для усиления сходимости можно добавить в правую часть равенств (15) и (20)

любую непрерывную функцию фо(х), имеющую соответствующее число непрерывных производных, удовлетворяющую неоднородным граничным условиям [8, с. 48]:

к=п

Ях) = <р0(х)+ I ак<рк(х); (21)

к = \

х к = п

/00 = Ф(\(.х) + с0 + С1Т + ^ акФкМ- (22)

1 к= 1

В рассматриваемой задаче можно положить

<Р0(х)=^-Кх/1)Л-0Мх/Ь)5), (23)

11Ы

Были произведены несколько вариантов расчётов, результаты которых приведены в табл. 2.

Как показывают данные табл. 2, часто выполняемый расчёт вибрации на действие несамоуравновешенной динамической нагрузки разложением в ряд (15) может дать ошибку в величине перемещений до 19 %. Можно рекомендовать всегда пользоваться разложениями (20) или (22), особенно при составлении программ для ЭВМ. Если нагрузка самоуравновешенная, то в равенстве (20) коэффициенты с0 и с, при применении процедуры Бубнова-Галеркина автоматически обратятся в нуль.

Таблица 2

Амплитуды колебаний (мм) в корме/(0% па миделе/(1/2) и в носу/(Ц при Р=10, кН по различным варианта.» расчёта

Номер варианта расчета /0) Ли2) ли

1 0,653 -0,396 0.530

2 0,603 -0,371 0,631

3 0,654 -0,396 0,529

4 0,653 -0,401 0.529

Варианты расчётов:

1 - точный расчёт решением линейного уравнения (14) при q(x)=0 при граничных условиях (13);

2 - расчёт с использованием равенства (15);

3 - расчёт с использованием равенства (20);

4 - расчёт с использованием равенства (22).

В заключение несколько слов о назначении присоединенной массы воды при расчёте вынужденной вибрации. Присоединенная масса зависит от формы колебаний, которая заранее неизвестна. Для её определения каждый раз нужно решить сложную гидроупругую задачу, что нецелесообразно. Поэтому приходится пользоваться приближенными рекомендациями.

Утверждается [6, с. 185], что «указанные затруднения исчезают при использовании для расчёта вынужденных колебаний разложения решения в ряд по формам главных свободных колебаний судового корпуса». Аналогичная мысль высказана и в книге В. В. Давыдова и Н. В. Маттес [4, с. 214]. Однако здесь не учитывается то обстоятельство, что при различных погонных массах при вычислении разных форм колебаний фк(х) эти формы не будут ортогональными. В результате либо решение чрезвычайно усложнится, либо, если считать все-таки формы ортогональными, возникнет новая ошибка. По нашему мнению, при расчёте вынужденной вибрации корпуса любым методом лучше назначать присоединенные массы воды в соответствии с рекомендацией Н. В. Маттес: «Определяя вынужденные колебания ..., следует вводить в уравнение ... массы, соответствующие тому тону, частота которого ближе всего к частоте заданной возмущающей силы, или осреднять массы двух соседних собственных тонов, между частотами которых заключается возмущающая частота» [4, с. 218].

Список литературы

[1] Короткин, Я. И. Волновые нагрузки корпуса судна / Я. И. Коротким. О. И. Рабинович. Д. М. Ростовцев. - JL: Судостроение, 1987. - 236 с.

[2] Крыжевич, Г. В. Гидроупругость конструкций корпуса / Г. Б. Крыжевич. - СПб: ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова, 2006. - 231 с.

[3] Бойцов, Г. В. Прочность и конструкция корпуса судов новых типов / Г. В. Бойцов, О. М. Палий. - Л.: Судостроение, 1979. - 360 с.

[4] Давыдов, В. В. Динамические расчёты прочности судовых конструкций / В. В.Давыдов, Н. В. Маттес. - Л.: Судостроение, 1974. - 336 с.

f5] Свечников, О. И. Расчёт и проектирование конструкций судов внутреннего плавания: Учебное пособие / О. И. Свечников, И. И. Трянин. - СПб.: Судостроение, 1994. - 376 с. [6| Постнов. В. А. Вибрация корабля: Учебник / В. А. Постнов, В. С. Калинин, Д. М. Ростовцев. - Л.: Судостроение, 1983. - 248 с.

[7] Ремез, Ю. В. Качка корабля / Ю. В. Ремез. - Л.: Судостроение, 1983. - 328 с.

[8] Давыдов, В. В. Прочность судов внутреннего плавания: Справочник / В. В. Давыдов, Н. В. Маттес, И. Н. Сиверцев, И. И. Трянин. - М.: Транспорт, 1979. - 520 с.

CALCULATION OF FORCED SHIP HULL VIBRATION

1.1. Trjanin

Wave-exited main hull vibration in river ships is to be calculated by linear theory. When forces exciting hull vibration are not balanced they create ship oscillation and vibration; calculating forced vibration forces of inertia and damping at pitching add heaving are to be attendant. If a calculation of forced vibration is fulfilled by the series expansion of the solution by hull natural vibration modes the linear summands must be introduced in the series.