CC BY
52
УДК 504.3.054
ЭКОЛОГИЯ
РАСЧЕТ ВЫБРОСОВ ОДИНОЧНОГО ИСТОЧНИКА ПРИМЕСЕЙ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Ю.А. Киценко, научн. сотр., к. ф.-м. н., ННЦ ХФТИ НАНУ, Л.Н. Киценко, мл. научн. сотр., Институт электрофизики и радиационных технологий НАН Украины, А.Б. Киценко, доцент, к. ф.-м. н., ХНАДУ
Аннотация. Исследовано распределение примесей и кислорода в атмосферном воздухе, устанавливающееся в результате функционирования стационарных точечных источников примесей и стоков кислорода.
Ключевые слова: уравнение турбулентной диффузии, функция Грина, вредные примеси.
РОЗРАХУНОК ВИКИД1В ОДИНОЧНОГО ДЖЕРЕЛА ДОМ1ШОК ЗА ДОПОМОГОЮ ФУНКЦ1Й ГР1НА
Ю.О. Кщенко, наук. сшвроб., к. ф.-м. н., ННЦ ХФТ1 НАНУ, Л.М. Кщенко, мол. наук. сшвроб., 1нститут електроф1зики та рад1ацшних технологш НАН УкраТни, О.Б. Кщенко, доцент, к. ф.-м. н., ХНАДУ
Анотаця. Досл1джено розподш домшок i кисню в атмосферному повтр1, який встановлюеться в результатi функщонування стащонарних точкових джерел домшок та стоюв кисню.
Ключов1 слова: рiвняння турбулентног дифузп, функщя Грта, шкiдливi домшки.
CALCULATION OF DISCHARGE FROM A SINGLE SOURCE OF IMPURITIES WITH HELP OF GREEN FUNCTIONS
Yu. Kitsenko, researcher, Candidate of Physical and Mathematical Science, NSC KIPT
NASU, L. Kitsenko, Junior Researcher, Institute of Electrophysics and Radiation Technologies NASU, A. Kitsenko, Associate Professor, Candidate of Physical and Mathematical Science, KhNAHU
Abstract. The distribution ofpollutants and oxygen in the atmospheric air that is formed due to operation of stationary point sources of impurities and oxygen sinks is considered.
Key words: equations of turbulent diffusion, Green function, deleterious impurities.
Введение
К загрязнению атмосферы приводят природные, промышленные и бытовые процессы. Наибольший вред наносят такие токсичные вещества: оксид углерода CO, углеводороды СНт, оксиды азота NOx, сернистый газ SO2, сажа и др. [1]. Сейчас насчитывают более 500 вредных веществ, которые загрязняют воз-
дух. Опасны также примеси, служащие причиной парникового эффекта (СО2 и др.) и разрушения озонового слоя (например, фрео-ны).
В общем объеме вредных выбросов в атмосферу доля автотранспорта составляет больше трети. Необходимо также учитывать, что автомобильный транспорт потребляет
важный природным ресурс - кислород атмосферного воздуха. Снижение процентного содержания кислорода в атмосфере больших городов, отличающихся значительной интенсивностью транспортных потоков, может достигать таких величин, которые угрожают здоровью людей.
Построение теоретических моделей, описывающих распространение вредных примесей в атмосфере и поглощение кислорода двигателями внутреннего сгорания (ДВС) автотранспорта, позволит прогнозировать изменение состава атмосферы и повысить эффективность мер, предпринимаемых для защиты окружающей среды.
Анализ публикаций
Экологические проблемы, связанные с распространением вредных примесей в атмосфере, рассмотрены в работе [1]. На экологическую опасность, вызванную потреблением кислорода автотранспортом, обращено внимание в работах [2, 3], где приведены соответствующие экспериментальные данные.
ние краевой задачи, отвечающее мгновенному точечному источнику, называется функцией Грина. С помощью этой функции можно в общем виде записать решение краевой задачи с произвольными начальными условиями и произвольным распределением ин-тенсивностей источников (стоков) в пространстве и времени. Случай стационарного точечного источника примесей (стоков кислорода), имеющий существенный интерес с прикладной точки зрения, рассмотрен в данной работе.
Укажем, что математическая модель, соответствующая задаче распространения примесей, аналогична модели, которая описывает диффузию быстрых ионов, проникающих в твердотельный образец [7].
Краевая задача для диффузии примесей в турбулентной атмосфере
Уравнение для массовой концентрации примеси Ч, которая представляет собой массу примеси в единичной массе воздуха, имеет вид
Теоретические модели, которые дают возможность оценить изменение концентрации примеси в атмосферном воздухе, базируются на использовании уравнения турбулентной диффузии [4-6]. Заметим, что в работах [4-6] отсутствует анализ работы непрерывно действующих стационарных точечных источников.
Цель и постановка задачи
В данной работе получен аналитический результат для концентрации загрязняющей примеси (или кислорода) в случае стационарного одиночного точечного источника загрязнения (или стока кислорода). Сформулирована краевая задача для уравнения турбулентной диффузии, которая описывает распространение примеси (или кислорода) в окружающей среде для определенным образом выбранных начальных и граничных условий.
Если характерные расстояния, на которых происходит существенное изменение концентрации примеси (или кислорода), значительно превышают размеры источника примесей (стоков кислорода), то такой источник (сток кислорода) можно считать точечным. Реше-
д а д а д а д а — = - и — - V— - w — + Кх
д t
дх ду д;
д х2 '
д2Ч д Ж,
д г и
+ Куу _у2 +- 3К^ ч + /(х, у, г, t),
д а ц,
д г ш
(1)
оси Ох и Оу прямоугольной системы координат расположены в горизонтальной плоскости, ось Ог направлена вдоль вертикали вверх; Кхх , Куу, Кгг - коэффициенты турбулентной диффузии. Функцию / (х, у, г, t) представим в виде
/(х, у, г, t) , Р '
(2)
где р - плотность воздуха; р = р (х, у, г, t) -объемная плотность мощности источников, которые поставляют примеси в атмосферу, т.е. р - это количество примеси в кг, появляющееся в единице объема за единицу времени за счет внешних источников (стоков);
[р] = кг , {и,V, w} - вектор скорости при-
м
Чс
месных частиц или кислорода. В дальнейшем пренебрегаем зависимостью плотности воз-
духа Р и коэффициентов диффузии от координат.
Рассмотрим диффузию примесей или кислорода в полупространстве - Г < х < Г , - Г < у < Г , 2 | о, которая описывается уравнением (1) при начальном условии д(г, t = 0) = д0. Считая земную поверхность непроницаемой, воспользуемся граничным д q
условием
д
=0
г= 0
Стационарный точечный источник примесей (сток кислорода)
Функция Грина G(х, у, г, X, Г|, £, t) для рассматриваемой краевой задачи является решением уравнения (1) при
f(x, у, г,0 = 8 (х - X )8 (у - |) Г Г 8 (г - £ )8 ^ - х),
(3)
где 8 (х) - 8 -функция Дирака. В случае V = 0 , w = 0, считая скорость ветра и постоянной, имеем (см. [5])
для функции Грина можно выполнить предельный переход Кхх ® 0, что дает следующий результат
G(х, у, г, X, |, £, t) =
= 8 (Х -Х- ехр[- (у-Л^ ] Г 4р t (КуКгг /2 ^ (6)
, м Г (г - £ )\ Г (г + £ )\ь
Г н ехр[- --] + ехр[- --.
Для стационарного точечного источника положим в формуле (2)
Р = М00 (08 (х- х0)8 (у- у0)8 (г- г0), (7)
где М0 - количество примеси, которая выделяется за единицу времени точечным источником (М0 > 0), или масса кислорода, который поглощается в точечном стоке (М0 < 0) за единицу времени,[М0]кг с/ ; 0 (х) - ступенчатая функция, 0 (х) = 0 при х < 0 и 0(х) = 1 при х I 0.
G( х, у, г, X, |, £, t) =
1
8(р О2 (КхКууК*) \2 „ \2
Г
Г ехр[- (х^^ - ] Г (4)
4К^ 4Kyyt '
М (г - £ )2 (г + £ )2 ь
Г н ехр[- Ч-^] + ехр[- .
0
4K„t
ю
Функция Грина (4) позволяет записать решение краевой задачи для уравнения (1) в случае произвольной функции f (х у,г„ t) следующим образом:
q( X, t) = qо +
+ ^х т d3а G(X,а ^ - х)Да ,х), (5)
0 щ
где X = {х,у,г} , а = {X,|,£} , d3а = dXdl^ d£ и интегрирование проводится по области , которая определяется неравенствами
- Г < X < Г , - Г < | < Г ,0 \ £ < Г .
Если адвективный перенос газовой примеси (кислорода) вдоль оси Ох значительно превышает диффузионный, то в выражении (4)
Решение для q имеет вид
q(X, t) = q0 + тdх т d а G(X, а , t -х) Г
0 щ
Г М0 (х)8 (X- х0)8 (|- у0)8 (£- г0). Р
Проведя в (8) интегрирование, получим
q( х, у, г, t) = qо +
М 0ехрс
16РР (КххКууКгг )
Г М—[ехр(2а+ Ь)еф(—^ + Ьф) +
0 й+
Л
+ ехр(- 2а, Ь)еф(- Ьл/О] +
Ф
+ —[ехр(2а Ь)ег/с(* + ыЛ) +
а- ^Jt
+ ехр(- 2а-Ь)еф( - Ьл/?)]э, y¡t ю
где
а± =
V
(х- х0) + (у- у0) + (г ± ¿0)
4Кх
4Ку
4К„.
(8)
(9)
Г
ь =
с =
и(х - х0)
2Кхх
2 Г 2 ег[с(х) = —¡= техр(- и )du.
лд х
(10)
Если адвективный перенос играет главную роль (при Кхх ® 0), то из соотношения (9) вытекает
q( х, у, z, t) = qo +
М о
4р Р (х - хо^КууКг:
(11)
и (у- У0)
и ( г- г0)
и ( г0)
Г е 4Куу (х- х0){е 4К22 (х- х0) + е 4К22 (х- х0)}
Здесь М0 < 0 при рассмотрении поглощения кислорода автотранспортом.
Укажем, что формулой (11) можно пользоваться при 0 < х - х0 < и . В случае х > х0 + и имеем
q(x,у,) = q0, (х - х0 > ut). (12)
Это означает, что решение (11) является нестационарным (зависит от времени), хотя источник (сток) действует стационарно.
Анализ квазистационарного решения для случая адвективного переноса примесей
Для характерных значений скорости ветра и ~5 ё 10м/с адвективное перемещение примеси А хадв ~ и t на практике значительно превышает диффузионное А хдиф ~ ^Кхх! при t > > tcr, где для tcr имеем
t = К / и2 .
сг хх
(13)
А х.
Кх
хх
и
(14)
В соответствии с данными, приведенными в [4], примем Кхх = 1 м2/с и и = 5 м/с, тогда Ах, » 0,2 м.
Решением (11) можно пользоваться при 0 < х < и . В области х > и, в соответствии с (11), концентрация равна фоновой (А q = 0). Точное решение (9) дает для А q в этом случае экспоненциально малые значения. На подходе к «фронту» х = и находим
А q =
М0
2р Р и (ККгг)
1/2
ехр(-
4Ка
). (15)
Переход к экспоненциально малым значениям А q происходит вблизи координаты х = и в области шириной А xf, определяемой соотношением
А хг ==У[К,:
I
(16)
Полагая Кхх = 1м2/с, I = 1000 с и и = 5 м/с, найдем, что адвективный перенос примеси произойдет на расстояние х = 5000 м, а ширина переходной области А xf составит около 32 м.
Особенности стационарного решения
Для проведения анализа решения (11) представим этот результат в безразмерной форме
q- qo = — Г
г
м
Г н ехр[-о
(У - 1)2
] + ехр[-
(У + 1)\ь
(17)
]э, ю
В прикладных задачах условие I > > 1сг легко удовлетворяется.
Вблизи источника (х » х0 = 0) добавка к фоновой концентрации А q = q - q0 становится экспоненциально малой при х - х0 < 0 . Ширина переходной области вблизи источника, в которой А q экспоненциально уменьшается, по порядку величины равна
где для величины — имеем соотношение
— ж К,ц
РР иг02 И Куу ш
(18)
Безразмерное расстояние точки наблюдения от покоящегося источника г определяется формулой
и
Г
+
г
г
г
L
где
L =
и,0 4 К„
(19)
(20)
Для безразмерной величины У имеем соотношение
(21)
А q
Графики зависимости — от г для трех значений У (У = 0, у = 1, у = 2) представлены на рис. 1.
Если К22 находится в интервале К22 ~ 0,1 ё 1 м2/с, для и = 5 м/с, ,0 = 1м получаем из формулы (20) Ь ~ 1 ё 12 м.
отвечает концен-3 № 11 л - 6
Укажем, что А q = 2 Ч10- 6
трации СО в воздухе 1,29кг/м 3 Ч2 10
» 2,6мг/м 3, которая приближается к разовой предельно допустимой концентрации [1].
Результат (17) дает возможность оценить максимальную концентрацию вредной примеси (или уменьшение концентрации кислорода) вблизи земной поверхности (У = 0). Согласно (11) и (17) величина |А ^ для «наземной» концентрации уменьшается асимптотически как (х- х0)-1. Максимальное зна-
чение
1А q|1
достигается при
(х- х0)
0/тах
и
4 К,,
(22)
Для |А Ч\т
имеем
|а q|
I 1 1п
2 |М0| К
1/2
р ер
(23)
Рис. 1. Зависимость относительного измене-
А q *
ния концентрации от безразмерного
расстояния точки наблюдения от источника г для фиксированных значений безразмерной высоты у (У= 0,1,2 соответственно для кривых 1, 2, 3)
Рассмотрим численный пример, который иллюстрирует применение аналитического результата (17) для расчета концентрации вредного вещества. Выбросы оксида углерода СО отдельными легковыми автомобилями по порядку величины достигают значений
М0 ~ 4 Ч10- 5 кг/с [1]. Принимая К,, ~ Куу , и = 5 м/с, р = 1,29 кг/м3, ,0 = 1 м, из соотношения (18) получаем Q » 2 Ч10- 6. Как видно из графиков на рис. 1, на расстоянии г ~1 (или |х - х0 \ ~ Ь ) имеем оценку |А ^ ~ 2 Ч10- 6.
Выводы
Выбросы в атмосферу вредных веществ промышленными предприятиями и автомобильным транспортом существенно ухудшают экологическую ситуацию и угрожают здоровью людей. В связи с этим оценка концентрации загрязняющих веществ в атмосферном воздухе является важной практической задачей в экологических исследованиях. В данной работе изучается распространение в атмосфере вредных примесей, которые выбрасываются точечными источниками загрязнения. Проанализировано также поглощение кислорода отдельными автотранспортными средствами.
Построена математическая модель, которая базируется на использовании уравнения турбулентной диффузии и функций Грина сформулированной краевой задачи. Рассмотрена диффузия примесей, которые попадают в атмосферный воздух от одиночных стационарных источников. Укажем, что функция Грина позволяет найти концентрацию примесей для
г
2
У
г
0
источника с произвольно распределенной в пространстве интенсивностью.
Выведенные в данной работе формулы могут быть полезными для расчета концентрации вредных веществ вблизи земной поверхности и сравнения ее с предельно допустимыми величинами.
Литература
1. Еколопя та автомобшьний транспорт :
навч. пошбник / Ю.Ф. Гутаревич, Д.В. Зеркалов, А.Г. Говорун та ш. - К. : Арютей, 2006. - 292 с.
2. Хортов В.П. Чем больше и мощнее ДВС
мы будем производить, тем быстрее задохнемся без кислорода!!! / В.П. Хортов // Автомобильный транспорт : сб. научн. тр. - 2000. - №5. - С. 3-6.
3. Хортов В.П. Новый взгляд на экологиче-
скую опасность АТС / В.П. Хортов // Автомобильная промышленность. -2000. - №6. - С. 22-24.
4. Охрана окружающей среды / А.М. Влади-
миров, Ю.И. Ляхин, Л.Т. Матвеев, В.Г. Орлов. - Ленинград : Гидрометео-издат, 1991. - 422 с.
5. Монин А.С. Статистическая гидромехани-
ка. Механика турбулентности. - Ч. 1 / A.C. Монин, А.М. Яглом. - М. : Наука, 1965. - 640 с.
6. Бруяцкий Е.В. Теория атмосферной диф-
фузии радиоактивных выбросов / Е.В. Бруяцкий. - К. : Институт гидромеханики НАН Украины, 2000. - 443 с.
7. Киценко А.Б. Кинетика внедрения уско-
ренных газовых ионов в кристаллические твердые тела / А.Б. Киценко, Н.П. Катрич // Атомная энергия. - 1986. - Т. 60, Вып. 1. - С. 58-61.
Рецензент: М.А. Подригало, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 30 апреля 2010 г.
