Изменение концентрации атмосферного кислорода вследствие поглощения его автомобильным транспортом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 504.3.054

ИЗМЕНЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ АТМОСФЕРНОГО КИСЛОРОДА ВСЛЕДСТВИЕ ПОГЛОЩЕНИЯ ЕГО АВТОМОБИЛЬНЫМ ТРАНСПОРТОМ

А.Б. Киценко, доцент, к.ф.-м.н., А.И. Пятак, профессор, д.ф.-м.н., ХНАДУ, Ю.А. Киценко, мл. научн. сотр., ННЦ ХФТИ НАНУ

Аннотация. Построена математическая модель, которая дает возможность исследовать диффузию кислорода и вредных примесей в турбулентной атмосфере. Найдена зависимость концентрации кислорода от времени и пространственных координат. Даны численные оценки снижения процентного содержания кислорода в атмосфере больших городов в результате его потребления автотранспортом.

Ключевые слова: уравнения турбулентной диффузии, функция Грина, концентрация кислорода, автомобильный транспорт.

Введение

Воздействие автотранспорта на состояние атмосферы связано не только с ее непосредственным загрязнением вредными примесями, но и с потреблением важного природного ресурса - кислорода, содержащегося в атмосферном воздухе. Существенное снижение процентного содержания кислорода в атмосфере крупных городов, где транспортные потоки отличаются большой интенсивностью, может отрицательно влиять на здоровье людей. В связи с этим разработка количественных методов оценки потерь атмосферного кислорода, вызванных его поглощением двигателями внутреннего сгорания (ДВС) автотранспортных средств, приобретает существенное значение.

Анализ публикаций

Детальный анализ экологической угрозы, возникающей в связи с потреблением кислорода автомобильным транспортом, проведен в работах [1, 2]. Как показали экспериментальные исследования, в городах с большой плотностью транспортных потоков доля кислорода в атмосферном воздухе становится меньше стандартного значения 20,9%. В работах [1, 2] отмечается, что признаки кислородного голодания появляются у людей уже при снижении содержания кислорода с 20,9% до 18,3%.

Для исследования распространения примесей в атмосфере обычно применяют уравнения турбулентной диффузии (см. [3]). Эти уравнения пригодны и для анализа изменений концентрации кислорода. В работах [3, 4] рассмотрена диффузия примесей, выделяемых в приземном слое воз-

духа мгновенным точечным источником. Между тем для расчета убыли кислорода в условиях городского транспортного движения нужно рассматривать поглощение кислорода автотранспортными средствами, распределенными по большой территории. Математическая модель, соответствующая такой задаче, аналогична модели, описывающей диффузию примесных ионов, внедренных в твердотельный образец [5]. Следует отметить, что экономическим аспектам поглощения кислорода автотранспортом в литературе уделяется недостаточно внимания (см., например, [6]). Между тем возможности природы по восстановлению кислорода, как отмечено в [2], непрерывно сужаются.

Цель и постановка задачи

Цель настоящей работы - изучение изменения распределения кислорода в атмосферном воздухе в результате работы ДВС автомобильного транспорта. Построена физическая модель, которая позволяет количественно оценить снижение содержания кислорода в атмосферном воздухе. При проведении анализа используется уравнение турбулентной диффузии с учетом случайного характера расположения в пределах города стоков кислорода, связанных с отдельными транспортными средствами. Решение сформулированной краевой задачи находится с помощью функций Грина. Определена зависимость концентрации примесей (кислорода) от времени и пространственных координат.

Диффузия примесей (кислорода)

в турбулентной атмосфере

Уравнения турбулентного переноса записывают для массовой концентрации примеси q, представ-

ляющей собой массу примеси в единичной массе воздуха, (см. [3, 4])

дq дq дq дq ^ д2 q

— = -и — - V—- ж— + Кхх—^ +

дt

дх ду дг х дх2

д2 q д ( дq

+куу +¥Г-~|+7 (х,у,",t),

д"

(1)

где {и, V, w} - средняя скорость примесной составляющей (или кислорода); оси Ох и Оу прямоугольной системы координат расположены в горизонтальной плоскости, ось Ог направлена вдоль вертикали вверх; Кхх, Куу, Кгг - коэффициенты турбулентной диффузии. В уравнении (1) полагаем

/ (х, у, г, t) =-

(2)

ных средств разновидности у на территории города, / ) - плотность вероятности распределе-

ния транспортных средств разновидности у по скоростям. Заметим, что для функций выполняются условия нормировки

-Я gj (ху , Уу , ^^уЛУу = ^ 1 7 ^у )^у = 1. (4)

В соответствии с соотношением (3) величину р можно записать в виде

р = Е п<И<(хУ, г)М<8(г - к )

(5)

где пу = N у / £ ; ку - высота, на которой происходит забор воздуха двигателем автомобиля группы у;

где р = р( х, у, г, г) - объемная плотность мощности источников, поставляющих примеси в атмосферу, либо объемная плотность мощности стог т кг

ков кислорода, [р] = ——, р - плотность возду-м с

ха. Отметим, что при рассмотрении реальных задач (см. [4]) можно пренебречь зависимостью р от координат х, у , г .

В дальнейшем мы будем интересоваться влиянием потребления автотранспортом кислорода на уменьшение его концентрации в воздухе в условиях большого города. Учитывая случайный характер движения автомобилей, представим величину р в виде

1 т Nj

р = - Е 2dx¡jdy¡jdv¡jgj (ху, уи, t) х

о у=11=1 (3 )

/ V )Му (Уу)8( х - ху)5( у - уу)5(" - к X

=1 /у V )Му V )^у . (6)

0

Краевая задача для уравнения диффузии.

Функция Грина

Рассмотрим диффузию кислорода в полупространстве -ж < х <ж, -ж < у < ж, г > 0 , описываемую уравнением (1) при начальном условии q (х, у, г, г = 0) = q0. Граничное условие соответствует непроницаемости земной поверхности: дq дг

= 0. Функция Грина 0(х, у, г, п,С,г) рас-

сматриваемой краевой задачи является решением уравнения (1) при

/(х,у,г,г) =8(х-£)5(у-п)8(г-05(/-т). (7)

В случае V = 0 , w = 0 , считая величины и , Кхх, Куу, К22 постоянными, имеем (см. [3])

где у - номер одной из т разновидностей транспортных средств, 1 - номер автомобиля из у-й группы, х у, у у, ку - координаты места забора воздуха (воздушного фильтра) для автомобиля 1 из у-ой группы, Nу - общее количество автомобилей у -ого типа, О - площадь городской территории, V у - модуль скорости передвижения 1 -ого транспортного средства из у-ой группы, 5(х) -5 -функция Дирака, Му (V у) - мощность источника примеси или стока кислорода для отдельного транспортного средства, т.е., количество примеси (кислорода), выделяемой (поглощаемого) за 1 с транспортным средством типа у, gj (ху, у у, г) -плотность вероятности распределения транспорт-

в( х, у, г, |, п, С, г) =

1

8(пг)32( КххКууК22 )>*

<ехр[-

(х -|-иг)2 (у -п)2

4Кххг 4КуУг

(8)

ехр[- £Ю1,+ехр[- <4+5)1 ».

4К/ 4К/ '

С помощью функции Грина решение краевой задачи для уравнения (1) в случае произвольной функции / (х, у, г, г) можно представить в виде

q(X,г) = 1 dт1 d3Н в(X,н,г-т)/(Н,т) + q0, (9)

0 Дн

р

где X = {х,у,г), Н = {,п,С), d3Н = d^dndZ и интегрирование проводится по области Бн, определяемой неравенствами -ж < | < ж,

-оо <п<ж, 0 <^<ж .

Если адвективный перенос газовой добавки (кислорода, примеси) вдоль оси Ох значительно превышает диффузионный, то в выражении (8) для функции Грина можно выполнить предельный переход Кхх ^ 0, что дает следующий результат:

в(X, у, г, %, П, С, *) =

5(х-|-иі) ^(у-п)

4п*( КК)'

4Куу*

(10)

ехр[-

( 2 -О'

4 К/

] + ехр[-

(2 +02 4 К/

Стоки кислорода (источники примесей), распределенные в пространстве

Предположим, что автотранспортные средства равномерно распределены по площади большого города, тогда в формуле (5) можно положить gj (х, у, г, г) = 1 и для плотности стоков имеем

12 ± Н\

= Г-^-.

-± 2^

Результат (12) можно получить с помощью формул, приведенных в работе [5].

Для промежутков времени, соответствующих условиям

-<< 1.

ні

4Кгг* 4Кгг*

из соотношения (12) находим

<< 1,

(15)

q(2,*) = ^ +-Л-К-Е.

р\ пК

(16)

гг -=1

Заметим, что условия (15) при К22 ~ 0,01 м2/с

и г, ку ~ 1 м легко выполняется для г > 100 с.

Формулой (16) можно пользоваться, если стоки кислорода равномерно распределены по всей плоскости хОу. Учтем теперь ограниченность

области, занимаемой стоками. Пусть она имеет вид, изображенный на рис. 1.

2

г

р = Е <2< 8(г - Н Ж*), [б,-] =

і=1

кг

м2 • с

(11)

где = пуМ . Величина представляет собой

поверхностную плотность мощности источников примесей или стоков кислорода для автомобилей типа у . Эту величину можно назвать интенсивностью источников примесей ( > 0) или стоков

кислорода (< 0). Вследствие равномерности

распределения стоков кислорода массовая концентрация q(х, у, г, г) не зависит от х, у и для

q(г, г) из соотношений (8) и (9) найдем

т 2- I *

q( г, *) = qo + 2—, —х і= Р V Кгг

х[-Цхр(-^+) - WJ+ вг/€(^і+ ) +

Л/ТС

+-Цхр(^2) - Wj - вф(\¥- -)],

л/п

(12)

где

2 / \ вг/е (х) = —1= | ехр 1-и2 ))и , (13)

-\/П ■■

В уравнении (1) положим

т О.

/(х, у, г, г) = V —-g (х, у)5(2 - ку )0(г), (17) м Р

где gj (х, у) «1 внутри области Б , ограниченной

замкнутой кривой (см. рис. 1), и обращается в нуль вне Б , т.е.

gj (X, у,) = [0(у - У1) - 0(у - у 2)] х х [0(X - X! (у)) - 0(X - Х2 (у))],

0(х) - ступенчатая функция, 0(х) = 0 при х < 0 и 0(х) = 1 при х > 0 .

Ограничимся для простоты рассмотрением случая Кхх ^ 0 , Куу ^ 0, тогда для функции Грина в соответствии с (10) имеем формулу

Дц = q(z, г)-qo = -:

і=1

пКг

(25)

Суммарная поверхностная плотность мощности стоков кислорода определяется соотношением

в( X, Н, *) =

1

2у1ЛЇКг:

г 5(X - § - иґ)5(у - п) х

4Кгг*

4К 22 *

(19)

Используя соотношения (9), (17) - (19), для точек, расположенных в области Б (х1 (у) < х < х2 (у),

у1 < у < у2), находим

т !2 I Т

ц( ^ y, г, 0 = Цо + Е — X

1 2

х Н-ехр(-и2 ) - и-+вг/е(П- +) + (20)

л/п

1 2

+ ~1= ехр(-и2-) - и-вг/е(и--)], л/п

где

Т = тіП(,,£-М!І), (21)

г ± Н,\

иі± = 1 , ' . (22)

-± 2,КТ

Е2і =пМ ■

-=1

(26)

где п = Е П - суммарная поверхностная плот-

і=1

_ ^пі —

ность автомобилей, М =Е — Мі - среднее

=1

количество кислорода, потребляемого одним автотранспортным средством за 1 с.

Оценим прежде всего среднее количество автомобилей, которые приходятся на 1 м2 поверхности большого города. Пусть квартал имеет размеры а (м) х а (м), ширина улицы - d (м). Считаем, что движение двустороннее и автомобили двигаются в каждую сторону в один ряд. Предполагаем, что на один автомобиль приходится в среднем длина I полосы движения. Вдоль сторон одного квартала застройки двигаются (4а + 2d)// автомобилей. Итак, для количества п автомобилей на 1 м2 имеем оценку

п =

2(2а + ё)

і(а + ё )2

(27)

Для малых значений г , ку и больших Т, когда и, << 1, из соотношения (20) получим

Ц(20 = Ц0 +-,/Е2і .

Р їпК

(23)

22 і=1

Отсюда следует, что максимальное уменьшение

q при х1 (у) < х < х2 (у), у1 < у < у2 определяется выражением

N тах = \Ц0 - Ц(X, у, 2 ^ітах =

= 2 І тах(X2 (у) - ^ (у)) ■

п иК„

'■Е |2|.

(24)

і=1

Уменьшение концентрации кислорода в атмосфере в результате потребления его автотранспортом

Для оценки уменьшения концентрации кислорода воспользуемся формулой (23)

Если ё << а , то

і • а

(28)

Для оценки берем а и 100 м, і и 10 м, тогда

- 4 -10-3 м-2.

Определим теперь количество потребляемого автотранспортом кислорода. Если один автомобиль тратит 10 кг бензина на 100 км, а его средняя скорость составляет 60 км/ч, то один автомобиль сжигает бензина за 1 с приблизительно

----10.кг-----и 1,7 -10-3 кг/с. Принимаем, что

(10060/-3600 с

при этом на 1 кг бензина определяется 15 кг воздуха и, соответственно, около 3 кг кислорода. Интенсивность потребления кислорода одним транспортным средством определяется величи-

ной |М| и 5 -10 3 кг/с. Величину |2| = Е21 находим по формуле

і=1

и

4

п

п

\О\ = Пм\ =

4| М|

а1

(29)

откуда получаем оценку О и 2 -10 5 кг-м-2-с-1.

Промежуток времени Тсг, в течение которого

концентрация кислорода в пределах города может уменьшиться на предельно допустимую величину \^сг\, определяется соотношением

(30)

где р = 1,29 кг/м. Полагая к" и0,01 м/с (см. [3]) и \^сг\ = 2,5%, получаем оценку Тсг и 5,7 ч. Проведенная оценка показывает, что на протяжении дневного времени снижение процентного содержания кислорода в воздухе может достичь угрожающей для жизни человека вели: 0,001 м2/с, то эколо-возникает при

чины (см. [1, 2]). Если К 2. гическая опасность п\1

~ 5 -10 6 кг-м 2-с 1

Заметим, что Тсг должно удовлетворять условиям

4К"2 4 к".

■ << Тг <

тах(х 2( у) - х1 (у))

. (31)

Выводы

Снижение содержания кислорода в атмосферном воздухе, вызванное работой автомобильных двигателей внутреннего сгорания, представляет угрозу для здоровья людей и, прежде всего, для здоровья жителей больших городов. В работе [2] подчеркивается, что при объемном содержании кислорода в воздухе 20,94% человек чувствует себя нормально, но уже при 18,32% появляются признаки кислородного голодания. При продолжительном пребывании в атмосфере, где содержание кислорода составляет 14,39%, может наступить смерть. Укажем, что в большинстве пособий по экологии (см., например, [6]) опасность, связанная с потреблением автотранспортом важного естественного ресурса - кислорода, даже не обсуждается. Существующие методики оценки

загрязнения окружающей среды автотранспортом должны быть дополнены анализом снижения процентного содержания кислорода в атмосфере, которое связано с работой ДВС транспортных средств.

В данной работе изучаются модели диффузионного переноса кислорода в турбулентной атмосфере. Найдено распределение кислорода в атмосферном воздухе в зависимости от высоты точки наблюдения над земной поверхностью и от времени работы транспортных средств. Даны численные оценки снижения процентного содержания кислорода и найдены промежутки времени, в течение которых происходит существенное изменение концентрации кислорода. Полученные результаты могут быть полезными при проведении анализа экологической ситуации в больших городах.

Литература

1. Хортов В. Чем больше и мощнее ДВС мы бу-

дем производить, тем быстрее задохнемся без кислорода // Автомобильный транспорт.

- 2000. - №5. - С. 3-6.

2. Хортов В. П. Новый взгляд на экологическую

опасность АТС // Автомобильная промышленность. - 2000. - №6. - С. 22-24.

3. Монин А. С., Яглом А.М. Статистическая гид-

ромеханика. Механика турбулентности. Часть I. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-матем. лит-ры, 1965. - 640 с.

4. Владимиров А.М., Ляхин Ю.И., Матвеев Л.Т.,

Орлов В.Г. Охрана окружающей среды. -Ленинград: Гидрометеоиздат, 1991. - 422 с.

5. Киценко А.Б., Катрич Н.П. Кинетика внедре-

ния ускоренных газовых ионов в кристаллические твердые тела // Атомная энергия. -Т. 60. - Вып. 1. - 1986. - С. 58-61.

6. Канило П.М., Бей И.С., Ровенский А.И. Авто-

мобиль и окружающая среда: Учебное пособие / Под общ. ред. П.М. Канило. - Харьков: Флаг, 2000. - 304 с.

Рецензент: М.А. Подригало, профессор, д.т.н.. ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 10 декабря 2006 г.

2

г

и