CC BY
58
В теории "коротких" волн для аналогичной особенности не учитывается условие (3) соединения потоков в точке О, что приводит к появлению фиктивного "жидкого клина", вызванного встречной фиктивной струйкой газа
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Севастьянов Г.Д Основы теории околозвуковых течений газа Ч 1 Саратов Изд-во Capar ун-та, 1987
2 С i líder/еу KG Theorie schallnaher Strömungen Herlin, Göttingen, Heidelbegr Springer-Verlag 1957 / Пер с нем К Г Гудерлей Теория околозвуковых течений М Изд-во иностр лит , 1960
3 Севастьянов Г.Д Регулярное отражение околозвукового скачка от стенки // Математика Механика Сб. науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып 3 С 181 - 184.
УДК 539.3
Н. М. Сироткина, II. С. Сироткина
РАСЧЁТ ВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИЙ В ПОКРЫТИЯХ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ИЗГИБА ДВУХСЛОЙНОЙ БАЛКИ
В покрытиях после их нанесения, как правило, возникают внутренние напряжения Величина этих напряжений является весьма важной характеристикой покрытия, поскольку она определяет сцепляемость покрытия с подслоем, коррозионную стойкость, износостойкость и другие важные с точки зрения практики свойства. Для определения напряжений в покрытиях большинство исследователей используют следующий экспериментальный метод: покрытие (плёнка) наносится на тонкую пластинку (подложку), в результате чего последняя изгибается Далее замеряется радиус кривизны К изогнутой пластинки и рассчитывается величина напряжений по формуле Стони [1]
где Иу - толщина пленки, Их - толщина подложки, £'л. - модуль Юнга материала подложки
Заметим, что формула (1) применима только в том случае, когда толщина плёнки значительно меньше толщины подложки. Она выведена в предположении, что внутреннее напряжение, возникающее в проводимом эксперименте, определяется только свойствами покрытия, в то время как на самом деле оно зависит от условий работы покрытия, в данном случае
от материала и толщины подложки. В настоящей статье предложен подход, свободный от этого недостатка
Рассмотрим консольную пластинку длины а и ширины 2Ь, состоящую их двух различных изотропных слоев. Введем систему координат (л, у,г) таким образом, чтобы область, занимаемая пластинкой, определялась неравенствами О^л^й, ~ Ь <, у^Ь, -И2<г где /?,, И2 - толщины слоев, 7-0 соответствует поверхности контакта Будем отмечать все величины, относящиеся к верхнему слою (г >0), индексом "1", а к нижнему слою (г<0) - индексом "2". В частности, Ек (к = 1,2) - модули Юнга верхнего и нижнего слоя соответственно
В ходе эксперимента покрытие (верхний слой) получает некоторое объемное расширение (будем называть его собственным объёмным расширением) Подложка (нижний слой) препятствует свободной деформации покрытия, в результате чего пластинка изгибается. Таким образом, для описания проводимого эксперимента требуется изучить изгибную деформацию описанной выше двухслойной пластинки, вызванную различным собственным объёмным расширением верхнего и нижнего слоев. Эта задача является обобщением задачи о температурном изгибе биметаллической пластинки [2].
Будем полагать, что собственные объёмные расширения слоев зависят только от переменной г, и обозначим их 0*(г). Примем, что Ь/а« 1, Л,/а« 1, /12/а«1, тогда пластинку можно рассматривать как балку, испытывающую изгиб в плоскости (х,г) Примем гакже, что выполняются гипотезы теории изгиба балок [3]. Тогда из всех характеристик НДС отличными от нуля будут только напряжения о(/', ст^' и перемещения г/*\ и'1*'1, для которых имеют место следующие соотношения:
>=и/2> = ит=ит=и(х)-г —, (2)
¿X
„(к) _ у аг = ЬI
¿и </2иЛ
(1х йхг )
а С*) д (*') т (*>
+ ^ = 0,^ = 0,^1 = а<2)| , а<4 =а£>| =0.(4)
дх дг дх "1г=о' "!*=/., 1г=-А2 '
Перейдем от напряжений к интегральным характеристикам
О -Лг 0 -Л, 0
где Л^ - нормальное усилие, Мх - изгибающий момент, 0Х - перерезывающая сила. Из уравнений (4) следует
„ с1Мг _ (10,, „
-17-*' <«>
Подставляя (3) в (5), получим соотношения, связывающие нормальное усилие и изгибающий момент с перемещениями
¿и Лгч> (¡и
Мх=В-Г-С—т-пв, МХ=С-—О—т~те, (7)
ах с1х йх ¿х1
где
Д = + С=]-(БХ-Е2И22] 0=1-(н^ + Е2И1), (8)
о А, о
и0 =£, ^сЬ + Е2 ¡в2сЬ, тв =ЕХ\ЪХ2(Ь + Е1 ¡в2гс/г. (9)
Запишем граничные условия на концах балки
х = 0: и = н> =-= 0, х = а: Ы.=МХ=£)= 0. (10)
с1х
Из уравнений (6) и граничных условий (10) следует Л'х ^ Мх = ()х = 0, Полагая в (7) левые части равными нулю, получим систему для определения перемещений, решая которую, находим с учётом граничных условий (10)
тдС - пвО 1 тцВ-пвС 2
и = -~-—х ¥>---\-— х* . (11)
С2-ВО 2 С2-ВО
Из (11) можно приближённо определить радиус кривизны
Я с - во
Пусть собственное объёмное расширение покрытия не зависит от переменной 2 (О1(г) = 0о), собственное объёмное расширение подложки отсутствует (92(г) = 0). Следуя традиции, будем искать не величину 00, а величину
оо=-£,0о> (13)
которая представляет собой напряжение, возникающее в покрытии, если его деформация полностью стеснена Очевидно, что эта величина зависит только от материала покрытия.
Из формулы (12) с учётом (9) и (13) выражаем
Если Л, «Л2, то формулу (14) можно упростить В результате получим формулу, совпадающую с формулой Стони (1) Это объясняется тем, что при малой толщине покрытия напряжение, возникающее в нём в проводимом эксперименте, мало отличается от ст0. Формула (14) позволяет определить пределы применимости формулы Стони. Анализ показал, что с ростом толщины покрытия погрешность формулы (1) быстро растет, при « Нг её можно оценить величиной hjh2 -100%
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Stoney G. Proc R Soc Ser A London, 1909 Vol 32 P 172
2 Григолюк Э.И Тонкие биметаллические пластинки и оболочки // Инж сб. 1953 Т XVII С 69- 120
3 Парков А К , Шпиро ГС. Сопротивление материалов. M Высшая школа,
1969
УДК 533. 6 011: 532 529 Г". П. Шиндяпнн, Е. Н. Гамаюнова
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ НЕРЕГУЛЯРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ОТРАЖЕНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН*
1. Интерес к задачам нере1улярного взаимодействия и отражения относительно слабых (интенсивности Pi0 = (р, - PoV^o > Р20 = (Рг ~ Рп)/^о > В0 =р2Сц) ударных волн (УВ) (с углом наклона а к вертикали) в газе и газожидкостной среде, характеризуемой параметром R0(у), обусловлен [1-6] запросами практики, связанными с решением проблем авиакосмической, нефтегазодобывающей промышленности и др., а также проблемой получения фундаментальных знаний (построения физически адекватной теории).
Установленные экспериментально [4, 5] режимы взаимодействия и отражения - развитого маховского (простого маховского - SM, с невырожденными отражёнными волнами), вырожденного маховского (Неймановского - NM, с вырождением одной из отражённых волн), регулярного (R) -
Работа выполнена при поддержке Министерства образования РФ по программе «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники», проект 205.0101 030, и Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 03-01-00524
