CC BY
15
«0| - |«оГ2
получим для /. уравнение четвёртой степени Р4(/.) = 0, возведя второе
уравнение (3) дважды в квадрат (степени L6 и L5 уничтожаются). И:) него найдём связь между Luz, так как зависимость >v= w(z) дана в (6). В симметричном случае (ы1+=и1_; v0=0) уравнение имеет вещественный корень L0 » 23,1.
Из (4) после замен (5), (7) имеем
± 4VU =(L-B^ + В_ - (В_ -1 • (8)
Задав Мх >1 и параметр z>0, из (6) находим w, выбирая знак "+" ; параметр L определяем из уравнения l\(L)= 0; тогда из (7) найдём н0 < 0 , а из (5) и1+ и и,., из (7) и (8) получим ± v0; из первых равенств в (4) вычислим наклоны у±, 5± скачков. Проведя на плоскости (у, и) через точку (v0, и0) поляры Р+ и Р_,определим углы однородных потоков v1+ и v,_ . Связь между v и углом 9 наклона скорости к оси х приведена в [I]: v = (y + l)M¿0, где у>1 - отношение теплоёмкостей (для одноатомного
газа Y = ~> A118 двухатомного — ^ = Изменяя г> М0Ж1Ю вычислить
дозвуковое ядро.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Севостьиноа Г Д. Основы теории околозвуковых течений газа. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. Ч. 1.
2. Севастьянов Г Д. Регулярное несимметричное взаимодействие околозвуковых скачков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 219-222.
3. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений / Мер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
УДК 539.3 Н. М. Сироткина
АНАЛИЗ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛИМЕРНОЙ ПАНЕЛИ ПРИ НЕКОТОРЫХ ВИДАХ ВИБРАЦИОННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
В данной статье рассматриваются вопросы исследования напряжён-но-деформированного состояния (НДС) бесконечной консольной панели, колебания которой вызваны приложенным на незакрепленном крае Р = а вибрационным воздействием Л/р(а,г) = М{) соксог. Определены первые три
значения критической частоты внешнего возбуждения. Выявлено влияние изменения стрелы подъёма панели. Проведён сравнительный анализ для случая задания на краю панели распределённого усилия £>p(a,f) = A) cos cof.
Рассматриваются установившиеся колебания панели иод действием равномерно распределенного по незакрепленному краю момента интенсивности
Afp (<*,/) = Л/0 cos cor, (1)
со - частота внешнего возбуждения, М0 = const.
Полимерный материал панели подчиняется линейному закону вязко-упругости [1], а его свойства не зависят от температуры. При определении характеристик НДС панели используются соотношения строгой теории цилиндрических оболочек и считаются справедливыми гипотезы теории Кирхгофа-Лява. Система дифференциальных уравнений, описывающая НДС панели, приведена в [2].
Граничные условия в рассматриваемом случае имеют вид: на закрепленном крае
v=w = 9 = 0, (2)
на загружённом крае
Л/р =M0cos(of, 7р=(2р=0. (3)
Полученную задачу в векторной форме можно записать в виде
^ = Д,У(0) = Ь1, Я2У(1) = Ь2. (4)
dr\
Здесь ?(^)=b>v2,wI,»v2)ei,e2,rl,r2,Mj,A/2>(2i,j22}) А - матрица размерности 12x12 с известными компонентами, / - вектор правых частей, определяемый видом внешнего загружения, В{,В2 - матрицы граничных условий размерности 6x12, Ь,, Ь2 - вектора размерности 6.
Краевая задача (4) решается устойчивым численным методом дискретной ортогонализации [3].
При численном расчёте рассматривались панели из полимерного материала ЭД-6 МА [4] со следующими геометрическими характеристиками:
а = 1 м; /» = 0.02 м; /0 = 0.1; 0.25; 0.4,
и Л/0=1Н. Здесь а - ширина плана, на которую опирается панель, И -толщина, /0 - безразмерная стрела подъёма.
В табл. 1 приведены значения трёх первых критических частот со!0 (/ = 1,2,3) для рассмотренных значений f{) и соответствующие максимальные значения характеристик НДС.
/о ®?>,с' р•104,м îi'-104, м 9-10' Т„, Н/м M,. H Q. Н/м
31.29 43.50 136.43 19.57 49.49 103.70 136.97
1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.20
0.1 181.18 3.14 13.91 5.87 155.01 58.86 285.44
0.75 1.00 1.00 0.40 0.00 0.00
527.48 ■0.47 2.89 2.20 170.72 35.44 282.01
0.50 1.00 1.00 0.20 0.00 O.OO
25.98 110.26 125.64 22.04 97.35 100.52 121.03
1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.30
0.25 115.98 7.86 22.24 6.16 196.40 59.94 270.20
0.75 1.00 1.00 0.40 0.00 0.00
376.44 1.34 4.54 2.92 248.25 39.78 300.97
0.45 1.00 1.00 0.20 0.00 0.00
19.72 181.18 116.70 26.19 109.01 96.00 105.61
1.00 0.90 1.00 0.00 0.00 0.35
0.4 69.94 13.43 36.07 6.87 158.79 58.63 214.02
0.70 1.00 1.00 0.40 0.00 0.00
238.85 2.81 7.84 3.93 231.37 43.72 281.88
0.45 1.00 1.00 0.15 0.00 0.00
Данные, представленные в табл. 1, показывают, что с ростом номера частоты характеристики НДС убывают. Существенное влияние на их величину оказывает и увеличение стрелы подъёма.
В работе [2] аналогичная задача решалась в случае, когда па незакреплённом крае распределены усилия интенсивности
¡2з(а,0=росо5сог, /70=1Н/м. (5)
Следует отметить, что значения критических частот, как и следовало ожидать, не изменились. Остались неизменными и точки но ширине панели, в которых достигаются максимальные амплитудные значения всех характеристик НДС.
Однако все амплитудные значения этих характеристик при нагрузке (1) получаются в "к" раз больше, чем при нагрузке (5). Значения коэффициента "к" приведены в табл. 2.
Таблица 2
/о toi" Û)<3>
0.1 1.8 4.3 8.5
0.25 1.7 4.1 12.8
0.4 1.7 14.6 56.6
Далее, используя найденные значения характеристик НДС, численным методом, изложенным в [5], можно определить температурное поле панели.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Недорезов П.Ф., Сироткина U.M. Численные методы исследования установившихся колебаний вязкоупругих прямоугольных пластинок и круговых цилиндрических оболочек. Саратов, 1997.
2. Сироткина U.M. Исследование НДС консольной вязкоупругой панели при вибрационном изгибе II Проблемы прочности элемен тов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 2002. С. 123 - 129.
3. Годунов С.К. О численном решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. Т. 16, вып. 3. С. 171 174.
4. Коваленко АД., Карнаухов В.Т., Яковлева ГА. Нагрев вязкоупругого стержня при его поперечных колебаниях // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1972. Вып. 12. С. 96 99.
5. Сироткина U.M., Астафьев А.И. О тепловом ноле при вибрационном изгибе вязкоупругой панели // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 2001. С. 79 - 86.
УДК 533.6.011:532.529
Г. П. Шипдяпин
ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАСЛАВСКОГО-ГРИБА В ТЕОРИИ КОРОТКИХ ВОЛН'
1. При исследовании задач распространения и взаимодействии относительно слабых ударных волн в газах и газожидкостных средах используется асимптотическая система уравнений коротких волн [1] (n,v - компоненты скорости, 5, У - независимые полярные координаты)
2(ц - б)ц5 + vy + р. = 0, |ДУ=У8, ц = Р M=//W (1)
Среди различных классов точных частных решений [2J этой системы выделяется класс решений Заславского-Гриба [3] (q - параметр)
ц = <р2{q)Y2 + ф,(q)Y + ф0(«?); 5 = qY2 + X,{q)Y + Хоfo);
v = ф3 (,q)Y3 + ф2(д)У2 + ф, + Фо(<7), (2)
позволяющий точно удовлетворить условиям динамической совместности на фронте ударной волны 5 = 8* (Y) при q = q* = const (щ = 1; 0; ri. <xv, r| - параметры подобия задачи)
= Gi-ji^-v-vt, У1=-Й1(у±ау). (3)
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ (проект 205.01.01.030, грант № 03-01-00524).
189
