Расчет туннельного коэффициента для электрона в случае потенциала, заданного во внутриатомном масштабе для тонкослойного материала: часть вторая Текст научной статьи по специальности «Физика»

Расчет туннельного коэффициента для электрона в случае потенциала, заданного во внутриатомном масштабе для тонкослойного материала: часть вторая

Зайцев Н.А., Матюшкин И.В. (matyushkin@mikron.ru) ОАО «НИИ молекулярной электроники и Микрон»

Переход от микро- к наноэлектронике требует соответственно перехода от макроскопического описания свойств материалов к исследованию их наносвойств. В отношении электрофизических свойств это означает постепенный переход от построения зонных диаграмм (в рамках kp-теории) к применению кластерного

« ТЛ " _

анализа методами квантовой химии. В частности, данный подход актуален при моделировании туннельных токов через ультратонкий подзатворный диэлектрик, толщина которого измеряется 2-20 моноатомными слоями, а поперечные размеры, следуя за уменьшением длины канала субмикронного МДП-транзистора, также постепенно попадают в нанообласть. Например, диоксид кремния в такой системе представляет совокупность структурно-примесных комплексов, обладающих особыми (по сравнению с макроскопической сеткой Захариасена) электронными свойствами.

Наиболее часто используемый квантово-химический метод основан на семействе моделей Хартри-Фока-Рутана [1]. Каждый электрон в атомном кластере описывается своей пси-функцией (в итоге получается многочастичная волновая функция), причем сама функция представляется линейной комбинацией атомных орбиталей (точнее, базисных функций), а коэффициенты разложения ищутся как доставляющие экстремум гамильтониану системы. Получающаяся таким образом система уравнений требует для своего задания вычисления большого числа интегралов по пространству. «Кошмар с интегралами» [1] (для одного атома Si нужно вычислить по меньшей мере 2500 интегралов) привел к разработке полуэмпирических моделей и соответствующих им компьютерных программ (например, MOP AC [2]), которые уже успешно применяются [3] в моделировании подзатворного диэлектрика. Неэмпирические модели строятся из первых принципов без введения эмпирических коэффициентов, заменяющих ряд интегралов (например, программа Gaussian [4]). Вместо слэттеровской многочастичной волновой функции целесообразно

рассматривать для многоэлектронных атомов (в частности, Si, Ge, 1 и т.д.) статистически усредненное распределение электронной плотности. В этом заключается идея альтернативного квантово-химического подхода, называемого теорией функционала плотности (электронных состояний) (DFT) [5,6], сфера применения которой в наноэлектронике быстро в последнее время расширяется [7,8]. Модель Томаса-Ферми-Вейцзеккера [9,10], к которой восходит [11] теория функционала плотности, является, по-нашему мнению, наиболее оптимальной с точки зрения затрат машинного времени и точности получаемых для внутриатомного потенциала результатов.

Данная работа опирается лишь на простейшую формулировку модели Томаса-Ферми при ряде существенных предположений, поэтому полученные результаты позволяют проводить анализ лишь на качественном и полуколичественном уровне. В п.1. мы рассмотрим трехмерную (3D) модель Томаса-Ферми для ограниченного сферически симметричного атома. В п.2. дана формулировка предлагаемой нами адаптации решения 3D уравнения Томаса-Ферми на одномерный случай. В п.3. мы сформулируем и исследуем одномерную модель Томаса-Ферми. В п.4. мы обсудим ряд вопросов, связанных с верификацией предложенных моделей, а также приведем их сравнение двух моделей. В п.5. это сравнение будет распространено на полученные с помощью созданной нами компьютерной программы зависимости туннельной проницаемости многобарьерной системы с потенциалом Томаса-Ферми.

1. Трехмерное уравнение Томаса-Ферми для пространственно

ограниченного атома Общепринятая модель Томаса-Ферми (TF) [10] носит статистический и квазиклассический характер, а ключевую роль в ней имеет электронная плотность р(г) в системе из N>>1 электронов и K ядер с суммарным зарядом Z. Через р(г) может

гр 1—1 с» и

быть выражен 1 г-потенциал, учитывающий электростатическое взаимодействие электронов друг с другом и с ядрами, положения которых фиксированы, а также работу, необходимую для переноса электронов из бесконечности для достижения р(г). Минимизируя этот функционал (физически это означает основное невозбужденное состояние системы), используя уравнение Лагранжа-Эйлера,

ГПТ-1 1—1 и и и

получают Тг-уравнение. Более простой и красивый вывод, использующий распределение электронов по конфигурационному пространству и уравнение

Пуассона, для ТБ-уравнения бесконечного атома дан в [12]. Связь потенциала и электронной плотности выглядит так (в системе СИ):

е (2те((р-Уо^3/2 р_ е (2те(ф-ф0^ (1)

Аф_ зП701 ^ ] ' р_-П1 й2 ) (1)

Для нейтрального атома (К=1,К=2) константа ф0 равна нулю, она имеет смысл минимально возможной кинетической энергии электрона. Очевидно, область определения (1) предполагает ф>ф0. Область применимости (1) ограничена условием aB<r<aBZ, aв=0.5* 10-10м- боровский радиус. Для бесконечного атома на решение дифференциального уравнения второго порядка (1) ставится два граничных условия, вытекающих из отсутствия экранирования вблизи ядра и нулевого потенциала на бесконечности:

Нш(ф • г) _ 2е /(4п0), Ншф _ 0 (2)

г ^0 г ^вд

В математически рафинированном виде для случая сферической симметрии эта модель представляется в виде [13]:

фХт, { х(г) _ ж (3)

Г 1*(0) _ 1, х(вд) _ 0 Г3

Рядом выписано единственное аналитическое решение, найденное Зоммерфельдом, ТБ-уравнения, которое, однако, не удовлетворяет граничным условиям (3).

В случае атома, находящегося в составе кристаллической решетки или атомного кластера (квазиизолированного атома), постоянную ф0 следует положить отличной от нуля и неотрицательной, поскольку наибольшая энергия электрона в кристалле должна быть меньше, чем уровень вакуума, принятый за нулевой. Величина ф0 для каждого сорта атома и для каждой кристаллической модификации, очевидно, индивидуальна. Также граница атома в кристалле конечна, и притом потенциальная энергия электрона на границе минимальна (по модулю). Поэтому заменим второй предел (2) соотношением ф^/2)=0 диаметр атома). Кроме того, кинетическая энергия электрона на границе атома отлична от нуля (ф(э/2)^ф0), что имеет физический смысл обобществления внешних электронов. Для квазиизолированного атома может возникнуть замечание, что в общем распределении зарядов могут принимать участие электроны другого атома, поскольку существует химическая связь и электронные орбитали перекрываются. Однако, в случае атомов

одного сорта в кристалле электронная плотность у разных атомов симметрична относительно границы r=a/2. Поэтому условие электронейтральности сохраняется. Если имеется центральная симметрия, то это условие записывается как (4):

а/2

|р(т) • 4пг2 ёт = -2е (4)

0

Для решения (1) с модифицированными концевыми условиями (2) в случае центральной симметрии сделаем замену (5):

^ а т = X— 2

?(т) = ^0 +---хк2т1а)=^0 +-—- х(х)

47Т80 т 2тге0 аХ

Тогда уравнение Томаса-Ферми вместе с краевыми условиями приобретет вид:

(5)

Х1/2 ^Ж) = р •хЗ/2(Х) p 2 ( та--2 У/2

ё2 х А 4 у P = 6

Х(0) = 1, X (1) -х(1) = 0 6П

тае

н2 у

0 < X < 1 (6)

Заметим, что в новых переменных условие сохранения заряда (4) будет записываться так:

1 1

{7Хх3/2( X )ёХ = р (7)

0р

(Хх'( х) - х( X ))|0 = 1 (8)

С учетом (6) (7) приобретает после интегрирования по частям более простой вид (8). На решение дифференциального уравнения второго порядка таким образом налагается 3 краевых условия. Однако задача не переопределена, поскольку (8) оказывается линейной комбинацией двух других краевых условий, заданных (6). Неясно только, является ли это любопытное свойство присущим только уравнению Томаса-Ферми, или оно вытекает из общих свойств уравнения Пуассона. Таким образом, с помощью (6) и (1) можно получить искомую плотность электронного заряда р(г).

Численное решение (6) имеет свои особенности, но возникающие при этом трудности преодолимы [14]. Функция х(Х) монотонно убывает от 1 до 0, и лишь при Р=1^5 (для легких атомов) возникает слабо выраженный локальный минимум вблизи X=1.

2. Адаптация 3Б уравнения Томаса-Ферми к одномерному случаю Как мы показали в первой части, вопрос размерности задачи принципиально важен. Под одномерной задачей мы понимаем такую, в которой все существенные переменные зависят только от одной координаты, т.е. их значения не изменяются при вариации двух других координат (тем самым их можно исключить из рассмотрения). Вывод уравнения Томаса-Ферми соответствует размерности задачи 3 (в сферических координатах), несмотря на одну независимую переменную г. Туннельная задача по сути одномерна, как и само решаемое уравнение Шредингера для многобарьерного потенциала. Поэтому с целью состыковать результаты решения задач разной размерности совершим определенное преобразование над плотностью р(г). Несмотря на формальное сходство координаты г и координаты х при рассмотрении поперечного сечения атома, непосредственная подстановка ф(г), вычисленного по (6), в выражение для потенциала U=-eф(x) ведет к некорректному результату (см. первую часть) из-за сингулярности 3ТБ-потенциала в нуле. Такое преобразование или процедура адаптации должны сглаживать сингулярность потенциала.

Для простоты предположим кубическую симметрию кристаллической решетки и рассмотрим поперечное сечение кристалла с ориентацией, например, (100). Если тип симметрии иной, то следует принять разными расстояние между двумя параллельными плоскостями одной кристаллографической ориентации и расстояние между атомами в одной такой плоскости, а также решать (1) в эллиптических координатах. Каждый атом моделируется шаром с электронной плотностью заряда Р(г)=р6(г)<0 в центре которого точечное ядро. Для каждой плоскости с координатой хе [^/2^/2] рассмотрим суммарную зарядовую плотность «размазанных» электронов и дискретно расположенных ядер.

Рассмотрим вначале электронную плотность РеО"). Величина отрицательного заряда д в слое толщиной дх и с координатой х равна:

■%/а2 /4-х2 / _\

q = ёх | 2пу • р(у х2 + у2 )• ёу (9)

Нормировав д площадью a2, приходящейся на один атом, получим:

т/а2/4-х

" "7- •рЧх + у2 )• ёу

Vа2 /4-х2 2 I \

Ре(т) = | П Рх2 + У2 )• ёу, -Я < х < а/2 (10)

а

Одномерная пространственная плотность заряда ядер задается (11):

Р"(Х) _ %а2' "Ь " Х " Ь (11)

Атомное ядро мы представили в виде куба с ребром 2Ь ^»Ъ-Ю^м). В (11) можно перейти к пределу Ь^0 и одномерной функции Дирака 5(х), и тогда получим суммарную плотность:

р(х) _ ^ р(л/X2 + У2 + ^ ¿(х) (12)

0 а у 'а

Теперь на неизвестный потенциал ^х^^Ф^) вновь составим уравнение Пуассона:

ё2Ф _ р (х)

ёх ^0

Нужное нам частное решение должно удовлетворять условиям (14):

ёФ

(13)

Ф( х) = Ф(-х),

= 0 (14)

dx

Оба условия отражают симметрию задачи. В частности, второе условие требуется для непрерывности периодического продолжения Ф(х)=Ф(х+па), n- натуральное число. Для однозначного определения Ф(х) необходимо наложение условия (15), в котором вновь появляется старая постоянная интегрирования ф0:

max Ф(х) = Ф 0 =ф0 (15)

х

Для удобства будем считать р(г) взятой по модулю и перепишем (4) в безразмерном виде (r=X*a/2):

)p(X) X2 dX = 2Ze/m 3 (16)

0

Преобразуем также (12) с помощью замен (17), получая сразу (18),(19):

х = X • ^2' -1" X ^ 1 У = F • ^2' 0 ^ Y ^ 1, R = ^X2 + Y2 (17)

р( X) ^-fHjpRRR (18)

d2 Ф Ze „„„ па2 1

S(X) + 8- \р(R)RdR (19)

ёХ 2а^0 8^ |Х|

Сразу отметим, что потенциал Ф и плотность заряда р есть четные функции, а напряженность поля ^ФМХ есть нечетная функция от координаты X. Поэтому достаточно проводить рассмотрение для Х>0. Из (18) и (13) интегрированием (19), сводя двукратный интеграл к однократному (по частям), получим (20):

ёФ

2е т2 ■ +

ёХ 4аей 8£0

X | р(Я)ЯёЯ + | р(Я) Я2 ёЯ

X

Константа интегрирования равна нулю, поскольку задаваемое (20) поле удовлетворяет граничному условию (14). Снова проинтегрируем (20), пользуясь тем же методом взятия двукратного интеграла по частям:

7 2 У'2 1

ф(Х) = - Х+тг-(Хг ¡?(Я)ЯёЯ

2 \г2 1

Х1

8^0 2 Х1

X

X

X \г 2

|^ (-Р( X1) X1 )Х 1

+ X1 |р(X1)X2ёХ 1 - IХр(X1)X2ёХ 1) = -4—Х +

4а^0

(21)

+ ■

та

2 X 1 X 11

(XIР(Я)Я2ёЯ -2|р(Я)Я3ёЯ + -X21р(Я)ЯёЯ)

8^0

'0 0 ~ 0 ~ X

Перейдя в (21) от пределов интегрирования [0,Х] к пределам [Х,1] и учтя (16), получим (22):

2 I 1

Ф(X) = т6-•[ Хх1р(х,)(х-х 1)2ёХ 1 |р(х 1)х1 ёХ

_ 1 бг^л. 1

0 [X

(22)

Добавляя постоянную интегрирования и переходя к естественным переменным, из (22) легко получить (23):

а/2

ф(х) = ф 0 + -Пу Iт|р(т)| •(т - |х|)2 ёт

80а |х|

(23)

Беря разность Ф(0)-Ф(a/2) и учтя (4), получим оценку сверху на глубину ямы Ди по отношению к характерной для задачи энергии электростатического взаимодействия

Есь

,т, па 22е т 1 2е

Ди < е---- Л = — Еск Еск =---—

16^0 та 4 4т а/2

(24)

Для более явной связи с решением уравнения Томаса-Ферми удобно переписать (23) с учетом (1),(5) в виде безразмерном виде (25):

Ф( х) = Ф 0 + К ( )

2 хч 2е

а 4те0 а

К=

( тае2 ^

3/2

3

\П80Н2 у

2тР, I(X) = |Х ^(^ЧХ|)2ё£ (25)

|Х| ^

Таким образом, зная решение х(г) 3Б ТБ-уравнения, через (23) или (25) можно найти адаптированный 3Б-потенциал для одномерного случая (^Ф(х)).

0

0

3. Исследование одномерного уравнения Томаса-Ферми Ранее уже исследовалось Б-мерное ТБ-уравнение [15], но для бесконечного в пространстве атома. В самом деле, с формальной точки зрения значительно проще подставлять в Ш-уравнение Шредингера не преобразованный по (23) трехмерный потенциал Ф(х), а его одномерный аналог. Тем самым мы избавились бы от нескольких интегрирований и решения уравнения Пуассона. Действуя аналогично [12], получим: для объема фазового пространства- 2pdx/h клеток, максимального импульса электрона- Ьп/4 (п- концентрация электронов [м-1] , Ь- постоянная Планка), затем для связи п и потенциала ф:

2

п = — ^тв^-фо) (26)

пп

Уравнение Томаса-Ферми примет вид (с целью приведения размерности уравнения Пуассона мы разделили на a !):

= ф-фо, Ф > Фо > 0

^^ /л

ф(+0) = 1 ^ а = 2^ 2тв ( )

2е0 а2' е0Нла2

Данное уравнение с точностью до коэффициента А совпадает с 1Б ТБ-уравнением для бесконечного атома [15], в котором этот коэффициент выражается через фундаментальные константы и гамма-функцию. Поэтому его значение в (27) является приближенным, что связано с приведением размерности при получении (27). В той точке, где наблюдается минимум потенциала ф0, его производная обращается в нуль. Поэтому после замены (28) получим краевую задачу (29):

/ 7е

х = % £ Ф(х) = Ф0 + Вх(£), В = -—, х > 0, Ф(х) = ф(-х) (28)

/ 2 4е0а

а Х(£) = X = А 2am

а~П1'\ 7^ (29)

Х'(+0) = -1, ЗГ: Х(Г) = 0

Целесообразно считать точку минимума потенциала совпадающей с границей атома, т. е. что внутренних экстремумов нет.

Попробуем аналитически решить (29). Проинтегрируем домноженное на производную неизвестной функции (29) и получим (С- постоянная интегрирования, которую удобно связать (31) со значением функции в единице):

X 2 2

X = |ох3/2 + С (30)

С = - 3ах3/2(1), Х(1) = Р (31)

2/3

Проинтегрируем (31) с учетом замены x=pz- есть возрастающая функция):

3 = } 2-7/б(1 - 2)-1/2 ёг = Р-114у[а(1 -£) (32)

Или, если z=1/u3: 3/3 = (33)

Интеграл (32) можно свести к классической неполной бета-функции В^5/6,1/2), если его проинтегрировать по частям:

3 = 62-1/б(1 - 2)1/2 -2|2-1/б(1 - 2)-1/2с1г (34)

2

Отметим, что при ^=0 I конечен, а значит z:^0, и при ненулевом p (значение p=0 приводит к упрощению интегрирования, появлению в качестве решения степенной функции 4-го порядка, но подстановка данного решения приводит к противоречию с условием наличия экстремума на отрезке) %(0) конечно. Для практических целей (34) не слишком пригодно, поскольку бета-функция табулирована обычно по своим двум аргументам. Поэтому нужно либо непосредственно вычислять (33), либо выразить его через другие специальные функции. Процедура интегрирования утомительна, но с помощью замены (35) можно свести к задаче вычисления табулированных эллиптических интегралов (36). Или, через переменную ш

3 3 (и) = = ( ух3 + 4/3) ^ (ф, ^п П) - 24Т3К (ф, sin П) + ^35)

3 ^•v/Uг-7 /У^ 1г 1Г 43 -1+и

cos ф = —————, фе[0,п] (36)

л/3 + (и -1)

Здесь Б(^),Б(^)- соответственно эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода в форме Лежандра, в которых верхний предел интегрирования ф связан со старой переменной u дробно-линейной заменой (36).

Осталось только найти неизвестную p. Введем новую переменную д, и запишем в переменных краевые условия:

du

u (1) = 1, u '(1) = 0, u (0) = q, 2 pq

dx

= -1

С учетом (33) и (37) получим систему (38):

ч

3/

udu

1 V u3 -1

1 = p-1/4

= p

-1/4

V3a

2 pq

л/3а-

(38)

3q

Найти пару (р^) можно из трансцендентного уравнения (39), которое имеет единственное решение:

f (q) = /

udu

W u3 -1

в-64q3-1 = 0, в =

' 2a2 V"

v 9 y

(39)

Покажем, что уравнение либо имеет единственное решение, либо не имеет решения. Физический смысл последнего состоит в том, что профиль потенциала имеет сложную форму, с локальными экстремумами. Математически это следует из двузначности перехода (30)-(32) за счет извлечения квадратного корня; при этом

задача (29) ставится для по крайней мере двух меньших отрезков, соединенных

* / *

точкой сшивки 0<^ <1: )=0. Очевидно, что Г(1)=0, и для существования корня (39) необходима знакопеременность дШд:

df

q

1 -

в q

dq 4q3 -11 2 ъ4 q3 -1

d dq

3¡ q3 -1 d__

q dq

\

lim 0 _ '(q) = O

q i1+0

Л

(q -1)

2/3

= e(q3 -1)-4/3 > 0 2

в

= -ю, lim _'(q) = 1 0

q i+ш 2

(40)

(41)

Из (41,42) следует, что на (1;+ю) ^(д) меняет знак один раз, если Р<2, что соответствует а<6. Отметим, что большие значения а достигаются при малых Ъ и больших а, т.е. для легких атомов с большим атомным радиусом- а это выводит нас за границу применимости модели Томаса-Ферми. Имеются два предельных случая, когда уравнение (39) поддается приближенному аналитическому решению. Если д

2„ ^ 9

мало, т.е. q=1+e, е<<0, и тогда е~а /4. Если q>>1, тогда имеем q

(1 -а2 /3б)2

. При

выводе этого выражения мы существенно использовали то, что нижний предел интегрирования равен 1. Численное решение (39) показывает справедливость первой оценки. Найдем приближенные значения р и х(0)=рд2:

x=0

1

Р 14а

,2/3 ( , У

1

, х(0) -х(1) = Ш ^ (42)

Для «кремния»(7=14, a=2A) а~0.83<<6, В-317В, д~1.173. Глубина потенциальной ямы, может быть оценена как 300эВ, точность ее определения существенно зависит от вычисленного д. Таким образом, вполне оправдано применение одномерного уравнения Томаса-Ферми с точки зрения численных методов, когда профиль потенциала не содержит в себе сингулярности.

4. Некоторые замечания к использованию адаптированного 3Б и Ю уравнения Томаса-Ферми при расчете туннельных коэффициентов Рассмотрим вопрос о правомерности применения обеих описанных выше моделей при моделировании туннельного тока через ультратонкий подзатворный диэлектрик. Возникают следующие проблемы: 1) проверки адекватности внутриатомного потенциала, полученного двумя способами, и выбора наиболее подходящей модели; 2) корректности экстраполяции результатов для каждого из атомов, пусть и пространственно ограниченных, на молекулярную гетерогенную структуру реального диэлектрика; 3) физического смысла расчета одномерного атома, который в действительности трехмерен.

Заметим вначале, что переход от трехмерной задачи расчета внутриатомного потенциала, каким бы способом он не проводился, к одномерной задаче, поставленной для уравнения Шредингера, вынужденно обусловлен прежде всего выделенным направлением туннелирования. Ошибочно взять в 3Б-потенциале и^ВьВг), заданном, например, в сферических координатах, его сужение по какому-то направлению (01=сош^ 02=сош^, рассматривать его как и(г=х): мы получим тогда несоответствие при действии оператора Лапласа (Аг^Ах). Радикальным способом избежать этого являлся бы учет, например, в (1, часть 1), криволинейных путей туннелирования через расчет вероятностей попадания электрона из точки(х,у^) в приповерхностном слое кремния в точку (х^у^) внутри затвора с последующим интегрированием и/или применением методов Монте-Карло. Но, во всяком случае на нынешнем этапе развития наноэлектроники, свойства диэлектрика в плоскости, перпендикулярной направлению туннелирования, можно считать достаточно однородными. Поэтому решение 3Б туннельной задачи было бы расточительным с

точки зрения вычислительных ресурсов и математически чрезмерно усложненным и неясным при формулировке граничных условий, налагаемых на волновую функцию электрона. К сожалению, одномерность задачи весьма затрудняет решение вопросов, сформулированных выше.

Для проверки адекватности формы внутриатомного потенциала, если бы он был задан трехмерно, для кристаллического материала можно было бы сослаться на аналог модели Кронига-Пенни. Иными словами, при большом N туннельный коэффициент для системы из N повторяющихся последовательно потенциалов Томаса-Ферми становился бы пренебрежимо мал в запрещенной зоне и приближался бы к единице в разрешенной зоне энергии (что обусловлено резонансом). Сравнивая энергетические характеристики зон с известными данными (например, по работе выхода электрона или ширине запрещенной зоны данного материала), можно было бы судить об адекватности модельной формы потенциала. Однако зонная диаграмма дается только для трехмерного кристалла, а не одномерного.

В строгом смысле необходимо было бы использовать модель Томаса-Ферми для атомного кластера, а не атома- безусловно, это гораздо физичнее. Но при заметном усложнении математического аппарата (вычисление 3Б функционала Томаса-Ферми и поиск точек экстремума) мы бы вряд ли получили выигрыш в точности, поскольку затем мы все равно совершаем переход к одномерной задаче.

При решении туннельной задачи в Ш уравнение Шредингера мы вправе подставлять любую форму потенциала, лишь бы она была физически обоснована. Мы можем моделировать потенциал наряду с адаптированным 3Б ТБ-потенциалом, в частности, и непосредственно Ш ТБ-потенциалом. Это позволило бы также исключить интегрирование по энергии ^Ех, см.(1) в ч.1) при вычислении туннельного тока. Хотя само по себе исследование Ш атома и представляет теоретический интерес, но решение Ш ТБ-уравнения рассматривается нами как способ получения потенциала для Ш уравнения Шредингера.

Сорт атома моделируется только двумя параметрами (помимо фундаментальных констант)- зарядом ядра Ъ и его диаметром a. Последний параметр можно считать равным длине связи между атомами; кроме того, его вариация указывает нам путь для учета влияния механических напряжений на электронные свойства атома в составе диэлектрика. При обезразмеривании пара (Ъ^) переходит в параметр Р(или К) для адаптированного 3Б ТБ-уравнения или а для Ш ТБ-

уравнения. Математические модели, таким образом, являются однопараметрическими. Этот параметр, хотя нет явных к тому причин, может считать подгоночным (в первом случае это связано с процедурой адаптации, а во втором- с приведением размерностей при выводе 1D TF-уравнения). Наличие в модели подгоночных параметров указывает на ее полуэмпирический характер, но поскольку модель малопараметрична, то ее все-таки можно отнести к моделям класса ab initio («из первых принципов»). Некоторые модельные параметры, данные в связи с параметрами конечного потенциала, указаны в табл.1.

Элемент (Z,a [А]) Параметр адаптированного трехмерного TF-уравнения, P Глубина 3D-потенциальной ямы, AU [эВ] (±0.5эВ) Параметр одномерного TF-уравнения, (p,q) Глубина 1D-потенциальной ямы, AU [эВ] (±0.5эВ)

Si (14,1) 4.125 -702 (2.742,1.086) -313

Si (14,2) 11.668 -266 (1.295,1.173) -154

Ge (32,1) 6.237 -1416 (6.435,1.038) -720

Ge (32,2) 17.640 -919 (3.156,1.075) -358

Таблица 1. Связь некоторых входных и выходных параметров моделей.

Примеч.: Глубина потенциальной ямы определяется разностью минимального

и максимального значений и(х).

В моделях есть еще один неявный параметр- ф0(или Ф0), который устанавливает найденный потенциал относительно уровня вакуума. Для адаптированного 3Б ТБ-уравнения он равен нулю (и отличен от нуля для неадаптированного 3Б ТБ-уравнения), а вот для Ш ТБ-уравнения он довольно сильно отличается от нуля. Это не должно смущать, поскольку в математическом смысле ставятся разные задачи: для адаптированного 3Б ТБ-уравнения краевая задача смешанная (условие ставится на функцию и ее производную), а для 1ТБ-уравнения мы налагаем условия только на производные. В последнем случае константа ф0 определяется условием ф(Х=1)=0. Разумеется, при этом квантовомеханическая

энергия электрона по-прежнему лежит ниже нулевого уровня (вакуума). С учетом этих замечаний построены кривые на рис.1.

Рис.1. Внутриатомный

потенциал, полученный для Si (2=14, a=lA) с помощью адаптированной 3Б ТБ-модели и Ш ТБ-модели. Величина шага dX при расчете не влияет существенно на получаемое значение и(Х).

эмализованная координата Обе модели дают существенное расхождение как глубине потенциальной ямы, так и по общему ходу потенциальной кривой: адаптированный 3Б ТБ-потенциал в окрестности нуля имеет более резкий ход (рис.1). Заметим, что неадаптированный 3Б ТБ-потенциал обладал бы здесь сингулярностью.

5. Туннелирование через многобарьерную систему с Ю и адаптированными

3Б ТГ-потенциалами

В части 1 мы уже рассматривали туннелирование через последовательность прямоугольных барьеров. Проанализируем теперь туннельный коэффициент через: во-первых, большее число барьеров; во-вторых, когда форма барьера задано более реалистично, т.е. через потенциал Томаса-Ферми. На рис.2. показаны результаты

Рис.2. Энергетическая зависимость туннельного коэффициента проницаемости для однородной последовательности из 10 атомов «кремния» (2=14). Уровень «полочек»- -20эВ. Суффиксы легенд кривых: Ш,3Б- одномерная и адаптированная трехмерная модели Томаса-Ферми; 1А,2А- размер атома принят за 1А и 2А соответственно.

Рис.3. Влияние уровня «полочек» на энергетическую зависимость туннельного коэффициента проницаемости для однородной последовательности из 30 атомов «кремния» (2=14, а=0.1нм). Суффиксы легенд кривых: Ш,3Б- одномерная и адаптированная трехмерная модели Томаса-Ферми; 20,30- уровень «полочки» размер атома принят за -20эВ и -30эВ соответственно.

расчета для 10 одинаковых ТБ-потенциалов, зависящих от значений пар (2^) (мы взяли «кремний» и «германий»). Сочетанное влияние 2 и а носит сложный характер, нельзя однозначно определить направление влияния каждого фактора. По сравнению с тестовым барьером резонансные пики на кривых рис.2а различаются по высоте и ширине и, что наиболее существенно, их всего 3 вместо 9 (при размере атома 1А). Если же принять размер атома за 2А, то пики (рис.2Ь) становятся резче, и число их возрастает до 7. Число резонансов не зависит от принятой модели, однако, их количественные характеристики изменяются при смене модели. Аналогичный расчет для Ge показывает, что при росте 2 резонансные пики смещаются вправо, и их число может уменьшиться. Таким образом, отмеченная в ч.1. формула (N-1) для числа резонансов перестает быть справедливой для потенциала Томаса-Ферми. Отметим, что пренебрежимая малость значений Т(Е) для германия, даваемая одномерной моделью Томаса-Ферми при размере атома 1А, косвенно указывает, что адаптированная 3Б ТБ-модель имеет преимущество над Ш. Резонансные пики отмечают нам те области энергий, где при стремлении числа ям к бесконечности проявятся разрешенные зоны полупроводникового материала.

Важно заметить, что на туннельный коэффициент влияет помимо энергии электрона и формы барьера и величина и0 (поскольку этим определяется импульс налетающего на барьер электрона). Результаты расчета для 30 «атомов» Si (рис.3.) показывают, что влияние уровня полочек и0 состоит в изменении амплитуды колебаний Т(Е), но не приводит к смещению самих значений резонансных энергий. Сравнение рис^ и 3Ь. указывает на инвариантность числа резонансов по отношению к выбору модели. Впрочем, этот вывод легко получить из итоговой формулы (12) в ч.1.

Теперь рассмотрим более практическую ситуацию, связанную с внедрением атомов Ge в полупроводниковый материал (например, экспериментально показано уменьшение туннельного тока при внедрении атомов Ge в матрицу кремния [16]; аналогичный эффект имеет место и для ионов Ge в матрице подзатворного SiO2). Даже для ультратонкого слоя имеет значение местоположение атомов примеси. Мы рассчитали туннельный коэффициент для системы из пяти атомных ям (рис.4.), созданных четырьмя атомами кремния и одним атомом германия, расположенным либо симметрично в центре, либо ближе к краю многобарьерной системы.

Примечательно, что туннельный коэффициент в определенном диапазоне энергий практически не зависит от расположения Ge, однако, существует иной диапазон энергий электронов, при котором такое влияние существенно. Совпадение имеет место для левого конца шкалы энергий (кривые.1,2 на рис.4 показывают это более отчетливо, чем кривые 3,4), в средней же части расхождение примерно в 2-3 раза. Этот результат может быть использован для управления туннельным током через структурно-примесную архитектуру подзатворного диэлектрика. Справедливости ради отметим, что результаты моделирования различаются для 1D и 3D TF-уравнений и, если оно одномерно, более соответствует Si/Ge сверхрешетке.

-е-

-е-

1.0 0.9 0.S 0.7 0.Б 0.5

-20.0

-15.0

1 :GeSiSiSiSi3TF_1 А 2:S¡S¡GeS¡S¡3TF_1 А " 3:GeSiSiS¡S¡1TF_1 А , 4:SiSiGeS¡Si1TF 1А

-5.0

0.0

-10.0 Энергия, эВ

В этих двух статьях мы попытались, используя цепочке.

Рис.4. Влияние

расположения примесного атома Ое в кремниевой матрице на

энергетическую зависимость туннельного коэффициента проницаемости для

последовательности из 5 атомов (везде размер атома а=0.1нм, и0=-20эВ).

Суффиксы легенд кривых: Ш,3Б- одномерная и адаптированная трехмерная модели Томаса-Ферми; рядом указано

расположение атомов в

простейший вариант модели Томаса-Ферми, учесть

внутриатомные особенности потенциала, в который попадает туннелирующий через ультратонкий слой материала электрон. Ключевое значение здесь имеет явление резонанса, проявляющееся в немонотонности вольтамперных характеристик. По мере уменьшения шероховатости подзатворного диэлектрика (в связи с развитием технологии) и дискретизации электронов по энергии становится возможным наблюдать обусловленный сингулярностями внутриатомного потенциала эффект резонансного туннелирования. Предсказание момента его наступления, зависящее от глубины атомных потенциальных ям, их пространственной ширины, а также последовательности расположения в ряду гетерогенных атомов, моделировалось с помощью созданных нами двух моделей ab initio: адаптированной модели трехмерного потенциала Томаса-Ферми и модели одномерного потенциала Томаса-Ферми. Результаты расчета косвенно свидетельствуют в пользу первой модели. Тем

не менее, вопрос выбора адекватной моделей остается открытым, поскольку существует специфика переноса 3 D-потенциальных моделей в 1D модель расчета туннельных коэффициентов.

Вероятно, более точные результаты дало бы не сведение трехмерного потенциала к одномерному, а наоборот, расширение туннельной задачи с одномерной на трехмерную c одновременным расчетом не квазиизолированного атома, а атомного кластера, отражающего структурно-примесные особенности диэлектрика, в рамках модели Томаса-Ферми и/или модели функционала плотности. Но даже полученные в простейшем случае результаты указывают на возможность практического использования эффекта резонансного туннелирования (во внутриатомном масштабе) для создания новых квантовых приборов. Литература

1. Дж.А.Попл. УФН, 172, 349 (2002).

2. R.C.Bingham, M.J.S.Dewar, D.H.Lo. J.Am.Chem.Soc. 97, 1285(1975).

3. В.А.Гриценко, Ю.Н.Новиков, А.В.Шапошников и др. ФТП 35, 1041(2001)

4. R.Krishman, M.J.Frisch, J.A.Pople. J.Chem.Phys. 72, 4244 (1980).

5. W.Kohn, L.J.Sham. J.Phys.Rev. 140, A1133 (1965).

6. В.Кон. УФН, 172, 336 (2002).

7. D.W.Brenner. Phys.Stat.Solidi B 217, 23 (2000).

8. M.Macucci, G. Iannaccone, J Greer et al. Nanotechnology 12, 136 (2001)

9. L.H. Thomas, Proc. Cambridge Phil. Soc., 23, 542 (1924); E. Fermi, Zeit. Phys., 48, 73, (1928)

10. E.H. Lieb Rev. Mod. Phys. 53, 603 (1981)

11. D.Raczkowski, A.Canning, L.W.Wang. Phys.Rev.B, 64 121101R (2001).

12. Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц. Теоретическая физика: Квантовая механика (т.4).- М.: Наука, (1981).

13. S.Esposito. Архив e-принтов. arXiv: physics/0111167. DSF-23/2001.

14. Зайцев Н.А., Матюшкин И.В., Шамонов Д.В. Микроэлектроника 2004, 33, 378 (2004).

15. N.H.March, S.Kais. International Journal of quantum chemistry 65,411 (1997).

16. J.H.Seok, J.Y.Kim. Appl.Phys.Lett. 78, 3124 (2001).