CC BY
16Расчет туннельного коэффициента для электрона в случае потенциала, заданного во внутриатомном масштабе для тонкослойного материала: часть первая
Зайцев Н.А., Матюшкин И.В. fmatyushkin@mikron.ru)
ОАО «НИИ молекулярной электроники и Микрон»
Тема данной работы инициирована проблемой математического моделирования токов утечки, имеющих в основном туннельную природу, через ультратонкий (1-5нм толщиной) подзатворный диэлектрик, например, диоксид кремния при работе субмикронного МОП-транзистора. Имеющиеся экспериментальные данные указывают на существование немонотонности вольтамперной характеристики 1ё(Уё) для тока утечки [1,2,3], особенно в области малых напряжений Уё<~0.5В [4,5]. Кроме того, модельные расчеты дают заниженную оценку для такого туннельного тока, чем это наблюдается [6,7]. При Уё=1В и толщине подзатворного 8Ю2 ^х=1нм плотность тока утечки ~10Л/см . Таким образом, при переходе полупроводниковых приборов в наномасштабную область актуальна задача усовершенствования существующих моделей туннелирования.
Предлагаемый нами подход основан на учете внутриатомной структуры потенциала, создаваемого атомами на дистанции туннелирования, который воздействует на волновую функцию электрона, попавшего в зону проводимости полупроводникового материала. Он не предполагает использования приближения эффективной массы и при самых общих условиях годится не только для 8Ю2 или альтернативного подзатворного диэлектрика, но для произвольного материала, через ультратонкий слой которого (5-20 моноатомных слоев) происходит туннелирование. Вместе с тем развиваемая в статье модель, представляющая простейшую реализацию данного подхода, обладает весьма узкими рамками применимости, а расчетные кривые в большинстве своем допускают только качественную интерпретацию. Тем не менее, с помощью модели удается объяснить экспериментально наблюдаемую немонотонность 1ё(Уё), основываясь на явлении резонансного туннелирования.
Во избежание недоразумений заметим, что здесь и далее под «туннелированием» имеется ввиду прямое и неупругое, т.е. без рассеяния на фононах, туннелирование электрона, находящегося в зоне проводимости одного материала в
область проводимости другого материала. Первая часть работы преимущественно только суммирует известные факты. В п.1. мы коротко рассмотрим связь между задачей моделирования тока утечки и поиском коэффициента проницаемости потенциального барьера. В п.2. проведен анализ основных уравнений и ограничивающих предположений стандартной модели туннелирования. Расчетные зависимости в п.3. отвечают на вопрос, в какой мере применима стандартная модель для узких (по ширине) и мелких (по энергии) барьеров. В п.4. мы рассмотрим адекватность подстановки кулоновского потенциала как возможной формы барьера и наметим возможные пути решения этой проблемы через использование модели Томаса-Ферми. Во второй части данной работы будет предложена адаптация трехмерного уравнения Томаса-Ферми для одномерной задачи, получен вид внутриатомного потенциала, исходя из одномерного уравнения Томаса-Ферми, а также проанализированы результаты расчетов туннельного коэффициента многобарьерной системы.
1. Связь туннельного тока и туннельного коэффициента Для расчета плотности туннельного тока } [А/м ] через ультратонкий диэлектрик в МОП-структуре можно использовать следующую формулу [5,8]:
= = еЩ|щ| ехр((£„ -Е, - Е)/у) + 11 _ -
2п Н | {ехр((Е„ - Ее - Е)/ кьГ) +1/ | *
*
г\ и 1 гр и и
Здесь :е- элементарный заряд, кь1- температурный больцмановский множитель, т с-эффективная масса электрона в направлении туннелирования в зоне проводимости диэлектрика, Е^ и Е&- уровни Ферми в металле и кремнии соответственно, Ес-граница зоны проводимости диэлектрика на границе кремний-диэлектрик, Е- энергия электрона, Ех- его энергия в направлении туннелирования.
Не только туннельный ток, вычисляемый согласно (1), зависит от концентрации электронов по обе стороны от барьера, но и сам туннельный коэффициент Т(Ех), как мы увидим позднее, зависит от налагаемых на волновую функцию условий слева и справа. Кроме того, если учитывать динамику, то, например, квантование носителей в инверсионном слое будет изменяться по мере проникновения электронов из приповерхностного слоя кремния в металл. Математически это описывается самосогласованной системой уравнений Шредингера-Пуассона [9,10,11]. Присутствие логарифма от функции Ферми-Дирака в
подынтегральном выражении (1) связано с подстановкой выражения для двумерной плотности электронов, находящихся слева и справа от барьера (туннелирование может происходить и в обратном направлении). Далее, предполагается сохранение для туннелирующего электрона компоненты импульса, параллельной границе раздела полупроводник-диэлектрик. Заметим, что интегрирование по дЕх приводит к появлению функций Эйри в подынтегральном выражении. При ненулевом напряжении на затворе и в предположении трапециидальности (рис.1) барьера можно получить формулу Фаулера-Нордгейма:
ЛГ
ви
3/2
у =-exp(-:
и Г
-)
(2)
Здесь А,В- константы, - напряженность поля внутри диэлектрика
толщины Ц~Еса-Ес (Е^- уровень дна зоны проводимости диэлектрика) - высота барьера, во многом сходная с работой выхода (исторически изучение туннелирования в 20-х гг. началось с опытов по автоэлектронной эмиссии с поверхности металла в вакуум, откуда эта формула перекочевала в микроэлектронику).
Таким образом, правильность модельных предположений относительно туннельного коэффициента Т(Е) может быть проверена только косвенным образом по вольтамперной характеристике, построенной в координатах !§(1ё/Уё2) У8 (-1/Ув). Отметим также, что экспериментальному измерению подлежит ток, лишь усредненный по площади затвора, и шероховатость подзатворного диэлектрика [12] усложняет наблюдение предсказанных теоретически кривых.
Si Ее
металл
Еу
Рис.1. Идеализированная МДП-структура в стандартной модели при приложенном напряжении на затвор. Один из основных путей туннелирования: из зоны
2
2. Анализ стандартной модели для проницаемости барьера Сама проницаемость барьера определяется (3) через отношение падающего и прошедшего через барьер (рис.2) потоков частиц, причем существенную роль здесь
играет неявно формулируемое предположение о том, что слева и справа волновая функция является суперпозицией плоских волн (что предполагает наличие «полочек» на профиле потенциальной энергии):
Jq =
ih 2m
(i/ffp -i*vi\ T = JJ J3
(3)
Здесь т- масса частицы, ее пси-функция, означает комплексное сопряжение, д- целочисленный индекс (1,2,3) и/или координата, в которой берутся производные. В общем случае гД- комплексные числа; проницаемость барьера задана
2 2 выражением T=ki|t |/k3, а коэффициент отражения R=|r |.
U
ai
II
a2
III
аз
Ui<0
U2
i/t
E<0
r/t
" 1^(E-U)
2m*
К 2 —Л
(E-U2)
U3
2m3 „
"3 4-T2r(E-U3)
h
x
Рис.2. Тестовый барьер
прямоугольной формы. Волна падает справа налево, амплитуда прошедшей волны 1, падающей r/t, отраженной- r/t. Базовые параметры: Е=-3эВ, Ui—ЮэВ, ^=0эВ, Uз=-5эВ; a1=a2=a3=2.0Ä
Без этого предположения было бы крайне затруднительно сформулировать математическое определение Т(Е), и в случае неплоскостности потенциала на границах, вероятно, пришлось бы разлагать пси-функцию в ряд Фурье по системе гармоник, причем базисное число этой системы необходимо выбрать из каких-либо физических соображений.
Стандартная модель для проницаемости барьера основана на использовании приближения Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ) квантовой механики. Это приближение в свою очередь основано на: во-первых, условии применимости квазиклассического подхода, означающего в данном случае плавность изменения потенциальной энергии с координатой (4); во-вторых, предположении эффективной массы, означающем параболичный закон дисперсии для блоховских волн, что позволяет избежать рассмотрения локальных особенностей потенциала:
p j —-ih
dx,.
m
1_
■w
д2 E(") dpt dp.
m
*h dU.
dx
<< 1
(4)
I
2
h
3
Здесь выписаны: оператор импульса (в координатном представлении), определение
1 1 с» 1 и и • и • и
компонентов тензора эффективной массы в к-и энергетической подзоне для ьи и ^и
*
пространственных координат (для простоты вместо т можно подставлять либо
*
диагональный элемент т хх, либо комбинацию диагональных элементов, например,
обратную сумму их обратных величин). Таким образом, во всех выражениях
туннельного коэффициента неизбежно будут участвовать три эффективных массы
через волновые числа к1,к2,к3 для металла, диэлектрика и кремния. Вопрос об их
численных значениях неоднократно обсуждался, но до сих пор эти величины
являются подгоночными параметрами для средств САПР. Так, в программе ББ818
приняты [5] за реперные такие значения: т^=0.19, т8ю2=0.42, тА1=0.32. Разброс этих
значений у разных авторов достигает 50%. Аналогично, подгоночным параметром
является величина барьера на границе 8ь8Ю2, для которой в ББЗК полагается по
умолчанию 3.15эВ (для электронов).
ВКБ-приближение приводит к формуле Гамова или чуть более точной формуле
Миллера-Гуда, не предполагающей малость туннельного коэффициента [13]:
2ь 1 Т = ехр(- - Лр (х рх), Т =-—--(5)
а 1 + ехр(- 2 Л р(Я^)
а
Здесь a,b- точки поворота (в области между ними импульс есть величина мнимая и равен нулю в самих точках, что, вообще говоря, противоречит условию (4), обращая правую часть (4) в бесконечность, но это противоречие снимается красивым интегрированием по контуру в комплексной области и применением теоремы о вычетах). Формула Гамова не дает, однако, предэкспоненциального множителя, и применима только для широких и высоких ям.
С учетом этого множителя для тестового барьера (рис.2) формула Гамова переходит [13] в следующее выражение (6), при этом коэффициент отражения полагается равным 1:
16к2к к
Т = г2 = —-^^-— ехр(-2к2 а2), Я = г2 = 1 (6)
(к22 + к2)(к2 + к2) ^ 2 2Л ^
Для тестового барьера на рис.2. туннельная задача решается точным образом с помощью записи уравнения Шредингера. После относительно громоздких выкладок получаем содержащее гиперболические тригонометрические функции выражение:
к
4*1 / кз с _ к
(1 п2 ск1к2а2 +
( 2\2 к,кз + к2
к2 кз
8Ь1к2а,
22
Т =-^^-2-, Я =-3-^--= 1-Т (7)
к
^ к1к3 к2 ^
кз
к2кз у
к
(1 + —)2 ск к2а2 + -- shк2a2 (1 + —)2 ск к2а2 +
кз
^ к1к3 к2 ^ к2кз у
sh к2а2
Одним из примечательных следствий (6) или даже (7) является симметричность туннельного коэффициента по к1 и кз, т.е. проницаемость барьера слева направо и справа налево равны, что позволяет записывать разность логарифмов в (1).
Исследование туннельной проницаемости системы из двух барьеров прямоугольной формы, разделенных ямой, приводит (в предположении малости туннельных коэффициентов для каждого барьера по отдельности) к еще более громоздкому выражению [по Кейну,1з], которое дадим ниже для справки (к^-волновое число и ширина каждой ямы ли барьера при энергии падающей частицы Е):
Т =_2 к1 к2 кзк4 к5 / К_ ^ ТТ
' к + К2 )(кз2 + К22 )(кз2 + К )(к52 + К42) 12
К = еХр( К2+ К4^4 )[ехр(/( + (р2 +фз +ф4 + - еХр(/(^! + (р2 - (Рз - Р4 + Р5 ))] +
+ ехр( К2- К4^4 )[- ехР(/'(-Р1 + (2 + Рз - (4 - Р5)) + еХР('(Р + Р2 - Рз + Р4 - Р5 ))] + + еХР( - К2^2 + К4^4 )[- еХР(/(-Р1 - (2 - Рз + (4 + Р5)) + еХР('(Р - Р2 + Рз - Р4 + Р5 ))] + (8)
+ еХР( - К2^2 - К4^4 )[еХР((Р1 - Р2 - Рз - Ра - Р5)) - еХР((-Р1 - Р2 + Рз + Ра - Р5))]
К2 К2 К4 К4
Р1 = кз р2 = агс^—, Рз = агсг£—, р4 = агс^—, р5 = аг^—
к\ кз кз к5
Проницаемость двух барьеров, таким образом, в общем случае не равна произведению проницаемостей каждого из них, и это описывает важный феномен резонансного туннелирования. В этом случае, в зависимости от соотношений фаз Рь туннельный коэффициент может повышаться вплоть до 1. При анализе многослойных диэлектриков некоторые авторы [14] для простоты получают туннельный коэффициент, перемножая их для каждого слоя. Природа эффекта резонансного туннелирования связана с многократной интерференцией волн в области между барьерами. Проницаемость системы из нескольких чередующихся плоских ям и барьеров рассчитывают аналитически, используя технику кейновских матричных элементов [1з]. Однако для барьеров произвольной формы эта техника неприменима.
Таким образом, к недостаткам стандартной модели можно отнести:
1. Использование понятия «эффективной массы», которая становится подгоночным параметром в расчетах. Для диэлектрика, как правило, аморфного (8Ю2), и границ раздела фаз, для которой характерны нарушения
кристаллической структуры, применение зонного подхода не совсем корректно. Если для макроскопических слоев успехи такого подхода, выводящего за рамки модели внутриатомный потенциал, неоспоримы, то для нанослоев попытки «спасти» эффективную массу (например, введением пространственно-распределенной т (х,у^) [16]) лишь затеняют существо проблемы.
2. Трапециидальность (или треугольная форма) барьера. Делаются попытки учесть влияние на его форму сил зеркального отображения электростатической природы, возникающие со стороны металлического электрода [5]. В работе [11] авторы попытались учесть внутриатомный потенциал, однако, весьма абстрактным путем.
3. Единственность барьера. При рассмотрении подзатворного диэлектрика, толщина которого составляет единицы (до 20) моноатомных слоев, на атомарном уровне выясняется существование в действительности многобарьерной системы (рис.3)
4. Предположение плоских волн («полочек» потенциала) в качестве граничных условий. К сожалению, данное ограничение трудно обойти. Вместе с тем именно в этом вопросе, вероятно, имеется важная связь туннельной задачи с задачей квантования носителей в приповерхностном слое полупроводника.
и(х)
поверхностный, частично разупорядо-ченный слой кремния
<уровень вакуума> диэлектрик (8Ю2)
металл или Si
Рис.3. Потенциальная диаграмма реальной МОП-структуры при приложенном к затвору напряжении. Условные (для одномерного случая!) границы раздела кремний-диоксид кремния, диоксид кремния-металл показаны штриховой линией. Наклонной стрелкой отображается общее влияние напряжения на затворе на форму потенциала. Небольшими кругами обозначены атомы (атомные кластеры), создающие сингулярности для и(х)<0, за ноль принят уровень вакуума. и(х)-потенциальная энергия одного электрона, попавшего в зону проводимости, связанная с электростатическим полем ядер и остальных электронов.
0
Несмотря на отмеченные недостатки, стандартная модель достаточно проста и нетребовательна в отношении вычислительных ресурсов. Поэтому, улучшая ее, желательно добиться компромисса между сложностью уравнений модели и временной стоимости расчета.
3. Расчет туннельного коэффициента многобарьерной системы путем
решения 1Б уравнения Шредингера
Коэффициент Т(Е) (индекс для простоты писать далее не будем) для электрона, туннелирующего через многобарьерную систему, аналогичную изображенной на рис.3., можно найти аналитически, если известно решение одномерного уравнения Шредингера (это следует из определений [3]). Данная модель реализована нами в виде компьютерной программы, результаты расчета, полученные с ее помощью, представлены на рис.4-7. При составлении математических моделей общемировая практика показывает удобство использования метода обезразмеривания; далее заглавными буквами будут обозначаться безразмерные величины, а маленькими-соответствующие им размерные (в системе СИ):
a0 = 10-10 м, U0 = 1.6*10-19 эВ, k0 =
% К = k„VA2(К - и (X)), а = Аа
гъ л. 2 5 г 0 \ г V г V //5 i г 0
2п
з<г
А А а
+—Х)а0, х) = ¥(X), ¥(1 + 0) = ¥(1 - 0), ¥'(1 + 0) = -*+ 2 2 аг
2т
тШа1 (1,0) ^ (1,0), (0,-k1) ^ (0,-К1), k1 = ^ — и0(К - и,). (9)
/гпа! : (Яе ¥) ^ (Яе^,1т^), (Яе ¥',1т ¥') ^ (^ Яе Яе ¥'),
kn2ти0(к - ип).
Весь потенциальный профиль разбивался на п участков, соответствующие барьеру, яме или барьеру-яме (для одного атомного остова), причем для каждого из них размерной ширине ^ ^=1,п) соответствовало изменение безразмерной координаты Хе[-1,1]. Сужая задачу, можно интерпретировать и(Х=0) как потенциал в центре атома. Первый и последний участки принимались за «полочки», т.е. и^Х^сош^, ип(Х)=сош^. Как обычно, волна падает справа налево, переводя начальные условия в конечные (10):
йщЛ (10 1 (A cЛ ( йщ
йУ /
(ЯещЛ
йХ
^/ ' Щ _ _- к2( х
V 1т щ
V,
йх
(1 0 > (А С1
х_хШа1 , 0 - к1) V В П)
_| щ, ^ <10)
х_ х:/1т1
йХ
Легко получить, исходя из (3), выражения для туннельных коэффициентов (11):
П С
(А + —)2 + (В - С)2
Т __4к1 / кп_ п _ К_кп (11)
т _ П-К _ П-(11)
(А - — )2 + (В + С)2 (А - — )2 + (В + С)2
кп кп кп кп
п
Данное выражение может быть переписано в виде (12):
Т _—-4к-^- , К _ 1 + _-4 • / к;)- (12)
\\\ + \ / кп| - 2 • / кп ^ \\ + \\ / кп| - 2 • / кп )х_ Апа1
Сумма Т+Я=1 из физических соображений. Математически покажем этот неочевидный факт для (11) (ведь на значения Л,Б,С,Б, казалось бы, не наложено ограничений). В отсутствии магнитного поля уравнение Шредингера распадается на два независимых для мнимой и действительной части и может быть рассмотрена как система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Для этой системы значение определителя Вронского сохраняется (см.(12)) и для решений задачи Коши для условий (1,0) и (0,-1) равно (-1). При этом мы ссылаемся на теорему Остроградского-Лиувилля.
Система (9-10) решалась численным методом Рунге-Кутты (по схеме 1:4:4:1). Вначале приведем результаты для тестового барьера на рис.2. Целесообразно проверить, экстраполируя результаты для Т(Е), полученные для тестового случая, какую погрешность дает формула Гамова для мелких (по энергии) и узких (по ширине) барьеров или ям атомных масштабов. Такую оценку, разумеется, сравнительно легко получить, исходя из показателя экспоненты, но надежнее и нагляднее решить эту задачу численно. Результаты численного расчета весьма хорошо совпадают с теоретическим предсказанием, что свидетельствует о действенности выбранного численного метода. Они также указывают: а) на сильную
степень влияния значения эффективной массы на расчетное Т(Е),- например, вблизи
* *
потолка барьера для т =1 (в массах свободного электрона) Т(0)=0.33, а для т =0.16
Т(0)=0.76; б) в случае надбарьерного отражения (Е>0) Т(Е) приближается к единице
*
лишь при энергии порядка нескольких высот барьера Е~5иь; в) при т =1 (в отличии
*
от т =0.16) наблюдается слабая одиночная осцилляция Т(Е) в области надбарьерных
значений энергии 2Ць<Е<6Ць, ее амплитуда составляет примерно 0.04; г) для меньших значений эффективной массы асимптотика Т(Е)^1 достигается позднее.
Чем меньше значение эффективной массы, тем большую ошибку по сравнению с точной формулой (7) дает формула Гамова (6) (см. рис.4, где кривые расположены попарно). По мере уменьшения высоты барьера или при уменьшении ширины ямы до 0.1нм ошибка также растет, достигая примерно 100% (т.е. различие- в 2 раза)- кривые 2,6 и 4,7 соответственно. Вместе с тем в сравнительно широкой области обе формулы дают практически совпадающий результат. Величина ошибки чувствительнее к значению энергии электрона (высоте барьера), чем к значению ширины барьера (ср., например, кривые 1,5 и 3,8 на рис.4).
Нами также исследовалось проницаемость системы из нескольких мультиплицированных тестовых барьеров с целью обнаружения резонансного туннелирования (рис.5). Число резонансных пиков равно (N-1), К- число барьеров. Уже в случае двух барьеров кривая 2 туннельной проницаемости теряет монотонность (ср. кривую 1), имея достаточно узкий пик при Е=-иь/2 (его ширина ~0.5эВ). При N=3 (кривая 3) этот пик раздваивается симметричным образом. Мы рассматривали также систему из 10-ти барьеров. При этом в центральной области (по Е) наблюдалась достаточно широкая полоса почти сливающихся максимумов и минимумов (в них Т=1), которая является при К^да прототипом разрешенной зоны полупроводника). Меньшая эффективная масса приводит к их расширению резонансных пиков. Сходная картина характерна для кривых Т^) с тем отличием, что влияние отношения размеров ямы (равно a) и барьера (сош^ и носит характер периодического повторения (К-1)-горбой кривой. На рис.5 (кривые 4,5) отображен лишь фрагмент такой кривой. При этом минимальное значение туннельного коэффициента совпадает с его значением для одного сплошного барьера (1X^=0), а
период изменения указанного выше аспектного соотношения довольно большой и
* *
равен «4.5 (для ш =1). Подстановка т =0.16 качественно не влияла на общую картину, однако при этом резонансные пики становились гораздо более плавными и невыраженными по амплитуде, удлинялся также и период повторения (К-1)-горбой кривой.
4. Подстановка кулоновского потенциала в одномерное уравнение
Шредингера
Для того, чтобы учесть внутренние особенности (на локально-атомном уровне) профиля потенциала, в область которого попадает туннелирующий электрон, самым
простым была бы подставить кулоновский потенциал в уравнение Шредингера.
* 2 *
Действительно, вблизи ядра можно считать поле пропорциональным Щг)~2 е /г (2 -эффективный заряд ядра), а на границе между двумя соседними атомами склеить два кулоновских потенциала (с учетом непрерывности самой функции Щг) и ее
и \ гр и и и
производной). Такой потенциал имеет сингулярный вид, что влечет за собой, как мы увидим, осложнения в численном методе.
Для сравнения рассмотрим успешно решаемое в курсе квантовой механики уравнение Шредингера для трехмерного водородподобного сферически симметричного атома:
„ ^ d2w 2 dw l(l +1) 2m a4 „ 3D : —f + W + + -)¥ = 0 (13)
dr r dr r h2 r
При орбитальном моменте электрона, равном нулю (1=0), и в окрестности нуля (т. е.энергией электрона можно пренебречь) это уравнение с точностью до члена с первой производной волновой функции совпадает с одномерным уравнением:
, ^ d V A ,Л .ч
1D : —f = - - V (14)
dr2 r
Чтобы найти асимптотику пси-функции в окрестности нуля, положим w(r)=O(r-Y lim rYw(r) = 1
Y) и наложим даже более строгое условие: r—0 . Необходимыми условиями
применения правила Лопиталя к дробям вида f(x)/g(x) являются: а) стремление и
lim f' ( x)/ g' ( x)
числителя, и знаменателя к нулю (бесконечности); б) существование x—0 .
Применим несколько раз правило Лопиталя (15,16):
, rY+V(r ) (у + 1)rV(r ) + rY+lw' (r) 1 = lim-= lim—--—- =
r —0 r r —0 1
( 1)l. rY+V(r) l. rY+2V(r) l. rY+2V(r) (Y + 1)lim-+ lim-—— ^ lim-—— = -y
r —^0 r r —^0 r r —^0 r
rY+V" (r ) + (y + 2)r Y+1w ' (r ) r Y+2(- AV) , „ 41. r Y+V'
-Y = lim-Y w v/---r-^-L = lim-ь-TL + y + 2)hm Y
(15)
r— 0 1 r— 0 r r— 0 r
rY+V r Y+2 V' = -Alimr ■ lim-— + (y + 2)lim-— ^ -y = -A ■ 0 + y(Y + 2) ^ Y = 0 , Y = -1
r— 0 r— 0 r r— 0 r
Таким образом, возможные линейно-независимые решения (34) могут иметь либо нулевой, либо первый порядок стремления к нулю, т.е. ^1~0(г), у2~0(1).
Полученный результат можно усилить. Сделаем в (14) замену переменных г= /(4Л), что приведет наше уравнение к форме, аналогичной уравнению
Бесселя (15):
2U 3
и"- — + u(1 + 4) = 0 (17)
t t
Его решением служит линейная комбинация функций Бесселя первого порядка соответственно первого и второго рода J1(t) и N1(t) (функция Неймана) с известной асимптотикой (18,19):
u(t ) = t2(BJ1(t) + CNx(t )), 7,(0 = O(t), Nj(t ) = O(r>) (18)
Vi~O(r), y2~O(1)- асимптотика пси-функции (19) Более детальный анализ (18) показывает, что производная пси-функции в окрестности нуля терпит разрыв (из-за присутствующего в аналитическом разлождении в ряд функции Неймана N1(t) слагаемого вида tint). Нами наблюдалась расходимость по малому параметру 8 при численном решении задачи Коши (14) методом Рунге-Кутта четвертого порядка для ограниченного на интервале (-8;8) потенциала кулоновского вида (т.е. при re[-ô;ô] U(r)=U(ô)~e /ô=const). Любопытно заметить, что, благодаря присутствию члена с первой производной при выписывании лапласиана, трехмерное уравнение Шредингера решается корректно.
Таким образом, подстановка кулоновского потенциала приводит к отсутствию сходимости численного метода решения одномерного уравнения Шредингера, т.е. при шаге h^0 ^(0)^const. Этот факт не зависит от выбора численного метода и принципиально связан с одномерностью задачи.
В данной работе мы проанализировали влияние параметра эффективной массы и предположения о малости туннельного коэффициента (по сравнению с единицей) на результаты расчета проницаемости невысокого и узкого прямоугольного барьера. Показано, что вплоть до ширины ямы
2Â и высоты барьера в 2эВ погрешность формулы Гамова остается незначительной. Предложено рассматривать туннелирование через ультратонкий подзатворный диэлектрик в МДП-транзисторе как транспортную задачу, поставленную для одномерного уравнения Шредингера, в котором многобарьерный потенциал создается атомными остовами, что позволяет
обходиться без подгоночного параметра эффективной массы. Указана возможность наблюдения феномена резонансного туннелирования в такой системе, качественно объясняющего нерегулярности вольтамперных характеристик для тока утечки. Показана некорректность подстановки в одномерное уравнение Шредингера сингулярного в нуле кулоновского потенциала. Это порождает необходимость: во-первых, адекватного подбора профиля (модели) потенциала; во-вторых, адаптации такой модели, неизбежно трехмерной, к одномерности туннельной задачи.
Литература
1. J.Maserjian, J.Vac.Sci.Technol. 11, 996 (1974)
2. K.H.Gundlach, Solid-State Electron. 9, 949 (1966)
3. B.Majkusak and A.Strojwas, J.Appl.Phys. 74, 5638 (1993)
4. H.Nakatsuji and Y.Omura, Jpn.J.Appl.Phys:pt1 39, 424 (2000)
5. A.Shenk and G.Heiser, J.Appl.Phys. 81, 7900 (1997)
6. L.Register et al. Appl. Phys. Lett. 74, 457 (1999)
7. M.Macucci, G. Iannaccone, J Greer et al. Nanotechnology 12, 136 (2001)
8. И.В.Грехов, А.Ф.Шулекин, М.И.Векслер. ФТП 32,743(1998)
9. B.K.Ip and J.R.Brews, IEEE Transactions on electron devices 45, 2213 (1998)
10. A.Abramo, A.Cardin, L.Selmi et al, IEEE Transactions on electron devices 47, 1858 (2000)
11. S.Mudanai,Y.Y.Fan, Q.Ouyang et al, IEEE Transactions on electron devices 47, 1851 (2000)
12. M.Houssa, T.Nigam, P.W.Mertens et al, Solid-State Electronics, 49, 159 (1999).
13. Туннельные явления в твердых делах. Под ред.В.И.Переля.- пер.с англ., М:Мир, 1973.- 421с.
14. Г.Г.Карева, М.И.Векслер, И.В.Грехов. ФТП, 36, 953 (2002)
15. K.Likharev. Appl. Phys. Lett., 73, 2137 (1998)
16. K.Kyoung-Youm,L.Byongho.Solid State Electronics, 43,81 (1999).
Логарифм проницаемости барьера IgT
(1) lgT(E),free-Acc -(2) IgT(E),016-Асс -(5) IgT(E).free-Ord -(Б) IgT(E) Д 16-Ord
(3) lgT(a),free-Acc -(4) lgT(a),0.16-Acc -(7) lgT(a),0.16-Ord -(8) lgT(a),free-Ord
Рис.4. Сравнение результатов по точной формуле (7) и приближенной формуле (6) для коэффициента туннелирования через тестовый барьер (рис.2.). Суффиксы обозначений кривых: Acc- для точной, Ord- для приближенной формул, free- для свободного электрона, 0.16- для m 12,3=0.16m. Независимые переменные отложены на вертикальных осях.
Рис.5. Резонансное туннелирование в системе с N барьерами (ш*\=ш). Приведены логарифмические зависимости туннельного коэффициента от энергии электрона и при масштабировании системы (Е=-3эВ, Ук ai=a).
