Расчет температурного поля поверхности мишени Текст научной статьи по специальности «Физика»

4. Larkin E.V., Ivutin A.N. Estimation of Latency in Embedded RealTime Systems // 3-rd Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO-2014). Budva, Montenegro, 2014. P. 236 - 239.

Гришин Константин Анатольевич, асп., GrishKons92@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE METHOD OF DEFINING TIME OF WALK INTERVALS OF WANDERING IN ERGODIC SEMI-MARKOV PROCESSES

K.A. Grishin

The method of determining the time of walk intervals of wandering through the selected trajectory and one of the possible trajectories is discusses. This methodology is presented in matrix form and applied a rule of summation of random variables. Probabilistic characteristic of wandering is determined.

Key words: trajectory of the walk, time of walk, semi-Markov process, the selected trajectory, possible trajectory.

Grishin Konstantin Anatolyevich, postgraduate, GrishKons92@yandex. ru, Russia, Tula, Tula, Tula State University

УДК 621.78

РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПОВЕРХНОСТИ МИШЕНИ

В. А. Дунаев, Т. А. Акименко, О.Ю. Горбунова

Предложена математическая модель нагрева поверхности мишени точечным источником тепла. Разработанный метод позволяет провести компьютерное моделирование нагрева поверхности мишени точечным источником тепла и исследовать динамику нагрева поверхности мишени, облученной импульсно-периодическим лазером.

Ключевые слова: нагрев, лазер, мишень, пятно нагрева, метод конечных элементов, метод конечных разностей.

Во многих технологических процессах реализуется механизм нагрева поверхности мишени точечным источником тепла, таким, например, как лазерный луч [1 - 4]. Нагревание поверхности лазерным излучением, активизирует в ней процессы теплообмена. Луч, попадая на поверхность, нагревает ее и тепло распространяется вглубь материала посредством теплопроводности. Практическая реализация этой операции с обеспечением оптимальных параметров нагрева и охлаждения мишени невозможна без построения математической модели, учитывающей специфические условия нагрева лазером и охлаждения поверхности путем конвекции.

81

Объект исследования представлен на рис. 1, где показано: 1 - нагреваемая мишень, представляющая собой бесконечную пластину толщиной 5; 2 - лазер, который генерирует луч (3), создающий на поверхности мишени пятно нагрева (4); мишень равномерно обдувается воздушным потоком (5).

Мишень показана в цилиндрических координатах г и г. Координата г направлена от центра пятна нагрева ортогонально поверхности вглубь мишени. Координата г, представляет собой радиус круга, построенного относительно центра пятна нагрева. Считается, что материал мишени является анизотропным, т.е. его физические свойства во всех направлениях являются одинаковыми.

Рис. 1. Нагрев мишени лазером

Процесс нагрев-охлаждение описывается следующими дифференциальными уравнениями. Воспользуемся осесимметричной постановкой задачи:

дифференциальное уравнение теплопроводности

1 д(Л дТ \ аЛ дтЛ

дТ

ср— =--

дг г дг

гХ г

т

дг

+ ■

дг

Х г

дг

V г, г е V, г > 0,

(1)

где Т - температура; г - время; г, г - радиальная и осевая координаты; Х -коэффициент теплопроводности в плоскости изотропии в направлении оси г; Хг - коэффициент теплопроводности в направлении оси 2, V - объем нагреваемой области.

граничные условия на поверхности пятна нагрева £ воздействия

луча

Я1

р\ГТ1

Хг—, Vr, г е г > 0 дг

(2)

граничные условия на поверхности Ба теплообмена с окружающей

средой

ЪТ

а(Т„ - Т) = -1т —, "т, г е Б, г > 0 Ът

(3)

где а - коэффициент теплообмена; - температура окружающей среды; Ба - поверхность мишени, в направлении т бесконечная пластина, в направлении г толщина мишени д.;

начальные условия для г = 0

Т = Т

'т, г е Б.

(4)

где Т0 - начальная температура.

Для решения данной задачи используется метод конечных элементов [5, 6], приближенная вариационная формулировка которого для записанного выше дифференциального уравнения теплопроводности использует функционал:

Ф [Т ( т, г )] = |

х

1*

ЪТ

Ът

\2

+ 1,

ЪТ

\2

Б

чТ + а

V

1 ^

Тс — Т с 2

Ъг Т ]с1Б

+ чс Т

тйтйг

(5)

/

* * * Ът _

где чс = с р--тепловой поток, обусловленный теплоемкостью мате-

Ъг

риала, индекс " * " соответствует фиксированному в данный момент распределению температуры в пространстве.

Задача сводится к отысканию функции поля температуры, удовлетворяющей стационарному значению функционала Ф, записанного для исследуемой области:

ч-

5Ф [Т(т,г,г )] = 0.

(6)

В качестве конечного элемента используется гибридный кольцевой элемент с четырехугольным сечением, образованным объединением нескольких треугольников с линейной функцией распределения температуры и сосредоточенной в узлах теплоемкостью элемента [5,6,7].

Температура в любой точке конечного элемента определяется через узловые величины температур по линейному закону:

Т = И{Т + N 2Т + N 3Т

(7)

где N - коэффициенты формы треугольного конечного элемента, вычисляются по формуле

Щ1 = [^23 (г - г3 )-г23 (г - г3 )]

N

2

= [г31(г - г1)-г31(г - г1 )]

25Т

(8)

N

= [г12 (г - г2 )-г12 (г - г2 )];

25'

т

где =1 (г21^32 - Г32г21) - площадь треугольника.

Тепловой поток, поглощаемый при нагреве элемента вследствие теплоемкости его материала, выражается через узловые потоки тепла:

Э т

Чс = ^с =^

с

Чс,

' 3

I N

.1=1

Эт

Эг

Э Т

1

Эг _

с, ; с, =

3 Э т

и Эг

с,

,=1

(9)

где с, - приведенная теплоемкость узла; V = $т • 2жгт - объем треугольного конечного элемента, гт - центр тяжести треугольника.

Рассмотрим исходный функционал в классе линейных функций температуры (7) с точечными источниками (9). Минимизация такого функционала может быть осуществлена по узловым величинам [5,6,8], так как они однозначно определяют температуру в любой точке исследуемой области.

Вводя в исходный функционал условия (7) - (9) и дифференцируя по узловой температуре т, для области конечного элемента получим:

ЭФ

ЭТ

= Л

1.

ЭТ Э

Эг ЭТ

V Эг у

+ 1г

ЭТ Э

Эг ЭТ

V Эг у

ММг + дс1 =

= [(1 гг23г23 +1 гг23г23 )т1 + (1 гг31г23 +1 гг31 г23 )т2 +

+ С1

+ (1 гг12г23 +1 гг12г23 )т3 эт

4БТ

Эг

ЭФ

ЭТ2

Л

1.

ЭТ Э

Эг ЭТ2

V Эг у

+ 1 г

ЭТ Э

Г — 1

VЭг У г

ММг + чс 2

Эг ЭТ2

= [(1 гг23г31 +1 гг 23 г31 )т1 + (1 гг31г31 +1 гг31г31 )т2 +

+ (1 гг12г31 +1 гг12г31 )т3 ]+ с2 ^

84

3

V

V

V

V

V

ЪФ

ЪТ3

= Л

1

ЪТ Ъ

Ъг ЪТ3

ЭТ Ъг

+ 1,

ЪТ Ъ

Ът ЪТз

эт

Ът

тФ^ + дсз =

= к1 гт23т12 +1 тг 23 г12 )т1 + (1 гт12 т31 + ^тг12 г31 )т2 +

+ гт12т12 +1 тг12г12)т3 + с3 ^.

4Бт Ъг

(10)

Объединяя полученные уравнения (10), запишем результат в виде:

ЪФ1 Мт}+Ит 1ЪТ

(11)

Ъ Т" ' ' ' [ Ъг ^

где [1]- матрица теплопроводности конечного элемента; {с}Т - матрица теплоемкости конечного элемента; тц = т-т; {Т}- матрица температуры всех узловых точек тела:

[1]

1

4Б

Т

(1тг23г23 + 1гт23т23); (1тг31г23 + 1гт23т23); (1тг12г23 + 1гт12т23); (1тг23г31 +1гт23т31); (1тг31г31 +1гт23т31); (1тг12г31 +1гт12т31); (1тг23г12 +1гт23т12); (1тг31г12 +1гт23т12); (1тг12г12 +1гт12т12);

,(12)

{с}Т

{Т } =

с1 с2 с3

т1 т 2

т3

(13)

(14)

Окончательные уравнения процесса минимизации исходного функционала по температуре в узловых точках получаются объединением всех производных (10) по всем конечным элементам, на которые дискретизиру-ется исследуемая область и приравниванием их нулю

£ £ ъф

I=11=1ЪТ

:{0},

(15)

где п - число конечных элементов.

Матрицы теплопроводности, теплоемкости и векторы тепловых узловых потоков всей конструкции могут быть получены при этом путем сложения соответствующих членов матриц теплопроводности, теплоемкости и тепловых потоков конечных элементов. Разрешающее уравнение метода конечных элементов для рассматриваемого случая приобретает вид:

№}=-{с}Т Н}+Ш+Ш,

(16)

V

где

" Л11 л12 • •• л1п " Т 'QL1 0x1'

[л]= л21 л22 • •• л2п , (С}Т = < > ,{QL}=- QL2 qа 2

_ лп1 лп 2 • лпп _ с Vе п ^п, О^оп

- глобальные матрицы теплопроводности, теплоемкости и векторы тепловых узловых потоков лучистого и конвективного теплообмена.

На основе математической модели разработан алгоритм решения интегрального дифференциального уравнения теплопроводности с краевыми и начальными условиями, предназначенный для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов теплообмена (рис. 2).

Основными шагами алгоритма являются: формирование задания и исходных данных для проведения вычислительного эксперимента; задание теплофизических свойств материала: плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности; формирование конечно-элементной сетки (файл геометрии мишени с заданными граничные условия на поверхности 8 воздействия луча и на поверхности 8а теплообмена с внешней окружающей средой, матрицы связей узлов конечного элемента, границ); формирование граничных и начальных условий; организация и управление ходом расчета, сохранение текущего состояния, вывод результатов; проверка условия окончания расчета.

Формирование граничных и начальных условий представляет собой присвоение требуемых значений заданному подмножеству векторов узловых параметров.

Созданные файлы данных и геометрии передаются в основную программу и начинается процесс моделирования исследуемых процессов.

Результаты могут быть представлены в виде графиков, эпюр, изолиний или в цветовых полей.

Численное моделирование рассматриваемого процесса осуществляется с помощью теоретико-вычислительного комплекса компьютерного моделирования и визуализации процессов теплопереноса [9].

При компьютерном моделировании процесса исследовалось воздействие луча лазера на поверхность мишени. Были заданы следующие характеристики: материал сталь; начальные условия: температура окружающей среды, плотность мощности лазерного излучения, скорость обдува поверхности.

Задание начальных условий

1 Г

Начало цикла по времени

Вычисление локальных матриц теплопроводности и теплоемкости [Х\, {с}т по формулам (12) и (13)

Вычисление глобальных матриц теплопроводности и теплоемкости [Л], {С}т по формулам (17)

Задание граничных условий

Решение системы алгебраических уравнений [Л]{Т}={(3}

Рис. 2. Блок-схема алгоритма численного моделирования процесса нестационарной теплопроводности

87

При моделировании процесса были взяты 4 точки на поверхности мишени: 1 - в центре пятна нагрева; 2 - на границе пятна нагрева; 3 - на поверхности мишени от центра пятна нагрева 2г; 4 - на поверхности мишени от центра пятна нагрева 3 г.

На рис. 3 показано изменение температуры поверхности мишени во времени при равенстве длительностей импульса и паузы.

3,4

'1

4 2

5

5,3

Рис. 3. Изменение температуры поверхности мишени во времени

Проведенные исследования нагрева поверхности мишени при различных параметрах импульса лазера показали, что управляя длительностью импульса и паузы можно обеспечить получение заданной тепловой картины на поверхности мишени.

Разработанный метод интегрирования системы при динамическом изменении энергии лазерного луча и постоянных параметров воздушного потока позволяет провести компьютерное моделирование нагрева поверхности мишени лазером и исследовать динамику нагрева поверхности мишени, облученной импульсно-периодическим лазером.

Данная статья выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках Соглашения о предоставлении субсидии № 14.577.21.0084 от 5 июня 2014 г. Уникальный идентификатор прикладных научных исследований RFMEFI57714X0084.

Список литературы

1. Maldague X. Theory and practice of infrared technology for nondestructive testing. John Wiley & Sons, Inc., U.S.A., 2001. 684 p.

2. Sheich M.A., Taylor S.C., Hayhurst D.R., Taylor R. Measurement of thermal diffusivity of isotropic materials using a laser flash method and its validation by finite element analysis // J. Phys.D: Appl. Phys, 2000. V.33. P. 15361550.

3. Shuja S.Z., Yilbas B.S., Shazli S.Z. Laser repetitive pulse heating influence of pulse duty. Heat Mass Transf. 43. P. 949-955 (2007).

4. Yilbas B.S. Analytical solution for time unsteady laser pulse heating of semi-infinite solid. Int. J. Mechanical Sciences 39(6). P. 671-682 (1997).

5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

6. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов (перевод с англ.). М.: Мир, 1979. 392 с.

7. Сапожников С.З., Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача. СПб: Изд-во СПбГТУ, 2003. 319 с.

8. Эльсгольц Л.Э. "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление". М.: Наука, 1969. 424 с.

9. Дунаев В. А. Теоретико-вычислительный комплекс компьютерного моделирования и визуализации сопряженных процессов тепло- массо-переноса. Теплофизические измерения в начале XXI века. Тезисы докладов Четвертой международной теплофизической школы. ТГТУ, Тамбов, 2001. С. 112-113.

Дунаев Валерий Александрович, д-р техн. наук, проф., dwa222@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Акименко Татьяна Алексеевна, канд. техн. наук, доц., tcintan72@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Горбунова Ольга Юрьевна, канд. техн. наук, доц., oygor@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

CALCULATION OF TEMPERATURE FIELD TARGET SURFACE V.A. Dunaev, T.A. Akimenko, O. Y. Gorbunova

A mathematical model of heating the target surface by a point source of heat. The developed method allows a computer simulation of the heating surface of the target point heat source and investigate the dynamics of heating the target surface irradiated repetitively pulsed laser.

Key words: heating, laser target heating spot, finite element method, finite difference

method.

Dunaev Valeriy Alexandrovich, head of chair, doctor of technical science, professor, dwa222@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Akimenko Tatiana Alekseevna, candidate of technical sciences, docent, tan-tan72@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Gorbunova Olga Yuryevna, candidate of technical sciences, docent, oygor@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University