CC BY
32
УДК 621.375.9
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НАГРЕВА БИОТКАНИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Е.А. Гарькавая, С.И. Стреляев, Н.С. Тархов
Рассматривается моделирование нагрева мышечной биоткани при воздействии различной плотностью мощности лазерного излучения, что позволяет оптимизировать параметры воздействия для определенных тепловых эффектов.
Ключевые слова: моделирование, теплопроводность, тепловые эффекты, биоткань, лазерное излучение, коагуляция.
Применение лазеров в медицине принципиально отличается от других многочисленных областей технологических применений лазеров. Современные лазерные медицинские технологии базируются на фундаментальных исследованиях в физике, математике, химии, биологии и отличаются гуманистической направленностью, многоплановостью, комплексностью и разнообразием. Процессы, характеризующие взаимодействие лазерного излучения с биообъектом разделяются на три группы: невозмуща-ющие процессы, которые не оказывают заметное действие на биообъект; процессы, в которых проявляется фотохимическое или тепловое действие и процессы, приводящие к фоторазрушению (абляция или испарение, фотокоагуляция) [1].
При поглощении лазерного излучения в биоткани генерируется тепло, вызывающее эффекты, которые соответствуют различным уровням поглощенной энергии и приводят к нагреву ткани в пределах физиологических температур, или к обратимым или необратимым изменениям ее состояния. Диапазон температуры, соответствующей конкретным тепловым эффектам в биотканях составляет единицы градусов. Для коагуляции (денатурации клеточных и тканевых белков) он составляет 60.. .100 оС [2].
В связи с этим, для разработанного хирургического аппарата с применением лазерных диодов [3, 4], который может применяться в военной медицине для остановки и профилактики кровотечений, сварки стенок полых органов, обработки хрящевой и костной тканей (ампутация) и пр., необходимо для процессов взаимодействия лазерного излучения с биотканью и исходя из технических характеристик аппарата: длина волны излучения - 950.1470 нм, максимальная оптическая мощность (со ступенчатым переключением) - 70 Вт, излучение - непрерывное, с использованием математической модели на основе уравнения теплопроводности, которое описывает временные изменения температуры биоткани в заданной точке пространства уточнить мощность излучения (плотность мощности). Для решения этого уравнения должны быть учтены начальные и гранич-
70
ные условия, соответствующие решаемой задаче. Начальным условием является температура ткани в момент времени t = 0, а граничные условия зависят от структуры ткани и геометрии лазерного нагрева.
Уравнение теплопроводности имеет вид:
рсут = + рссо(Та ~ ТЛ (1)
где р - плотность ткани (г/см3); с - удельная теплоемкость ткани (мДж/(г °С)); Т - температура ткани (°С); Я - коэффициент теплопроводности ткани (мВт/(смоС)); ю - скорость перфузии крови в ткани (г/(см3 оС)); Та - входящая артериальная температура (оС), Тг - выходящая венозная температура (оС).
Уравнение (1) является нестационарным нелинейным уравнением теплопроводности с внутренним источником теплоты. Оно применимо к рассматриваемым процессам с учетом следующих упрощающих допущений: процессы испарения, кипения, сублимации отсутствуют. Мощностью внутреннего источника теплоты, пропорционального разнице температуры входящей и выходящей крови, можно пренебречь по сравнению с мощностью внешнего лучистого потока лазера. В связи с тем, что достоверные данные о зависимости коэффициента теплопроводности биоткани от температуры отсутствуют, его значение для рассматриваемого диапазона температуры будем считать постоянным. В этом случае уравнение (1) становится линейным. Ограничим также пространственную размерность задачи. Для неподвижного пятна лазера, с учетом его практического размера и равномерности распределения плотности энергии по площади, процесс распространения тепла в биоткани можно считать одномерным, проходящим только в глубину. С учетом этого, уравнение (1) приобретает вид:
дт , а2г
рс — = А—- (2)
г дГ дх2 v }
В качестве граничных условий теплообмена на поверхности будем рассматривать плотность лучистого теплового потока, определяемого мощностью и площадью луча. Т.к. величина плотности потока имеет порядок 106 Вт/м2, конвекцией, теплопроводностью и излучением в атмосферу с поверхности биоткани можно пренебречь.
С позиции причинно-следственных связей данная задача является некорректной, поскольку по заданному следствию - температуре поверхности Т, требуется определить одну из причин, вызвавших это следствие -плотность и время воздействия плотности лучистого теплового потока q. Таким образом, необходимо решать граничную обратную задачу нестационарной теплопроводности. В монографии [1] отмечается, что «обратные задачи обычно некорректны, их некорректность обусловлена неустойчивостью решения по отношению к малым возмущениям входных данных. Это приводит к необходимости выделения решения, к разработке специальных регуляризирующих алгоритмов приближенного решения таких задач».
71
Корректно поставленная задача в математике — прикладная задача, математическое решение которой существует, единственно и устойчиво [2]. Происходит от определения Ж. Адамара, согласно которому математические модели физических явлений должны иметь следующие свойства: решение существует; решение единственно; решение непрерывно зависит от данных в некоторой разумной топологии. Некорректно поставленная задача не обладает каким-либо из свойств корректной.
Т!град) 136 122
108 %
80 66 52 38 21>
10 О w 02 03 ОЛ 05 06 Ö,7~ 0,8 ~5,9 ТЕ
а
Моделирование нагрева мышечной биоткани при воздействии непрерывного лазерного излучения в течение: а -1 сек; б - 2 сек
Основные подходы к приближенному решению обратных задач рассмотрены в работах академиков А.А. Самарского, А.Н. Тихонова и их учеников и связаны с возмущением задачи [5]. Переход к новой корректной задаче может осуществляться различными способами. Часто обратные
задачи математической физики рассматриваются как задачи оптимального управления, для приближенного решения которых используются стандартные градиентные методы. Для граничной обратной задачи теплопроводности (ОЗТ) применяются методы с возмущением исходного уравнения (метод квазиобращения), либо с возмущением соответствующего сеточного уравнения на основе принципа регуляризации [6]. Вариационный метод приводит к задаче оптимального управления с возмущением начального условия.
Простым и не требующим обоснования его применимости, методом решения ОЗТ является метод последовательных приближений - многократное решения корректной прямой задачи теплопроводности одним из численных методов.
Решение уравнения (1) осуществлялось методом конечных разностей. При моделировании процесса нагрева для теплового эффекта коагуляции использовались следующие исходные данные: плотность мышечной ткани составляет 1,3 г/см3, удельная теплоемкость мягких тканей -3300 Дж/кгград, Я =0,3 - 0,5, Т = 65 °С (коагуляция), Т = 32 °С (мышечная ткань толщиной 5 мм, число слоев стенки и количество графиков - 5), q=11 . 106 Вт/м2, диаметр волокна световода - 600 мкм, шаг интегрирования - 1Е-5 сек, шаг вывода по температуре и допустимая погрешность - 1 град, конечное время - 2 сек.
На рисунке представлены результаты численного моделирования нагрева мышечной биоткани. Верхняя кривая показывает изменение температуры на поверхности мышцы, остальные - в слоях. Нагрев до теплового эффекта - коагуляция наступает через 0,2 сек при данной плотности мощности лазерного излучения.
Из-за постоянного нарастания разности температур между облучаемой и окружающей биотканью возрастает перенос тепла из области нагрева в соседние участки и при больших уровнях энергии излучения могут быть повреждены значительные объемы ткани, а при малых - возможны потери тепла в нагреваемых областях. В связи с этим моделирование процесса нагрева в биотканях является весьма актуальной задачей.
Список литературы
1. Шахно Е.А. Физические основы применения лазеров в медицине. СПб: НИУ ИТМО, 2012. 129с.
2. Тучин В.В. Лазеры и волоконная оптика в биомедицинских исследованиях. 2-е изд., испр. и доп. М.: Физматлит, 2010. 488с.
3. Тархов Н.С., Давыдова Е.А. Лазерный двухволновой хирургический аппарат // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2016. Вып. 12. Ч. 1. С. 233 - 236.
73
4. Давыдова Е.А. Универсальный портативный аппарат на лазерных диодах / Материалы XVI Всероссийской НТК студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов», Тула: Изд-во ТулГУ, 2017. С. 26 - 30.
5. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.
6. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 312с.
Гарькавая Елена Алексеевна, магистрант, dawilena@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Стреляев Сергей Иванович, д-р техн. наук, профессор, sergeystrel@rambler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Тархов Николай Сергеевич, канд. техн. наук, доцент, t-niaramhler. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MODELING OF THE PROCESS OF HEATING OF BIOLOGICAL TISSUE
BY LASER RADIA TION
E.A. Gar 'kavaia, S.I. Streliaev, N.S. Tarhov
The article discusses the modeling of heating muscle tissue when exposed to different power densities of laser radiation, which allows optimization of exposure parameters for certain thermal effects.
Key words: modeling, thermal conductivity, thermal effects, biological tissue, laser radiation, coagulation.
Gar 'kavaia Elena Alekseevna, undergraduate, dawilena@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Strelyaev Sergey Ivanovich, doctor of technical science, professor, sergeystrel@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Tarhov Nikolay Sergeevich, candidate of technical science, docent, t-ni a ramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University
