CC BY
20
PETRI-MARKOV MODEL OF INTERRUPTIONS E. V. Larkin
Time characteristics of algorithm interpretation by Von-Neumann computers are investigated. With use of semi-Markov process fundamental apparatus the analytical model of program runtime evaluation, when absence of interruption is worked out. It is shown that external interruptions are the result of functioning of independent random process, which develops in parallel with algorithm interpretation. For description of interaction of two processes apparatus of Petri-Markov nets is used. Basic structural-parametric model of computer functioning in the presence of interruptions is worked out It is shown that in common case Petri-Markov model is an infinite one. The recursive procedure of wandering through Petri-Markov net for case under investigation is worked out. It is shown that process of wandering through the net is not quite semi-Markov one. The method of transformation of Petri-Markov model onto strong semi-Markov process is proposed.
Key words: Von-Neumann computer, Interruption, runtime, semi-Markov process, Petri-Markov model, wandering.
Larkin Eugene Vasilyevich, doctor of technical science, professor, head of chair, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.78
НАГРЕВ ПОВЕРХНОСТИ МИШЕНИ ПОДВИЖНЫМ ЛАЗЕРНЫМ ЛУЧОМ
Т.А. Акименко
Создана модель нагрева поверхности мишени с помощью подвижного лазерного луча, которая охлаждается потоком воздуха. Уравнение решено для случая динамического изменения энергии лазерного луча при постоянных параметрах воздушного потока.
Ключевые слова: нагрев, лазер, мишень, метод конечных элементов, метод конечных разностей, модель, конечный элемент.
Минешь представляет собой плоскую пластину, заданной толщины д. Декартова система координат, в которой решается задача, неподвижна. Луч движется по поверхности пластины по заданному закону со скоростью V (рис.1).
Рис. 1. Схема сосредоточенного движущегося источник тепла по поверхности пластины и распределение изотерм температур
при движении
Система уравнений, описывающая процесс нагрев-охлаждение поверхности мишени представлена следующим образом [1-3, 10]: - дифференциальное уравнение теплопроводности
ЭT Э (Л ЭТ Л Э (Л ЭTЛ Э и ЭТЛ
ср— = —
Эt Эх
1
Эу
+ •
Эх
1
у
Эу
+ •
Эх
1.
Эх
'х,у,ге V, I > 0, (1)
луча
средой
- граничные условия на поверхности пятна нагрева £ воздействия
Эт
41 =-1г —, " х, у е £, I > 0, (2)
Эх
- граничные условия на поверхности 8а теплообмена с окружающей
ЭТ
а(Т§ - Т) = -12
V х, у е £, I > 0,
(3)
х Эх
- начальные условия для I = 0
Т = Т0 , V х, у, х е £, (4)
где Т - температура поверхности мишени; I - время; х, у, х - пространственные координаты; ¡х, 1у ,12 - коэффициенты теплопроводности в направлении оси х, у и х; V - объем мишени; ^ = ](х,у, I, е) - поток тепла от лазерного луча; а - коэффициент теплообмена; - температура окружающей среды; £ - поверхность мишени; Т0 - начальная температура.
Для решения данной задачи используется метод конечных элементов [4,5], приближенная вариационная формулировка которого для записанного выше дифференциального уравнения теплопроводности использует функционал:
Ф[Т (г, х)] = Н1
2
1*
'этЛ2 л*
эТ) +1у
( ЭТ л2
V эу J
+1.
дТ + а
1 ^
Тс — Т с 2
ЭТ
V Эх ,
Т №,
+ д^Т шхйуйх
(5)
2
х
I
* * * дT
где qc = c р —— - тепловой поток, обусловленный теплоемкостью ма-ot
териала, индекс " * " соответствует фиксированному в данный момент распределению температуры в пространстве.
Задача сводится к отысканию функции поля температуры, удовлетворяющей стационарному значению функционала Ф, записанного для исследуемой области:
дФ [7(х, у,2,г )] = 0. (6)
В качестве конечного элемента используется гибридный кубический элемент, образованным объединением нескольких тетраэдров с линейной функцией распределения температуры и сосредоточенной в узлах теплоемкостью элемента [4,5,6] (рис.2).
Рис. 2. Схема гибридного и тетраэдрального конечных элементов
Температура в любой точке конечного элемента определяется через узловые величины температур по линейному закону:
T (х, у, 2) = (N7 + N2T2 + N^3 + N474), (7)
где - коэффициенты формы тетраэдрального конечного элемента.
Линейную функцию аппроксимации температуры (9) в данном элементе запишем в виде
Т(х, у, 2) = [ 1 х у 2 ] [ а1 а2 а3 а4] ; (8)
где а1, а2, а3, а4 - коэффициенты аппроксимирующей функции.
Вектор узловых параметров температуры в тетраэдре будет иметь
вид
{7} =
71 1 хг Уг 2г
72 1 х3 у3 23
7з 1 ч Ук 2к
А 1 хт ут 2т
19
а^ а 2
аз а 4
= [С ][а].
Обращение матрицы [С] позволяет определить коэффициенты формы тетраэдра N :
1 4
где X (а + Ь х + с у + &х 2);
6УТ 1 =1
6К
Т
«1 Ь1 С1
«2 Ь2
с2
а3 Ьз с3 ¿3
а4 Ь4 с4
^4
= [С ]-1;
6
V, - объем тетраэдра; х7, у7, 2{ - координаты узловых точек, индексы 7,}, к, т = 1, 2, 3, 4 получаются циклической перестановкой в последовательности 7, ], к, т, 7;
Тепловой поток, поглощаемый при нагреве элемента вследствие теплоемкости его материала, выражается через узловые потоки тепла:
с
д,
Чс = 1с = |
V V
дТ
Чс7 ="д7С', С7 = 1
4 дТ
X N дТ
7=1
4 дТ- 4
^ = 1= X Чс7:
7=1 д V 7=1
(9)
где с7 - приведенная теплоемкость узла; V - объем конечного элемента.
Поверхностные потоки тепла на граничных поверхностях также представим в виде сосредоточенных узловых величин:
Ч7 = 1 +1 аТ - Тя = X Ян + X % - X Ча7,
£ 5 7 7 7
где суммирование производится по узловым точкам граничной стороны конечного элемента.
Рассмотрим исходный функционал в классе линейных функций температуры (7) с точечными источниками (9). Минимизация такого функционала может быть осуществлена по узловым величинам [4], так как они однозначно определяют температуру в любой точке исследуемой области.
Введем в исходный функционал условия (7) - (9) и продифференцируем по узловым температурам тетраэдра Т1 (7=1,2,3,4) для области конечного элемента:
ЭФ
дТ
=
1
дТ д
х
дх дТ
гдТЛ , дТ д + 1-
7 V
дх
У
'У
+1
дТ д
2
д2 дТ
дУ дТ7 I дУ
дТ
+
у
7 V
д2
У
dxdydz + чС7.
1
V
Объединяя полученные уравнения (12), получаем результат в виде:
(11)
Эф 1 им+ит 1 э Т
Э Т{ Эг ^
где [1]- матрица теплопроводности конечного элемента; {с}7- матрица теплоемкости конечного элемента; {Т}- матрица температуры всех узловых точек тела.
Окончательные уравнения процесса минимизации исходного функционала по температуре в узловых точках получаются объединением всех производных (10) по всем конечным элементам, на которые дискретизиру-ется исследуемая область, и приравниванием их нулю
п 3 ЭФ г т
^ = {°}, (12)
I=1=1ЭТ где п - число конечных элементов.
Матрицы теплопроводности, теплоемкости и векторы тепловых узловых потоков всей конструкции могут быть получены при этом путем сложения соответствующих членов матриц теплопроводности, теплоемкости и тепловых потоков конечных элементов. Разрешающее уравнение метода конечных элементов для рассматриваемого случая приобретает вид:
Э Т
[Л]{Т} = -{С}
Т
Э г
+ {2а}+{& },
(13)
где
" 41 42 • •• 4п" 'С\ Т бы ба1
[Л] = Л21 42 • •• Л2п , С}Т = - С2 > , {2ь}=• бы 2 , {2а}=- ба 2
_ 4п1 Лп2 • • Лпп _ С 1Сп Яып, аап
(14)
- глобальные матрицы теплопроводности, теплоемкости и векторы тепловых узловых потоков лучистого и конвективного теплообмена.
Для выполнения численных расчетов исследуемых процессов в уравнении была произведена дискретизация по времени. Разностное уравнение (15) решено с применением неявной разностной схемы. Использование рассмотренного конечного элемента с сосредоточенной теплоемкостью позволяет исключить колебания числовых значений температур для резко выраженных нестационарных процессов нагрева и получить схему расчета нестационарного температурного поля, пригодную для построения метода численного исследования теплового состояния исследуемой мишени.
Используя конечно-разностное выражение производной по времени в виде (тк+1 - Тк )/дг, получим:
[Л]{т*+1}=-{с)г (Тк+1}-Тк К+
+{а}т (тк+1}- Тк+1+ы+ш-,
где к - индекс, соответствующий аргументу - время; {тк+1}, {тк } - векторы узловых температур в последующий и данный моменты времени, {Т^} -температура окружающей среды.
Для объединения в левой части уравнения всех членов, содержащих неизвестные величины, выделим в матрице { За } неизвестные температуры узловых точек конструкции:
Ш=ШТо }-{Т }), (16)
где {А} - вектор конвективного теплообмена для всей поверхности в целом.
Перенося в левую часть уравнения (21) члены, содержащие неизвестные {тк+1}, окончательно получим:
м-+ -I [с ]+м!{тк+1 }=4- {с}Т Тк}+{А}Т (Тк+1}- Тк+1 )++1}, (17)
ДХ у ДХ
.к+11
(15)
где [а]-.
Дх "Ац 0
0
А22
0 0
0 0 К
диагональной форме. Матрица {Т } =
А
пп
- матрица теплообмена, представленная в
V Т 0'
Тп Т 0
в начальный момент времени определя-
ется из начальных условий. Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений осуществляется методом сопряженных градиентов [4,8].
На основе математической модели разработан алгоритм решения дифференциального уравнения теплопроводности с краевыми и начальными условиями, предназначенный для проведения вычислительных экспериментов по исследованию теплового режима мишени под действием подвижного лазерного луча.
Результаты моделирования могут быть представлены в виде цветовых картин, изотерм (рис. 3) и графиков изменения температуры точек мишени во времени.
Численное моделирование рассматриваемого процесса осуществляется с помощью теоретико-вычислительного комплекса компьютерного моделирования и визуализации процессов теплопереноса [9-11].
1{Х>°-С 1эО°С
-0,05 -0_,04 -Q,03 -3,02 -0,Ш « -0,05 -0,04 -0,0Z -S.01
Рис. 3. Изотермы в плоскостях x-y и x-z пластины
Разработанный метод численного решения задачи нагрева поверхности мишени движущимся по заданного закону лазерным лучом и постоянных параметров воздушного потока позволяет провести компьютерное моделирование нагрева-охлаждения поверхности мишени лазером и исследовать динамику нагрева поверхности мишени, облученной импульсно-периодическим лазером.
Данная статья выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках проекта 2.3121/ГЗ "Параллельный полумарковские процессы в системах управления мобильным роботом"
Список литературы
1. Sheich M.A., Taylor S.C., Hayhurst D.R., Taylor R. Measurement of thermal diffusivity of isotropic materials using a laser flash method and its validation by finite element analysis // J. Phys.D: Appl. Phys, 2000. V. 33. P. 15361550.
2. Shuja S.Z., Yilbas B.S., Shazli S.Z. Laser repetitive pulse heating influence of pulse duty. Heat Mass Transf, 2007, 43. P. 949 - 955.
3. Yilbas B.S. Analytical solution for time unsteady laser pulse heating of semi-infinite solid. Int. J. Mechanical Sciences, 1997, 39(6). P. 671 - 682.
4. Zienkiewiez O.C. The Finite Element Method in Engineering Science. McGraw-Hill, London, 1971. 541 p.
5. Segerlind L. Applied Finite Element Analysis, John Wiley and Sons, Inc. New York/ London/ Sydney/ Toronto, 1976. 392 p.
6. Fornberg B. Calculation of weights in finite difference formulas, SIAM Rev, 1998, P. 685-691.
7. Babuska, Ivo, Banerjee, Uday; Osborn, John E. "Generalized Finite Element Methods: Main Ideas, Results, and Perspective". International Journal of Computational Methods, 2004, 1 (1) P. 67 - 103.
8. Gerald C.F., Wheatley P.O. Applied Numerical Analysis. Addison-Wesley Longman, Inc, 1997. 680 p.
9. Akimenko T., Dunaev V., Gorbunova O. Simulation of surface heating process with laser // NAA'16 (Sixth Conference on Numerical Analysis and applications) Bulgaria, Lozenetz. P. 150 - 157.
10. Akimenko T. Dunaev V., Larkin E. Computer simulation of the surface heating process by the movable laser // Proceedings of 5th International Workshop on Mathematical Models and their Applications Krasnoyarsk, Russia, 2016. P. 11 - 17.
11. Дунаев В.А., Акименко Т. А., Горбунова О.Ю. Расчет температурного поля поверхности мишени. Известия Тульского государственного цниверситета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2016. Вып. 9. С. 81-89.
Акименко Татьяна Алексеевна, канд. техн. наук, доц., tantan72ama.il.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
HEATING THE TARGET SURFACE MOVING LASER BEAM
T.A. Akimenko
A model of heating the target surface by a movable laser beam, which is cooled by air flow. The equation is solved for the case of dynamically changing the laser power settings at constant air flow.
Key words: heating, laser target heating spot, finite element method, finite difference
method.
Akimenko Tatiana Alekseevna, candidate of technical sciences, docent, tan-tan72@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
