CC BY
40
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XIX
198 8
№ 3
УДК 532.525.011.55
РАСЧЕТ ТЕЧЕНИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В СОПЛАХ И СТРУЯХ РЕЛАКСАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Излагаются основные положения релаксационного метода решения двумерных стационарных уравнений Эйлера применительно к прямой и обратной задачам теории сопла Лаваля. Результаты расчетов сравниваются с экспериментальными и расчетными данными других авторов.
В настоящее время для расчета локальных и интегральных характеристик сопл широко применяются численные методы. Для решения обратной задачи сопла Лаваля используется метод Пирумова второго порядка точности [1], а для решения прямой задачи — методы установления, основанные на интегрировании нестационарных уравнений Эйлера [2], а также релаксационные методы и методы приближенной факторизации, решающие уравнения для потенциала [3, 4]. В настоящей статье излагаются основные положения релаксационного метода решения системы двумерных уравнений Эйлера, использующего неявную Конечно-разностную схему второго порядка аппроксимации на гладких решениях, применительно к решению прямой и обратной задач теории сопла и приводятся примеры расчетов. Продемонстрирована возможность использования данного метода для расчета течений газа с неоднородными полными параметрами и произвольно задаваемой круткой потока в соплах, идеальных струях, а также для определения формы стенки сопла по заданному на ней распределению статического давления. ' ^
1. Исходная система уравнений, описывающая двумерные течения идеального газа в ортогональной системе координат {х, у}, где х, у — пространственные переменные, имеет следующий вид:
где и, V — проекции скорости газа на оси х и у соответственно; р — плотность; р — давление; Г) —крутка потока; 5(г|})—энтропийная
А. Н. Ланюк, Л. С. Милешин
(1)
Gdty = p«yv dy — pvy' dx; p = pT,
функция; Н(\|})—энтальпия торможения; в — расход газа через сопло; ?=0 и 1 в плоском и в осесимметричном случае соответственно; ф — нормированная на единицу функция тока, к — показатель адиабаты.
Переходя к новым независимым переменным {х, г}, где г — ф1+ч и 0<2<1, второе уравнение системы (1) можно записать в виде:
(3->).*,, +2^)4,- +
+ £^Н’~ (, — |)иЯГ ^ Г-> “ ¿("Г) Н‘ +
+ ¿(т)' (^п + №) Р■ Ъ + § (у)’ г, +
здесь а — скорость звука; М — число Маха; a=(l + v) й.
Физическая область течения в системе координат {х, у} отображается на прямоугольную расчетную область в системе координат {х, г}. Для аппроксимации уравнения (2) строится, в общем случае, неравномерная по осям х и г прямоугольная разностная сетка. В узлах разностной сетки все первые производные определяются с использованием
и ^ .
центральных разностей, для вторых производных в узлах, где — <1,
используются центральные разности, а в узлах, где-^->1, — разности против потока.
На верхней и нижней границах расчетной области 2 = 0 и 2=1 удовлетворяются точные решения у(х, 0)|=У-(х) и у(х, 1)=У+(л:), где У~(х) и У+{х)—соответственно уравнения нижнего и верхнего контуров сопла. На входе в сопло значения координат линий тока
у(0, г) находятся из условия и = 0 и известного ^ : в случае течений
с круткой потока ^ , в случае незакрученных течений — ^ = 0.
Для решения уравнения (2) используется неявная конечно-разностная схема, имеющая второй порядок аппроксимации на гладких решениях. Система конечно-разностных уравнений на каждой итерации решается методом скалярной прогонки. Зная положение линии тока у(х, г), можно определить в узлах сетки значения плотности тока плотности газа р и величины компонент скорости и и а. Так как одно значение плотности тока соответствует двум возможным значениям плотности газа, одно из которых больше, а другое меньше величины критической плотности, то при расчетах смешанных течений необходимо выделять точку перехода через скорость звука на каждой линии тока. Такая точка определяется местоположением глобального максимума плотности тока утах, который ищется вдоль всей линии тока. Если газ в сопле течет слева направо, то на каждой линии тока слева от (¡тах величина плотности газа принимается больше критической, а справа — меньше критической. Величины плотности газа (больше или меньше критической) в узлах разностной сетки, где достигаются глобальные максимумы плотности тока <7Шах вдоль линий тока, определяются линейной интерполяцией по известным значениям плотности
газа в соседних узлах. Расход газа б через сопло подбирается таким образом, чтобы величина осредненных по расходу ^Шах соответствовала критическому значению плотности тока.
Предлагаемый метод может быть использован для расчета течений в областях, содержащих участок границы, положение которого заранее не определено. Решаются задачи об истечении струи газа в затопленное пространство и о восстановлении формы стенки сопла по заданному на ней распределению статического давления. В этих случаях положение границы определяется заданными в граничных узлах разностной сетки значениями статического давления.
2. Ниже приводятся некоторые результаты решения ряда задач данным методом. Для определения скорости сходимости решения при последовательном увеличении числа узлов разностной сетки расчеты сопла, подробно описанного в [5], были выполнены на трех разностных сетках размером 20X10, 40X20, 60X30 узлов. Контур сопла и исходная прямоугольная разностная сетка в расчетной области размером 20x10 показаны на рис. 1. Сетки размером 40X20 и 60X30 получены из исходной сетки уменьшением шагов по осям х и г соответственно в два и три раза. Величина коэффициента расхода ц, определенная в результате расчетов, соответственно равнялась 0,9835, 0,9816, 0,9813 при временах счета на ЭВМ ЕС-1040 1,5; 10 и 50 мин. Течение считалось установившимся, если отличие в коэффициентах расхода, сравниваемых через 75 итераций, не превышало 0,01%. Линейное поведение (х в зависимости от величины квадрата шага разностной сетки подтверждает второй порядок аппроксимации реализованного численного метода. Экстраполирование на нулевой шаг разностной сетки дает значение (л = 0,9811. Экспериментальное значение ц = 0,985 [5]. Предлагаемый метод имеет весьма высокую точность при определении импульса. Ошибка по импульсу Д/, определяемая по формуле Д/ =
Р N
= аг>${(/0+ | р(1Р — 1м)Х ¡о1} X 100%, где /0, Р0 — импульс и пло-щадь в начальном сечении, /лг, — импульс и площадь в сечении
Рис. 1
на выходе из сопла, составила 0,25% на сетке 20 X Ю узлов,. 0,06% на сетке 40X20 узлов и 0,01%' на сетке, имеющей 60X30 узлов.
В качестве тестовой задачи для струйных течений рассматривалась задача об истечении струи несжимаемой жидкости из плоского сужающегося сопла с углом между образующей и осью симметрии 45& и отношением площадей входного и минимального сечений, равным 2, Коэффициент расхода ц, в этом случае определялся как отношение действительного расхода газа через сопло к одномерному расходу при
*
«сверхкритическом» перепаде полного давления я= — , где р*, рп —
Ра
соответственно полное давление и давление окружающей среды. Аналитическое решение [6] дает для такого сопла величину ц = 0,02694. В расчетах, проведенных при перепадах полного давления я= 1,0003 на сетках размером 25X12 и 50x24 узлов, значения ц, соответственно равнялись 0,02728 и 0,02703, т. е. отличие величины ц, полученной в результате экстраполяции на нулевой размер ячеек, от точного решения составляет 0,04%.
Использование в качестве неизвестного, подлежащего определению, координаты линии тока газа у, позволяет построить достаточно простой алгоритм определения формы стенки сопла по заданному на ней распределению статического давления. Исходными данными для решения обратной задачи являются заданная цилиндрическая часть сопла и распределение статического давления, начиная с кромки цилиндра. В качестве примеров решения обратной задачи были построены контуры сопл, статическое давление вдоль стенок которых меняется по линейному и квадратичному законам.
На рис. 2 приведены задаваемые распределения обезразмеренного к величине критического напора р* а\ давления р(х) (кривые 1, 2) и соответствующие им, построенные в результате расчета на сетке 30x17 узлов, контуры сопл у(х) (кривые Г, 2'). Результаты расчетов на сетке 60x34 узлов с точностью до графического изображения соответствуют результатам, полученным на сетке размером 30X17 узлов, что свидетельствует о быстрой сходимости решения при увеличении числа узлов разностной сетки. Следует отметить, что время решения обратной задачи возросло более чем в три раза по сравнению с временем расчета течения газа в сопле Леваля заданной геометрии.
Данный метод позволяет рассчитывать течения закрученного газа, а также течения с неоднородными полными параметрами на вхо-
4—«Ученые записки» № 3
49
де в сопло, задаваемыми как в виде произвольного гладкого профиля, так и в виде ступенчатого распределения. Представлены результаты расчетов течений газа со ступенчатыми распределениями энтропийной функции 5 и энтальпии торможения Я, когда разрывы 5 и // происходят при одном и том же значении ^ (двухслойное течение газа в сопле). В этом случае распределения Н (\р) и 5(ф) имеют вид:
//(<!>) = #„ 5(^ = 5, (0 <<!>,);
Я(ф) = //„ 5(4) = 52 (^<
где Нь 5ь Я2, 52 — значения энтальпии торможения и энтропийной функции в струях газа, текущих у оси и у стенки сопла соответственно. Контур исследуемого сопла был составлен из плавно сопрягающихся между собой отрезков прямых и дуг окружностей. Радиус сечения минимальной площади был принят за единицу длины. Сужение площади дозвуковой части сопла 0,445, отношение площади выхода к площади минимального сечения сопла 1,61, радиус кривизны контура в сечении минимальной площади 0,25, полуугол сужения дозвуковой части сопла 30°, полуугол расширения сверхзвуковой части 15°.
Были выполнены расчеты трех различных течений газа со ступенчатыми распределениями полных параметров в сопле заданной геометрии. Во всех расчетах использовалась сетка 60x35 узлов и г|э<г = 0,5.
Первый вариант рассчитанного течения характеризовался следующим распределением полных параметров: #1 = 0,75 Я0, Я2=1,25Я0,
5, =0,625 50, 52 = 1,375 Б0 (здесь и далее Н0 50=-^~ сред-
ние по расходу значения энтальпии торможения и энтропийной функции). В этом случае отношение полных давлений в потоках
А =1,20.
Р2
Во втором варианте расчета были выбраны следующие распределения полных параметров: #1=1,25#0, Я2 = 0,75Я0, = 1,375 50,
52 = 0,625 50.
Третий вариант рассчитанного течения отличался от первого варианта наличием крутки на входе в сопло, профиль которой задавался следующим образом:
Г(ф)=1,6(ф*ф —ф*) (0<ф<<Ы;
Г(ф) = 2,0 (СЬ ^ 1) ф - ф* - фг) (ф* < ф < 1).
Ниже для каждого варианта расчета приведены число итераций Ы, время счета Т в минутах, коэффициент расхода (х, ошибка по импульсу М, коэффициент удельного импульса £ на срезе сопла, определяемый, как отношение действительного удельного импульса к удельному импульсу одномерного потока:
Вариант N т, мин дл % г
I 300 60 1,0577 0,01 0,9701
II 1000 180 1,0045 0,01 0,9768
III 1300 220 1,0434 0,1 0,9707
В работе [7] с использованием разностной схемы Годунова на сетке размером 48X25 ячеек получены значения (х=1,07 и ¡х= 1,02 соответственно для первого и второго вариантов течений. Отличие в результатах видимо объясняется неточностью определения методом первого порядка аппроксимации положения тангенциального разрыва. Следует отметить, что в работе [8] обобщен метод поправок на случай кусочно-однородных течений, учитывающий неточность определения положения границы между слоями и позволяющий уточнять интегральные характеристики сопла.
Авторы благодарят А. Н. Крайко за полезные обсуждения работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пиру мов У. Г., Росляков Г. С. Течения газа в соплах.—
М.: Изд. МГУ, 1978.
2. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., К р а ft-ко A. H., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976.
3. В a k е г Т. J. Numerical computation of transonic potential flow through nozzles. — The Aeronautical Quarterly, 1981, vol. 32, iN 1.
4. В a i 1 h a u s W. F., J a m e s о n A., A1 b e г t J. Implicit approximate-factorization schemes for steady transonic flow problems. — AIAA J. 1978, vol. 16, N 6.
5. С u f f e 1 R. F., Back L. H., Massier P. F. Transonic flowfield in a supersonic nozzle with small throat radius of curvature.—AIAA J.,
1969, vol. 7, N 7.
6. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. — М.: Наука, 1979.
7. J1 а н ю к А. Н. О влиянии двумерности течения газа со ступенчатым распределением полных параметров на интегральные характеристики сопла Лаваля. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1978, № 3.
8. 3 и м о н т В. Л., Я г у д и н С. В. Влияние радиуса кривизны контура сверхзвукового сопла в критическом сечении на расходные характеристики невязкого потока со ступенчатым распределением полного давления. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, № 2.
Рукопись поступила ЗЦ11 1986 г.
