CC BY
35
2020. 16(3). 171-178 Строительная механика инженерных конструкций и сооружений Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings
HTTP://JOURNALS.RUDN.RU/STRUCTURAL-MECHANICS
Расчет и проектирование строительных конструкций Analysis and design of building structures
DOI 10.22363/1815-5235-2020-16-3-171-178 УДК 624.046
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ
История статьи:
Поступила в редакцию: 20 февраля 2020 г. Доработана: 07 апреля 2020 г. Принята к публикации: 25 апреля 2020 г.
Расчет строительных конструкций на несколько динамических воздействий со статическим учетом высших форм колебаний
В.В. Лалин, Ле Ты Куанг Чунг*
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Российская Федерация, 195251 Санкт-Петербург,
ул. Политехническая, 29
*quangtnmg1690@gmail.com
Аннотация
Актуальность. При расчете строительных конструкций на динамические воздействия традиционно используется метод разложения искомого решения в ряд по формам собственных колебаний. В зависимости от сложности решаемых задач требуется учитывать разное число форм - от нескольких первых мод до десятков или сотен форм. Получаемые результаты тем более точны, чем больше форм учитывает расчет. Вклад в искомые параметры напряженно-деформированного состояния сооружения неучтенных высших форм колебаний, как правило, никак не оценивается, хотя в ряде случаев это делать необходимо. Кроме того, появляется важный вопрос выполнения расчета при уменьшенном числе учитываемых форм, так чтобы получать достаточно точный результат. Цель. Настоящая работа посвящена способу статического учета высших форм колебаний в задачах динамики строительных конструкций. Приведено описание основных положений метода, рассмотрено его использование на пространственной стержневой системе, нагруженной несколькими гармоническими силами с разными частотами. Методы. Изучаемый в работе метод статического учета высших форм колебаний требует решения одной динамической задачи с небольшим числом форм и вспомогательной статической задачи. Важным обстоятельством подхода является то, что статическая задача должна быть решена двумя способами: точным и методом разложения по собственным формам колебаний, после чего вычисляется статическая поправка к динамическому решению. Результаты. Предлагаемый в статье подход позволяет значительно снизить вычислительные затраты на динамический расчет в сравнении с классическим подходом при сравнимой точности результатов. Этот может иметь значение при решении задач на сложные динамические воздействия и для неоднородных по жесткости конструкций.
Ключевые слова: динамика сооружений, спектральный метод, формы колебаний, статический учет высших форм колебаний, полигармоническая нагрузка
Для цитирования
Лалин В.В., Ле Ты Куанг Чунг. Расчет строительных конструкций на несколько динамических воздействий со статическим учетом высших форм колебаний // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2020. Т. 16. № 3. С. 171-178. http://dx.doi.org/10.22363/1815-5235-2020-16-3-171-178
Введение
Строительные конструкции под влиянием динамических воздействий, таких как землетрясение,
Лалин Владимир Владимирович, доктор технических наук, профессор, Инженерно-строительный институт; eLIBRARY SPIN-код: 82206921, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0003-3850-424X. Ле Ты Куанг Чунг, аспирант, Инженерно-строительный институт; eLIBRARY SPIN-код: 3059-2207, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-6547-4632.
© Лалин В.В., Ле Ты Куанг Чунг, 2020
_ This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0
© I International License
https://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/
удар копровой установки, работа двигателя стационарного оборудования, движение автотранспорта и прочее, совершают колебательные движения.
Основным подходом к решению задач динамики является метод разложения в ряд по формам собственных колебаний [1-5]. Вопросам определения частот и форм собственных колебаний сложных строительных конструкций до сих пор уделяется значительное внимание [6-8].
Известно, что вклад первых слагаемых ряда, соответствующих низшим формам, в перемещения и
внутренние усилия системы является основным, в то время как вклад высших форм, как правило, незначителен. Кроме того, учитывать большое число мод в расчете достаточно сложно, поскольку ресурсы вычислительной техники ограничены.
Однако существует ряд случаев, когда возникает необходимость в учете высших форм, например при изучении работы конструкции при сейсмической нагрузке [9-14], где само динамическое воздействие носит сложный характер.
Более того, в условиях разработки проектной документации на здание или сооружение при внесении изменений в расчетную схему и ее пересчете может потребоваться значительное количество времени и затрат ресурсов вычислительной техники. Поэтому важно иметь возможность выполнять расчет при небольшом числе учитываемых форм собственных колебаний, так чтобы получить достаточно точный результат. Это возможно в том случае, если получается определенным образом учесть вклад отброшенных мод. Вопросам учета вклада высших форм колебаний посвящено значительное количество работ.
В работе [15] рассмотрены различные способы учета вклада высших форм колебаний в задачах сейсмостойкости при использовании линейно-спектрального метода. В работе [16] применительно к задачам сейсмостойкости сооружений автор предлагает приближенный метод оценки реакции системы по всем высокочастотным формам, объединяя их в одну глобальную форму. В статьях [17; 18] показано, что выделение квазистатических составляющих позволяет значительно ускорить сходимость ряда по собственным формам колебаний, что имеет важное значение при действии на сооружение сосредоточенных динамических воздействий. В работе [19] предложен способ учета вклада высших форм при анализе чувствительности форм колебаний к вариациям параметров системы.
Подход к учету высших форм колебаний, изучаемый в данной работе, основан на так называемом методе статического учета высших мод колебаний. Первоначально этот метод был назван методом построения матрицы остаточных податли-востей [20; 21]. Метод не реализован в существующих программных комплексах, что делает невозможным его использование в первоначальной форме без написания дополнительного программного кода. В дальнейшем этот метод под названием «метод статического учета высших форм колебаний» был независимо предложен в работах [22; 23] для решения задач определения собственных частот и форм колебаний. В работе [24] метод был распространен на задачи о вынужденных колеба-
ниях при действии гармонической нагрузки, причем был разработан вариант метода, ориентированный на использование существующих программных комплексов.
Метод предполагает решение задачи динамики способом разложения в ряд по формам собственных колебаний с небольшим числом учитываемых мод с последующим добавлением к этому решению статической поправки, которую можно получить при решении вспомогательной статической задачи в точной и приближенной постановках.
В настоящей работе исследуется применение метода статического учета высших форм колебаний при действии на систему одновременно нескольких гармонических нагрузок с разными частотами. Подобная задача может представлять интерес при моделировании сейсмического воздействия в виде нескольких синусоидальных составляющих с экспоненциально убывающей амплитудой [12; 25; 26].
1. Метод решения
Уравнение движения системы при вынужденных колебаниях можно записать в виде
ри = L(u) + p(t), (1)
где u(x, t) - искомое перемещение; р - плотность элементов системы; p(t) - внешняя динамическая нагрузка; L(u) - оператор статической задачи, зависящий от характера работы конструкции.
Можно привести следующие примеры вида оператора статической задачи L(u) :
а) L(u) = EAu" - для задач растяжения - сжатия стержней;
б) L(u) = -EIuIV - для задач изгиба стержней; с) L(u) = -D0u/8x4 + 2c4u/cx2dy2 +84u/dy4) -
для задач изгиба пластин.
Пусть на систему действует внешняя гармоническая нагрузка p(t) = P0 sin(9t), тогда для установившегося режима колебаний решение можно искать в виде u(x, t) = w(x)sin(9t), и уравнение для определения амплитуды u(x) будет иметь вид
L(u) + р92ы + P0 = 0. (2)
Решение уравнения (2) ищется в виде разложения по собственным формам колебаний:
n
un (x) = 2 aUk (x), (3)
k=1
где n - число учитываемых мод колебаний; ak -амплитудное значение k-той моды колебаний Uk (x) .
Решение динамической задачи по формуле (3) подразумевает выбор такого числа п учитываемых в расчете мод собственных колебаний системы, которое будет достаточно для нахождения искомого решения с необходимой точностью. Это число может быть значительным, что приведет к существенным затратам времени и ресурсов.
Можно подойти к решению данной задачи другим способом: принять в формуле (3) небольшое число слагаемых N(Ы « п), а остальную часть (высшие моды колебаний) учесть в расчете статически.
Для этого необходимо рассмотреть решение вспомогательной статической задачи от действия статической силы /0- Точное статическое перемещение пт Ст (х) определяется при решении дифференциального уравнения равновесия:
L(u) + P0 = 0.
(4)
Следующим шагом решается та же статическая задача, но с помощью метода разложения в ряд по формам собственных колебаний. Аналогично решению динамической задачи можно записать решение задачи (4) в виде
'N ,ст
( х) = Х bkUk ( х ).
(5)
k=1
можно
Получив решения Ыт ст (х) и Ыы ст (х)
найти искомое решение задачи (2) при учете небольшого числа N мод собственных колебаний в следующем виде:
u(х) = Un (х) +[ur,ст (Х) - un,arn (Х)] >
(6)
где Ыы (х) - решение динамической задачи по формуле (3) при п = Ы; Ыт ст (х) - точное решение статической задачи (4); Ыы ст (х) - приближенное решение статической задачи по формуле (5). Разность [ыт ст (х) _ Ыы Ст (х)| является статическим вкладом высших мод колебаний.
Как отмечалось выше, вспомогательная статическая задача должна решаться методом разложения в ряд по формам собственных колебаний. При выполнении расчетов на стандартных программных комплексах для этого выполняется решение динамической задачи с внешней нагрузкой в виде р(0) =
= Р0 sin(фt), где задается очень маленькое значение угловой частоты ф. При ф ^ 0 решение динамической задачи стремится к решению статической.
2. Результаты и обсуждение 2.1. Описание задачи
Рассматривается пространственная рама, которая состоит из стержневых конечных элементов (рис. 1). Габаритные размеры расчетной схемы составляют 12x10x14 м, нижние узлы - жестко защемлены. В качестве материала принят бетон В25, размеры поперечных сечений элементов: 20x20, 35x40, 50x50 см2 (рис. 2). Для железобетонных конструкций принят коэффициент неупругого сопротивления материала у = 0,1. Первые собственные частоты системы приведены в табл. 1.
На систему действует три внешние гармонические нагрузки, изменяющиеся во времени по закону р.(0) = Р. 8т(0/) . Их параметры приведены в табл. 2.
Рис. 1. Схема пространственной рамы [Figure 1. Spatial frame scheme]
Рис. 2. Жесткости элементов схемы [Figure 2. Stiffness of scheme elements]
Таблица 1
Собственные частоты колебаний [Table 1. Natural frequencies of the structure]
Собственные частоты
Н0мер [Natural frequencies]
собственной формы Техническая Угловая частота,
[Number of частота, Гц рад/с
the natural mode] [Technical [Angular frequency,
frequency, Hz] rad/sec]
1 1,71 10,73
2 1,81 11,40
3 2,31 14,52
4 3,80 23,82
8 5,98 37,58
15 10,41 65,43
25 15,24 95,81
Таблица 2
Параметры вынуждающих динамических нагрузок
[Table 2. External harmonic loads]
i Номер Направ- Амплитуда Вынуждающая
узла ление силы (P0i), частота (0;)
[Num- действия кН [Driving frequency (0;)]
ber силы [Amplitude Гц рад/с
of the [Direction of force (ffy),
node] of force] kN] [Hz] [rad/sec]
1 15 по оси X 1000 2,1 13,19
2 24 по оси X 500 3,0 18,84
3 33 по оси Z 1500 5,0 31,40
Далее в работе приводятся перемещения узлов 2 и 25 по направлению Х, перемещение узла 33 по направлению Z, а также изгибающий момент относительно оси Y в элементе N57 (на рис. 1 выделен толстой линией).
2.2. Решение задачи методом статического учета высших мод колебаний
Задача решалась с помощью программы SCAD Office 21.1.9.3. Результат расчета рамы на динамическую нагрузку от каждой силы по отдельности приведен в табл. 3.
Таблица3
Решение динамической задачи от каждой силы [Table 3. Dynamic frame calculation]
Силы Число U2 - x, U25 - x, U33 - г, M57,
[Force] учиты- мм мм мм кНм [kNm]
ваемых [mm] [mm] [mm] Мах Min
форм
колебаний
[Number
of modes]
МО 8 -56,184 146,524 0,810 -1331,74 -403,13
p2(t) 15 -21,821 182,744 5,435 -520,42 -156,35
p3(t) 25 4,492 -26,728 250,019 -636,13 428,88
Отметим, что рассматриваемая расчетная схема имеет 243 динамических степеней свободы, таким образом число учтенных в расчетах форм колебаний мало по сравнению с их полным количеством.
Далее была точно решена вспомогательная статическая задача от статических сил, равных амплитудам вынуждающих нагрузок P0i. Точные статические перемещения узлов 2, 25 и 33, а также изгибающий момент в элементе N57 приведены в табл. 4.
Таблица 4
Точное решение статической задачи от каждой из внешних сил [Table 4. Exact solution of the static problem for each loads]
Силы U2 - x, U25 - x, U33 - г, M57,
[Force] мм [mm] мм [mm] мм [mm] кНм [kNm]
Мах Min
P<U -39,220 -44,965 -1,588 -921,62 -291,56
P0_2 -11,058 -320,103 -6,504 -254,17 -85,52
Pü_3 -1,843 -44,540 -156,728 237,57 -162,53
На следующем шаге вспомогательная статическая задача была решена динамическим методом при задании в программе очень малой частоты каждой вынуждающей силы, равной 9 = 0,0001, причем
амплитуда сил не менялась. При такой частоте решение динамической задачи практически совпадает с решением задачи статики с условием учета всех форм колебаний. Использование небольшого числа собственных форм позволит получить приближенное решение статической задачи. Результаты расчета при разном числе учитываемых мод приведены в табл. 5.
Таблица5
Решение вспомогательной статической задачи
от каждой из внешних сил [Table 5. The solution of the auxiliary static problem by the dynamic method for each loads]
Силы [Force] Число учиты- U2 - x, мм U25 - x, мм U33 - г, мм M57, кНм [kNm]
ваемых форм колеба- [mm] [mm] [mm] Мах Min
ний [Number of modes]
p1(t) N = 8 -42,704 -43,682 -2,117 -1010,52 -307,65
p2(t) N = 15 -9,872 -320,322 -6,559 -227,73 -76,71
p3(t) N = 25 -1,886 -44,474 -138,673 227,93 -158,15
В табл. 6 приводятся решения динамических задач от каждой силы по предлагаемому методу согласно формуле (6).
Таблица 6
Результаты решения задачи методом статического учета высших мод колебаний для каждой силы [Table 6. The results of solving the problem by the method of static accounting of higher vibration forms for each load]
Силы Число U2 - x, U25 - x, U33 - г, M57,
[Force] учиты- мм мм мм кНм [kNm]
ваемых форм колеба- [mm] [mm] [mm] Мах Min
ний
[Number of
modes]
p1(t) N = 8 52,700 145,241 1,339 1242,84 387,04
p2(t) N = 15 23,007 182,963 5,490 546,86 165,16
P3(t) N = 25 4,535 26,794 231,964 626,49 424,50
В случае одновременного действия трех сил перемещения и моменты рассчитываются как сумма решений от каждой из сил в отдельности. Результаты приведены в табл. 7.
Таблица 7
Результаты решения задачи методом статического учета высших мод колебаний от одновременного действия всех внешних сил [Table 7. The results of solving the problem by the method of static accounting of higher vibration forms from the simultaneous action of all external loads]
Силы U2-x, U25 - x, И 33 - г, M57,
[Force] мм мм мм кНм [kNm]
[mm] [mm] [mm] Мах Min
pi(t) + pi(t) + p3(t) 80,242 354,998 238,793 2416,19 976,70
Решение задачи прямым интегрированием уравнений движения. Для оценки точности предлагаемого подхода исходная задача о действии одновременно трех сил была решена в программном комплексе SCAD с помощью прямого интегрирования уравнений движения. Таким же методом были решены задачи о действии каждой силы по отдельности. Задачи решались на интервале времени от 0 до 10 с при шаге по времени 0,005 с.
Таблица 8
Решение динамической задачи методом прямого интегрирования уравнений движения [Table 8. Solution of a dynamic problem by direct integration of the equations of motion]
Силы U2 - x, U25 - x, U33 - г, M57,
[Force] мм мм мм кН м [kN m]
[mm] [mm] [mm] Мах Min
P1(t) 52,579 146,646 1,335 1239,87 386,35
p2(t) 22,839 183,977 5,506 538,6 162,9
p3(t) 4,591 25,775 227,884 602,45 406,71
3 Е pt (t) 78,635 350,509 232,171 2366,08 932,89
i=i
В табл. 8 приведены результаты решения динамической задачи от каждой силы в отдельности и при их одновременном действии.
Сравнение результатов решения предлагаемым методом и методом прямого интегрирования уравнений движения. В табл. 9 проводится сравнение результатов расчетов.
Таблица 9
Сравнение результатов предлагаемого метода и метода прямого интегрирования уравнений движения [Table 9. Comparison of the results of the proposed method and the method of direct integration of the equations of motion]
Силы Вид U2 - x, U25 - x, U33 - г, M57,
[Force] расчета мм мм мм кНм [kNm]
[Calcu- [mm] [mm] [mm] Max Min
lation
methods]
(1) 52,700 145,241 1,339 1242,84 387,04
p1(t) (2) 52,579 146,646 1,335 1239,87 386,35
s (%) 0,23 0,96 0,30 0,24 0,18
(1) 23,007 182,525 5,380 546,86 165,16
p2(t) (2) 22,839 183,977 5,506 538,60 162,90
s (%) 0,74 0,55 0,29 1,54 1,40
(1) 4,449 26,794 268,074 645,77 433,26
p3(t) (2) 4,591 25,775 227,884 602,45 406,71
s (%) 1,22 3,95 1,79 3,99 4,37
3 (1) 80,242 354,998 238,793 2416,19 976,70
Е pt (t) (2) 78,635 350,509 232,171 2366,08 932,89
i= 1 s (%) 2,04 1,28 2,85 2,12 4,70
Примечание: (1) - предлагаемый метод; (2) - метод прямого интегрирования уравнений движения; 8 - относительная погрешность.
Анализ результатов, приведенных в табл. 9, позволяет сделать следующие выводы:
1) погрешность предлагаемого метода при учете небольшого количества форм колебаний нигде не превосходит 5 %, то есть метод имеет достаточную для инженерных расчетов точность;
2) достаточно высокая точность результатов достигается как по перемещениям, так и по усилиям;
3) использованный в работе простой способ суммирования результатов от действия трех сил с разными частотами возможен, так как существуют моменты времени, в которые вклады от каждой силы одновременно достигают максимальных значений.
Заключение
В настоящей работе метод статического учета высших форм колебаний распространен на задачи динамики при действии на сооружение одновременно нескольких гармонических нагрузок с разными частотами. При этом используется такой вариант метода, который позволяет получать результаты с
использованием существующих программных комплексов.
Предлагаемый вариант метода с использованием стандартных программных комплексов требует решения двух динамических задач с малым числом мод и одной статической задачи, причем вспомогательная динамическая задача должна решаться с малой величиной частоты вынуждающей нагрузки.
На численном примере показано, что предложенный метод дает достаточно высокую точность решения при учете небольшого количества собственных форм колебаний по сравнению с полным количеством динамических степеней свободы. Высокая точность решения получается не только по перемещениям, но и по усилиям.
Установлено, что при одновременном действии трех гармонических динамических воздействий с разными частотами, результирующие искомые величины могут быть получены как сумма решений задачи от каждой из внешних сил в отдельности.
Список литературы
1. Clough R.W., Penzien J. Dynamics of structures. New York: McGraw-Hill Book Company, 1975. 320 p.
2. Chopra A.K. Dynamic of structures. Theory and Applications to Earthquake Engineering. New Jersey: Prentice-Hall, 2006. 794 p.
3. Игнатьев В.А., Галишникова В.В. Основы строительной механики. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2009. 500 с.
4. Золотев А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Моз-галева М.Л. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций. М.: АСВ, 2009. 336 с.
5. Рутман Ю.Л., Островская Н.В. Динамика сооружений: сейсмостокость, сейсмозащита, ветровые нагрузки: монография. СПб.: СПбГАСУ, 2019. 253 с.
6. Нуримбетов А. У., Дудченко А.А. Современное состояние вопроса анализа собственных частот и форм колебаний конструкции из композиционных материалов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Т. 14. № 4. С. 323-336.
7. Мокин Н.А., Кустов А.А., Ганджунцев М.И. Численное исследование собственных частот и форм колебаний воздухоопорных сооружений // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Т. 14. № 4. С. 337-347.
8. Колесников А. О., Попов В.Н. Расчет собственной частоты колебаний заглубленного фундамента при импульсном нагружении // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Т. 14. № 5. С. 360-368.
9. Newmark N.M., Rosenblueth E. Fundamentals of earthquake engineering. New York: Englewood Cliffs, 1980. 344 p.
10. Бирбраер А.Н. Расчет конструкций на сейсмостойкость. СПб.: Наука, 1998. 255 с.
11. Datta T.K. Seismic Analysis of Structures. John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd, 2010. 464 p.
12. Уздин А.М., Елизаров С.В., Белаш Т.А. Сейсмостойкие конструкции транспортных зданий и сооружений. М.: Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте, 2012. 500 с.
13. Sucuoglu Halük, Akkar Sinan. Basic Earthquake Engineering. From Seismology to Analysis and Design. Springer, 2014. 288 p.
14. Тяпин А.Г. Современные нормативные подходы к расчету ответственных сооружений на сейсмические воздействия. М.: АСВ, 2018. 518 с.
15. Бирбраер А.Н., Сазонова Ю.В. Вклад высших мод в динамический отклик конструкций на высокочастотные воздействия // Строительная механика и расчет сооружений. 2009. № 6 (227). С. 22-27.
16. Тяпин А.Г. Реализация «концепции остаточного члена» в расчетах сооружений на сейсмические воздействия модальным и спектральным методами // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2014. № 4. С. 32-35.
17. Балакирев Ю.Г. Особенности выделения квазистатических составляющих при анализе динамического нагружения упругих конструкций // Космонавтика и ракетостроение. 2014. № 2 (75). С. 34-40.
18. Лиходед А.И., Сидоров В.В. Некоторые особенности сходимости метода разложения по тонам колебаний применительно к континуальным и конечно-элементным моделям // Космонавтика и ракетостроение. 2013. № 2 (71). С. 20-27.
19. Бацева О.Д., Дмитриев С.Н. Учет высших тонов колебаний при вычислении чувствительности собственных форм колебаний к вариациям параметров механической системы // Инженерный журнал: наука и инновации. 2018. № 7 (79). С. 3-23.
20. Rubin S. Improved component-mode representation for structural dynamic analysis // AIAA Journal. 1975. Vol. 13. Issue 8. Pp. 995-1006.
21. Цейтлин Б.В. Построение матрицы остаточных податливостей и ее использование при решении задач динамики конструкций // Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения: труды IV Международной конференции. СПб.: Нестор, 2001. C. 325-331.
22. Зегжда С.А. К задаче соударения деформируемых тел // Прикладная механика. 1979. № 4. C. 91-108.
23. Вернигор В.Н. Определение собственных частоты и эквивалентных масс упругого тело по его динамической податливости // Вестник Ленинградского университета. 1990. № 2 (4). С. 35-42.
24. Le T.Q.T., Lalin V.V., Bratashov A.A. Static accounting of highest modes in problems of structural dynamics // Magazine of Civil Engineering. 2019. Vol. 88. Issue 4. Pp. 3-13.
25. Долгая А.А. Моделирование сейсмического воздействия коротким временным процессом // Э-И. ВНИИНТПИ. Серия: Сейсмостойкое строительство. 1994. Вып. 5-6. С. 56-63.
26. Рекомендации по заданию сейсмических воздействий для расчета зданий разной степени ответственности. СПб. - Петропавловск-Камчатский: КамЦентр, 1996. 12 c.
RESEARCH PAPER
Article history: Received: February 20, 2020 Revised: April 07, 2020 Accepted: April 25, 2020
Calculation of building structures for several dynamic effects with a static accounting of higher forms of oscillation
Vladimir V. Lalin, Le Tu Quang Trung*
Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University, 29 Polytechnicheskaya St, Saint Petersburg, 195251, Russian Federation *quangtrung1690@gmail.com
Abstract
Relevance. When calculating building structures for dynamic effects, the method of expanding the desired solution in a series according to the forms of natural oscillation is traditionally used. Depending on the complexity of the tasks to be solved, it is required to take into account a different number of forms - from the first few forms to tens or hundreds of forms. The results obtained are all the more accurate the more forms the calculation takes into account. As a rule, the contribution to the required parameters of the stress-strain state of the structure of unaccounted for higher oscillation forms is not evaluated in any way, although in some cases this must be done. In addition, the important question arises of performing the calculation with a reduced number of considered forms so as to obtain a sufficiently accurate result. The aim of the work. This work is devoted to the method of static accounting of higher forms of oscillation in the problems of the dynamics of building structures. The basic principles of the method are described, its use on a spatial rod system loaded with several harmonic forces with different frequencies is considered. Methods. The method of static accounting of higher forms of oscillations studied in this work requires the solution of one dynamic problem with a small number of forms and an auxiliary static problem. An important circumstance of the approach is that the static problem must be solved in two ways: the exact one and the decomposition method according to its own forms of oscillation, after which the static correction to the dynamic solution is calculated. Results. The approach proposed in the article can significantly reduce the computational cost of dynamic calculation in comparison with the classical approach with comparable accuracy of the results. This may be of value in solving problems of complex dynamic effects and for structures with inhomogeneous rigidity.
Keywords: structure dynamics, spectral method, forms of oscillation, static accounting of higher forms of oscillation, polyharmonic load
For citation
Lalin V.V., Le Tu Quang Trung. Calculation of building structures for several dynamic effects with a static accounting of higher forms of oscillation. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2020;16(3):171-178. http://dx.doi.org/10. 22363/1815-5235-2020-16-3-171-178 (In Russ.)
References
1. Clough R.W., Penzien J. Dynamics of structures. New York: McGraw-Hill Book Company; 1975.
2. Chopra A.K. Dynamic of structures. Theory and Applications to Earthquake Engineering. New Jersey: Prentice-Hall; 2006.
3. Ignatyeva V.A., Galishnikova V.V. Osnovy stroitelnoy mekhaniki [Fundamentals of structural mechanics]. Moscow: Assotsiatsii stroitelnykh vuzov Publ.; 2009. (In Russ.)
4. Zoloev A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Chislennyye i analiticheskiye metody rascheta stroitelnykh konstruktsiy [Numerical and analytical methods for calculating building structures]. Moscow: ASV Publ.; 2009. (In Russ.)
5. Rutman Yu.L., Ostrovskaya N.V. Dinamika sooru-zhenii: seysmostokost, seysmozashchita, vetrovyye nagruzki
Vladimir V. Lalin, Dr.Sc., Professor, Institute of Civil Engineering; eLIBRARY SPIN-code: 8220-6921, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0003-3850-424X. Le Tu Quang Trung, graduate student, Institute of Civil Engineering; eLIBRARY SPIN-code: 3059-2207, ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-6547-4632.
[Dynamics of construction: seismic stability, seismic protection, wind loads]: monograph. Saint Petersburg: SPbGASU Publ., 2019. (In Russ.)
6. Nurimbetov A.U., Dudchenko A.A. The modern state of the problem of analyzing the natural frequencies and modes of vibration of a composite structure. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2018; 14(4):323-336. (In Russ.)
7. Mokin N.A., Kustov A.A., Gandzhuntsev M.I. Numerical investigation of natural frequencies and mode shapes of air-supported structures. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2018;14(4):337-347. (In Russ.)
8. Kolesnikov A.O., Popov V.N. Calculation of the natural oscillation frequency of the submerged basement subject to pulsed loading. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2018;14(5):360-368. (In Russ.)
9. Newmark N.M., Rosenblueth E. Fundamentals of earthquake engineering. New York: Englewood Cliffs; 1980.
10. Birbrayer A.N. Raschet konstruktsiy na seysmo-stoykost [Calculation of structures for seismic resistance]. Saint Petersburg: Nauka Publ.; 1998. (In Russ.)
11. Datta T.K. Seismic Analysis of Structures. John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd; 2010.
12. Uzdin A.M., Elizarov S.V., Belash T.A. Seismo-stoikie konstruktcii transportnykh zdaniy i sooruzheniy [Earthquake resistant design of transport buildings and structures]. Mosow: Uchebno-metodicheskii centr po obrazovaniiu na zheleznodorozhnom transporte Publ.; 2012. (In Russ.)
13. Sucuoglu Haluk, Akkar Sinan. Basic Earthquake Engineering. From Seismology to Analysis and Design. Springer; 2014.
14. Tyapin A.G. Sovremennyye normativnyyepodkhody k raschetu otvetstvennykh sooruzheniy na seysmicheskiye vozdeystviya [Modern regulatory approaches to the calculation of critical structures for seismic load]. Moscow: ASV Publ.; 2018. (In Russ.)
15. Birbraer A.N., Sazonova J.V. Vklad vysshikh mod v dinamicheskiy otklik konstruktsiy na vysokochastotnyye vozdeystviya [Input of high modes in dynamic response of structures subjected to high frequency loads]. Structural Mechanics and Analysis of Constructions. 2009;227(6):22-27. (In Russ.)
16. Tyapin A.G. Implementation of the "Residual Term" Concept in Seismic Analysis by Modal and Spectral Methods.
Earthquake engineering. Constructions safety. 2014;(4):32-35. (In Russ.)
17. Balakirev Yu.G. Osobennosti vydeleniya kvazistati-cheskikh sostavlyayushchikh pri analize dinamicheskogo nagruzheniya uprugikh konstruktsiy [Quasistatic components particularities in the analysis of the elastic structures dynamic loading]. Cosmonautics and rocket engineering. 2014; 76(2):34-40. (In Russ.)
18. Likhoded A.I., Sidorov V.V. Nekotoryye osobennosti skhodimosti metoda razlozheniya po tonam kolebaniy primenitelno k kontinualnym i konechno-elementnym mode-lyam [Certain Convergence Features of the Decomposition Method by Tones Vibrations Concerning Continuum and Finite-Element Models]. Cosmonautics and rocket engineering. (2013);71(2):20-27. (In Russ.)
19. Batseva O.D., Dmitriyev S.N. Accounting the highest tones of oscillations when calculating the sensitivity of modes of their own to variations in the parameters of a mechanical system. Engineering Journal: science and Innovation. 2018; 79(7):3-23. (In Russ.)
20. Rubin S. Improved component-mode representation for structural dynamic analysis. AIAA Journal. 1975;13(8): 995-1006.
21. Tseytlin B.V. Postroyeniye matritsy ostatochnykh podatlivostey i yeye ispolzovaniye pri reshenii zadach di-namiki konstruktsiy [Construction of the matrix of residual compliance and using in solving the problems of structural dynamics]. Scientific and technical problems of predicting the reliability and durability of structures and methods for solving them: Proceedings of the 4th International Conference. Sankt Peterburg: Nestor Publ., 200: 325-331.
22. Zegzhda S.A. K zadache o soudarenii deformiruye-mykh tel [The problem of the impact of deformable bodies]. Prikladnaya mekhanika. 1979;(4):91-108. (In Russ.)
23. Vernigor V.N. Opredeleniye sobstvennykh chastoty i ekvivalentnykh mass uprugogo tela po yego dinamicheskoy podatlivosti [Determination of natural frequencies and equivalent masses of an elastic body by its dynamic flexibility]. Bulletin of the Leningrad University. 1990;4(2):35-42. (In Russ.)
24. Le T.Q.T., Lalin V.V., Bratashov A.A. Static accounting of highest modes in problems of structural dynamics. Magazine of Civil Engineering. 2019;88(4):3-13.
25. Dolgaya A.A. Modelirovaniye seysmicheskogo vozdeystviya korotkim vremennym protsessom [Simulation of seismic action by a short time process]. E-I. VNIINTPI. Series: Seysmostoykoye stroitelstvo. 1994;(5-6):56-63. (In Russ.)
26. Rekomendatsii po zadaniyu seysmicheskikh vozdey-stviy dlya rascheta zdaniy raznoy stepeni otvetstvennosti [Recommendations for assigning seismic impacts for the calculation of buildings of different degrees of responsibility]. Saint Petersburg - Petropavlovsk-Kamchatskiy: KamTsentr Publ.; 1996. 12 p. (In Russ.)
