CC BY
12
Оригинальная статья / Original article УДК 624.074.5
DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2019-4-650-659
Исследование динамики стержневых элементов машиностроительных конструкций
© С.К. Ахмедиев, Т.С. Филиппова, В.Ф. Михайлов, Г.Ж. Орынтаева
Карагандинский государственный технический университет, г. Караганда, Казахстан
Резюме: Цель - исследование динамических процессов консольных стержней с несколькими степенями свободы на основе точного аналитического метода сил. Исходная стержневая система с двумя динамическими степенями свободы на основе соответствующих матричных операций приводится к упрощенной системе уравнений с одной степенью свободы, что значительно снижает объем и трудоемкость вычислительных операций. В качестве внешнего воздействия принята гармоническая вибрационная нагрузка, моделирующая действие неуравновешенных вращающихся масс. При расчете на свободные колебания (на основе теории собственных чисел и векторов) получены выражения для круговых частот собственных колебаний, а также построены собственные формы колебаний в виде «стоячих» волн. При расчете на вынужденные колебания получены числовые значения динамических перемещений масс (при различных соотношениях круговых частот вынужденных и свободных колебаний). Все расчеты выполнены с помощью электронно-вычислительных машин, по результатам которых построены зависимости динамических перемещений с учетом соотношений частот при изменении параметров времени. Установлено, что при увеличении соотношения между частотами период вынужденных колебаний монотонно падает, а амплитуды колебаний масс остаются достаточно стабильными. Предлагаемые в данном исследовании аналитические зависимости найдут широкое применение при решении динамических задач для стержневых систем, применяемых в машиностроении, строительстве, авиастроении, судостроении.
Ключевые слова: динамические процессы, свободные и вынужденные колебания, частоты колебаний, метод сил, упругость пружин, матричные операции
Информация о статье: Дата поступления 07 мая 2019 г.; дата принятия к печати 30 июня 2019 г.; дата онлайн-размещения 31 августа 2019 г.
Для цитирования: Ахмедиев С.К., Филиппова Т.С., Михайлов В.Ф., Орынтаева Г.Ж. Исследование динамики стержневых элементов машиностроительных конструкций. Вестник Иркутского государственного технического университета. 2019;23(4):650-659 DOI: 10.21285/1814-3520-2019-4-650-659
Studying dynamics of machine-building structure rod elements
Serik K. Akhmediev, Tatiana S. Filippova, Valentin F. Mikhailov, Gulzhaukhar Zh. Oryntaeva
Karaganda State Technical University, Karaganda, Republic of Kazakhstan
Abstract: The purpose of the work is to study the dynamic processes of cantilever rods with several degrees of freedom on the basis of an accurate analytical method of forces. On the basis of corresponding matrix operations the initial rod system with two dynamic degrees of freedom is reduced to a simplified system of equations with a single degree of freedom. This significantly reduces the volume and complexity of computational operations. A harmonic vibration load simulating the action of unbalanced rotating masses is taken as an external influence. The calculation of free oscillations on the basis of the theory of eigenvalues and vectors has allowed to obtain the expressions for circular frequencies of natural oscillations as well as to build the eigenforms of oscillations in the shape of "standing" waves. The calculation of co n-strained oscillations has resulted in receiving the numerical values of mass dynamic movements under different ratios of the circular frequencies of constrained and free oscillations. It has been found that the period of constrained oscillations decreases monotonically with the increase of the frequency ratio while the amplitudes of mass oscillations remain sufficiently stable. The analytical dependences proposed in this study will find wide application in solving rod system dynamic problems in mechanical and civil engineering, aircraft construction and shipbuilding.
Keywords: dynamic processes, natural and constrained oscillations, oscillation frequencies, force method, spring elasticity, matrix operations
Information about the article: Received May 07, 2019; accepted for publication June 30, 2019; available online August 31, 2019.
For citation: Akhmediev S.K., Filippova T.S., Mikhailov V.F., Oryntaeva G.Zh. Studying dynamics of machine-building structure rod elements. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2019;23(4):650-659. (In Russ.) DOI: 10.21285/1814-3520-2019-4-650-659
0
1. ВВЕДЕНИЕ
Конструктивные элементы различных машин представляют собой стержневые системы:
- элементы для несущих рам ходовых частей различного автотранспорта;
- конструкции каркаса фюзеляжа летательных аппаратов;
- конструкции кораблей и судов;
- элементы машин.
Наряду со статическими расчетами стержневых систем на прочность, жесткость и устойчивость необходимо выполнять и динамические расчеты от внешних нагрузок, когда они изменяют свою величину или положение в сравнительно короткий промежуток времени. В этом случае массы элементов машиностроительных конструкций в процессе деформирования получают ускорения, которые создают дополнительные силы инерции, что приводит к возникновению колебаний.
Из множества видов динамических воздействий рассмотрим действие периодических нагрузок, вызываемых эксцентриситетом вращающихся частей машин (неуравновешенные вращающиеся массы). В
этом случае при гармонических нагрузках возникают периодические колебания [1].
В реальности стержневые элементы машин являются системами с распределенными по их длине массами, т.е. системами с бесконечным числом степеней свободы. Однако, представляя заданную конструкцию в виде совокупности сосредоточенных (точечных) масс, ее расчет можно свести к системе с несколькими (или с одной) степенями свободы, что значительно снижает математические сложности и трудоемкость расчетов, сохраняя при этом достаточную инженерную точность полученных результатов.
В машиностроении, строительстве, авиастроении и кораблестроении1-6 [2-7] многие отечественные ученые занимались вопросами динамического расчета (по основным направлениям):
- определение динамических нагрузок и воздействий;
- расчет несущих конструкций на действие периодической нагрузки от машины;
- расчет конструкций на импульсивные нагрузки;
- расчет сооружений на действие ветровых нагрузок;
1Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический / под ред. А.А. Уманского. Кн. 2. М.: Стройиздат, 1972. 609 с. / Calculation and theoretical handbook of the designer of industrial, residential and public buildings and structures. / under edition of A.A. Umansky. Book 2. M.: Stroyizdat, 1972.609 p.
2Киселев В.А. Строительная механика: спец. курс. Динамика и устойчивость сооружений: учебник для вузов. Изд. 3-е, испр., и доп. М.: Стройиздат, 1980. 616 с. / Kiselev V.A. Structural mechanics: A specialized course. Dynamics and sustainability of structures: A textbook for universities. 3d edition, revised and enlarged. M.: Stroyizdat, 1980. 616 p.
3Ржаницын А.Р. Строительная механика: учеб. пособие для строит. спец. вузов. М.: Высшая школа, 1982. 400 с. / Rzhanitsyn A.R. Structural mechanics: Learning aids for building specialties of universities. M.: Higher School, 1982. 400 p.
4Клейн Г.К., Рекач В.Г., Розенблат Г.Н. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (основы теории устойчивости, динамически сооружений и расчета пространственных систем): учеб. пособие по курсу строительной механики для студентов строительных высших учебных заведений по специальности «Промышленное и гражданское строительство». М.: Высшая школа, 1972. 320 с. / Klein G.K., Rekach V.G., Rosenblat G.N. Guide to practical exercises on the course of structural mechanics (the basics of the theory of stability, dynamic structures and calculation of spatial systems): Learning aids on the course of Structural Mechanics for students of Construction higher educational institutions on the specialty Industrial and Civil Engineering. M.: Higher school, 1972. 320p.
5Инструкция по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки. Разраб., утв. Научно-исследовательским институтом в области теории сооружений, строительных конструкций им. В.А. Кучеренко. М.: Стройиздат, 1970. 289 с. / Guidelines on the calculation of bearing structures of industrial buildings and structures for dynamic loads. Developed and approved by the Research Institute in the field of the Theory of Structures, Building Structures named after V.A. Kucherenko. M.: Stroyizdat, 1970. 288 p.
6Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1986. 607 с. / Darkov A.V., Shaposhnikov N.N. Structural mechanics: textbook for universities. M.: Vysshaya Shkola, 1986. 607 p.
Ш
- расчет на действие сейсмических нагрузок;
- виброизоляция и другие меры борьбы с вибрациями;
- нормирование усталостных напряжений.
Таким образом, стержневые системы в ходе эксплуатации воспринимают динамические нагрузки, что вызвано ветровым, сейсмическим или техногенным воздействием. Поэтому развитие методов расчета динамики стержневых систем является актуальной научно-технической задачей.
2. ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
Целью данного исследования является изучение динамических процессов (свободных и вынужденных колебаний) в стержневых системах с несколькими стержнями свободы без учета сил сопротивления движению масс (незатухающие колебания) на действие вибрационной гармонической нагрузки, создаваемой неуравновешенными частями электромоторов, насосов и других аппаратов или воздействие профиля дорожного полотна на ходовые части автотранспорта при их неравномерном движении [8]. А также разработка расчетной методики, позволяющей свести исходную динамическую систему с несколькими (в нашем случае с двумя) степенями свободы к эквивалентной системе уравнений с одной степенью свободы, что значительно облегчит решение исходных
дифференциальных уравнений свободных и вынужденных колебаний стержневых си-стем2 [2].
Объектом исследования является консольный стержень с двумя сосредоточенными точечными массами, представляющий систему с двумя степенями свободы (рис. 1, a).
На стержень действует поперечная сосредоточенная вибрационная нагрузка
P(t) = P sin dt,
(1)
где Р - амплитуда вибрационной нагрузки; О - круговая частота вынужденных колебаний (частота возмущающий силы); t - параметр времени.
3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Научной основой для данного исследования являются разработанные отечественными учеными методики динамического расчета стержневых систем1-4 [1-3], которые реализованы на конкретной конструкции (см. рис. 1 а) [9, 10].
Данная задача решена точным аналитическим методом сил2 [2], при котором исходная динамическая система сводится на «т> раз больше к статически неопределимой системе (п - число степеней свободы) с помощью наложения дополнительных условных связей в виде пружин. Упругая
P(t)
m2=3m0
EJ
m1=2m0
=0,211
№=1,0
/
/
V =1,0 s 7.7. '
тт
\
\
\ }\г7-05 \
нЬ
/
b
a
c
x
Рис. 1. Расчетная схема исследуемого объекта (a) и формы собственных колебаний (b, c) Fig. 1. Calculation model of the studied object (a) and shapes of eigen oscillations (b, c)
характеристика условных пружин подчиняется следующему закону (без учета затухания):
CkYk(t) = j;=mkYk(t\
(2)
где Ск - упругость пружины (дополнительной наложенной связи); - сила инерции к-й массы; тк - к-я точечная масса; Yj.it) - динамические перемещения /с-й
массы; Yj.it) - ее ускорение; к = 1, 2,..., п.
В нашем случае при п = 2 исходные дифференциальные уравнения колебаний (без учета затухания колебаний) будут выглядеть следующим образом2,3,6 [2, 3]:
Wi (/) + Sl2m2Y2 (t) + Щ = 0и-0 + ônP{t) 82lm,Yx (t) + ô..m.Y (t) + Y2 (t) = S2l- 0 + 822P{i) I
(3)
где бц (/ = 1,2;} = 1,2) - единичные коэффициенты метода сил для динамических рас-
4
четов4.
В матричной форме уравнение (3) запишем так:
BMy{t) + m = BP.
(4)
Представим элементы выражения
(4) в развернутом виде:
M = m0M = m0
m,
0
0 m„
(5)
где М - диагональная матрица масс
m m
m = El = 2,0; m2 = m = 3,0) ,
m
B = ¿0 B = 00
m
¿1 ¿21 ¿12 ¿22
(6)
- матрица единичных коэффициентов
(8 = 8±- 8 =8 = 3280 80
822 = 8о = 1/Е1) 80
Для определения единичных коэффициентов метода сил (бц) для стержня (см. рис. 1) строим единичные эпюры моментов ММ от соответствующих единичных сил инерции = = 1,0 [11], показанные на рис. 2.
Коэффициенты вычисляем по формуле Мора с использованием правила Ве-
4,6
рещагина4,6:
Рис. 2. Единичные Mx,M2 и грузовая Mp эпюры моментов Fig. 2. Unit moment curves M1,M2 and a load moment curve MP
Ш
¿„ = -L( M1)( M1) =
EJ
2,67 EJ ; 4 1 ,67
¿22 = ^(M2)(M2) = , EJ EJ
¿12 =^21 M1)(M 2) = ^ EJ EJ
По (6), с учетом (7), имеем 1
(7)
5 = ■
EJ
2,67 8,67 8,67 41,67
(8)
По (5), с учетом (7), получим
M = mn
2,0 0 0 3,0
(9)
дап
где = тт^.
ЕЗ
Выполним матричную операцию (перемножение квадратных матриц)
BM =
5,34 26,02 17,34 125,01
(10)
Вычислим собственные числа мат-
о
рицы (10), составляя по2 [2] определитель
где А - собственное число матрицы. По (11) имеем:
det
(5,34 -Л) 26,02 17,34 (125,01 -Л)
= 0.
(12)
Раскрывая делитель (12), получаем характеристическое уравнение 2-го порядка:
Л2 - 130,35Л + 216,54 = 0.
(13)
Решая квадратное уравнение (13), получаем два его действительных корня:
Л = 128,6321 ;Л = 1,6479.
(14)
По значениям (14) определим матрицу собственных векторов:
Y =
У11 У21 У12 У22
1,0 -7,0448 0,211 1,0
. (15)
По значениям ординат матрицы (15) строим формы собственных (главных) колебаний в виде «стоячих» волн (см. рис. 1 Ь, О) [12].
На основе полученных положений расчета выражений (4)-(15) разработаем методику приведения исходной динамической задачи с двумя степенями свободы (рис. 1) к двум эквивалентным динамическим уравнениям с одной степенью свободы, что существенно снизит объемы и трудоемкость математических расчетов.
Для этого перенормируем матрицу собственных форм (15) в виде
Ут ■ М З = Е,
где Е - единичная матрица. По (16) имеем
YT ■ M Y =
(16)
1,0 У12 m 0
X X
У22 1,0 0 m
1 У21 2,134 0
ÄE) = 0, (11) X У12 1 0 102,45
(17)
Нормируем вектор (15) в виде
Y =
1 У21
Vm1 + %У22 У12 yjm2 + m 1 У221
Vm1 + ■yjm + m У221
(18)
0,6845 -0,06965 0,1444 0,0988
Вернемся к уравнению (4), перейдя к новому виду перемещений
Я0 = Ж0;Я0 = Ж0- (19)
Тогда с учетом (19) уравнение (4) примет иной вид:
В My(t) + -^—y(t) = —В P(t), (20) тЛ щ
где ш0,£0- масштабные (условные) значения соответственно массы и единичного перемещения.
Подставляя выражение (19) в уравнение (20), получим
BMï{f) н—-—yz(t) = —BP(t). (21)
ô0m0
mn
Запишем это уравнение через собственные числа (14):
Л =
¿2 0 0 ¿2
(22)
Тогда система уравнений (23), с учетом выражений (24 и 25), примет следующий вид:
FJ 1
128,6321-Zj (?) + — Zj (?) = — [35,8552Р(0]
тп
m„
FT 1
1,6479 • z2 (?) +—z2(t) = — [-5,765P(0]
(26)
mn
m
Уравнения (26) решаются независимо друг от друга (например, с помощью интеграла Дюамеля) [13].
После решения уравнений (26) действительные поперечные перемещения масс (см. рис. 2) находят (с учетом выражения (19)) по данной формуле:
т = У-Ш (27)
Для нашего примера (см. рис. 1) получим
Тогда с учетом (22) уравнение (21) примет вид
krz(t) + -^—z(t) =
ö0m0
1
(23)
= —у1 -M В-P{t). m„
Таким образом, уравнение в форме (23) позволяет свести динамическую задачу с несколькими степенями свободы к системе уравнений с одной степенью свободы.
В нашем примере по (22) уравнению имеем следующее:
Л =
128,6321 0 0 1,6479
(24)
Для правой части (уравнение (23)) получим (см. рис. 1) следующее:
P(t) =
О P(t)
(25)
y lit ) 0,6845 -0,6965 )
y2(t ) 0,1444 0,0988 )
. (28)
4. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
По предложенной методике расчета, на основе вышеизложенных теоретических исследований, решена точным аналитическим методом задача динамического расчета консольного стержня (см. рис. 1) на действие вибрационной гармонической нагрузки Р(г) = Рвтв г (без затухания колебаний). Все матричные операции и решение динамических уравнений (26) выполнены с помощью электронно-вычислительных машин (ЭВМ) при следующих исходных данных:
ЕЗ = 63 ■ 1010 Им2; Р = 448 ■ 103И; в / щ = 0,1; 0,5;1,0;1,2;
т = 4,48 ■ 104 кг; щ = 3,3075 • 102 с-1; щ = 2,89 ■ 103 с"1,
где щ,щ - круговые частоты свободных колебаний.
Ш
При этом получены следующие числовые результаты (в частности величины динамических мер перемещений
(г), г2 (г), у (г), у (г) в зависимости от
параметра времени г = 0^0,2с, с шагом 0,05 с (при в / с = 0,1).
Подобные аналитические зависимости можно получить и при других соотношениях в/с = 0,5;1,5;2,0 (здесь они не приведены).
Аналитические дифференциальные уравнения метода сил (26) решены на ЭВМ численным методом Рунге-Кутта 4-го порядка при следующих начальных условиях:
г=0;2(0) = 0; ¿(0 = 0.
Анализ рис. 3-6 показывает следующие зависимости по динамическим перемещениям вынужденных колебаний.
1. С увеличением соотношения (в / с) периоды вынужденных колебаний, соответственно, уменьшаются.
2. Для всех соотношений (в / с)
амплитуда перемещений вынужденных колебаний изменяется в пределах величин
(±2,0-10"4м^±3.5 -10"4мм) .
3. При возрастании соотношения (в / с) величины амплитуд масс, соответственно, возрастают (до в/с= 1,0) - явление резонанса, а далее монотонно уменьшаются (см. рис. 6), т.е. очевидна яркая картина резонансного процесса.
4. Данные указанных рисунков могут служить основанием для расчетов консольного стержня на жесткость и техническую проверку воздействия вибрационной нагрузки, на допустимые по безопасности перемещения людей и измерительные приборы.
5. Достоверность полученных результатов доказана апробированными ранее теоретическими результатами динамических расчетов сооружений, разработанными отечественными учеными1-6 [2-5, 14].
Рис. 3. Зависимости (t), z2(t) при в / <ах = 0,1 Fig. 3. Functions z (t), z2 (t) when в / ю1= 0.1
Рис. 4. Зависимости y (t), y (t) при в / ax = 0,1 Fig. 4. Functions y (t), y (t) when в / ax= 0.1
Рис. 5. Зависимость [y = y (t) + y2 (t)] при О / cx = 0,1 Fig. 5. Function [y = y (t) + y2 (t)] when О / cx= 0.1
Рис. 6. Зависимости y (t), y (t) от соотношения в / щ Fig. 6. Functions y (t), y (t) from the ratio в / щ
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. В данной работе выполнены исследования динамических процессов консольного стержня с двумя сосредоточенными точечными массами (см. рис. 1) - системы с двумя динамическими степенями свободы.
2. Разработана научная методика приведения исходной динамической системы с двумя степенями свободы к упрощенной системе с одной степенью свободы на основе соответствующих матричных операций.
3. В результате исследования получены соответствующие разрешающие уравнения для решения задачи вынужденных колебаний консольного стержня при действии гармонической вибрационной нагрузки P(t) = P sin в t. С помощью ЭВМ исследовано влияние соотношений между частотами (в / щ) на величину динамических перемещений (см. рис. 3-6); установ-
лено, что с возрастанием частоты возмущающей силы период вынужденных колебаний уменьшается, при этом амплитуды динамических перемещений существенно меняются. При возрастании соотношения (в / с) (см. рис. 6) амплитуды масс вначале монотонно возрастают, а затем монотонно уменьшаются; наблюдается характерное влияние явления резонанса (при в / с = 1,0).
4. Достоверность полученных результатов обусловливается апробированием теоретических положений работы, в которой используются исследования отечественных ученых.
5. Полученные в данной работе теоретические и практические результаты найдут достаточно широкое применение в научных исследованиях и в практике проектирования различных динамических стержневых систем (в машиностроении, строительстве, транспорте).
Библиографический список
1. Gerber Yu.A., Danilov M.N., Sebeshev V.G. Probabilistic analysis and reliability evaluation of the harmonically loaded rod systems with dynamic vibration dampers, based on the use of modern software complexes // IOP Conference Series: materials Science and Engineering (Novosibirsk, 01 July 2018). Novosibirsk, 2018. Vol. 456(1), р. 012042. DOI: 10.1088/1757-899X/456/1 /012042
2. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. 415 с.
3. Искрицкий Д.Е. Строительная механика элементов машин. Л.: Судостроение, 1970. 448 с.
4. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машгиз,1957. 338 с.
5. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1970. 734 с.
6. Чернов Ю.Т. Вибрации строительных конструкций. М.: АСВ, 2006. 288 с.
7. Филиппова Т.С., Ахмедиев С.К. Теоретические основы динамики и устойчивости механических систем. Germany, Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2016. 224 c.
8. Braccesi C., Cianetti F., Palmieri M., Zucca G. The importance of dynamic behaviour of vibrating systems on the response in case of non-Gaussian random excitations // Procedia Structural Integrity. 2018. Vol. 12. Р.
224-238. DOI: 10.1016/j.prostr.2018.11.092
9. Gridnev S., Skalko Y., Ravodin I., Yanaeva V. Simulation of vibrations of a continuously elastic supported rod with varying boundary conditions under the action of a movable // MATEC Web of Conferences (Rostov-on-Don, 17 September 2018). Rostov-on-Don, 2018. Vol. 196. P. 01053. DOI: 10.1051/matecconf/201819601053
10. Pistek V., Kucera P., Nozhenko O., Kravchenko K., Svida D. An unconventional rubber torsional vibration damper with two degrees of freedom // Vibroengineer-ing Procedia. 2017. Vol. 13. P. 136-141. DOI: 10.21595/vp.2017.19042
11. Hein R.A. Discrete-Continuous Method of Mechanical System Modelling // Polish Maritime Research. 2017. Vol. 24(s1). P. 97-107. DOI: 10.1515/pomr-2017-0027
12. Asgari M. Vibration interaction analysis of nonuniform cross-section beam structure under a moving vehicle // International Journal of Acoustics and Vibrations. 2016. Vol. 21(4). P. 429-439. DOI: 10.20855/ijav.2016.21.4437
13. Gumus E., Ertas A. Analysis of free pendulum vibration absorber using flexible multi-body dynamics // Shock and Vibration. 2016. P. 3253178. DOI: 10.1155/2016/3253178
14. Rossikhin, Yu.A., Shitikova, M.V. Problem on impact interaction of elastic rod with Ufland-Mindlin plate // Prikladnaya Mekhanika. 1993. Vol. 29 (2). P. 39-46.
References
1. Gerber Yu.A., Danilov M.N., Sebeshev V.G. Probabilistic analysis and reliability evaluation of the harmonically loaded rod systems with dynamic vibration dampers, based on the use of modern software complexes. IOP Conference Series: materials Science and Engineering [Novosibirsk, 1 July 2018]. Novosibirsk, 2018, vol. 456 (1), p. 012042. DOI: 10.1088/1757-899X/456/1 /012042
2. Smirnov A.F., Aleksandrov A.V., Lashchenikov B.Ya., Shaposhnikov N.N. Stroitel'naya mekhanika. Dinamika i ustojchivost' sooruzhenij [Structural mechanics. Dynamics and stability of structures.]. Moscow: Strojizdat Publ., 1984, 415 p. (In Russ.).
3. Iskrickij D.E. Stroitel'naya mekhanika elementov mashin [Structural mechanics of machine elements]. Leningrad: Sudostroenie Publ., 1970, 448 p. (In Russ.).
4. Panovko Ya.G. Osnovy prikladnoj teorii uprugih kole-banij [Fundamentals of the applied theory of elastic vibrations]. Moscow: Mashgiz Publ., 1957, 338 p. (In Russ.).
5. Filippov A.P. Kolebaniya deformiruemyh system [De-formable system oscillations]. Moscow: Mashi-nostroenie Publ., 1970, 734 p. (In Russ.).
6. Chernov Yu.T. Vibracii stroitel'nyh konstrukcij [Building structure vibrations]. Moscow: ASV Publ., 2006, 288
p. (In Russ.).
7. Filippova T.S., Ahmediev S.K. Teoreticheskie osnovy dinamiki i ustojchivosti mehanicheskih system [Theoretical foundations of mechanical system dynamics and stability]. Germany, Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2016. 224 c.
8. Braccesi C., Cianetti F., Palmieri M., Zucca G. The importance of dynamic behaviour of vi-brating systems on the response in case of non-Gaussian random excitations. Procedia Structural Integrity, 2018, vol. 12, pp. 224-238. DOI: 10.1016/j.prostr.2018.11.092
9. Gridnev S., Skalko Y., Ravodin I., Yanaeva V. Simulation of vibrations of a continuously elastic supported rod with varying boundary conditions under the action of a movable. MATEC Web of Conferences (Rostov-on-Don, 17 September 2018). Rostov-on-Don, 2018, vol. 196, p. 01053. DOI: 10.1051/matecconf/201819601053
10. Pístek V., Kucera P., Nozhenko O., Kravchenko K., Svída D. An unconventional rubber torsional vibration damper with two degrees of freedom. Vibroengineering Procedia, 2017, vol. 13, pp. 136-141. DOI: 10.21595/vp.2017.19042
11. Hein R.A. Discrete-Continuous Method of Mechanical System Modelling. Polish Mari-time Research, 2017, vol. 24 (s1), pp. 97-107. DOI: 10.1515/pomr-2017-0027
12. Asgari M. Vibration interaction analysis of nonuniform cross-section beam structure un-der a moving vehicle. International Journal of Acoustics and Vibrations, 2016, vol. 21 (4), рр. 429-439. DOI: 10.20855/ijav.2016.21.4437
13. Gumus E., Ertas A. Analysis of free pendulum vibration absorber using flexible multi-body dynamics. Shock
Критерии авторства
Ахмедиев С.К., Филиппова Т.С., Михайлов В.Ф., Орынтаева Г.Ж. заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Ахмедиев Серик Кабултаевич,
кандидат технических наук, профессор кафедры механики, Карагандинский государственный технический университет, 100027, г. Караганда, Бульвар Мира, 56, Республика Казахстан; И е-mail: mskate2014@mail.ru
Филиппова Татьяна Силиньевна,
кандидат технических наук,
профессор кафедры механики,
Карагандинский государственный
технический университет,
100027, г. Караганда, Бульвар Мира, 56,
Республика Казахстан;
е-mail: confucius_kstu@mail.ru
Михайлов Валентин Феликсович,
кандидат технических наук,
доцент кафедры механики,
Карагандинский государственный
технический университет,
100027, г. Караганда, Бульвар Мира, 56,
Республика Казахстан;
е-mail: mehkrg@mail.ru
Орынтаева Гульжаухар Жунусхановна,
старший преподаватель кафедры механики,
Карагандинский государственный
технический университет,
100027, г. Караганда, Бульвар Мира, 56,
Республика Казахстан;
е-mail: oryntaeva70@mail.ru
and Vibration, 2016, p. 3253178. DOI: 10.1155/2016/3253178
14. Rossikhin, Yu.A., Shitikova, M.V. Problem on impact interaction of elastic rod with Ufland-Mindlin plate. Prikladnaya Mekhanika [Applied Mechanics], 1993, vol. 29(2), pp. 39-46.
Authorship criteria
Akhmediev C.K., Filippova T.S, Mikhailov V.F., Oryn-taeva G.Zh. declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Serik K. Akhmediev,
Cand. Sci. (Eng.),
Professor of the Department of Mechanics, Karaganda State Technical University, 56 Mira Blvd., Karaganda 100027, Republic of Kazakhstan; И е-mail: mskate2014@mail.ru
Tatiana S. Filippova,
Cand. Sci. (Eng.),
Professor of the Department of Mechanics, Karaganda State Technical University, 56 Mira Blvd., Karaganda 100027, Republic of Kazakhstan; e-mail: confucius_kstu@mail.ru
Valentin F. Mikhailov,
Cand. Sci. (Eng.),
Associate Professor of the Department of Mechanics, Karaganda State Technical University, 56 Mira Blvd., Karaganda 100027, Republic of Kazakhstan; e-mail: mehkrg@mail.ru
Gulzhaukhar Zh. Oryntaeva,
Senior Lecturer of the Department of Mechanics, Karaganda State Technical University, 56 Mira Blvd., Karaganda 100027, Republic of Kazakhstan; e-mail: oryntaeva70@mail.ru
