CC BY
95
УДК 621.313.12
Г.В. Носов, К.А. Трофимович
Расчет сопротивлений и индуктивностей экранированного трехфазного шинопровода
Предложена методика расчета сопротивлений и индуктивностей экранированного трехфазного шинопровода с учетом поверхностного эффекта, эффекта близости, частоты синусоидального тока, материала шин и влияния экрана. Формулы получены на основе уравнений электромагнитного поля и для автоматизированного инженерного расчета программируются в среде МаШсай Достоверность методики подтверждается удовлетворительным совпадением результатов расчета с результатами, полученными при помощи программы компьютерного моделирования Е1си1
Ключевые слова: трехфазный шинопровод, сопротивление, индуктивность.
Задача расчета параметров трехфазного шинопровода. Для передачи и распределения электрической энергии на электрических станциях, подстанциях и промышленных предприятиях широко применяются однополосные экранированные трехфазные шинопроводы со сплошными параллельными шинами прямоугольного сечения, расположенными несимметрично согласно рис. 1.
d/2 а/2 а/2 ” '" dJ2
Рис. 1. Трехфазный шинопровод с металлическим экраном и токами I\, I2,I3 в шинах,
направленными «к нам» по оси z
Для проектирования таких шинопроводов и подключенного к ним электрооборудования необходимо знать сопротивления и индуктивности шин, найденные с учетом их удельной проводимости Y, частоты f синусоидального тока, поверхностного эффекта и эффекта близости. Поэтому разработка методики расчета сопротивлений и индуктивностей шин этих шинопроводов представляется актуальной задачей. В данной статье предложена методика, которая получена на основе уравнений электромагнитного поля и программируется в среде Mathcad для автоматизированного инженерного расчета сопротивлений и индуктивностей шин рассматриваемого трехфазного шинопровода.
Актуальность. Известна методика [1], где индуктивностей шин можно найти лишь для постоянного тока и синусоидального тока с так называемыми низкой и весьма высокой частотами, т.е. не учитывается конкретная частота синусоидального тока и удельная проводимость материала шин. При этом индуктивности в [1] находятся по графическим зависимостям зачастую с недостаточной
точностью и используются методики, автоматизация расчетов по которым сопряжена со значительными трудностями.
Сопротивления и индуктивности шин при постоянном и синусоидальном токе с учетом частоты, удельной проводимости материала шин, поверхностного эффекта и эффекта близости могут быть найдены при помощи программы компьютерного моделирования ЕІсШ: [2]. Однако отсутствие расчетных формул и необходимость моделирования для каждого конкретного шинопровода затрудняют анализ большого числа вариантов и ограничивают применение этой программы при инженерных расчетах. Поэтому разработка методики расчета сопротивлений и индуктивностей шинопрово-да на основе уравнений и законов электромагнитного поля актуальна и является предметом рассмотрения в настоящей работе.
Методика определения индукций, магнитных потоков и плотностей тока. Для определения сопротивлений и индуктивностей шинопровода необходимо рассчитать электромагнитное поле и найти магнитные индукции, магнитные потоки и распределение плотностей токов в шинах.
Наружное магнитное поле в пространстве между шинами и приближенно непроницаемым экраном можно рассчитать при помощи закона полного тока в интегральной форме [3], уравнение которого для комплексов действующих значений индукций Bk и токов в шинах ^ запишется так:
!(В^) = И01їq ,
(1)
где ^ - длина отрезков пути интегрирования, на которых значения индукций Bk приняты постоянными; Ц = Ц0 =4п-10 7 Гн/м - магнитная проницаемость; q = 1,2,3 - номера шин и токов.
При этом комплексные магнитные потоки Фп наружного магнитного поля (рис. 1) должны удовлетворять принципу непрерывности магнитного потока [3]
^ Фп = Ф і + Ф 2 + Ф 5 = Ф і + Ф 2 + Ф 3 + Ф 4 = 0 (2)
и могут быть найдены на единицу длины шин (Вб/м) приближенно так:
фп ~ вп1 +Фns + Фns =sn
Вп1 + 4Вп2 + Вп3
6
(3)
где s - перпендикулярная направлению магнитных потоков Фп координата индукций; 5п - ширина магнитных потоков; фп, фп - комплексные коэффициенты; Вп1, Вп2, Вп3 - комплексы действующих значений индукций магнитного потока Фп при координатах 5 = 0; 5 = 0,5sn; 5 = 5п соответственно.
На основании (1)-(3) запишем комплексные уравнения:
(4)
(а + 2Ъ + с + 2й) -(с + й) 0 0 0 ' Г—1 ] -И011
0 (с + й) -(с + й) 0 -(2а+2Ъ) —2 -И01'2
0 0 (с + й) -(а + 2Ъ + с + 2й) 0 X —3 = -И013
1 а/й а/й 1 0 В.4 0
0 0 -а/й -1 1 —5 0
• -Ц011 + —2 (с + й) . Ц012 +(В2 -В3)(с + й) 6 И)Н + -3 (с + й)
в 12=--------—----п-; в13=-------------------;—^---------; в 14=- '
а + 2Ь + с + 5й
2а + 2Ь
а + 2Ь + с + 5й
(5)
(6)
которые будем использовать для определения индукций наружного магнитного поля, указанных на рис. 1.
Составляющие индукций внутреннего переменного электромагнитного поля и плотность тока в q-шине с постоянной удельной проводимостью у и магнитной проницаемостью цо будем рассчитывать в функциях координат х и у по следующим уравнениям в комплексной форме для плоской электромагнитной волны [3]:
(2Ъ + с) -с 0 0 0 0 ' " —6' -И0 ^
0 0 (Ъ + с) -(Ъ + с) 0 0 В7 -И0 ^2
0 0 0 0 с —(2Ъ + с) X —8 -И013
1 а/й а/й а/й а/й 1 В9 - в12 - В14
0 0 1 1 0 0 І—10 0
0 0 0 (а/й -1) а/й 1 —11_ _ В13 - В14 _
d2 Byq (x)
dx2
=jfflR0YByq (x);
d2 Bxq (у)= .
dy2
S zq (x, У) = —
Ц0
=j® Ц0 ybxq (y);
dByq (x) dBxq (y)
(7)
(8) (9)
dx dy
где Bxq (y), Byq (x) - комплексы действующих значений проекций вектора индукции на оси x и у
соответственно (см. рис. 1); Szq (x, y) - комплекс действующего значения плотности тока в q-шине,
совпадающий по направлению с осью z; ш = 2nf - угловая частота токов; j = %/-- - мнимая единица.
С учетом граничных условий на поверхностях шин, приведенных на рис. 1, решением уравнений (7)-(9) будут следующие функции и константы: а) шина 1:
Byl (x) = —lexp Г—p (x+a + 1,5b)] - —2 exp Г p( x+a + 0,5b)] ; (10)
Bxl (y)=—3exp Гp( У - 0,5c)]-—3exp I-p( У+0,5c)] ; (11)
Bbl (x, y)=J|Bxl (у) + |B?yl (x)j2 ; (12)
б) шина 2:
в) шина 3:
S zl (x, y) = - p 1 exp Г- p (x + a + 1,5b)] - p 2 exp I p (x + a + 0,5b)] -Ц0 R0
p—3 p—3
exp Гp(y - 0,5c)]-=— exp Г-p(y + 0,5c)];
Ц0
p = V Y; Pl =
Ц0
BJ7. — 1 -Plexp(^-pb) B ;
d ; —1 і S ~ i\ • Вб ;
Вб 1- exp (-2 pb)
- в- + exp(-pb ) . . 1 + exp(-pc) .
—2 =-------T—тч— b—; —3 =------/ ~ ^b—;
1- exp (-2 pb)
1- exp (-2 pc)
i^y 2 (x) = —4 exp Г-p (x + 0,5b)] - —5 exp Гp (x - 0,5 b)] ;
Bx 2 (у)=—б exp [p (y - 0,5c)]- —б exp[-p (y+0,5c)];
Bb2 (x,y) = ij\Bx2 (y) + \By2 (x)j2 ;
S z 2 (x, y) = -p—4exp I-p (x + 0,5b)"l - 5exp I" p(x - 0,5b)] -
R0 W0
p ^exp^y- 0,5c)]-p —expI-p(y + 0,5c)];
Ц0
Ц0
e B), — I"P2exp(-pb) B ;
P2 =~T-; —4 = “----/ Л • B8;
B>8 1- exp (-2 pb)
-p2 + exp(-pb) . - + exp(-pc) (B8 - B9
—5 =---------7--г— B8; —б =■--------------------------
1- exp (-2 pb)
1- exp(-2pc) ^ 2
Bfy3 (x) = —7 exp Г—p(x - a - 0,5b)] - —8 exp Г p (x - a - 1,5b)] ; Bx3 (y) = —9 exp(У- 0,5c)] - —9 expУ + 0,5c)] ;
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
84 ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА, РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
вЪ3 (x,у)=}/\Вх3 (у)+\ву3 (х)|2 ; (24)
823 (х,у) = - — 7 ехрГ-р(х - а - 0,5Ъ)_ - — 8 ехрГр(х - а -1,5Ъ)Т И0 И0
- ^—-ехр Г р(у - 0,5с)! - ^—-ехр Г-р(у + 0,5сТ;
И0 И0
(25)
в Ви, с 1-Р3ехр(-—Ъ) в ; (2б)
Р3 =-^; -7 =-------7-----В10; (26)
—10 1-ехр(-2 рЪ)
с -р3 + ехр(-рЪ) ; с 1+ехр(-рс) ( в Т (27)
—8 = ------в10; —9 = “-----------Г-—^Ч-^^11Т , (27)
1 - ехр (-2 рЪ) 1- ехр (-2 рс)
где Въ1 (х,у),Въ2 (х,у),Въ3 (х,у) - модули действующих значений векторов магнитной индукции.
Методика расчета сопротивлений и индуктивностей. Собственные сопротивления шин (Ом/м) найдем на основе закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме [3] и плотностей тока (13), (19), (25):
и Аху)|2
Япп =
1 ц| ^ (ху) йхйу, (28)
*
а собственные индуктивности шин (Гн/м) внутреннего магнитного поля определим исходя из запасенной энергии [3] и индукций (12), (18), (24)
2
г 2 nвbq(x,y) (29)
Lbqq = 2 II _ йхйу . (29)
I/ 2 2И0
N
Собственные Lnqq и взаимные М^ индуктивности шин наружного магнитного поля, также результирующие собственные индуктивности Lqq на единицу длины шин (Гн/м) рассчитаем на основании [3] и с использованием формул (3)—(6), (29)
Ф>аа Фта
=—■—; ^ = Lbаа + Lnаа; Mmа =—±—, (30)
^ 1а
где Фqq - суммарный комплексный магнитный поток, охватывающий q-шину с током Iq, когда
два других тока равны нулю; - суммарный комплексный магнитный поток, создаваемый то-
ком ^ и охватывающий т-шину, когда два других тока равны нулю (т ф q).
Далее можно найти комплексы действующих значений падений напряжений (В/м) в шинах [4]
q = Rqq1q + j®Lqq1q + ]®Мqm1m + j(дMqn1n , (31)
эквивалентные комплексные сопротивления шин (Ом/м)
иа
^ = у- = Rа + jъLq , (32)
1а
а также эквивалентное сопротивление R о и эквивалентную индуктивность L о транспонированных шин [1]
и ^+R2+R 3 ; Т L1+L 2+L 3 (33)
R 0=---------------------------------------------------------3--; L 0=-3- . (33)
Результаты расчета сопротивлений и индуктивностей. По запрограммированным в среде Mathcad [5] формулам (3)-(6), (10)-(33) и по программе Е1сШ: [2] были проведены расчеты шино-проводов. В таблице приведены результаты этих расчетов при симметричных токах и частоте / =
50 Гц для медных шин с удельной проводимостью у = 50-106 1/Ом-м.
Эквивалентные сопротивления и индуктивности
Размеры шинопроводов Mathcad Elcut
a b с d Ro Lo Ro Lo
мм мм мм мм мкОм/м мкГн/м мкОм/м мкГн/м
20 20 100 20 12,10 0,0900 13,16 0,1033
40 50 20 16,39 0,1270 16,69 0,1422
100 20 20 12,59 0,0970 12,39 0,1080
40 20 100 40 11,86 0,1350 13,59 0,1592
40 50 40 15,99 0,1820 17,05 0,1801
100 20 40 12,28 0,1460 13,35 0,1725
Заключение. На основе проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:
1. Предложенная методика расчета позволяет определять сопротивления и индуктивности экранированного трехфазного шинопровода с учетом поверхностного эффекта, эффекта близости, частоты синусоидального тока, материала шин и влияния экрана.
2. Разработанная методика получена на основе уравнений электромагнитного поля. Расчеты могут быть запрограммированы в среде Mathcad для автоматизированного инженерного расчета сопротивлений и индуктивностей трехфазного шинопровода.
3. Достоверность методики подтверждается удовлетворительным совпадением результатов расчета сопротивлений и индуктивностей с результатами, полученными при помощи программы ком -пьютерного моделирования Е1си1
Литература
1. Калантаров П. Л. Расчет индуктивностей: справочная книга / П. Л. Калантаров, Л. А. Цейтлин. -Л.: Энергоатомиздат, 1986. - 488 с.
2. Методы и средства автоматизации профессиональной деятельности: учеб. пособие. Ч. 1 / А.С. Глазырин, Д.Ю. Ляпунов, И.В. Слащев, С.В. Ляпушкин. - Томск: Изд-во Том. политех. ун-та, 2007. - 199 с.
3. Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля: справ. пособие. - М.: Высшая школа, 1989. - 271 с.
4. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов. - Т. 3 / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В. Л. Чечурин. - СПб.: Питер, 2003. - 377 с.
5. Дьяконов В.П. Mathcad 8/2000: специальный справочник. - СПб.: Питер, 2000. - 592 с.
Носов Геннадий Васильевич
Доцент каф. электрических сетей и электротехники НИТПУ Тел.: 8 (382-2) 56-34-33 Эл. почта: [email protected]
Трофимович Ксения Алексеевна
Студентка Энергетического института НИТПУ Тел.: 8-952-176-68-96
Nosov G.V., Trofimovich K.A.
Calculation of the resistance and inductance of a shielded three-phase busbar
There are described the methods of calculating the resistance and inductance of the shielded three-phase busbar with the skin effect, proximity effect, frequency sinusoidal current, tire material and screen influence. Formulas are derived from the equations of the electromagnetic field, and automated engineering calculations can be preprogrammed, for example, in Mathcad. The accuracy of the technique is confirmed in satisfactory coincidence of the calculated results with those obtained by aid of computer simulation program «Elcut».
Keywords: three-phase busbar, resistance, inductance.
