Расчет шахтного вертикального водопровода на устойчивость Текст научной статьи по специальности «Физика»

Проф. Г. В. ТРАПЕЗНИКОВ.

РАСЧЕТ ШАХТНОГО ВЕРТИКАЛЬНОГО. ВОДОПРОВОДА НА УСТОЙЧИВОСТЬ.

- *

Вертикальная труба шахтного водопровода должна иметь, по <уюей длине, ряд креплений, соединяющих ее с стволовым каркасом; при отсутствии таких креплений, даже при строго-вертикальной установке трубы, неизбежен продольный изгиб. Ничтожная устойчивость на продольный изгиб объясняется большим

отношением Для трубы в целом. Скрепами вся длина трубы £ разбивается на ряд участков, в каждом из которых указанное выШе отношение —| где ¿—длина рассматриваемого участка, бу-

дёт меньше-г, благодаря чему повышается устойчивость верти-ь

кадьдой. трубы. В нашей* практике, расчет длины отдельного участка сводится к расчету самого нижнего из них. При этом считается, что он может быть рассматриваем, как свободная стойка, с шарнирными концами, нагруженная только сосредоточенной долевой силой, равной весу всей, вышележащей части трубы. Что же касается заграничной практики, то она довольно своеобразно отражена в каталогах фирм, поставляющих шахтные водопроводные трубы и арматуру к ним и не дающих указаний, расчетного характера, оправдывающих то или иное принятое расстояние от одного крепления до другого. Более того, две различных фирмы, поставляющие одинаковые, по размерам. _ материалу и установке, водопроводные трубы, дают расстояния между креплениями, отличающимися в 2—3 раза одно от другого. Но, так как длина отдельного участка входит в формулу Эйлера в квадрате, то такой разнобой в цифрах, выражающих длины участков, ставит трубу, крепленную одним способом, по сравнению с трубой, крепленной другим способом, в условия в * 4-—9 раз более благоприятные, в смысле ее устойчивости.

В настоящей статье приводится приближенное решение за« дачи по нахождению минимального значения размеров участков, пользуясь методом отыскания равновесной формы изогнутого Стержня при условии минимума потенциальной энергии его при -¿«формации в заданных условиях.

Задача, в схеме, (черт. 1) представляется так: Имеется вертикальный прямоосный весомый стержень, длины На расстоянии / от нижнего, шарнирно-укрепленного конца, он закреплен

таким образом, что, имея, в месте крепления, полную свободу по вертикали для поворота и передвижки поперечного сечения, в то же время не может перемещать последнее в горизонтальной плоскости. Нижний участок, имеющий длину /, находится в наихудших условиях в смысле возможности быть изогнутым от действия долевой нагрузки. С одной стороны он подвергается действию собственного веса, с другой же—действию сосредоточенной долевой нагрузки, равной весу той части стержня, который находится выше этого ¡участка и имеет длину, равную I—/.

Кроме этих нагрузок, на стержень действует поперечная сила Р, являющаяся реакцией крепления. При осадке верхнего конца нагружен-вого участка, последний перемещается перпендикулярно направлению силы Р и, поэтому, работа силы Р будет равна нулю.

Действие собственного веса на участке длины I выражается в том, что, при наличии продольного изгиба, эта часть стержня не будет деформироьаться симметрично. Поэтому, для приближенного уравнения упругой линии, необходимо взять ассиметричную циклическую функцию:

Чертеж № 1.

а вт — + * з1п

0)

где а и ¿»—постоянные пареметры кривой, изобрающей изогнутую ось стержня.

Для простоты записи в выкладках, мы будем писать:

КХ

7

Р

и помнить, что:

их

ЧТ

и в подстановках пределов будем иметь:

Итак:

вместо х = 0 — р = 0, вместо х = 1— р=1г.

авт р + ^эт 20.........(2)

И производные функции по л;:

(IУ_ т:

йх I

(а соэ 0 + 26 сое 20)

С1гу тт2

(4)

Потенциальная энергия изогнутого участка выразится:

и^-СмлЬ^т

! I

2£У } ~ йХ

о о

1С

о

аг _ + Ш _ ^

б!!! 4(3

21*

+ 8 —

(а2+16^2)......(5)

Эта потенциальная энергия запасена рассматриваемым участком за счет работы, произведенной внешней нагрузкой, к которой относится, как вес стержня в части, находящейся выше данного участка, так и собственный вес участка. Определим работу названных нагрузок.

Если полный вес стержня О, то вес верхней части будет:

в

I

верки.

О.

1 — 1

Работа, затраченная сосредоточенной силой--О выразится:

те

иа

1 — 1

О

21 Л \&х)

211

+ 4Ь* сое2 20) ¿0

— I) 2И

О

в £(а2 соб2 ¡5 4- 4аЬ соб 0 сое 20

'эт 0

+ ^ + + + ..(6) 6 / \ 4 ) % М1 \

Работа, затраченная равномерно-распределенной нагрузкой будет:

иа

тс

± 2

е

q j~ тс2 ~2

J(тс — р) (а» cos2 ß -f 4а/» cos ß cos 2ß + 4b2 cos2 2ß) dß = : [ s|? + ÜSi?) + cos ? + со^ЗР J +

+ V [2=

sin 4P M , cos 4p j

P2 +

8 I

TT

0 J

Tax как:

а

8 V

9^2 ;

и

16?= 1.806 йА

9-2 5

ö

то

ид = ^ (5а» + Ш + 20г>2).

Приравнивая потенциальную энергию изогнутого стержня затраченной внешними нагрузками работе:

U=Ua + Uq

получим:

^(а* 4- 1661) = 7141 ~1)0 («2 + т + ~ (5а2 + 9ab + 206'). 4/3 ALI AOL

Разделим^обе части уравнения на а2. Так как данное уравнение однородно относительно а и то, в итоге, мы будем иметь дело только с отношением b к а, которое назовем:

я.

а

У

После небольшого преобразования, наше конечное уравнение оримет вид:

1 + 1

Оверхн. = д (£ — /) =

/3 I

10 (1 4- 4а») -I--— (5 4- 9« 4- 20а2)

/у " /

(2)

Очевидно, что вес верхней части стержня должен иметь наименьшее, из всех возможных, значение.

Нахождение величины нижнего участка / осложняется, в нашей задаче, тем, что полученное уравнение неоднородно относительно I и При однородности уравнения, мы могли бк искать величину —, изменение которой было бы связано с изме-I—*

нением параметра а. В данном же случае, всякому новому значению I будет соответствовать новая же длина участка I и, кроме того, новое же значение параметра а.

Поэтому мы, временно, видоизменим условие задачи, что даст возможность найти уравнение связи между / и Ь и определить функциональный состав параметра.

^ Новое условие задачи будет формулировано так:

Имеется стержень, постоянной длины /, с шарнирными концами, причем верхний конец имеет возможность свободного перемещения по вертикали. Нужно определить, какой длины будет стержень, того же материала и сечения, который будучи поставлен на первый, поставит его в условия продольного изгиба. Иначе говоря, вес второго стержня должен быть критической силой для первого, уже ^нагруженного равномерно собственным весом.

Назовем величину:

/2

Уравнение (2) перепишется:

„ _ /у= 10Ф/(1 4~ 1-—^ (5 4~ 4~ 20«*)

1 10(14-4«*)

Для того чтобы, постоянный по длине, стержень / мог оказаться в условиях продольного изгиба, необходимо, чтобы величина ¿—/, или, что то же самое, Овер*. получила минимальное значение.

Зыполияя это условие, мы должны решить уравнение:

откуда получаем равенство, где / будет уже критической .длиной:

.........(4)

80а

Если бы функция а была более простого вида, то лучше бы было определить а через Ф/ и подставить полученное значение а в уравнение для £ — /.Уравнение связи I — 1 = ^{ФР) получилось бы сразу. Выполнение такой подстановки приведет к уравнению, которым, ввиду его сложности и громоздкости, пользоваться будет почти нельзя. Для решения задачи мы изберем путь пользования полученными функциями в параметрическом виде, т. е. без исключения а.

Назовем отношение:

_}

т~ кр

Подстановка значения Ф/ в уравнение (3) дает:

Л

/кр 8а

кр

Ь 3 -{- 40а — 48а2 Это будет одно уравнение; другое же получим таким образом:

(5)

Ф1 ТГ2£У Т:2£У / ¿\ 3

Назовем:

д1кР ?/3кР \1кр/ ЫЧ*

= Ф

ОН

^^.......(6)

Уравнения (5) и (6), данные в параметрической форме, позволяют определить Якр, при известном Ф и, обратно, если состав-вена таблица значений Хкр и Ф по изменяющемуся а. Ниже при-лодится такая таблица и, диаграмма, дающая картину изменения функции Ф, в зависимости от Акр. При пользовании таблицей промежуточные значения всех величин могут быть определены путем линейного интерполирования, так как разности в ступенях невелики (исключение составляют первые строки таблицы, кото-. рые особого практического значения не имеют и приводятся здесь с целью дать представление о начальных ординатах графика. В таблице даны АФ и Алкр между рядовыми значениями функций, для облегчения интерполирования.

В том случие, когда длина всего стержня сравнительно невелика, она может оказаться равной или даже меньшей его критической длины. Определим величину критической длины, когда последняя равна длине всего стержня.

В данном случае, очевидно:

X

чр

= 1 и Фг- ^

I*

кр

и уравнения (3) и (6) превратятся в следующие;

о = ^^ (^4,16а2) - д1кр (5 4 9« -}- 20а2)

¿2

кр

И

тс2£У 3(1 — 4а2)

кр 80а

Совместное решение их относительно я дает уравнение:

192а* + 160аЗ 4. 24а2 + 40* — 3 = 0.

Отсюда получаем корень, который удовлетворяет нашему условию:

а = 0.0693-

Подстановка полученного значения а в уравнение (4) дает:

Ф1кр — 0.53П дЬкр

откуда:

нр - Окр

Г2 Е]

(0.7291)2

т. е. коэффициент длины, в данном случае:

IX = 0.729. Таблица значений Ф и Акр.

А

кр.

ДХ

кр.

ф

Д ф

0,001 2 3 А

5

6

7

8

0,0263

0,0520

0,0769

0,1013

0,1250 0,1482

0,1709

0,1929

0,0257 0,0249 0,0244 0,0237 0,0232 0,0227 0,0220 0,0216

0,0007

0,0026

0,0057

0,0097

0,0147

0,0203

0,0267

0,0337

0,0019 0,0031 0,0041 0,0050 0,0056 0,0064 0,0070 0,0074

9

0,010 И 12

13

14

15

16

^кр.

ДА

кр.

ф

АФ

0,2145

0,2356

0,2562

0,2764

0,2961

0,3154

0,3343

0,3528

0,0211 0,0206 0,0202 0,0197 0,0193 0,0189 0,0185 0,0182

0,0411

0,0490

0,0573

0,0660

0,0749

0,0840

0,0931

0,1029

0,0070 0,0083 0,0087 0,0089 0,0091 0,0093 0,9095 0,0096

^Kp.

«p.

0

17

18 19

0,020 21 22

23

24

25

26

27

28 29

0,030

31

32

33

34

35

36

37

38

39 0,040

41

42

0,3710 0,3887 0,4061 0,4232 0,4399 0,4563 0,4724 0,4883 0,5038 0,5190 0,5340 0,5487 0,5632 0,5774 0,5913 0,6051 0,6186 0,6319 0,6450 0,6579 0,6705 0,6830 0,6953 0,7075 0,7194 0,7312 0,7423

0,0177 0,0174 0,0171 0,0167 0,0164 0,0161 0,0150 0,0155 0,0152 0,0150 0,0147 0,0145. 0,0142 0,0139 0,0138 0,0135 0,0133 0,0131 0,0129 0,0126 0,0125 0,0123 0,0122 0,0119 0,0118 0,0116 0,0114

0,1320

0,1419

0,1518

0,1617 0,1716

0,1815

0,1913

0,2011

0,2109

0,2206

0,2302

0,2397

0,2492

0,2585

0,2678

0,2770 0,2861

0,2950

0,3039

0,3127

0,3213

0,3298

0,33»3

0,3466

A0

0,1125

0,1222

0,3547

-0,0097 0,0098 0,0099 0,0099 0,0099 0,0099 0,0099 0,0098 0,0098 0,0098 0,0097 0,0096 0,0095 0,0095 0,0093 0,0093 0,0092 0,0091 0,0089 0,0089 0,0088 0,0086 0,0085 0,0085 0,0083 0,0081 0,0081

44

45

46

47

48

49 0,050

51

52

53

54

55

56

57

58

59 0,060

61 62

63

64

65

66

67

68 69

0,0693

■Kp.

0,7766

0,7876

0,7984

0,8091

0,8197

0,8301

0,8404

0,8505

0,8606

0,8705

0,8802

0,8899

0,8995

0,9089

0,9183

0,9275

0,9366

0,9457

0,9546

0,9634

0,9722

0,9809

0,9894

0,9979

1,0000

AX

Kp.

0,7542

0,7655

0,0113 0,0111 0,0110 0,0108 0,0107 0,0106 0,0104 0,0103 0,0101 0,0101 0,0099 0,0097 0,0097 0,0096 0,0094 0,0094 0,0092 0,0091 0,0091 0,0089 0,0088 0,0088 0,0087 0,0085 0,0085

0

A0

0,3628

0,3708

0,3786

0,3864

0,3940

0,4015

0,4089

0,4162

0,4234

0,4304

0,4374

0,4443

0,4510

0,4576

0,4642

0,4706

0,4770 0,4832

0,4894

0,4954

0,5014

0,5072

0,5130

0,5187

0,5243

0,5298

0,5311

0,0080 0,0078 0,0078 0,0076 0,0075 0,0074 0,0073 0,0072 0,0070 0,0070 0,0069 0,0067 0,0066 0,0066 0,0064 0,0064 0,0062 0,0062 0,0060 0,0060 0,0058 0,0058 0,0057 0,0056 0,0056

Диаграмма Ф — Аер.

Ф

•

•

/

/ г

у Г

/ /

/ * * >4» ¿га. ч

/ Г N Ч

¿с— | Ч 1 ь

Г 1 ✓ ) 1 1 | Ч1 \

» _1_ 1 ! ч

1 \

Л

О 1 2 3 4 5 б 7 в 9 Ъ

Черт. М® 2.

Ир

На диаграмме Ф — Хкр. сплошной линией дана кривая, выражающая зависимость, приводимую здесь, в параметрической форме:

_ 3(1—4а2)

Ф

80а

А»

кр.

Пунктирная кривая относится к грубо-приближенному расчету, о котором говорится в конце статьи. Она выражает зависимость:

Ф = Ха(1—X).

Для того, чтобы получить /расч. мы должны воспользоваться соотношением-

_ Ррасч.__ /2кр.

Ркр. /2расч.

где п—коэффициент устойчивости. Отсюда:

/ _

¿расч. — г—

У п

Применим полученную таблицу для определения минимальных размеров участков между креплениями вертикальных труб того сортамента, который принят в шахтном строительстве. Приводимые ниже, в таблице, цифры критических длин подсчитаны; с точностью до 0.1 т, причем, при округлении полученного значения /кр. до 0.], бралась нижняя цифра.

Таблица критических длин нижнего участка шахтного водопровода содержит:

В первой клетке.

Первая строка—О—внутренний диаметр трубы в тт„

Вторая „ —а—толщина стенки и трубы в тт.

^ЕЗ

Третья „ —величина Ф/,3.10~2 =--. Ю-2 в т3.

*Во второй клетке. ,

7Г2 ЕЗ

Величины Ф —--—, вычисленные для различных I.

В третьей клетке.

Полученные величины /кр. в т, для различных ¿.

Из рассмотрения цифр /кр. для труб шахтного водопровода видно, что при коэффициенте устойчивости, даже равном 9, мы имеем возможность делать, для наиболее низкого участка трубы, на расстоянии:

, •_ ^р- _ 4р.

'расч. ||/"9 3 '

Таким образом, в самом худшем случае, при чугунных трубах, крепления должны становиться не ближе 13 т, и, пристальных трубах—не ближе 12 т, друг от друга.

Таблица критических длин нижнего участка шахтного вертикаль

ного водопровода.

ТРУБЫ ЧУГУННЫЕ

£> т т а тт ФЬ3.10—2/я3 100 8,5 2030 125 9,0 3066 150 9,5 4340 200 10.0 7550 250 11,5 11650 300 12,5 16625

Ф ( 50 Ьт 1 100 [ 150 1,6240 0,2030 0,0601 2,4528 0,3066 0,0908 3,4720 0,4340 0,1286 6,0400 0,7550 0,2237 9,3200 1,1650 0,3452 13,3000 1,6625 0,4926

/кр/я ( 50 Ьт 4 100 [ 150 К р и 51.2 39.3 т и ч е с 67,4 50,9 : к а я д 85,6 60,0 л и на больше длины водопрово д а 83,0 | 109,4 | 141,2

ТРУБЫ СТАЛЬНЫЕ

О тт а тт Ф/.3.10--2ш3 100 3,75 3747 125 4,0 5790 150 4,5 8300 200 6,5 14830 150 7,0 22980 ' 300 7,5 32870

ф Ьт 50 100 150 200 250 300 2,9976 0,3747 0,1110 0,0468 0,0240 0,0139 4,6320 0,5790 0,1716 0,0724 0,0371 0,0214 6,6400 0,8300 0,2459 0,1038 0,0531 0,0307 11,8640 1,4830 0,4394 0,1854 0,0949 0,0549 18,3840 2,2980 0,6809 0,2873 0,1471 0,0851 26,2960 3,2670 0,9739 0,4109 0,2104 0,1217

/кр/Я Ьт 50 100 150 200 250 300 К 77,1 54,9 45,9 40.3 36.4 р и т б о 70,1 58,1 50,6 45,4 и ч е л ь ш 85,0 70,9 61,5 55,0 екая е дли 129,5 98,9 84,3 73,6 дли н ы в П р О 1 129,5 107,8 95,3 и а О Д 0-» о д а 164,5 133,3 116,3

В том случае, если верхний конец вертикальной трубы несет-еще добавочную нагрузку, в виде веса различных деталей тяжелой арматуры и т. д., то расчет /кр. должен вестись таким образом.

Пусть вертикальная труба имеет длину £ при весе ее С/. Если; вес добавочного груза равен С/о> то мы можем его представить-как вес добавочной трубы, длины ¿0, того же поперечного сечения и материала.

В самом деле:

0 _ _Ое

1 ~ч~и

отсюда:

Ьл = ——.

О

Тогда можно считать, что мы имеем водопровод с трубою, длины:

Со

О )

и величина, характеризующая степень устойчивости трубы, представится:

тг2£7 тг2£У.02

Ф

Небезинтересным является сравнение расчета /кр. нижнего участка стержня, с учетом собственногв веса последнего, с расчетом, при котором собственным весом участка пренебрегают и считают, что последний нагружен только весом вышележащей части стержня.

При пренебрежении собственным весом нижнего участка, мы должны применить формулу Эйлера. Считая, по прежнему, оба конца участка шарнирными, подучим:

Ркр. == ^аврх Я ^кр.) :

Откуда, имея—= Х:

К*.

Ф = Х2( 1-Х)........... (7)

Кривая (7) построена на, приведенном выше, графике пунктиром.

Максимальное значение Ф:

Фтах = 0.148.

Заметим, что цри Х = 0 и X — 1, Ф = 0.

Из рассмотрения такого грубо-приближенного расчета и иллюстрации его графиком, можно сделать следующие выводы:

1) Если, постепенно, увеличивать X для стержня, который имеет характеристику устойчивости:

Ф<0.148

то это увеличение может быть проведено, в пределах устойчивости, до X, определяемого меньшим корнем уравнения:

Х2(1 — X) — Ф = 0.

Дальнейшее увеличение X невозможно, так как это повлечет за собой потерю устойчивости стержня.

2) Если било бы можно безопасно, в смысле сохранения устойчивости, перейти этот предел X и увеличивать далее, то, по* достижении X величины, определяемой вторым, болшим корнем», приведенного выше уравнения, стержень опять приобретет устойчивость. Таким образом, при приближенном расчете получаются две различные критические длины нижнего участка.

3) Объясняется это тем, что при исключении из рассмотрения действия собственного веса нижнего участка, мы можем иметь два случая на пределе устойчивости. В первом случае— короткий стержень, нагруженный большим весом вышележащей? его части и, во втором—длинный, для которого вышележащая короткая часть дает достаточной величины вес, чтобы последний равнялся его критической силе.

4) Стержни, имеющие Ф>0.н8 дадут для X фиктивные значения и, поэтому, расчитаны этим способом, вообще, быть не могут.

Нет никакой необходимости давать более подробный анализ получаемой, при применении грубо-приближенного способа расчета, ошибки. Кривые графика Ф — Хкр. настолько ясно рисуют количественное и качественное различие расчетов, что приведение цифр становится излишним.