CC BY
29
Расчет пространственных тонкостенных конструкций в форме псевдосферы.
А.А. КАЛАШНИКОВ, магистр техники и технологии Архитектурная мастерская «АМ Атриум», г. Москва
/
\
Тонкостенные пространственные конструкции, том числе оболочки, являются наиболее экономичными конструкциями, позволяющими перекрывать большепролетные сооружения. Возводить сооружения тяжелой и легкой промышленности, а
/
\
также они применяются в различных областях техники.
Рис. 1
Оболочки позволяют создать наиболее выразительные архитектурные формы и широко применяются при строительстве спортивных и выставочных сооружений. Одной из причин, сдерживающих применение разнообразных геометрических форм - отсутствие исследований геометрии специальных видов поверхностей и разработки методов их расчета.
Разбивка конструкции на отсеки различной геометрии является более рациональной, в которой рассчитываются отдельные отсеки конструкции. Решать задачи расчета таких конструкций позволяют многие методы. В данной работе рассматриваются два метода расчета псевдосферической оболочки - это метод конечных элементов и метод расчета безмоментной теории оболочек. Решить с их помощью симметричную задачу, т.е. на действие собственного веса.
Псевдосферическими поверхностями называются такие, для которых гауссова кривизна К = k{k2 2 во всех точках равна постоянному отрицательному числу. Бельтрами показал, что псевдосферические поверхности несут на себе двухмерную геометрию Н.И. Лобачевского. Части такой поверхности имеют седлообразный вид. На псевдосферической поверхности выполняются все соотношения гиперболической геометрии.
Псевдосфера является поверхностью вращения, образовывается враще-
Z
нием трактрисы, эвольвенты цепной линии г = aclt , относительно оси
а
Ог. Уравнение трактрисы имеет вид: х = аьти, г = ¿¿[сояц + )], 0<и<я; где и - угол между осью Ог и касательной к трактрисе.
и
Формы задания поверхности псевдосферы
Псевдосферу можно задать параметрическими уравнениями: х = х{и,\') = asinucosv, у = y(u,v) = asinwsinv,
z = z(k) = «[cost; + lg(/g ^) ], где и - угол между осью Oz и касательной к
Л"
меридиану. Для ребра псевдосферы имеем и = ■ . Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и главные кривизны имеют вид. А = actgu, F = О, В = a sin», L = -aclgu, М = О, N = а sin и cos м,
11 , U V,
/с, = ~tg , к i = -ctg . Линии кривизны - меридианы v и параллели м, а а
кроме ребра псевдосферы (м = л/2).
Возможно задание поверхности в следующей форме х = x(r,ß) - г cos/7, у = y(r,ß) = rsin ß,
, ; 2 2 rfl + \;a -г 2 2
z = a in[ J- -/" , где/ -расстояние от оси вращения до
г
соответствующей точки псевдосферы (г < а), окружность г - а ребро псевдосферы. Площадь (S) зоны между параллелями г = а и г — г„ : S = 2ка(а - г0). При этой форме задания коэффициенты основных квадратичных форм при этой форме задания поверхности и ее главные кривизны имеют вид:
Л = ü ,F = Q,B = r,L =-■ ,М =0,yV = -rvfl2"''2 ,/с, = " ,
г ¿а2-г2 а ал!а2-г2
; 2 2 >", а г
2 =
аг
Если задать псевдосферу уравнениями: х = x(y,t) = ' ,
у cosat
1 I 1
У - y(yJ) = , z = z(y) = ah\{ay + -,',a2y2 -1)- ¡a2 - -, . Коэффи-
7 sun» \¡ у
циенты основных квадратичных форм поверхности будут иметь вид:
а2у2 -1 1 К
А = В = ü ,F = 0,L = ,ü - ,М=0 ,N=U ,
Г у2>У-1 У я
Здесь подстановкой у - 1/г и t = ß/a линейный элемент поверхности приведен к изотермическому виду. 36
Безмоментпая теория оболочек.
Дифференциальные уравнения равновесия безмоментной теории оболочек, выведенные в линиях кривизн х, Р срединной поверхности.
д 55
(г Л^ - г' N¡1 + А - = - А г X, дх д[3
дИр 1 д . А ^ + (г18) ~ - А г к
др г дх
/г" N
- ■ • Л',, А г /
А
Постановка задачи: Определить усилия в псевдосферичсской оболочке постоянной толщины И от собственного веса g = уЪ, (симметричная задача) опертой шарнирно-подвижно в направлении нормали по параллельному кругу г ¡=-0.5а.
а:=106 м у.= 2.5 — 1г.= 0.3м г:=у-И 2 = 0.75 —
3 2
м м
Где а - радиус оболочки у основания, у - вес железобетона, Ь - толщина
стенки оболочки.
(см. рис. 2).
*
Х2=)/4
0.25а
г=0.25а
г=0.375а
г=0.5а
а = 106
а = 106
Рис.2
Геометрические величины:
sin(ip) " = cos(ip) = -(а2 -■ г2)12/а ~ - (1 - С2)'2 а
Составляющие нагрузки:
X ----- g cos(tp) = -g(l - СУZ = -g sin(<p) - -g С Краевые условия задачи: при = 1/4, Nx-- 0;
при С/ = 1/2, их= 0 - условие, связанное с исследованием деформированного состояния. Эпюры усилий имеют вид: (см. рис. 3)
Мд —¡L1— . _ t-b-tf
!
' [ N, Nf
\ 0 ' CUbby!
Метод конечных элементов.
Расчет методом конечных элементов проведен в программе SCAD. Про-ектно-вычислительный комплекс SCAD предназначен для численного исследования на ЭВМ напряженно-деформированного состояния и устойчивости конструкций, а также и для автоматизированного выполнения ряда ^оцессов конструирования. ПВК SCAD обеспечивает исследование ши-
рокого класса конструкций: пространственные стержневые системы, произвольные пластинчатые и оболочечиые системы, мембраны, массивные тела, комбинированные системы - рамно-связные конструкции высотных зданий, плиты на грунтовом основании, ребристые пластинчатые системы, многослойные конструкции. Расчет выполняется на статические и динамические нагрузки. SCAD реализует численный метод дискретизации сплошной среды методом конечных элементов (МКЭ). Этот метод хорошо адаптирован к реализации на ЭВМ. По единой методике рассчитываются стержневые, пластинчатые и комбинированные системы. Удобно моделируются разнообразные граничные условия и нагрузки. Статические нагрузки моделируют силовые воздействия от сосредоточенных или распределенных сил или моментов, температурного нагрева и перемещений отдельных областей конструкции. Динамические нагрузки моделируют воздействия от землетрясения, пульсирующего потока ветра, вибрационные воздействия от технологического оборудования, ударные воздействия.
Результаты полученные в результате расчета .
Рис.4. Эпюра нормальных сил №. Рис.5. Эпюра кольцевых сил N0
1.1 тм
6.55 тм
20.28 тм
Рис.6. Эпюра моментов Мх.
0.25 тм t
4.67 тм
2.27 тм Рис.7. Эпюра моментов My.
В результате проведения расчета расчетной программой SCAD были получены следующие результаты:
Видоизмененная эпюра нормальной силы: Значения не совпадают со значениями, полученными аналитическим путем
(Рис.3). 45.95 т/м -аналитическим методом у опоры и 41.62 т/м полученными методом конечных элементов (Рис.4). При этом видно резкое увеличение продольной силы ближе к опорной части данной оболочки (51.6 т/м) которого не было обнаружено при расчете аналитическим методом безмоментной теории расчета оболочек.
Эпюра кольцевых усилий. Аналитическим методом была получена эпюра, показанная на рисунке 3, а эпюра полученная в результате расчета расчетным комплексом SCAD, показанная на рисунке 5, имеет другую форму с резким изменением значений и знака около опоры.
Также в результате расчетов программным комплексом были получены эпюры моментов Мх и My, численно равные в верхней части оболочки, они равны практически 0 и находятся в диапазоне от -0.01 до 0.01 и резко увеличиваются к опоре до следующих значений Мх = 20.3 тм; My = 4.67 тм. (Рис. 6, 7)
Не учитывать такие значения моментов на приопорном участке невозможно. Данные значения нормальной силы, кольцевой и моментов, возникающей в оболочке в результате действия только собственного веса, свидетельствуют о том, что в этом месте сечение оболочки недостаточно прочное или имеет недостаточное поперечное сечение. Вследствии чего оболочка в этом месте просто подламывается, при том, что вся верхняя часть находится в «нормальном» напряженном состоянии и воспринимает возникающие в ней нагрузки.
Вследствие проведения данного сравнительного расчета можно сделать следующие выводы: - не целесообразно выполнять оболочки постоянного сечения, так как нагрузка и усилия меняются по высоте и для их восприятия необходимы разные расчетные сечения; - необходимо увеличение толщины стенки ближе к опоре; - в расчетах необходимо учитывать возникающие в поверхности моменты, так как они могут оказать существенное влияние на прочность всей конструкции в целом.
Литература
1. Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии.
- М.: Изд-во Университета, дружбы народов, 1988 - С. 68-78.
Calculation of spatial thin-wall designs in the shape pseu-dospherical surface
A.A. Kalashnikov
In the article the comparative calculation by a finite element method, program SCAD and analytical method of a non-propulsive shell theory is conducted.
