Расчет поля электростатического генератора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

РАСЧЕТ ПОЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРА

И. П. ГУН.

(Представлена научным семинаром кафедры ТОЭ и отделом РЭСГ НИИ ЯФ).

Электростатические машины, которые в последнее время находя! все более широкое применение ,в различных областях науки и техники, до настоящего времени не имеют установившейся методики расчета. Обычно .электростатический генератор (ЭСГ) рассматривают как квазистационарнсе устройство и ведут его расчет при использовании сосредоточенных параметров, полученных из статических уравнений поля (частичные емкости [3], потенциальные коэффициенты [5], различные обобщенные емкости и др.). Все эти методы позволяют определять только интегральные характеристики генератора, по которым нельзя количественно оценить характер поля, а, как известно, проектирование ЭСГ требует знания его свойств. Тем не менее еще не исчерпаны возможности классических методов решения задач подобного типа, которые позволяют определить ке только интегральные, но и дифференциальные характеристики, и тем самым полностью рассчитать поле ЭОГ.

Цель настоящей статьи показать возможность применения одного из таких методов к расчету поля цилиндрического электростатического генератора с каскадным соединением транспортеров-проводников круглого сечения.

Описание электростатической машины

Рассматривая ЭСГ с каскадным соединением транспортеров-проводников, принципиальная схема которого изображена на рис. 1, ограничимся описанием только основных его элементов, так как принцип действия и основы конструкций ЭОГ подробно описаны в [4].

Диэлектрический (статор покрыт полуправодящим слоем 9 для создания более равномерного поля в зазоре генератора. Система возбуждения состоит из низковольтных индукторов 8, щетки 4 и источника возбуждения. Сопротивление нагрузки 5 подсоединяется к высоковольтным индукторам 7, к которым также подсоединена щетка 6, снимающая заряд с подходящих транспортеров.

Ротор состоит из 2 ш транспортеров-проводников, изолированных друг от друга. Диэлектрическую проницаемость среды, окружающей транспортеры, е считаем постоянной во всем рабочем пространстве ЭСГ.

В момент отрыва транспортеров 1 и т-Ы от соответствующих щеток транспортеры 1, 2, 3, ... ш имеют заряд я, а гп+)1, т-Н2 ... -2 ш —

Рис. 1. Принципиальная схема ЭСГ

заряд ц'. Разность этих зарядов отдается в нагрузку, сопротивление которой посредством щетки 6. Ток 1н создаете^ этой разностью зарядов.

У электростатических генераторов данного типа возможны две схемы возбуждения; кондукционная — низковольтные индукторы заземлены, а к щетке 4 подключен источник возбуждения с напряжением ив — и индукционная — щетка заземлена, индукторы присоединены к источнику возбуждения.

Предметом расчета, приведенного в данной статье, является определение скалярного (потенциала поля ЭОГ как функции геометрических параметров и условий режима его работы. При этом в данном расчете не учитывается краевой эффект за счет конечной длины транспортеров и цилиндров и предполагается, что:

а) отсутствуют утечки по изоляции и потери на корону,

б) радиус транспортера намного меньше его длины,

в) отсутствует смещение электрических осей заряженных транспортеров.

Расчет поля ЭСГ с коидукционной схемой возбуждения

Для решения задачи воспользуемся методом наложения, считая, что на поле, созданное линейным распределением потенциала в полупроводящем слое на статоре, накладывается иоле линейных зарядов транспортеров, т. е.

?<пв> = <Р<г;0)Сс) + <Р(г;0)(р). (1)

а) Определение скалярного потенциала

В данном случае тр-ебуется решить задачу Дирихде для уравнения Лапласа

Дф —о

в случае области, заключенной между двумя концентрическими окружностями радиусов И! и Иг, т. е. требуется найти функцию <р(с\ гармоническую в рабочем пространстве генератора и принимающую на замкнутых контурах, ограничивающих это пространство, следующие значения:

т - ?(с,(Кь0) = ?(С)(И2;0) щ = о при о < е < о0 и 2тг - е0 < е <

т = при е0 < О < 7Г - 80,

* - 200 f(Ü) — UH при 1С

0

7Ü

>

'0i

f(6) =

2тг

6

TT - 26,

и„п ИТ1 + 6О<0< 2 тг 0О.

(2)

На рис. 2 показано линейное распределение потенциала в полупроводящем слое соответственно уравнениям (2). Граничными условиями являются заданные значения функции ¡(8) на окружностях с радиусами и (рис. 2) и периодичность искомого решения как функции 0, т. е.

ср<с>(г;6 + 2«) = <р(с)(г;6),

Для решения этой задачи применим метод разделения переменных (метод Фурье), для чего подставим <р = Т(8) -Р(г) в уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат.

Г2 ^ + + ¿Л. = о

дт2 дг об2 ' После соответствующих преобразований (общее решение данной задачи дано в [2]) получим

Wc>=f

k = l

«к(г- + V-R,*) cosk6 + №-

R,k-R2k)

rK(RiK + R2k)

rK(R,K + R2k)

sink 6

(3)

где постоянные а0, ак и {Зк есть коэффициенты при соответствующих синусах и косинусах в тригонометрическом ряде

f(6) + ^«к cos k0 + ßK sin kö).

k=l •

(4)

Рис. 2. Закон изменения потенциала статора

Вычисление ряда элементарных интегралов дает

f(9)d& - U„.

f(0)cos k6d0 = — 2

1 - ( — i)K eos kfl,

к(1С — 260) k2

2 T.

h

Щ sin kOdO = 0.

После подстановки значений а0, ак и р„ в уравнение (3) и ряда преобразований получаем, что искомый потенциал равен

1,3,5...

?(г;8)

(С);

1

8

П shkt3 + shk'

- 2В0)

2

k'-shka

сое к6п соэ кО

и„

2 '

(5)

где

a = ]п , р 1п

Т

1п

R.,

и, ' г - Я, '

б) Определение потенциала <р(Р> (г; 0).

Для определения потенциала <р<Р> поля, образованного линейными зарядами q к q' соответствующих транспортеров, рассмотрим сначала поле единичного линейного заряда в круговом кольце. Рис. 3 иллюстрирует этот случай. Так как внешний и внутренний цилиндр имеют потенциал, равный нулю, то в данном случае получаются те же условия, как и при вычислении функции Грина. Как известно из [13, функция Грина для кругового кольца имеет следующее значение:

1

G4C; С)

2тг

1п

2а

1п

»i

2а

In

У Г Г

Rr

(6)

где С = ге]Л

С == R0ei в'Д' = R0e-i9', | 6 _ 0' ¡ < Oí—тэта-функция с аргументами

1

2а

1п

С

С ' 2а

\ Г ? Г

1п и модулем = j

Rr

Единичный линейный источник расположен в точке ^ = Если функцию й' (£; £') разложить в ряд и взять от нее действительную часть, то получим более удобное для расчетных целей выражение:

ReG'(C; С)

2тг

1п

ch / w —eos - l a ln Ro )

ch / 71 —eos - V a In rR0\ Rr' /

+ 4

оо

Е

ch izk a

4 expj

БШ

1п R°

R

ТТЛ г

sin -Jn —

I ' \ a Rj

(7)

3. Заказ 907.

33

Рис. 3

Нетрудно убедиться, что приведенное выражение имеет все свойства, которыми должна обладать функция Грина. Внутри кольца оно имеет единственную особенность при £ = и равно нулю, если 5 расположено на внутренней или внешней окружности.

Скалярный потенциал в круговом кольце, в котором находится один транспортер с зарядом q и с координатами , равен

<р(г;0) = - (8)

г то

R0 - Rl Т R'2 , G(rej0; R0eJ°') -- 2«G'(rel°; R0cJ6')

Для определения потенциала транспортера нужно в уравнении (8) положить (Ro + po)ej0 , тогда

2aR0 sin (— !n Ro

?т «¿1п --—(8*,

где р(( — радиус транспортера, po<CRo.

Распространим формулу (8) на последовательность 2 т линейных зарядов с остающимся неизменным расстоянием а= —между

ними (рис. 1). А так как в ЭСГ транспортеры 1, 2, 3 . . . ш имеют заряд q, а транспортеры т-Н, т-4-2, ... 2т — заряд q^ то, применяя метод наложения, для потенциала фМ можно записать следующее уравнение:

2т

С; С; ^е^),

п=1 п = т-г1 (9)

гле п — порядковый номер транспортера, с) Определение потенциала ф (г; 0).

Итак, просуммировав (5) и (9), получаем, что скалярный потенциал в кольцевом зазоре генератора равен

<Р(г;б>

~ 2е0)

00

2

эЫ^р + эЬкт к^Ика

соб к-й0 СОБ к-О

и,

к = 1

ш

V Кеа ( ;; и0е

2т

. п — 1

11—1

2тие

Ией К; И0е

П=1

п = т-г-1

где к= 1, 3, 5, . . . .

Для сокращения записи примем, что

Ю)

. п—1

ИеОСС; ) = ЯпСС).

Для определения зарядов q и q' воспользуемся граничными условиями в различных режимах работы электростатического генератора:

а) холостой ход: Я =

1,3,5...

I сЫ/ .9, сЫ/ 1Т [

' XX

и в = Ч>(К0; 0)

- 20о)

2

БЬк • -г эЬк-^о . Л

-т^Кгг-— созк0о

к-эпк-а

2т

0)

(1Г

п — 1 1,3,5...

ихх - т(Ио^)

1 +

20,

К2БЬк - а

созкО,

ихх

2-е

2т

2

РпШо;

(12)

где

К,

1^0 — ]п

1*1

> 10

Ио ■

Просуммировав (11) и (12), получаем выражение для заряда в р, жиме холостого хода

Я XX

б) короткое замыкание:

и,

5 ВДо.-о)

(13)

П-1

и в = 0(Ко; 0)

2-е

Р„( К0; 0) - ^ > РП(К0; 0)

(14)

о = «) = > ;рп(н0; «)

ш

2

2т

л

2

рп(Я0; -)

(15)

п = 1 п = т + 1

Подставляя из (14) в (15) и учитывая, что функция Грина симметрич на при постоянном г, получим

1 1

Як» 3» = —

Ч к.з =

2т

2 0; 0) 1

и к >

тсе

2т

2 рп(Ко; 0)

п=1

р!(Н0; 0)

с) нагрузочный режим

иь=

1 -

8

- 2Й0)

1,3,5... 2

БЬкрр + БЬк^р

соэкО,

и,

(16)

(17)

т п-1

от и = т + 1

рп№0; о),

ин =

8

1,3,5.,.

:(« - 26

V 5Ькр0 + 8ЬкТо к0 п)2л к^кс. С°5к 0

ин

(18)

¿Г _ ^

2 т

V РП(Н0;

(19)

п = 1 п = т +1

Разрешая совместно (18) и (19), находим, что в нагрузочном режиме заряды равны

1 , 1-А'-ин/иь

где

= — ТС 8

2т

2 Р„(К0; 0)

,п = 1

1

2т

2 >.(К<>: °)

и^Ио; 0)

1 - ин Ць Р,(Н0; 0)

и В >

и„.

8

- 20о)

1,3,5...

У

бЫСЗо 4 эЫс

Ю

ккэЬка

СОБ к0о.

(20)

(21)

Очевидно, что ив/А = и хх — теоретическое значение напряжения холостого хода, тогда при ин = 0 (режим к. з.) из (20) и (21) получаются формулы (16) и (17), а при ин = ихх (режим х. х.) —формула (13).

Теперь подставляя (20) и (21) в уравнение (10), получим формулу для скалярного потенциала в любой точке поля ЭСГ с кондукци-онной схемой возбуждения:

<р(г; в) =

Ф - 290) 2л к

к2эЬка

■созк60 соэкб

и„

'2т ш 2т

2 Рп(г; 0) V Рп(г; 0) _ £ Рп(г; 0)

п = 1 , п-1_п-т +1__

1

рДЯо; 0)

{'-Т&-)

ив

• (22)

Расчет поля ЭСГ с индукционной схемой возбуждения

ЭСГ с индукционной схемой возбуждения отличается от генератора с кондукционной схемой возбуждения тем, что источник возбуждения у него подключается к низковольтным индукторам, а щетка 4 заземлена (рис. 1).

Проделав расчет, аналогичный изложенному выше, получим выражение для скалярного ¡потенциала:

1 4 VI эЬкЗ + вИк?

?(г; Ь =

(ин + ив) - ив +

*(« - 260)

2-

Г 2т

п — 1

2т

2 рп№о; 0)

+

к^Ик"

V Р„(г; 6)

Л=1

соэ к0о соб к&

2т

V

X

Рп(г; 0)

п-т+1 / ] _

Р^Ио; 0)

Ь П=1

ин + и в

+ иг

XX

и

(23)

Формулы (¡22) и (23) позволяют довольно точно определить потенциал, а тем самым и напряженность в любой точке ЭСГ. В особых точках, т. е. в тех точках, где и находятся оси транспортеров, потенциал нужно определять следующим образом: в уравнения .(22) и

. п-1

(23) нужно подставить не £=Нов 1 ш11 ,а £=(Но+ро)с т подобно тому, как это было сделано при определении потенциала транспортера в формуле ¡(8*).

Многочисленные расчеты показали, что для узких колец, т. е. когда а<1, можно пренебречь вторым членом в (7): А так как у реальных генераторов а<0,5, то величина

ехР | >ехр(20Х),

стоящая в знаменателе в формуле (7), приводит к тому, что второй член имеет очень малую величину. Следовательно, достаточно ограничиться рассмотрением одних только логарифмических членов, т. е.

. п-1

сЬ

1п

Рп(г; 6) = И еС(С; )

п— 1

ш

— СОБ

7Г Г

сИ

О —

7Г

ш

соэ

^ ш

К!2

(24)

Подставляя (24) в уравнение (22) и (23), получим расчетную формулу для определения электрического потенциала в рабочем зазоре цилиндрического ЭСГ с транспортерами-проводниками:

1А5...

<р(г; 0)

- +

1 -

8

- 2&0)

2

вЬк * Р 4- эИк^

2т

1П П гп(г; 0)

Лгг 1_

ут

1п п гп (Ио; 0)

1 -

к^эЬк-а

и„ + и и

соэ к0о соэ кО

ин-ии,

и

XX

«и,

ЬГ^Ио; 0)

1п

2т

П Гп(г; 0)

П — I__

¿ГП

П гп(г; 0)

п = т+- 1

2

и,

где

__ | 0 при кондукционной схеме возбуждения,

I 1 при индукционной схеме возбуждения; 2 0о — ширина индуктора в радианах;

а - 1пЯ21Яи Р = 1пг/К1; т = 1п г:

ии — напряжение нагрузки;

ив — напряжение возбуждения;

ихх — теоретическое напряжение холостого хода

п - 1

(25)

сЬ

Г„(г; 6)

1С

ш

соэ

1п

Ко

<±

тс

п - 1 гп

соэ

1п

1^0 И 2*

2 т — число транспортеров; п —порядковый номер транспортера;

Ко

в

ГП

К, +

2

Уравнение' (25) имеет 2т особых точек с координатами

„ ,, п — 1

Г = К0, 6 - - 7С.

Причем в этих точках нужно брать

ш

1пГп(И0е

21п

•Ро

2аНп$т

1п

И1

где ро —радиус транспортера, ро<СИо.

В заключение следует отметить, что уравнение (26), предназначенное для расчета поля в рабочем зазоре ЭСГ, сравнительно громоздко, но так как :ряд быстро сходится, а логарифмические члены симметричны и быстро затухают при удалении от расчетной точки, то практическое применение его будет не слишком утомительным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г. Бухгольц. Расчет электрических и магнитных полей, ИЛ., 1961.

2. Л. В. Канторович, В. И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа, ГТТИ, 1952.

3 В. А. Лукутин, В. Д. Эськов. Применение цепной схемы замещения к рас чету ЭСГ. Изв. ТПИ, т. 149, 1966.

4. В. В. Падевич. Некоторые вопросы теории и расчета ЭСГ с транспор терами-проводниками. Диссертация, ТПИ, 1964.

5. С. А. Бобковский. Общая теория ЭСГ, ЖТФ, 10, № 17, 1404, 1940.