CC BY
23
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1385-1387
УДК 539.376
РАСЧЕТ ПЛАСТИН ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ СПЛАВОВ
ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ
© 2011 г. И.А. Банщикова
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск
Поступила в редакцию 15.06.2011
Рассмотрены задачи изгиба пластин из сплавов, обладающих свойством более слабого деформирования по нормали к листу при ползучести. Вычисления показали замедление процесса деформирования для задачи кручения пластины в знакопеременную седлообразную поверхность и ускорение процесса деформирования для задач изгиба пластины в поверхность цилиндрической формы в сравнении с расчетом в изотропной постановке. Выполнено сравнение результатов расчета, полученных с помощью различных методик в одно-, двух- и трехмерных постановках для пластин из сплавов АК4-1Т и В95.
Ключевые слова: ползучесть, анизотропные сплавы, изгиб, кручение квадратной пластины, конечно-элементный расчет.
Ввиду физической нелинейности задач ползучести учет различных свойств современных конструкционных материалов, таких как анизотропия, разносопротивляемость растяжению и сжатию, существенно усложняет разработку методов расчета. Рассматривается случай анизотропии материала, когда скорость деформаций одномерной ползучести связана с напряжением соотношением П = Во", где коэффициент В меняется в зависимости от направления, а константа мате -риала " одинакова для всех направлений. При произвольном напряженном состоянии процесс ползучести можно описать в виде П. = ЭФ / Эо., Ф = Т"+1 /(" +1), где Ц.., <5..- компоненты тензора скоростей деформаций ползучести и напряжений, Ф - скалярная потенциальная функция тензора напряжений, Т2 - квадратичная форма напряжений, которая для ортотропного несжимаемого материала в осях координат, совмещенных с главными осями анизотропии, имеет вид [1]:
2 2 Т(<у ) = (А11(<22 -<33Г + А22(<33 "ОцГ +
+ А33(о11 -<22)2 + 2 А12<12 + (1)
+ 2 А2зо2з + 2 А31О 31)1/2.
Коэффициенты А. определяются экспериментально. Для скоростей деформаций ползучести
П. = с. / Ж
имеем (остальные компоненты получаются циклической перестановкой индексов):
П11 = Т ((А22 + А33)а11 - А33<22 - А22°33),
П12 = 2Т А12°12-
(2)
Считаем, что направление п33 совпадает с нормалью к пластине. Рассмотрим случай, когда п11 = П22, П 3/Л22 = к. «Коэффициент анизотропии» по нормали к пластине к определялся осреднением отношения изменения размера по толщине пластины (то есть в направлении нормали к листу) к изменению размера по ширине плоского образца при различных степенях осевой деформации из экспериментов на растяжение. Анизотропия такого рода может быть связана с последствиями более интенсивной прокатки исходной заготовки. Учитывая, что П33/П22 = А22/А33 и А11 = А22, найдем коэффициенты квадратичных форм:
кВ 2/("+1) В2/("+1)
А11 = А22 =
А12 =
к+1 ' А33 " к+1
(к + 2) В 2/("+1)
(3)
к+1
Применительно к формообразованию самолетных панелей в режимах ползучести особый интерес для тестирования представляют задачи изгиба (кручения) квадратной пластины, реализуемые экспериментально. Компоненты (2), используя гипотезы Кирхгофа с учетом (3) преобразуется к виду
"-1В 2/( "+1)
Ли = То
П 22 = То"-1В 2/( "+1)
<11-
<
22
к+1
< 22
<
11
к+1
П12 = То"-1В 2/("+1)Т12(к + 2)/(к + 1),
1386
И.А. Банщикова
то = в
2/( п +1)
°11 22 -
2апа22_ + 2(к + 2)^12
- . (4)
к +1 к +1
Для решения задач изгиба (кручения) пластин можно использовать упрощенную методику расчета, основанную на интегральных величинах в предположении установившейся ползучести — зависимости скоростей кривизны от моментов Мр [2]. Другой способ решения задач кручения и изгиба пластин предполагает, что полные деформации состоят из упругих деформаций и деформаций ползучести. В начальный момент пластина деформируется упруго, с учетом гипотез Кирхгофа для полных деформаций имеем систему уравнений
а11 —22
Е
+ £ц = Хих3'
22 11 + £ 22 =Х 22 х3>
Е
в!2(1 + У)
Е
(5)
+ £12 =%12 х3,
где Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона, —к/2 < х3 < к/2, к — толщина пластины. Уравнения (4), (5) с интегральными уравнениями для
»г Гк/2 ,
моментов Мр = а:,х3ах3 , с начальными и
У Л—к/2 У 3 3
краевыми условиями (задан крутящий момент М12 = М при изгибе пластины в седлообразную поверхность и заданы М22 = М и Х11 = 0 при изгибе в цилиндрическую поверхность) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно деформаций в точках разбиения пластины по толщине. В процессе решения этой системы на каждом шаге по времени определяются кривизны %.(). Протестирована также модель анизотропной ползучести в трехмерной постановке с использованием конеч-
но-элементного пакета. В [3] представлены результаты вычислений в предположении более слабого деформирования материала в направлении оси х3 для сплава АК4-1Т (Т = 180 °С) четырьмя способами: метод 1 — оценка путем сведения решения к интегральным величинам в предположении установившейся ползучести; метод 2 — решение системы (4), (5); методы 3 и 4 — расчет с использованием конечно-элементной модели в трехмерной геометрически-линейной и геометрически-нелинейной постановках соответственно. Расчеты показали замедление процесса деформирования для задачи кручения пластины (—0.1 <
< х { < 0.1 м (/ = 1, 2), толщина к = 20 мм) в знакопеременную седлообразную поверхность и ускорение процесса деформирования для задач изгиба пластины в поверхность цилиндрической формы в сравнении с расчетом в изотропной постановке. На рис. 1а изображены аналогичные результаты расчетов кривизны для пластины —0.09 <
< х { < 0.09 м Ц = 1, 2), к = 8.7 мм, изгибаемой моментом М22 = М = 5.9-10—3 МПа-м/м, М11 = 0, г = 2 ч в цилиндрическую поверхность при к = 1 (сплошные линии 1, 3, 5, 7) и к = 1.5 (штриховые линии 2, 4,6,8) для сплава В95 (Г = 180 °С) при B = 9.5х х10—23 (МПа)—п с—1, п = 6.7, V = 0.4, E = 56500 МПа. Линии 1, 2 рассчитаны методом 1; линии 3, 4 — методом 2; линии 5, 6 — методом 3, линии 7, 8 — методом 4.
Все расчеты свидетельствуют об ускорении процесса деформирования, что подтверждается экспериментально.
Вычисления для задачи кручения пластины в поверхность седлообразной формы M12 = M = = 2.95-10—3 МПа-м/м с использованием всех четырех методов (рис. 16) показали замедление процесса деформирования в сравнении с расчетом в изотропной постановке. Линии 7, 8, полученные методом 4, свидетельствуют о том, что в случае достаточно тонкой пластины необходим учет де-
а)
Рис. 1
Расчет пластин двойной кривизны из анизотропных сплавов при ползучести
1387
формаций срединной поверхности.
Все рассмотренные методики можно использовать для оценки влияния анизотропии на процесс деформирования. Неучет деформационно-прочностных особенностей поведения материалов при решении прикладных задач формообразования деталей и прогнозировании их дальнейшей эксплуатации может приводить к существенным ошибкам.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №11-01-00522 и 11-08-00845).
Список литературы
1. Соснин О.В. Об анизотропной ползучести ма-териалов // ПМТФ. 1965. №6. С. 99-104.
2. Соснин О.В., Горев Б.В. О некоторых особенностях ползучести листовых материалов // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр. Новосибирск. 1970. Вып. 4. С. 5-10.
3. Банщикова И.А. Деформирование металлических пластин при анизотропной ползучести // Краевые задачи и математическое моделирование: Тематич. сб. науч. статей. В 3 т. Т. 1. / Под общ. ред. В.О. Каледина. Новокузнецк. 2010. С. 32-36.
CALCULATION OF DOUBLE CURVATURE PLATES OF ANISOTROPIC ALLOYS UNDER CREEP
I.A. Banshchikova
Problems of bending of a square plates of alloys with the property of a weaker deformation in the direction of thickness under creep are considered. Calculations have shown a delay of deformation process for the problem of plate twisting in a signvariable saddle surface and the acceleration of the deformation process for the problem of plate bending in a surface of the cylindrical form in comparison with calculation results in an isotropic statement. The results of the calculations obtained using various methods in two and three-dimensional statements for plates of the АК4-1Т and В95 alloys are compared.
Keywords: creep, anisotropic alloys, bending, twisting of a square plate, finite element analysis.
