Расчет пластического течения в условиях равноканального углового прессования вариационным методом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

РАСЧЕТ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ В УСЛОВИЯХ РАВНОКАНАЛЬНОГО УГЛОВОГО ПРЕССОВАНИЯ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

© В.Н. Аптуков, П.В. Романов, Н.Е. Скрябина

Ключевые слова: равноканальное угловое прессование; вариационные методы; пластичность.

С помощью вариационных методов получено приближенное непрерывное решение течения материала в области сопряжения каналов при операции РКУП. Рассмотрена накопленная различными частицами материала пластическая деформация.

Рассматривается получение приближенного непрерывного решения в области сопряжения каналов при операции РКУП вариационными методами. Известные в литературе решения учитывают диссипацию энергии только на поверхностях разрыва касательной составляющей скорости [1-3]. Пусть расчетная область, где происходит основное деформирование материала образца при операции РКУП, представляет собой круговой сектор ОАВ с радиусом Я (рис. 1). Пунктиром показаны границы деформируемого образца, предполагается, что в области ОАСБ происходит равномерное течение материала со скоростью у .

иг = г (Я - г) / (ф).

(4)

Представим функцию / (ф) в виде степенного ряда с учетом кинематических требований (2):

/ (ф) = £ Ск фк.

(5)

к=1

С учетом условия (3) получим выражения для скоростей:

Рис. 1. Расчетная схема деформирования материала при операции РКУП

Построим кинематически допустимое поле скоростей в полярной системе координат иг, иф в области

ОАВ, удовлетворяющее следующим граничным условиям:

иг (г = 0) = 0, иг (ф = 0) = 0, иф (ф= 0) = и0 '

иг (г = Я) = 0 ,

(1)

(2)

(3)

Для удовлетворения условиям (1) примем следующее выражение для радиальной компоненты скорости:

=г (Я - г)х Ск ф'

к=1

п ^

,=00 - г(2Я - 3г)£ к+у фк+1

(6)

Выражения для скоростей деформаций:

Ъ =Чф= (Я - 2г)^Ск фк

к=1

1 до, до,

Лгф

гф г дф дг г

п

-3г Vе- фк+1 -^

— к +1 г

ф -^ = (я - г)£ Сккф^

к-1

к=1

к=1

(7)

Из основного энергетического соотношения для случая плоского деформирования [4] вытекает, что основная диссипация энергии осуществляется в объеме ОАВ, на границе АВ за счет трения и на границе ОВ за счет возможного разрыва касательной скорости. Поскольку нет разрыва в касательной составляющей скорости на границе ОА, то диссипация энергии на ней отсутствует.

Ограничимся рассмотрением двух членов ряда в разложении (7), тогда

1901

и, = r(R - r)(^1ф+N2ф ),

1-9 1 ~ З

иф = U0 - r(2R - З,)(-^ф + J"^2ф ) .

Частные выражения для скоростей деформаций:

=Чф= (R - 2r )(Nlф + N2ф2),

1 „ 2

П,ф = (R - r)(Nl + 2N2Ф) + З,(^1ф2 +

+-З ^фЗ)-—•

З r

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

(8)

(9)

Основное энергетическое соотношение для случая плоского деформирования выглядит следующим образом [4] :

PoRu0 = Ts JHdV + ms J|U9r=R

J

dS +...

... + Ts J UrІф=п/2

OAB AB

dS .

(l0)

Минимум выражения (10) в пространстве варьируемых параметров Йк в зависимости от заданного фактора трения т определялся методом сканирования с использованием пакета МаШешайса.

На рис. 2 показаны распределения относительной окружной скорости Оф вдоль безразмерного радиуса

г на выходе из зоны развитого пластического течения при ф = п / 2 , для различных значений фактора трения: кривая 1 - т = 0; 2 - т = 0,2; 3 - т = 0,4; 4 -т = 0,6; 5 - т = 0,8; 6 - т = 0,95.

r/R

Рис. 2. Зависимость окружной скорости от радиуса при ф = п/2

Очевидно, что минимальное значение окружной скорости достигается при г/Я = 1/3, а максимальное -при г / Я = 1. Причем при отсутствии трения превышение над базовой скоростью достигает 1,5 раз.

Кроме того, область течения разбивается на две зоны: при г / Я > 2/3 окружная скорость «ф > и0 , а при

г/Я < 2/3 справедливо обратное иф < и0 .

Представляет интерес поиск накопленной различными частицами пластической деформации при прохождении ими области интенсивного формоизменения ОАВ. Пластическая деформация характеризуется интенсивностью пластических деформаций сдвига Г, причем при определении Г интегрирование происходит вдоль траектории движения частиц:

п/2

А =

J H—dф,

J и..

dr

dф

=r

^ r (ф0) = ro.

(11)

Например,

= 0, иф = и

в случае тривиального решения

когда все частицы

движутся по дугам окружностей r = r0 = const , они

накапливают одинаковую деформацию А = п / 2 .

На рис. З показаны зависимости накопленной деформации частицы от ее начального радиуса при различных значениях фактора трения: 1 - m = 0; 2 -

m = 0,2; З - m = 0,4; 4 - m = 0,6; З - m = 0,8; 6 - m = 1.

Рис. 3. Зависимости накопленной деформации от начального радиуса частиц для различных значений m

Существует достаточно неравномерное распределение накопленной деформации по радиусу, показывающее, что возможное разрушение инициируется в верхней части образца.

Таким образом, представлено новое приближенное решение пластического течения в области сопряжения каналов при операции РКУП.

ЛИТЕРАТУРА

1. Segal V.M. Slip line solutions, deformation mode and loading history during equal channel angular extrusion // Materials Science and Engineering A. 2003. V. 345. P. 36-46.

2. ValievR.Z., Langdon T.G. Principles of equal channel angular pressing as a processing tool for grain refinement // Prog. In Mater. Sci. 2006. V. 51. P. 881-981.

3. Iwahashi Y., Wang J., Horita Z., Nemoto M., Langdon T.G. Principle of equal-channel angular pressing for processing of ultra-fine grained materials // Scripta Mater. 1966. V. 35. № 2. P. 143-146.

4. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования Пермского края, проект № С-26/211.

Поступила в редакцию 10 апреля 2013 г.

и

r

и

r

S

OB

l902

Aptukov V.N., Romanov P.V., Skryabina N.E. CALCULATION OF PLASTIC FLOW UNDER EQUAL CHANNEL ANGULAR EXTRUSION USING VARIATIONAL METHOD

In this work an approximate continuous solution of material flow under angular extrusion in the place of channels connection

was obtained by using of the variation methods. Accumulated plastic strain of different material points was analyzed.

Key words: equal channel angular extrusion; variation methods; plasticity.

УДК 539.3

КИНЕТИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ ЕДИНИЧНОГО ДВОЙНИКА

© О.М. Остриков

Ключевые слова: механическое двойникование; кинетические уравнения.

Разработана кинетическая модель развивающегося единичного двойника. Получена система нелинейных кинетических уравнений, описывающих процесс двойникования кристаллов.

Двойникование наряду со скольжением является основным каналом пластической деформации твердых тел [1]. Однако в отличие от скольжения двойникова-ние является более сложным процессом, связанным с поворотом кристаллической решетки. Поэтому развитие теории двойникования в современной науке происходит более медленно, чем теории дислокаций [2].

Процесс двойникования деформируемых твердых тел может быть описан кинетическими уравнениями, т. к. двойникованию присущи все свойственные кинетическим процессам особенности. Процесс формирования единичных двойников связан с истощением источников двойникующих дислокаций.

Кинетическое описание известно для групп полных дислокаций [3], но кинетическая теория двойникования отсутствует.

Целью данной работы стала разработка кинетической модели единичного клиновидного двойника с использованием нелинейных уравнений.

На рис. 1 схематически показан клиновидный двойник, у устья которого находится источник двойни-кующих дислокаций, из которого генерируются двой-никующие дислокации, формирующие границы двойника. Для удобства разобьем данный источник на два источника, каждый из которых генерирует дислокации только для одной двойниковой границы.

Тогда такой процесс, как и в [3], можно описать системой уравнений:

— + Vjl = klp„l + (al - pl К + Tlpf - ,

dt

_dp2

dt

dt

(1)

= - klp,I,~^ = -k2p и2 , dt

где t - время; р: и р2 - плотности двойникующих дислокаций на двойниковых границах; ри1 и ри2 -определяют количество двойникующих дислокаций в их источниках; к1 и к2 имеют физический смысл скоростей генерации двойникующих дислокаций источниками двойникующих дислокаций; а: и а2 - коэффициенты размножения двойникующих дислокаций на неоднородностях структуры у первой и второй границы двойника соответственно; и в2 - коэффициен-

ты убыли двойникующих дислокаций из-за их выхода на поверхность; у1 и у2 - коэффициенты генерации двойникующих дислокаций на двойниковых границах; 51 и 52 - коэффициенты аннигиляции двойникующих дислокаций на первой и второй границе двойника соответственно; и ]2 - потоки двойникующих дислокаций; ^ и Б2 - коэффициенты диффузии.

jI = DiVpi, j = D2Vp2 =

Рис. 1. Схематическое изображение клиновидного двойника в виде совокупности двух источников двойникующих дислокаций и двойниковых границ

и!

190З