Приближенное решение задачи пластического течения металлического образца при операции РКУП Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1461-1464

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА ПРИ ОПЕРАЦИИ РКУП

© В.Н. Аптуков, П.В. Романов, Н.Е. Скрябина

Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь, Российская Федерация, e-mail: [email protected]

С помощью вариационного метода получено новое приближенное решение для кинематического поля скоростей при операции РКУП для различных углов сопряжения каналов с учетом фактора трения. Ключевые слова: равноканальное угловое прессование; вариационные методы; пластичность.

Рабочим элементом установки равноканального углового прессования (РКУП) [1-2] является область сопряжения каналов, где и осуществляется деформация сдвигом. Закономерности осуществления пластической деформации и параметры процесса позволяют априори выбрать оптимальные условия для ее осуществления. Именно это обстоятельство послужило отправной точкой в постановке задачи настоящего исследования.

Рассмотрим получение приближенного непрерывного решения в области сопряжения каналов при операции РКУП вариационными методами. Примером реализации подобного подхода могут служить решения, предложенные в [3-5], которые учитывают диссипацию энергии, как правило, только на поверхностях разрыва касательной составляющей скорости. Это наиболее распространенный упрощенный подход, основанный на использовании схемы деформирования материала с «жесткими» блоками, где диссипация энергии осуществляется только по границам блоков.

В работе [6] на основе задания простого варианта функции тока в рамках теории течения жесткопласти-ческого материала дана оценка среднего давления при операции РКУП.

Для того чтобы расширить границы применимости подхода, изложенного в [7], в рамках настоящего исследования, решение обобщено на произвольный угол сопряжения, выведены разрешающие уравнения для определения напряжений, дана оценка роста температуры в области интенсивных пластических деформаций.

Общие соотношения. Пусть расчетная область, где происходит интенсивное пластическое деформирование образца при операции РКУП, представляет собой круговой сектор ОАВ с радиусом Я, углом Р = ж — ^ , в этой осуществляется равномерное течение частиц образца со скоростью и0 . Как и ранее [1], построим

кинематически допустимое поле скоростей иг, иф в полярной системе координат г, ф в области ОАВ, удовлетворяющее аналогичным [1] граничным условиям. Используя условие несжимаемости, получим общие выражения для скоростей

= r(R -rj£ckфк

k=1

c

k „k+1

«ф =uo -r(2R - ф

(1)

k=1

Основное энергетическое соотношение для случая плоского деформирования выглядит следующим образом [8]

PoR«o =is J HdV + J

J

s J I Ф r=R

S AR

dS +

+ Ti I °r a

s II rl ф=р

(2)

где х - предел текучести; m - фактор трения; Н - интенсивность скоростей деформаций сдвига.

Из соотношения (2) следует, что основная диссипация энергии осуществляется в объеме ОАВ, на границе АВ за счет трения и на границе ОВ за счет возможного разрыва касательной скорости. На границе ОА нет разрыва в касательной составляющей скорости, поэтому диссипация энергии на ней отсутствует.

Далее осуществлен переход к безразмерному виду, поиску неизвестных постоянных Ск в разложении (1) путем минимизации функционала (2), который после интегрирования по координатам r, ф преобразован в функцию от параметров Ск.

Численные результаты оценки поля скоростей. Минимум энергетического соотношения (2) в зависимости от заданного фактора трения m определяли методом сканирования с использованием пакета Mathe-matica. Поле окружных скоростей для частного случая Р = я/2 , ф=ж/4 представлено на рис. 2 [7]. Здесь мы ограничимся лишь описанием качественных особенностей течения.

Минимальное значение окружной скорости достигается при r/R =1/3, а максимальное - при r/R =1. При

n

S

OB

Рис. 1. Вид боковой поверхности образца после операции РКУП

тигаются в образце вблизи верхней поверхности образца (рис. 1).

Определение напряжений. Девиаторные компоненты тензора напряжений определяли через скорости деформаций с помощью теории течения Сен-Венана-Мизеса [8]

Sr = 2*Ar / H, Sp = 2т Ap / H Srv= 2zArV / H ,

(5)

где х - предел текучести при сдвиге; Н - интенсивность скоростей деформаций сдвига.

Подставляя выражения (5) во второе уравнение равновесия с учетом разложения тензора напряжений на шаровую и девиаторную часть, получим уравнение для определения давления путем численного интегрирования

отсутствии трения превышение над базовой скоростью достигает 1,5 раза. Кроме того, область течения разбивается на две зоны: при r/R >2/3 окружная скорость

иф > и0, а при r/R <2/3 справедливо обратное -

< Ч0 ■

Средние значения окружной скорости частиц в области интенсивной пластической деформации почти на порядок превышают средние значения радиальной составляющей. Особенно сильно это проявляется вблизи нижней границы канала при r/R > 2/3.

Значительное превышение величиной окружной скорости вблизи нижней границы величины средней скорости Ч > и0 приводит на практике к появлению

зоны сильных сдвиговых деформаций, расположенной как раз вблизи значений относительного радиуса r/R = 2/3 (рис. 1, область между пунктирными линиями).

Накопленные пластические деформации. Пластическая деформация характеризуется интенсивностью пластических деформаций сдвига

Г = j df = J Hdt

(3)

Поскольку нас интересует накопленная деформация в частице, т. е. интегрирование (4) происходит вдоль траектории движения частиц, поэтому

я/2

Г = jH(r/ч)dр, dr / dp = rvr/Чр,

r (Po) = r0

(4)

Например, в случае тривиального решения по дугам окружностей при р = л/2, получим что все частицы получают одинаковую пластическую деформацию, характеризуемую интенсивностью пластических деформаций сдвига Г = л/2 и 1,57. Распределение функции Г по радиусу для частного случая представлены на рис. 3 [7]. Максимальная деформация наблюдается при малых значениях радиуса. В эксперименте это будет означать, что наиболее интенсивные деформации дос-

—p —Sp dSrm

-Р = —-- 2S„„ - r -Srp = f2(r, pp)

dp dp

Jrpp

-r

p =J f2(r,p)dp+^2(r) ,

(6)

где р - гидростатическое давление.

Примем следующее граничное условие на входе в область интенсивного пластического деформирования (область пересечения каналов)

Стр (Р = 0) = -ро , (7)

гдеро - давление на входе (линия ОА, рис. 1 [7]). Тогда

Р

р =| Л (г, рУр-Ро . (8)

о

На рис. 2 показано распределение относительных напряжений вдоль радиуса для угла р = л/4: кривая 1 -ст. = ст /х ; 2 - СТ = ст /х ; 3 -

т = т / т

rp rp s

Полученные зависимости показывают значительный вклад давления в полные напряжения, определяя потенциальное место разрушения вблизи верхней границы образца после операции РКУП, что соответствует действительности и согласуется с выводом о зоне достижения максимальных деформаций.

0,00

0,50

1

1,00

Рис. 2. Распределение относительных напряжений вдоль радиуса

0

0

7

8

Следует отметить, что оценка приближенных полей напряжений является значительно более грубой, чем оценка полей скоростей, поскольку определяется через скорости деформации и их производные.

Оценка диссипации энергии и роста температуры в области сопряжения каналов. Изменение температуры можно записать в форме закона сохранения энергии в адиабатическом приближении [9]

pc8e / 8t = keW ,

(9)

где 6 - температура; р - плотность; с - удельная теплоемкость; Ш - работа пластического деформирования материала в единицу времени; кв = 0,85-0,95 -

коэффициент, определяющий долю мощности пластического деформирования, преобразованной во внутренний тепловой источник [10].

Зная характерную скорость прохода у и характерные размеры матрицы (образца) Я, можно оценить среднее время и среднюю работу пластической деформации для случая плоского деформирования в области сопряжения с учетом (2) как

pc8e / 8t = ke p0Ro0 .

(10)

Отсюда вытекает оценка (аналогично [11]) для приращения (роста) температуры при операции РКУП

Ae = p(ke / pc)p0R2

(11)

где величина ро вычисляется по правой части основного энергетического соотношения (2).

В прикладном аспекте учет изменения температуры становится особенно важным, когда деформация образца осуществляется вблизи температуры рекристаллизации, поскольку игнорирование факта повышения температуры приводит к потере учета возможности организации структуры за счет процесса рекристаллизации или превалировании этого механизма над чисто

«деформационным» способом измельчения структуры материала.

Выводы. Предложено новое приближенное решение для кинематического поля скоростей при операции РКУП для различных углов сопряжения каналов с учетом фактора трения, полученное с помощью вариационного метода. Дана оценка накопленной пластической деформации в образце. Предложена методика определения напряжений и критерий нарушения сплошности образца в ходе операции РКУП, а также приведена оценка роста температуры материала образца в области сопряжения каналов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сегал В.М., Резников В.И., Дробышевский А.Е. и др. // Известия АН СССР. Металлы. 1981. № 1. С. 115.

2. Vale R.Z., Krasilnikov N.A., Tsenev N.K. // Mater. Sci. Eng. 1991. V. A137. P. 35-40.

3. Segal V.M. Slip line solutions, deformation mode and loading history during equal channel angular extrusion // Materials Science and Engineering A. 2003. V. 345. P. 36-46.

4. ValievR.Z., Langdon T.G. Principles of equal channel angular pressing as a processing tool for grain refinement // Prog. In Mater. Sci. 2006. V. 51. P. 881-981.

5. Iwahashi Y., Wang J., Horita Z. Nemoto M., Langdon T.G. Principle of equal-channel angular pressing for processing of ultra-fine grained materials // Scripta Mater. 1966. V. 35. № 2. P. 143-146.

6. Кучеряев Б.В. Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями). М.: МИСИС, 2006. 604 с.

7. Аптуков В.Н., Романов П.В., Скрябина Н.Е. Расчет пластического течения в условиях равноканального углового прессования вариационным методом // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 4. С. 1990-1991.

8. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

9. Седов Л.И. Механика сплошных сред. М.: Наука, 1973. 536 с.

10. Томсон Е.Г., Янг С.Г., Кобаяши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов. М.: Машиностроение, 1969. 504 с.

11. Скрябина Н.Е., Аптуков В.Н., Романов П.В., Фрушар Д. Применение метода сеток при изучении равноканального углового прессования магниевых сплавов // Вестник ПНИПУ. Механика. 2015. № 3. С. 133-145.

Поступила в редакцию 10 апреля 2016 г.

UDC 539.3

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-

APPROXIMATE SOLUTION OF PLASTIC FLOW OF METAL SAMPLES PROBLEM DURING ECAE OPERATION

© V.N. Aptukov, P.V. Romanov, N.E. Skryabina

Perm State National Research University, Perm, Russian Federation, e-mail: [email protected]

A new approximate solution for kinematic velocity field during ECAE operations for different intersection angle channels considering the friction factor was obtained by using the variational method. Key words: equal channel angular extrusion; variational methods; plasticity.

REFERENCES

1. Segal V.M., Reznikov V. I., Drobyshevskiy A. E. et al. IzvestiyaANSSSR. Metally, 1981, no. 1, p. 115.

2. Valiev R.Z., Krasilnikov N. A., Tsenev N. K. Mater. Sci. Eng., 1991, vol. A137, pp. 35-40.

3. Segal V.M. Slip line solutions, deformation mode and loading history during equal channel angular extrusion. Materials Science and Engineering A, 2003, vol. 345, pp. 36-46.

4. Valiev R.Z., Langdon T.G. Principles of equal channel angular pressing as a processing tool for grain refinement. Prog. In Mater. Sci., 2006, vol. 51, pp. 881-981.

5. Iwahashi Y., Wang J., Horita Z. Nemoto M., Langdon T.G. Principle of equal-channel angular pressing for processing of ultra-fine grained materials. Scripta Mater., 1966, vol. 35, no. 2, pp. 143-146.

6. Kucheryaev B.V. Mekhanika sploshnykh sred (teoreticheskie osnovy obrabotki davleniem kompozitnykh ma-terialov s zadachami i resheniyami, primerami i uprazhneniyami). Moscow, Publishing House of National University of Science and Technology "MISiS", 2006. 604 p.

7. Aptukov V.N., Romanov P.V., Skryabina N.E. Raschet plasticheskogo techeniya v usloviyakh ravnokanal'nogo uglovogo pressovaniya variatsionnym metodom. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, Tambov, 2013, vol. 18, no. 4, pp. 1990-1991.

8. Kachanov L.M. Osnovy teoriiplastichnosti. Moscow, Nauka Publ., 1969. 420 p.

9. Sedov L.I. Mekhanika sploshnykh sred. Moscow, Nauka Publ., 1973. 536 p.

10. Tomson E.G., Yang S.G., Kobayashi Sh. Mekhanika plasticheskikh deformatsiy pri obrabotke metallov. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1969. 504 p.

11. Skryabina N.E., Aptukov V.N., Romanov P.V., Frushar D. Primenenie metoda setok pri izuchenii ravno-kanal'nogo uglovogo pressovaniya magnievykh splavov. Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politehnicheskogo universiteta. Mehanika — PNRPUMechanics Bulletin, 2015, no. 3, pp. 133-145.

Received 10 April 2016

Аптуков Валерий Нагимович, Пермский государственный научно-исследовательский университет, г. Пермь, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой фундаментальной математики, e-mail: [email protected]

Aptukov Valeriy Nagimovich, Perm State National Research University, Perm, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of Fundamental Mathematics Department, e-mail: [email protected]

Романов Петр Владимирович, Пермский государственный научно-исследовательский университет, г. Пермь, Российская Федерация, аспирант, e-mail: [email protected]

Romanov Petr Vladimirovich, Perm State National Research University, Perm, Russian Federation, Post-graduate Student, e-mail: [email protected]

Скрябина Наталья Евгеньевна, Пермский государственный научно-исследовательский университет, г. Пермь, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: [email protected]

Skryabina Natalya Evgenevna, Perm State National Research University, Perm, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: [email protected]