Метод расчета компонент тензора локализованной пластической деформации и тензора плотности дислокаций у границ некогерентного двойника Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.3

МЕТОД РАСЧЕТА КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ЛОКАЛИЗОВАННОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ И ТЕНЗОРА ПЛОТНОСТИ ДИСЛОКАЦИЙ У ГРАНИЦ НЕКОГЕРЕНТНОГО ДВОЙНИКА

Ю. В. ВАСИЛЕВИЧ, О. М. ОСТРИКОВ

Учреждение образования «Белорусский национальный техническийуниверситет», г.Минск

Введение

Необходимость развития теории заклинившихся двойников связана с тем, что на практике часто приходится иметь дело с двойникующимися материалами, которые предварительно обработаны давлением. В таких твердых телах уже сформирована система двойников, которые выступают в качестве концентраторов напряжений, оказывающих существенное влияние на физические свойства материала [1]. Целенаправленно изменять свойства двойникующихся материалов и разрабатывать основы технологии их обработки удобно при использовании теоретических расчетов, основанных на представлениях о дислокационной природе процесса двойникования, рассмотренной, например, А. М. Косевичем и В. С. Бойко в работе [2]. Поэтому хорошо зарекомендовавший себя в теории двойникования дислокационный подход требует дальнейшего развития.

Целью данной работы стала разработка метода расчета пластической деформации у границ клиновидного некогерентного двойника.

Постановка задачи

Клиновидные некогерентные микродвойники, как правило, возникают в монокристаллах в областях локализации внешних напряжений, например, при деформировании поверхности двойникующегося кристалла алмазной пирамидкой Виккерса, Берковича или Кнупа [1], [3]-[5]. Следует отметить, что интерес к данному явлению в настоящее время возрос из-за все более широкого применения на практике материалов с памятью формы, у которых проявляется родственное двойникованию бездиффузионное фазовое превращение.

Пусть распределение дислокаций у границы двойника задается тензором плотности дислокаций а.. Тогда в случае ненагруженного твердого тела с клиновидным двойником,

следуя подходам работы [6], условие равновесия может быть записано в виде:

да.. ~ --2 2

—1 = 0, S 3 - Srll = 0, S I,S 3 <- Y?,

дх. 1 1 11 '3 3 "

..=- ,8.+^, р=- ^=2к,к=.+1,

1 ое X ге = 1 (диг ,д’3 1 гр гр = 1 /п ,п \

3 0кк5з , гз = 2 ~ + 03 , 03 = * + п3 ),

дх. дх .

V 1 'У

е'з = 0 з з 0 кк5 1з, 0 з = 2

V

S 3 = S 3 + S'i, S'f =а3 - - а'кк53, а'3 = -Со , а 3 = г , (1)

. . .5 у у ^ кк у5 у ]к1 дх 3 3^р дх

где иі - компоненты вектора перемещений; а] - тензор напряжений; в] - тензор деформаций; Рг] - тензор пластической дисторсии; £г] - тензор девиатора напряжений; 8 ц -девиатор полных напряжений; - напряжения сил трения покоя; - предел текучести материала; ег] - тензор девиатора деформаций; а ]г - тензор плотности дислокаций; в]]к -абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чивиты; 5ц - символ Кронекера; р - давление; К - модуль объемного сжатия; ц - модуль сдвига; индекс е обозначает упругие деформации; индекс р обозначает пластические деформации; а] - вихревые самоуравновешенные напряжения, определяемые по формуле [6]:

где С - константа.

Граничные условия для рассматриваемой задачи ненагруженного упругого полупространства имеют вид:

где / 1 - поверхностная сила; п. - компоненты вектора нормали к поверхности.

Условия (1) правомерны для использования в задаче о клиновидном микродвойнике, рассматриваемом в деформируемом твердом теле, как упорядоченное скопление дислокаций, так как с позиций континуальной теории дислокаций единичная дислокация представляется незаконченным сдвигом в сплошной среде [7]. Если для единичной дислокации справедливы подходы механики сплошных сред, то такие же подходы применимы и для групп дислокаций.

В (1) соотношения, связывающие тензора пластической деформации, пластической дисторсии и внутренних напряжений получены исходя из равенства нулю поверхностных интегралов в условии экстремальности 5£ = 0, где S - действие, определяемого как S = [ Ldt [8]. Здесь L - лагранжиан, который состоит из двух частей [9]:

(2)

А =а]П] , В]П] аи = 0>

(3)

(4)

где

^ ді дх )

(5)

поток дислокаций.

Лагранжиан L инвариантен при преобразованиях [9]:

При дХ~ << 1 Le {р4и і , Р^г) находится из лагранжиана [8]

ди

где иг. = —-, р - плотность; X, ц - коэффициенты Ламе. При этом используется замена [9]:

дг

ди

_ ди{ ди{

— ^ D,ul =—^р4г, —L дг 41 дг 41 дх,

(8)

Здесь Р41 (хк, г), Р1 (хк, г) - калибровочные поля, связанные с лагранжианом [9]:

(9)

где В - новая константа.

Тензора 31 и «,, входящие в (9), удовлетворяют соотношениям:

дРц

| =| ^т~п№=§р1]ёх1 =В■;

S дхк

с с дР 1, дВ,

|3УА =§ ёх1 =

д8

дг

дг

(10)

(11)

где В, - сумма векторов Бюргерса всех дислокаций; д8 - контур, ограничивающий

площадку S, которую пересекают линии дислокаций.

Подставляя лагранжиан (4) в уравнение Эйлера-Лагранжа [8]:

д_

дг

( дь Л

кдЧ 1 у

+-

д_

дх,

дЬ

к3*:, У

дЬ

КЗЧг У

= 0,

(12)

где переменные ч1 = \и1, Р41, Р, } определяются из уравнения 8S = 0, получим [9]:

В-

д, +ЗЁ4,

л

дх. дг дх

J к

д Зрц, ЗР*']

дг дг К Зх, У

1 У

-й *Р-)

= -Се

]к1

д (ди1 Л д°1

Рдг + р41 )~дх~

(13)

(14)

(15)

Для а 1, входящих в (13)-(15), справедливы формулы (1).

Тензор плотности дислокаций может быть определен по формуле [10]:

«1

чь1/' •

(16)

где тч - единичный вектор, направленный по касательной к дислокационной линии; Ьч -вектор Бюргерса; /ч - функция распределения дислокаций; ч обозначает сорт дислокаций, и суммирование ведется по всем их типам.

Формула (16) позволяет перейти к определяемой экспериментально плотности дислокаций [10]:

а

ч

Рд =

)■'

а1}.

уі

Сопоставляя (16) и (17), получим, что

Рд =1 Г.

(17)

(18)

Частным случаем задачи (1) является плоскодеформированное состояние, для которого (1) примет вид [11]:

дх ду

дх ду

Р хх + Руу _ 0 , 8 ХУ _ — (Рху + Рух), 8 XX _ Рхх ,

до хх д<° х

хх +_____________________Х^ о

дх ду

дх ду

0хх _-Р + ^ , 0 уу _-Р + Sуу , 0ху _ S ху ,

р _ к

(р-- 1Л

Чр0

9_

Ро

_8 +8

хх уу '

Ъ _ 2К, еу. _ ее + ер, ер _ 8? .

ехх _8 хх - 3 (8 хх +8 уу ), еуу _8 уу - 3 (8 хх +8 уу ), еху _8 ху ,

дих 8 _

дх ’ ^

диу

ду

1 ( дих диу Л

- + -

о _о +о , о _о + о , о _о + о , о _о + о ,

хх хх хх ’ уу уу уу ’ ху ху ху ’ ух ух ух -

о' _ -С

да х

ду

да „

о' _ с_______________^

уу дх

о’ _ С ^

ху дх

о’ _ -С г-0*

ух ду

Граничные условия (3) в этом случае примут вид:

о п + о п _ 0, о п + о п _ 0, а _а _ 0.

ххх ху у ^ уу у ух х > гх гу

(19)

(20)

Как было показано в [11], систему уравнений для нахождения Р ^, ер можно представить в следующем виде

дРх

дх ду

дР хх +дрх^ _ еР _р

дх ду гу, ^ Ру.

(21)

Отсюда после дифференцирования левой и правой части двух первых уравнений в (21), с учетом того, что Рхх _ -Р , получим:

д2Рхх- д2Рхх (дау + да,Л д%-В% + са>_

дх2 ду2 ^ дх ду ) дх2 ду2 дх ду

н

хх

Заметим, что уравнения равновесия из (19) могут быть представлены в виде уравнений Навье [11]:

. 1 д ^

Аих н------------------------йгуи = 2

1 - 2у дх

др хх , др

Л

+ -

XV

дх ду

. 1 д ^

Аиу н------------------------йгуи = 2

у 1 - 2\ ду

(дР X. дР .хх 1

дх ду

(23)

где

Л д2 д2

А = —- +

divu =

дх2 ду2 ’ дих диу

- + -

дх ду

Метод расчета тензора пластической деформации, локализованной у границ некогерентного двойника. Пусть дислокации непрерывно распределены на двойниковых границах, форма которых описывается функциями /1(х0) и /2(хо). Пусть дислокации на данных границах параллельны друг другу. Являясь концентраторами больших внутренних напряжений, некогерентные двойниковые границы пластифицируют прилегающие к ним области, генерируя дополнительные дислокации, наличие которых также будем учитывать. Поставленную задачу можно решать двумя способами: 1) задав тензор а ^ и,

решив уравнения Пуассона (22), найти Р^; 2) задав Р^ и используя уравнения (21), найти аУ-.

Необходимость задания ац или Рц обусловлена тем, что для нахождения четырех компонент ах, а у, Рхх и Рху тензоров плотности дислокаций и пластической дисторсии

имеется только два уравнения: (21) или (22). Проще решается задача вторым из отмеченных выше способов. Учитывая локализацию пластической деформации на двойниковых границах, в этом случае для компонент тензора пластической дисторсии и тензора пластической деформации можно записать:

р хх (х у )=е хх (х у )=

{V1 + /(хо))2

(х-хо )2+(у-/1(хо))2

ёх0 +

+

{V1 + (/2(х0 ))2

(X-хо )2+(у-/2 (хо ))2

ёх0

р ху(х у ) = е х (х у ) =

{V1 + (/(хо ))2

(х-хо )2+(у-/1 (хо ))2

2 N а

ёхо +

+

{V1 + (/2(хо ))2

2 N 2а2

ёхо

(24)

22

2 N а

е

22

2 N а

е

2

е

2

(х-хо ) +(у-/2 (хо ))

е

где Ь - модуль вектора Бюргерса; А1 и А2 - константы; а - межатомное расстояние; N -число плоскостей, между которыми распределены двойникующие дислокации; х0 -параметр интегрирования.

Локализация пластической деформации на двойниковых границах обусловлена, во-первых, самими двойникующими дислокациями, являющимися носителями пластической деформации, а во-вторых, согласно экспериментальным данным [1]-[5], некогерентные двойниковые границы, являясь концентраторами больших внутренних напряжений, вносят в прилегающих к ним областях необратимые изменения, связанные с генерацией полных, либо частичных, дислокаций, которые также являются носителями пластической деформации. Таким образом, выбор функций (24) удовлетворительно описывает локализацию пластической деформации в области двойниковых границ (рис. 1). При этом под модулем вектора Бюргерса в (16), (17) подразумевается усредненное значение модулей этих векторов у двойникующих и сгенерированных полных дислокаций, находящихся у двойниковых границ. При получении результата, представленного на рис. 1, принималось: L = 50 мкм, Н =10мкм, А1 = 103 м-1, N = 4, а = 3 • 1010 м; форма границ двойника принималась прямолинейной и описывалась функциями:

*-0. - н(■ - * 1 •

/2( -0)--Н (1 - | I

(25)

Подстановка (23) в (21) дает

а хх.

(х У )-

А

{V1 + (/(х0))2 (У - /1(х0 ))е

(х-х0)2 +(У-/ (х0 ))2

2 N2 а2

dx0 +

+ \т11 + (/2(х0 ))2 (У - /2 (-0 ))

(--х0 )2 +(У-/2 (х0 ))2

2 N2 а2

dx0

{V1 + (/1(х0))2 (х - х0)е

(х-х0 )2 +(У-/1 (х0 ))2 2 N2 а2

dx0 +

+ {^11 + (/2(х0))2 (х - х0)е

(х- х0 )2 +(У- /2 (х0 ))2

' 2^а2 (Лх{

а zy^x■

(х У )-

А

{V 1 + (/(х0 ))2 (х - х0 )е

(х-х0)2 +(У-/1 (х0))2

т2„2

2 N2 а2

dx0 +

+ Н1 + (/2(х0 ))2 (х - х0 )е

(х-х0 )2 +(У-/2 (х0 ))2

2 N 2 а2 (Лха

+

е

2

+

пМ 4 а 4

{V1 + (/1(хо ))2 (у - Л (хо))е

2 N2 а2

dx0 +

+ {\1 + (/2(хо))2 (у -/г(хо))

(х - хо)2 +( у - Л2(хо))2

2 N2 а2

йхо

Подставляя (26) в (17), не трудно найти функцию плотности дислокаций, описывающую локализацию напряжений на двойниковых границах.

Как показали результаты расчетов, компоненты тензора плотности дислокаций и плотность дислокаций имеют наибольшие значения у двойниковых границ.

у, мкм 50

е

-5о ^------------------------------------,-----------

о 25 5о 75 х, мкм

Рис. 1. Изолинии распределения у двойниковых границ значений компоненты єрх (х, у) тензора

пластической деформации

Заключение

Таким образом, решена задача о деформируемом твердом теле с дислокациями для случая двойникования. Показано, что пластическая деформация при двойниковании локализуется на двойниковых границах. Определены компоненты тензора плотности дислокаций при двойниковании.

Литература

1. Остриков, О. М. Механика двойникования твердых тел : монография / О. М. Остриков. -Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2оо8. - Зої с.

2. Косевич, А. М. Дислокационная теория упругого двойникования кристаллов / А. М. Косевич, В. С. Бойко // Успехи физ. наук. - 1971. - Т. Ю4, № 2. - С. їої-255.

3. Остриков, О. М. Кинетика образования клиновидных двойников в кристаллах висмута, облученных нерастворимыми в матрице мишени ионами / О. М. Остриков // Физика металлов и металловедение. - 1999. - Т. 87, № 5. - С. 78-82.

4. Остриков, О. М. Влияние импульсов электрического тока на работу источников двойникующих дислокаций в монокристаллах висмута / О. М. Остриков // Инженер.-физ. журн. - 1999. - Т. 72, № 3. - С. 592-594.

5. Остриков, О. М. Влияние облучения ионами бора на характер реализации двойникования и скольжения при длительных (более 60 с) выдержках под нагрузкой кристаллов висмута / О. М. Остриков // Инженер.-физ. журн. - 1999. - Т. 72, № 5. - С. 967-970.

6. Киселев, С. П. Внутренние напряжения в твердом теле с дислокациями / С. П. Киселев // Прикладная механика и техн. физика. - 2004. - Т. 45, № 4. - С. 131-136.

7. Хирт, Дж. Теория дислокаций / Дж. Хирт, И. Лоте. - М. : Атомиздат, 1972. - 600 с.

8. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука, 1987. -246 с.

9. Киселев, С. П. Модель упругопластического деформирования материалов на основе калибровочной теории дефектов с учетом диссипации энергии / С. П. Киселев // Прикладная механика и техн. физика. - 2004. - Т. 45, № 2. - С. 177-187.

10. Ханнанов, Ш. Х. Модель идеальной релаксации термоупругих напряжений при выращивании монокристаллов / Ш. Х. Ханнанов, С. П. Никаноров, С. И. Бахолдин // Физика твердого тела. - 2003. - Т. 45, № 6. - С. 1020-1023.

11. Белай, О. В. Расчет полей внутренних напряжений для плоскодеформированного состояния упругого тела с дислокациями / О. В. Белай, С. П. Киселев // Прикладная механика и техн. физика. - 2004. - Т. 45, № 6. - С. 116-123.

- Получено 24.02.2011 г.