CC BY
51
РАСЧЕТ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ
Н.Л.Казанский1, Г.А.Подлипнов3, А.А.Рахаев2, М.Л.Соснин3 1 Институт систем обработки изображений РАН 2 Самарский государственный аэрокосмический университет 3 Дирекция по техническому развитию АО "АВТОВАЗ"
Аннотация
Рассмотрена методика расчета переходных процессов установления электромагнитного поля в продольно-регулярных линиях передачи. Рассчитано влияние рассогласования источника сигнала и нагрузки на временные характеристики электромагнитного поля в Т-камере.
Введение
Электронные и радиоэлектронные компоненты и системы подвержены воздействию внешних электромагнитных полей. Одним из наиболее мощных источников электромагнитных полей естественного происхождения является грозовой разряд. Испытания электронных и радиоэлектронных систем на устойчивость к электромагнитным полям большой интенсивности могут проводиться как в полевых условиях, так и при использовании экранированных камер. Наиболее часто для этих целей используют экранированную Т-камеру [1,2,3]. Такая камера в большинстве случаев представляет собой регулярную симметричную полосковую линию с геометрическими размерами, которые обеспечивают требуемую неравномерность электромагнитного поля в пределах исследуемого устройства [4]. На входе и выходе регулярной части Т-камеры включены согласующие переходы, к которым подключены импульсный источник сигнала и согласованная с Т-ка-мерой нагрузка. Представляет интерес рассмотрение явлений в Т-камере, возникающих при имитации грозового разряда.
Решить задачу определения пространственно-временной зависимости электромагнитного поля внутри Т-камеры с учетом согласующих переходов строгим электродинамическим методом при произвольной форме возбуждающего сигнала не представляется возможным. Это обусловлено тем, что в Т-камере могут распространяться одновременно несколько типов волн. Кроме того, распространяющиеся по камере волны частично отражаются от нерегулярных участков и от нагрузки, включенной на конце камеры. Эти отраженные волны также изменяют распределение поля в регулярной части Т-камеры.
Рассмотрим вначале пространственно-временное распределение поля в регулярной части Т-камеры, а затем определим влияние отражений от нерегулярностей, а также влияние рассогласования генератора и нагрузки с Т-камерой на распределение поля внутри нее.
Электромагнитные поля в регулярных однородных линиях передачи без потерь, описывающие переходные процессы и последующий установившийся режим, имеют сложную пространственно-временную структуру. Рассмотрим существующие методики расчета электромагнитных волн внутри регулярной линии передачи при произвольной форме возбуждающего сигнала. В настоящее время наиболее часто при решении подобных задач используют два подхода.
Первый подход основан на применении прямого и обратного преобразований Лапласа, т.е. на представлении произвольно изменяющегося во времени возбуждающегося сигнала в виде непрерывного спектра [5,6]. Такой подход во многих случаях не является оптимальным. Стационарные гармонические во времени волны отличны от нуля во всей области изменения пространственных переменных. В это же время их суперпозиция, соответствующая преобразованию Лапласа, должна привести к описанию волнового процесса, отличного от нуля в определенные моменты времени, заданные источником. Вследствие этого для адекватного описания нестационарного процесса требуется учет большого числа гармоник. Поэтому решения, полученные таким методом, как правило, громоздки, и они не отображают во многих случаях физические явления в рассматриваемой структуре. Если же рассматриваемая структура является многомодовой, то задача еще более усложняется.
Второй подход основан на решении уравнений Максвелла, в которых задана временная зависимость сторонних источников [7]. При таком подходе в ряде случаев получаются более простые решения. Методика построения решения нестационарных задач, в которых искомое решение - электромагнитное поле - представляется в виде пространственно-временной зависимости, сводится к следующей последовательности:
1. Систему уравнений Максвелла преобразуют таким образом, чтобы получилось уравнение второго порядка в частных производных для составляющих векторов электромагнитного поля или векторного потенциала.
2. При решении полученного уравнения используется метод неполного разделения переменных, при котором исходное дифференциальное уравнение сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Одно из этих уравнений зависит от двух, как правило, поперечных координат, а другое - от продольной координаты и времени.
3. Решается уравнение, зависящее от двух пространственных координат, совместно с граничными условиями.
4. Решается уравнение, зависящее от времени и одной пространственной координаты.
Применим эти подходы к определению пространственно-временных характеристик продольно-регулярной линии передачи при произвольном законе изменения во времени возбуждающего сигнала.
1. Возбуждение продольно-регулярной линии передачи сторонним источником электрического тока Электромагнитное поле в регулярной линии передачи при произвольном законе изменения во времени стороннего источника определяется уравнениями Максвелла, начальными и граничными условиями. Будем считать, что линия передачи возбуждается сторонним источником электрического тока.
Нестационарное (неустановившееся) электромагнитное поле описывается системой уравнений Максвелла, которую для рассматриваемой структуры (рис.1) можно записать в виде:
- dD -
r0tH = ~и + , dt
rotE = -
divD = 0, divB = 0.
dB
dt
(1)
6)
, ■у
: ( ) (
> \ J J cm \ -Л
Рис.1. Поперечное (а) и продольное (б) сечения регулярной части Т-камеры
Входящие в эти уравнения электрическое E и магнитное H поля, а также сторонний источник электрического тока ]ст в общем случае зависят как от пространственных координат, так и от времени.
Без нарушения общности будем считать, что электромагнитная волна возбуждается сторонним источником электрического тока ]ст, который включается в момент времени t =0.
При t <0 амплитуда стороннего источника равна нулю, и электромагнитное поле во всех точках внутри рассматриваемой структуры отсутствует:
E = 0. lt<0
H
It <0
= 0.
(2)
В любой момент времени на поверхности регулярной линии должны выполняться граничные усло-
вия. Считая проводники идеально проводящими, граничные условия для касательной составляющей
электрического ЕТ и нормальной составляющей
магнитного
H.
полей можно записать в виде:
Е- \5 = 0, Нг I = 0, (3)
где идеально проводящие поверхности регулярной линии передачи.
При таких начальных и граничных условиях требуется определить пространственно-временное распределение электромагнитного поля в рассматриваемой структуре.
Систему уравнений Максвелла (1) можно свести к неоднородным уравнениям Гельмгольца для векторов электрического и магнитного полей
V2E -еа^
д 2 E <2 Ма dt
V2H -еац
dt2 d 2 H
аа
dt2
= -rot jc
(4)
(5)
где £а , [ла - соответственно абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, заполняющей рассматриваемую структуру.
Полученные дифференциальные уравнения (45) - векторные. Проектируя их на декартову систему координат, получим для каждой составляющей вектора Е£ , Н£, ]ст£ (£ = х, у, г ) систему скалярных уравнений
V2 Ее-еа^а
d2 Е
V2 H,-ea^a
dt2 d2 H
djc,
dt2
dt
= -(rotL \ •
(6)
В точках пространства, где свободные источники отсутствуют, система уравнений (6) преобразуется к однородным дифференциальным уравнениям для каждой £ -ой составляющей поля:
д2 Е£
V2 Hs-ea^
dt2 d2 H
= 0,
(7)
a' a a 2
dt2
= 0.
Решим в области, где отсутствуют сторонние источники, систему уравнений (7) методом Фурье. Решения уравнений ищем в виде:
(8)
Щ (Х ^ Z t) = (( У) •Е2, ((, t)
2,
Н£ (х, у, г, t) = Н £ (х, у) • Н2£ (, t). (9)
Применяя известную процедуру разделения переменных, получим систему дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной системе уравнений (7):
V1 Е^(х,у)+ у2е • вк(х,у)= 0;
(10)
4
д2 е ^(2, г) а2 е ^(2, г)
е а Ма
д2 2
дг2
-у2е • е2(2,г) = 0,
V1Н1 £ (х,у)+ у2н • Н1 £ (х,у)= 0, д2 Н 2>, г) д2 Н 2(2, г)
(11) (12)
д22 дг2
-уН • Н,(2, г) = 0,
где V1 - поперечный оператор Лапласа,
(13)
V'Е ,Ун - константы разделения.
Из полученных соотношений следует, что пространственно-временное распределение электрического и магнитного полей описывается соотношениями (8) и (9) соответственно. Эти соотношения представляют собой произведение двух сомножителей, один из которых описывает зависимость составляющих полей от поперечных координат (х, у), (х, у), а другой - от продольной координаты и времени Е(2, г), Н(2, г). Функции, описывающие поперечную структуру электрическо-
го
Е1 Лx, у)
и магнитного
Ни(х, у )
полей и кон-
станты разделения уе и ун , определяются из решения уравнений (10), (12) совместно с граничными условиями (3). Результатом решения этой задачи являются дискретный спектр собственных значений константы разделения ур =уе =ун и зависимости
функций Е^р-) (х, у), Н\р) (х, у) от поперечных координат. Индекс р, появляющийся в результате решения уравнений (10) и (12), характеризует разные законы распределения поля по поперечным координатам (различные типы волн в регулярной линии передачи). В результате этого полное поле в регулярной линии передачи определяется соотношениями
у, 2, г ) = £ Е(р) (х, у )• е2р) (2, г), р
1 (14)
Н(х, у, 2, г )=£ н« (х, у )• н 2р) (2, г),.
где Е2р) (2,г), Н
£ V ^
р
(р) (2, г) - решения уравнений (11),
■<г
(13).
Из приведенных соотношений следует, что полное поле в регулярной линии передачи состоит из суммы слагаемых, каждый член которой описывает пространственно-временное распределение волны типа р.
Амплитуды каждого р - типа волны определяются из решений неоднородных уравнений (6) с уче-
том начальных (2) и граничных (3) условий. Продольное распределение поля зависит от значения константы разделения ур .
Те р - типы волн, для которых ур - мнимые числа, являются затухающими. Затухающие поля локализованы вблизи источника, влияют только на согласование источника стороннего тока с линией передачи и в передаче энергии не участвуют.
Те р - типы волн, для которых ур - вещественные числа, являются распространяющимися. Такими распространяющимися волнами являются основная Т-волна симметричной полосковой линии, а также высшие типы волн симметричной полосковой линии, которые могут возбуждаться только при определенных условиях [8]. Ограничимся учетом только одной основной моды.
В силу того, что в рассматриваемой структуре (рис.1) отсутствует диэлектрическое заполнение, основная Т-волна является бездисперсной и имеет фазовую скорость, равную скорости света.
Поэтому возбужденный в начале структуры импульс распространяется вдоль регулярной линии передачи без искажений. Эта особенность позволяет существенно упростить анализ переходных процессов в регулярной линии.
2. Расчет переходных процессов в Т-камере с учетом отраженных волн
Представим регулярную часть Т-камеры в виде эквивалентной линии [6]. Такая эквивалентная линия передачи по ряду электродинамических параметров будет идентична регулярной части Т-камеры, если в обеих линиях распространяется только один тип волны, равны их волновые сопротивления и постоянные распространения ур .
Фазы распределения напряжения в эквивалентной линии и(г) совпадают с фазами поперечной составляющей электрического поля регулярной части Т-камеры, а напряжение и(г) и ток /(г) в ней пропорциональны напряженностям поперечных составляющих соответственно электрического и магнитного полей основного Т-типа волны симметричной по-лосковой линии [4]. Пренебрежем влиянием нерегу-лярностей, обусловленных соединением конусных переходов с регулярной частью Т-камеры. Тогда их также можно считать отрезками регулярной линии передачи (радиальной линии) и заменить отрезками эквивалентных линий. Это позволяет проанализировать характеристики не только регулярной части, но и всей Т-камеры.
Рассмотрим переходные процессы в Т-камере, если на ее входе включен генератор с заданной формой импульсного напряжения и (г) и внутренним сопротивлением 2г, а на выходе - в общем случае произвольная нагрузка 2н.
Вначале проанализируем переходные процессы при наиболее простом скачкообразном воздействии на входе Т-камеры (рис.2):
и(() = ит -1((), (15)
где ит - амплитуда напряжения, пропорциональная
амплитуде поперечной составляющей электрического поля основной Т-волны, 1(()-единичная функция Хевисайда,
|0, если t < 0,
1(( )=■
1, если t > 1.
Рис.2.Скачкообразное (а) и пилообразное (б) воздействия на входе Т-камеры
Распространяющуюся основную моду, амплитуда которой зависит от времени (входное воздействие), представим в виде интеграла Фурье:
(л 1 •
Гт Гт 1 1 гбШй:
4) = ит • 1(()= ит • 2 +-|-
2 п \ ю
ад • , • Б1П Юt ,
-аю
/
При отсутствии активных потерь фазовая скорость V в линии передачи от частоты не зависит и она равна скорости света. Поэтому все гармонические составляющие входного воздействия распространяются без затухания и с одинаковой фазовой скоростью, и напряжение в момент времени t в произвольной точке г равно [5]
(
4, t )=ип
1 1шк
1+112 п{
б1пю| t--
V
Л
аю
V /
Из этого соотношения следует, что входное воздействие распространяется по линии передачи без искажения. Это справедливо и для входного воздействия произвольной формы.
Проанализируем влияние сопротивления нагрузки 2н и генератора 2г на переходные процессы в Т-камере при скачкообразном изменении входного воздействия, временная зависимость которого описывается соотношением (15).
Все процессы в эквивалентной линии передачи с распределенными параметрами описываются системой уравнений, которая в операторной форме имеет вид [6]:
д 2и (г, р )
дг2
д 21 (г, р)
дt2
■у2и р )= 0, + у21(, р) = 0,
где и(г, р), I(г, р) - операторное изображение соответственно напряжения и(()и тока ) в эквивалентной линии,
у - комплексная постоянная распространения основной волны.
Решение этой системы уравнений определяется соотношениями
\и (г, р) = ип (р) е + и0 ()• ^, (16)
!)
I(2, р) = 2{р) (п (рЬ
-гуг
- и 0 (р )•
(17)
где 2 (р) - операторное выражение волнового сопротивления,
ип (р), и0 (р) - постоянные, определяемые граничными условиями.
Если пренебречь активными потерями в Т-камере, то 2(р) = 2в. Находя оригиналы изображений (16), (17) и используя граничное условие на концах линии, получим выражение для напряжения и(г, t) и тока г (г, t) в любой точке линии г в произвольный момент времени ^ при скачкообразном входном воздействии и(^) = ит • ):
и(г, t)
г(г,t)
и
\\t - V 1±
^ ,, 21 - х \ ^ ^ ( 21 + х ±Гн -1\ t--| + ГнГг -1\ t
V
±Гн2Гг - ^ | + Гнн Г2 .1 \ t
V
±ГН3Г2 .1 | t-^ | +
V 41 + х V
(18)
+ Г3Г3 -1 \ t -
V 61 + х
V
Здесь Гн, Гг - комплексные коэффициенты отражения по напряжению соответственно от нагрузки и генератора.
На рис.3 в качестве иллюстрации описанной выше методики приведены рассчитанные по соотношению (18) временные зависимости нормированных напряжения (а) и тока (б) в эквивалентной линии при Гн = Гг = 0.5. Из приведенных зависимостей следует, что время установления электромагнитного поля в центре Т-камеры при указанных выше параметрах составляет величину не более 0,6мкс. По мере согласования нагрузки и генератора с Т-камерой длительность установления электромагнитного поля уменьшается.
Представляет интерес проанализировать влияние согласования генератора и нагрузки с Т-камерой на временные зависимости электромагнитного поля при входном воздействии в виде пилообразного импульса напряжения, имитирующего грозовой разряд. Пусть воздействие на входе Т-камеры описывается соотношением (рис.3)
ю
uвх (г) = Um
0 при г < 0,
г
— при 0 < г <тф,
тф
и( г )= | и(2, г— т)-и 'вх (т)<Лг
1—
г — тф
(19)
г) = |i(2,г — т)-и'вх(т)-2в • ^
(20)
(21)
1ф
при тф < г <Ти
где и (2, г) и /(2, г) определяются выражениями (18).
0 при ти < г.
Здесь Тф - длительность переднего фронта импульса грозового разряда, Тф =1,2мкс, ти - длительность импульса грозового разряда, ти =50мкс.
Искомые временные зависимости напряжения и (2, г) и тока / (2, г) в эквивалентной линии передачи можно определить с помощью соотношений
Рис.3.Временные зависимости нормированных напряжения
моменты времени I при Гн = Гг
На рис.4 приведены в качестве примера рассчитанные по соотношениям (20), (21) временные зависимости нормированных напряжения и тока при Гг = Гн = 0.5 в середине Т-камеры. Из представленных зависимостей следует, что при указанных выше коэффициентах отражения временные зависимости напряжения и тока в Т-камере отличаются от входного сигнала незначительно, что обусловлено малой длительностью переходного процесса установления 4. колебаний в ней.
Заключение
1. Рассмотрена методика расчета электрического и 5 магнитного полей в регулярной части Т-камеры
при произвольном возбуждающем сигнале.
2. Получены аналитические выражения, позволяющие проанализировать переходные процессы в эквивалентной линии передачи при произвольной форме возбуждающего сигнала.
3. Рассчитаны переходные процессы в эквивалентной линии передачи при скачкообразном измене-
(а) и тока (б) в эквивалентной линии в различные = 0.5 (Время в I мкс)
нии входного воздействия. Показано, что длительность переходных процессов определяется величинами коэффициентов отражения от нагрузки Гн и генератора Гг. В частности, при Гг = Гн =0.5 длительность переходных процессов составляет 0.5...0.6 мкс, и она будет уменьшаться по мере согласования нагрузки и генератора с Т-камерой.
Рассчитан переходный процесс установления электромагнитного поля в Т-камере при пилообразном изменении входного сигнала, имитирующем электрическое поле грозового разряда. Приведенные аналитические выражения позволяют рассчитать переходный процесс установления электромагнитного поля в Т-камере при произвольном законе изменения входного сигнала и произвольных сопротивлениях генератора и нагрузки и определить тем самым необходимый частотный диапазон и допустимую неравномерность частотной характеристики КСВ нагрузки.
Рис.4.Временные зависимости нормированных напряжения (а), (в) и тока (б), (г) в эквивалентной линии при пилообразном изменении напряжения и Гг = Гн = 0.5 (Время в t мкс)
Литература
1. Электромагнитная совместимость радиоэлектронных средств и непреднамеренные помехи. Вып.3- М.: Сов. Радио, 1977.- 464 с.
2. Маслов О.Н., Неганов В.А., Уваров В.Г., Шляховская Е.В. К анализу Т-камеры для испытания радиоэлектронных средств при разрядах статического электричества // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1993.-Вып.4.- с. 81-91.
3. Неганов В.А., Яровой Г.П. Математические основы метода испытаний радиоэлектронных материалов, средств и живых организмов в экранированных СВЧ- и КВЧ-камерах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 1998.- Вып. 2-3.- с. 67-83.
4. Казанский Н.Л., Подлипнов Г.А., Рахаев А. А., Соснин М. Л. Расчет электромагнитного поля в продольно-регулярных структурах // Компьютерная оптика, 1999, вып. 19, с.47-
51.
5. Харкевич А.А. Неустановившиеся волновые явления. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.- 202 с.
6. Шимони К. Теоретическая электротехника. -М.: Мир, 1964.- 776 с.
7. Борисов В.В. Неустановившиеся поля в волноводах. - Л.: Ленинградский университет, 1991.- 156 с.
8. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот. - М.: Наука. - 1996.304 с.
