Расчет неоднородности волновода методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.372.2

РАСЧЕТ НЕОДНОРОДНОСТИ ВОЛНОВОДА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

А. В. Лаврёнова

(.кафедра математики)

В работе построен и реализован алгоритм численного решения задачи о рассеянии нормальной моды на локальной неоднородности в волноводе на основе метода конечных элементов. Для ограничения области используются разностные аналоги парциальных условий излучения. Сравниваются результаты применения линейных и квадратичных конечных элементов.

В настоящее время в еверхвыеокочаетотной электродинамике все большее применение находят ме-таллодиэлектричеекие волноводы е неоднородным заполнением и нерегулярной геометрией, а также различные системы и устройства на их основе. Современная техника высокоточных измерений требует соответствующих методов расчета, что исключает применение приближенных аналитических методов и приводит к необходимости создания мощных, высокоточных алгоритмов численного расчета конкретных систем. Этим требованиям отвечают алгоритмы, разработанные на основе конечно-разностных методов в прямой и вариационной постановках [1, 2]. Такие методы позволяют создавать универсальные и чрезвычайно эффективные алгоритмы для математического моделирования широкого класса систем сверхвысокочастотной электродинамики, а также для решения задач математического проектирования подобных систем [3, 4]. Однако применение конечно-разностных методов, в частности метода конечных элементов, для расчета волноведущих систем вызывает ряд сложностей, одной из которых является проблема ограничения области, в которой ищется решение. В случае локальной неоднородности весьма эффективным оказывается исполь-

зование парциальных условий излучения, впервые предложенных А. Г. Свешниковым в работе [5]. Для алгоритмов расчета волноведущих систем на основе метода конечных разностей такой подход был впервые использован в работе [6]. В настоящей работе аналогичный подход к ограничению области применяется в алгоритме, построенном на основе метода конечных элементов. Использование этого метода для расчета волноведущих систем позволяет, в частности, существенно повысить его точность, сохраняя экономичность, путем повышения степени аппроксимирующих решение базисных функций.

Запишем математическую постановку задачи дифракции электромагнитных волн на локальной неоднородности в волноводе без поглощения (двумерный случай). Стенки волновода предполагаются идеально проводящими. Пусть ось г направлена по оси волновода, а ось х - перпендикулярно оси г. В связи с решением задачи дифракции на неоднородности в волноводе рассматривается задача для уравнения Гельмгольца:

Аи + к2еи = 0 (1)

в области 0 = {г£ (—оо, оо); х € [0,1]} с однородными граничными условиями на боковой поверхно-

сти волновода:

«|х=о = 0, (2)

«и=1 = о, (з)

где и — поле в волноводе, е(г, х) — диэлектрическая проницаемость:

е(г, х) =

1, г <21, г>г2, е ^ 1, г\ < г < 22,

(4)

к — волновое число.

Вне области Б {г\ < г < 22), где заключена неоднородность заполнения, поле можно представить в виде разложения по системе собственных волн:

где 7„ = \/Хп — к2, А„, фп — собственные значения и собственные функции индуцированной задачи в сечении.

В данном случае сечением является отрезок х е (0,1), поэтому

Хп = тт2п2, фп = ■^Яяттгпх, п = 1,... .

Так как для распространяющейся волны с вещественным 7„ = л/тг2 п2 — к2, задача может рассматриваться только для к ниже частоты отсечки — в данном случае к <тг.

На сечениях волновода плоскостями г = г\ и г = %2 поставим парциальные условия излучения, которые позволяют рассматривать внутреннюю краевую задачу с нелокальными краевыми условиями:

= - Нп(и., фп)31фп + 2г7„(£., фп)81 фп,

г = г1 п п

ди ^ (5)

^ ' ' ' 4 !»„ (6)

дг

и

дг

падающая волна).

= У^Ьп(щФп)з2Фп

г=г2 п

Рис. 1. Вставка в верхней половине волновода: (а) конечные элементы первого порядка, (б) конечные элементы второго

порядка

Рис. 2. Вставка в центральной части волновода: (а) конечные элементы первого порядка, (б) конечные элементы

второго порядка

12 ВМУ, физика, астрономия, № 1

Рис. 3. Две вставки: (а) конечные элементы первого порядка, (б) конечные элементы второго порядка

Обобщенная постановка задачи, соответствующая краевой (1)-(6), заключается в поиске решения уравнения

2 оо

-(V«, Чу)в + -

г=1 "=1оо (7)

- к2(е и, = ¿7Фи) в! (V, ^пЬх,

п=1

что эквивалентно ранее поставленной задаче. Для решения уравнения (7) применяется метод конечных элементов. В качестве базисных функций выбираются билинейные и биквадратные функции.

Результаты решения задачи дифракции электромагнитных волн на локальной неоднородности в волноводе без поглощения методом конечных элементов представлены для трех видов неоднородности. В качестве падающей волны берется первая собственная волна, т.е. £ = которая распространяется

вдоль оси г в положительном направлении.

На рис. 1 показана картина распределения поля в волноводе в случае расположения неоднородности в верхней половине волновода — ж €Е (1/2, 1), г € (гъ 22), а е = 2 + г (используется билинейная и квадратичная аппроксимации (рис. 1 ,а,б) соответственно). При наличии такой несимметрично расположенной вставки появляется эффект втягивания поля в область с большей оптической плотностью. Поглощение в данном случае является причиной относительного выравнивания амплитуды поля в области неоднородности.

На рис. 2 показана картина распределения поля в волноводе в случае расположения неоднородности

по середине волновода, е = 2 + i. Четко видно, что при прохождении волны по волноводу поле концентрируется в центральной области.

На рис. 3 поле распределяется по волноводу, в котором две вставки: ei = 2 + i и £2 = 4 + i. Интенсивность поля тем больше, чем больше значение действительной части е.

Проведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы. Метод конечных элементов с использованием разностных аналогов парциальных условий излучения позволяет строить экономичные алгоритмы для математического моделирования волноводов с локальной неоднородностью. Повышение степени аппроксимирующих решение базисных функций значительно повышает точность вычисления распространяющегося в волноводе поля даже при использовании достаточно грубой сетки.

Литература

1. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточ-ные методы. М., 1981.

2. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1998. №5. С. 14.

3. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Красильникова A.B. и др. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. №5. С. 39.

4. Боголюбов А.Н., Красильникова A.B., Минаев Д.В., Свешников А.Г. // Матем. моделирование. 2000. 12, №1. С. 13.

5. Свешников А.Г. // ДАН СССР. 1950. 3, №5. С. 517.

6. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. // ЖВМ и МФ. 1974. 14, №4. С. 947.

Поступила в редакцию 03.07.03