CC BY
11
СТАТЬИ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Численное решение задачи о межслойном переходе как задачи волноводной дифракции
А. Л. Делицын
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: [email protected]
Статья поступила 30.05.2016, подписана в печать 13.07.2016.
Применение сеточных методов к решению задачи о межслойном переходе приводит к необходимости ограничения области и постановки фиктивных граничных условий. В настоящей работе применятся введение фиктивного коаксиала для сведения исходной задачи к задаче волноводной дифракции. Рассмотрены результаты тестирования разработанной конечно-элементной программы, показывающие высокую точность применяемого метода. Исследованная зависимость решения от положения фиктивной границы показывает быструю сходимость метода.
Ключевые слова: уравнения Максвелла, многослойные системы, метод смешанных конечных элементов, емкость.
УДК: 517.95. PACS: 41.20.Jb.
Введение
Задача о межслойном переходе, например, в печатных платах, может рассматриваться в двух вариантах. Первый — это случай бесконечных пластин. В этом случае, возможно, по крайней мере для осесимметричной задачи, сведение исходной задачи в бесконечной области к задаче в конечной области с нелокальными краевыми условиями — парциальными условиями излучения [1-3]. Это позволяет рассматривать внутреннюю краевую задачу и применять сеточные методы к ее решению. Второй вариант задачи связан с прохождением проводной волны через межслойный переход, представляющий собой набор пластин конечного радиуса (рис. 1). Подобная задача рассматривается в неограниченном пространстве, что представляет основную сложность при применении сеточных методов к ее решению. Применение метода связанных интегральных уравнений вызывает ряд трудностей, связанных как со структурой системы интегральных уравнений при учете питающего систему провода, так и при рассмотрении интегральных уравнений для случая пластин малой толщины. В настоящей работе для исследования подобной задачи применяется подход, основанный на введении фиктивной волноводной внешней стенки, в результате чего задача о межслойном переходе сводится к задаче дифракции в коаксиальном волноводе. Для решения задачи дифракции применяется метод смешанных конечных элементов [4]. Различные схемы сеточных методов для подобных задач рассматривались, например, в работах [5-12]. При отодвигании внешней стенки в бесконечность решение задачи дифракции в коаксиальном волноводе
Z а гъ
г2
Г\
Коаксиал \ \ N пластин
г
Z б Гъ
г2
О z2
Коаксиал а
1
z\
Рис. 1. Принципиальная схема межслойного перехода (а) и параметры конденсатора, помещенного в ко-аксиал (б)
переходит в решение исходной «открытой» задачи. Основным вопросом является возможность применения подобного метода на практике, связанного с исследованием вопроса о скорости сходимости численных решений в зависимости от расстояния
до фиктивной стенки. Результаты вычислений показывают, что в диапазоне частот 1-100 МГц даже при не очень большом отнесении стенки от системы пластин результаты вычислений стабилизируются. Для тестирования разработанной программы рассмотрена задача дифракции на паре пластин, образующих конденсатор. При расстоянии от оси центрального провода до внешней стенки, равном удвоенному радиусу пластин, наблюдается хорошее совпадение результатов конечно-элементных вычислений с обобщенной формулой Кирхгофа [13] для емкости конденсатора.
1. Постановка задачи и метод ее решения
В качестве сеточного метода, применяемого для решения задачи, будем использовать метод смешанных конечных элементов. Приведем кратко основные моменты постановки задачи и применения этого метода. Рассматриваемая задача обладает осевой симметрией. Заменяем в дальнейшем производные по координате ф цилиндрической системы координат нулем [14].
Для решения задачи дифракции в волноводе используем систему уравнений Максвелла, разрешенную относительно электрического поля E = {Ег, Ег]
rot rot E - k2eE = 0
с краевыми условиями
E х п|эд = 0
и условиями сопряжения
[E х n]s = 0, [rot E х n]s = 0
(1) (2)
(3)
(4)
на поверхностях 5 раздела металл-воздух. Под Q понимаем цилиндр, ограниченный внешним радиусом коаксиала, дQ — боковая поверхность цилиндра.
Диэлектрическая проницаемость е = 1 + 1а = = 1 +1у, где а — проводимость, [ — частота, является кусочно-постоянной функцией, описывющей в том числе металл при комплексных значениях.
Отметим, что для электрического поля рассматривается система двух уравнений, координата Еф полагается равной нулю:
д2 E
Г d2Ez r + ■ z
dz2 ' drdz 1 д дЕг
- k2sEr = 0,
г дгГ dz
1 д-г fz - k2eEz = 0. г дг дг
(5)
(6)
В силу того что при г ^ 0 величина гНф ^ 0, используем для вектора E краевое условие
,. íдEг lim г —
г^0 у дz
дг
= 0.
(7)
парциальные условия излучения-возбуждения при z = z2, учитывающие только одну отраженную основную моду E0 = 1 ег. Считаем, что возбуждение системы происходит основной модой указанного вида, падающей, например, из то:
[rot E х n]z=z2 = 71E + 2ikEo, (8)
где
71E = ik
tEEq (1г E0,
и аналогично при z = z1
[rot E х n]z=zi = T^E,
(9)
где
72E = — ik
гEE*0dгE0,
Будем искать слабые решения задачи (1)-(4), (7)-(9) из уравнения
2
^rot E rot E - k2eEE^ г (г dz - ^
i=i
7 EEdг =
= 2ik
EE^, (10)
которому должен удовлетворять вектор E е H0(rot), т.е. E е L2(fi), rotE е L2(fi), E х и1дп = 0 для любого E е H0(rot).
Для магнитного поля Иф справедливо уравнение
1 д
- jr-гИф = -ike(г, z)Ez г дг
(11)
и краевое условие
Иф (0, z) = 0,
позволяющие определить его непосредственным интегрированием поля Ez:
И ik Иф =--
ге(г, z)Ez dг.
Приближенное решение задачи (7) будем искать в виде
Eг = EnjNi (z)pj,j+1 (г),
ч
Ez = EziiЩг)pi,i+l (z),
где
ij
z - zi-1 zi - zi-1
, zi_ 1 < z < zi,
Nt (z) = , ^ < z < z,+ 1,
zi ^ z ^ z;+1, zi+1 - zi
0, z е [z,-1, zi+1],
Одним из основных вопросов, возникающих при применении метода конечных элементов, является постановка условий излучения. Будем использовать
/ч J1, г < г < г+1,
р/./+1(г М 0 , [ ' [0, г е г, г+1],
г е г
гi, i = 1,...,Ыг, по оси г и zj, i = 1,...,Nz,
по оси z.
г
0
Определив электромагнитные поля, вычислим матрицу импедансов системы, представляющую основной интерес с прикладной точки зрения.
2. Сравнение результатов вычислений методом конечных элементов c результатами, получаемыми по уточненной формуле Кирхгофа
В качестве теста рассмотрен конденсатор с параметрами (рис. 2) а = 1.25 мм — радиус пластин, I = 0.1 мм — расстояние между пластинами. Радиус возбуждающего цилиндра г1 = 0.125 мм. Радиусы внешнего цилиндра приведены в п. 1-3 ниже.
В качестве значения емкости, с которым производится сравнение, рассматривается
С = еоа (па/1 + 1п(16па/1) - 1 + 1/(4/п)1 /а(1п I/2а)2) .
Приведем методику тестирования конечно-элементной программы. Для вычисления матрицы импедансов из результатов решения задачи дифракции рассматриваем возбуждение системы волной, падающей из — то и то.
При возбуждении из —то (снизу) коаксиальной волной вида
При возбуждении сверху коаксиальной волной
Ег = е
1кг
Иф = еШг-
г
1кг—Ш
направлена в поло-
фазовая скорость волны е жительном направлении оси г. При г = г1 и г = г2 вычисляются значения напряжния
^11 =
Ег (г, г1) йг, У21 =
Ег (г, г2) йг.
Г1 Г1
Под г1 понимается радиус внутреннего цилиндра, под г2 — радиус внешнего
Токи вычисляются по формулам
Г1 Г\
¡11 = 2па
гЕг(г, г1) йг, ¡21 = —2па
гег (г , г2) йг.
вида
Ег = е
—Iкг 1 тт „—¿кг 1
-, Иф = —е -гг
фазовая скорость волны е1кг+1Ш направлена в отрицательном направлении оси г.
При г = г1 и г = г2 вычисляются напряжения
Г Г
^12 =
Ег (г, г1) йг, У22 =
Ег (г, г2) йг
и токи
¡12 = 2по
гЕг(г, г1) йг, ¡22 = —2па
гЕг (г , г2) йг.
0 0 Матрицы напряжний и токов равны
V =
V ¡ = (¡ц ¡1Л
^21 V22) У21 ¡22)'
Vll Vl2
У21
Матрица импедансов определяется из уравнения V = Z¡.
В задаче о конденсаторе, очевидно, V11 = У22, ^21 = Vl2, ¡11 = ¡22, ¡21 = ¡12. Тогда
Z =
¡
Для конденсатора
( ¡11 V!!
— ¡12^12 ¡11^12 — ¡12^ 1 + ¡\Iv\2 —¡\2v\2 +
= Z
\2V\1 \ ¡1\^\/
со=zС)
т. е.
V\ = (^11 — Z\2 )¡, V2 = (¿21 — Z22 )¡.
Разность потенциалов
V — У2 = (¿11 + ¿22 — (¿\2 + ¿21))/ = 2(^11 — ¿12)/.
Приведем результаты сравнения вычисленных
значений
Шс = 2 (¿11 — ¿12)
1
1
г
Рис. 2. Иф -координата поля в конденсаторе (а) и Ег-координата поля в конденсаторе (б)
Рис. 3. Ez-координата поля в трехслойном переходе (а) и Hф-координата поля в трехслойном переходе (б)
со значением емкости, определимым указанной формулой.
1. Расстояние до внешнего цилиндра 2 мм:
!, Гц c,ф, c,ф,
вычисленное определяемое формулой
108 4.851 • 10"13 4.956 • 10"13
4.956 • 10"13 4.956 • 10-13
107 106
4.851 • 10-13 4.851 • 10-13
Увеличение проводимости, соответствующей меди, на 4 порядка не меняет C = 4.85 • 10"13 Ф. 2. Расстояние до внешнего цилиндра 2.7 мм:
f, Гц C ,Ф, C ,Ф,
вычисленное определяемое формулой
108 4.853 • 10-13 4.956 • 10-13
107 4.853 • 10-13 4.956 • 10-13
106 4.853 • 10-13 4.956 • 10-13
3. Расстояние до внешнего цилиндра 3.2 мм:
f, Гц C ,Ф, C ,Ф,
вычисленное определяемое формулой
108 4.855 • 10-13 4.956 • 10-13
107 4.855 • 10-13 4.956 • 10-13
106 4.855 • 10-13 4.956 • 10-13
В качестве графической иллюстрации, показывающей возможности конечно-элементной программы, приведем картины волновых полей для Hф и Ez компонент поля (рис. 2).
В качестве примера приведем результаты расчетов Ez, Hф компонент поля на слоистой системе из 4 пластин переменного радиуса (рис. 3). Приведем типовые значения параметров межслойного перехода. Радиус внутреннего цилиндра в коаксиале г2 = 0.125 мм. Внутренний радиус внешнего цилиндра коаксиала г2 = 0.25 мм. Внешний радиус коак-сиала г3 = 0.375 мм. Расстояние между пластинами h = 0.2 мм.
Заключение
Разработанная программа позволяет вычислять характеристики межслойных переходов с пластинами конечного радиуса. Результаты вычислений показывают быструю сходимость решения при увеличении радиуса внешего фиктивного цилиндра. Проведенное тестирование показывет высокую точность применяемого метода.
Список литературы
1. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высш. школа, 1991.
2. Свешников А.Г. // ДАН СССР. 1950. 3. № 5. С. 517.
3. Свешников А.Г., Могилевский И.Е. Избранные математические задачи теории дифракции: М.: Физ. ф-т МГУ, 2012.
4. Handbook of Numerical Analysis. V. 2 / Ed. by P.G. Ciarlet, J.L. Lions. N.H.: Elsevier, 1991.
5. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. 14. № 4. С. 947.
6. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2003. № 4. С. 6. (Bogolyu-bov A.N., Butkarev I.A. // Moscow University Phys. Bull. 2003. 58, N 4. P. 6.)
7. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. // Радиотехника и электроника. 2006. 51. № 8. С. 901.
8. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Красильникова А.В. и др. // Зарубеж. радиоэлектроника. Успехи соврем. радиоэлектроники. 1998. № 5. С. 39.
9. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1974. 14, № 4. С. 947.
10. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И., Могилевский И.Е. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2012. 52, № 6. С. 1058.
11. Ho T.Q., Beker B. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1991. 39, N 6. P. 1021.
12. Ise K, Inoue K, Koshiba M. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1990. 38. № 9. P. 1032.
13. Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической емкости. Л.: Энергия, 1969.
14. Рамо С., Уинери Дж. Поля и волны в современной радиотехнике. М.: ОГИЗ, 1948.
A numerical solution of the layer-to-layer transition problem as a waveguide diffraction problem A. L. Delitsyn
Department of Mathematics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: [email protected].
Application of net-point methods to the solution of the layer-to-layer transition problem leads to the necessity to restrict the domain and formulate artificial boundary conditions. In the present work the introduction of an artificial coaxial for reducing the original problem to a waveguide diffraction problem is applied. The test results of the finite-element program that we developed, which demonstrate the high accuracy of the method, are considered. The investigated dependence of the solution on the artificial boundary location shows the rapid convergence of the method.
Keywords: Maxwell equations, multilayer systems, mixed finite element method, capacity. PACS: 41.20.Jb. Received 30 May 2016.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2017. 72, No. 2. Pp. 163-167.
Сведения об авторе
Делицын Андрей Леонидович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-39-37, e-mail: [email protected].
