CC BY
27
О применении метода конечных элементов к задаче сочленения коаксиального и радиального волноводов
А. Л. Делицын
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: delitsyn@mail.ru
Статья поступила 11.03.2016, подписана в печать 05.05.2016.
Рассмотрено применение метода смешанных конечных элементов к задаче сочленения коаксиального и радиальных волноводов. Задача сводится к внутренней краевой задаче с нелокальными краевыми условиями. Проведено сравнение результатов вычислений, проведенных методом смешанных конечных элементов с формулой Отто в низкочастотном диапазоне.
Ключевые слова: уравнения Максвелла, сочленение коаксиального и радиального волноводов, метод смешанных конечных элементов.
УДК: 517.95. PACS: 41.20.Jb.
Введение
Задача о сочленении коаксиального и радиальных волноводов вызывает интерес в теории антенн [1] и при анализе межслойных переходов в печатных платах. В низкочастотной области достаточно распространенным для вычисления характеристик полей является применение аналитической формулы Отто [1], дающей приближенное решение для определенного класса задач. Кроме того, (см., например, [2]) применялся метод связанных интегральных уравнений. В настоящей работе рассматривается применение метода смешанных конечных элементов [4], для определенных задач, на наш взгляд, более экономичного, чем метод интегральных уравнений. Для родственных задач волноводной дифракции различные варианты метода конечных элементов и конечных разностей применялись в большом количестве работ [5-11]. Для постановки внутренней краевой задачи использована возможность введения парциальных условий излучения в радиальном волноводе для случая аксиально-симметричных полей. Для коаксиала применяются стандартные парциальные условия излучения, введенные А. Г. Свешниковым [3]. Приводится сравнение результатов расчета входного импеданса с результатами, получаемыми по формуле Отто, и картины полей в межслойных переходах. Особенностью задачи является наличие бегущих волн при любых, сколь угодно низких частотах, как в коаксиальном, так и в радиальных волноводах.
1. Постановка задачи и метод ее решения
Задача о сочленении коаксиального и радиальных волноводов имеет геометрию, показанную на рис. 1, 2, на которых изображено сечение аксиально симметричной области плоскостью, проходящей через ось г. Будем далее при постановке задачи рассматривать область, изображенную на рис. 1. Для области, соответствующей рис. 2, постановка задачи аналогична.
Сочленение коаксиального и радиального волноводов
Коаксиал
Бесконечные плоскости
Определение импеданса
zjZ
Рис. 1. Соединение коаксиального и радиального волноводов
I
Межслойный переход. Принципиальная схема
Коаксиал
Определение импеданса
Бесконечные плоскости
№ плоскостей
_z.
I
Рис. 2. Межслойный переход. Принципиальная схема Рассмотрим систему уравнений Маквелла rot E = ikH, rot H = -ikE +--ctE = -iksE, (1)
div eE = 0, div H = 0
(2)
в областях постоянства функции
, ,4п , ,2а £ = 1 + 1-— а = 1 + г —,
КО [
где а — проводимость, [ — частота.
На поверхостях разрыва £, которые обозначим 5, используем условия сопряжения
[Е х пЩ = 0, [Н х пЩ = 0, (3)
[£Бп]|5 = 0, [НпЩ = 0. (4)
Считаем, что коаксиальный и радиальные волноводы переходят на некотором расстоянии от межслойного перехода в идеально проводящие. Это растояние выбирается максимальным исходя из характеристик компьютера. Кроме того, считаем, что на внешней поверхности коаксиального и соответствующих радиальных волноводов дополнительно поставлены краевые условия, отвечающие идеально проводящим стенкам
Е х п = 0
таким образом, чтобы задача могла рассматриваться как ограниченная всюду, кроме коаксиальных и радиальных выходов. Например, для геометрии области, изображенной на рис. 1, условие, соответствующее идеально проводящей стенке, используется при г = г3, г4 < г < то и 0 < г < то, г = г1. Подобное условие, необходимое для ограничения области, не оказывает влияния на результат в силу больших потерь в металле.
Сведем исходную задачу к задаче относительно электрического поля для уравнения
rot rot E - k2eE = 0
с краевыми условиями
E х п|ш = 0
и условиями сопряжения
[E х n]|s = 0,
[rot E х n] |s = 0,
на поверхностях раздела металл-воздух. Уравнение
div eE = 0
и условия
[eEn] |s = 0
(5)
(6)
(7)
(8)
(9) (10)
d2E
r d2 Ег + г
- k2eEr = 0,
дг2 ' дгдг
1 — r 1 - r dE^-k2eE = 0
r дr дг r дr дr
(11) (12)
В силу того что при г = 0 величина гИф равняется нулю, будем при г = 0 использовать для вектора Е краевое условие
/OEr __ дЕг\ \ дг -г J
=0.
(13)
r=0
Перейдем к формулировке условий излучения и возбуждения. По идеально проводящему коакси-алу на волноводное сочленение из бесконечности падает ТЕМ-волна, что приводит к условию
Е = Е0в-1кг + оЕ0в1кг + Е, г > г2,
(14)
где
E
1
0=
М r2)
1
-er,
||E0||L2[r1,f2] = 1
Поле E убывает экспоненциально вдоль оси г.
Учитывая вид решения в коаксиале, будем использовать краевое условие, эквивалентное представлению поля в виде падающей и отраженной волн
[rot E х п]|г=г0 = TE + 2ikE0, (15)
где
T E = ik
rEEq dr E0,
т.е. парциальное условие излучения [3], использующее всего одну моду.
Краевое условие мы используем на максимально возможном расстоянии от г4, на котором вляни-ем Е, экспоненциально быстро убывающим по г при рассматриваемых в работе частотах 1 Мгц — 10 Ггц и параметрах волноводов, приведенных на рис. 1, можно полностью пренебречь.
Остается вопрос об условиях излучения в радиальном волноводе, т.е. между бесконечных пластин. Учитывая, что в области между бесконечных идеально проводящих пластин поле Е удовлетворяет уравнению
1д
д
div E = - -w-rEr + Ez = 0, r or дг
(16)
являются следствиями предыдущих уравнений.
В дальнейшем рассматриваем аксиально-симметричные решения уравнения (5). Тогда, как известно [12], задача сводится к поиску только двух компонент поля Ег и Ег. Учитывая аксиальную симметрию задачи, заменяем в уравнении производные полей по координате ф на 0. Компонента поля Еф равняется нулю. Для ненулевых компонент поля Ег, Ег уравнения имеют вид
приходим к представлению электрического поля в виде
^ дх 1 д
Е = -тг ег + ~ 1Ггхег, дг г дг
где х удовлетворяет уравнению
д 1 д д2 и2 п дТг~г д-/х+х+=
граничным условиям
—
г\ "К,
дг
= 0, тт X
г=г2 дг
г=гз
и условию излучения д
'Ш
—X - ikx = 0( —
Функция x представима в виде X = C0tf,(1)(kr) +
r
+Е
n=1
cn cos ■
nn
Z3 - Z2
-(z - Z2) K
(Z3 - Z2)2
k2
Пренебрегаем экспоненциально убывающими полями, которые при указанных частотах и параметрах системы убывают достаточно быстро. Исключая неизвестную константу c0, приходим к условию, при некотором по возможности большем r0, связывающему rot E х n и E х n:
dEr dEz = H1(1)(kr1^ Г0
Z3
dz
k
dr H0(1)(kn) z3 - z2
Ez dz.
(17)
z2
Итак, условия возбуждения и излучения имеют
вид
[rot E х n] |z=z0 - TE = 2ikE0,
где TE = ik $ EEq dr EQ
[rot E х n]|r=r0 = SE,
(18)
(19)
где SE = И(kr1) k r° Г E dz
где SE = „1(kri) kz3-z2 J Ezdz.
z2
Слабые решения задачи (5)-(10), (13), (15), (17)
определяются из уравнения
^rot E rot E - k2eEE j r dr dz -
Г2 Г r2
T EE dr-
SEE dz = 2ik
EE0 dr, (20)
r1 z2 r1 которому должен удовлетворять вектор E е H0(rot), т.е. E е L2(fi), rotE е L2(fi), E х n|dn = 0 для любого E е H0(rot). Условие
div eE = 0 (21)
выполняется для решения в слабом смысле. Для любого E = grad ф, ф е HQ,
eE grad фг dr dz = 0.
(22)
Приведем типовые значения параметров межс-лойного перехода. Радиус возбуждающего цилиндра г1 = 0.125 мм. Внутренний радиус внешнего цилиндра коаксиала равен радиусу отверстия г2 = 0.25 мм. Внешний радиус коаксиала г3 = 0.375 мм. Расстояние между пластинами Н = 0.2 мм.
2. Применение метода смешанных конечных элементов
Будем применять метод смешанных конечных элементов [4] для решения задачи (13). Введем сетку г, I = 1,..., Ыг, по оси г и гу, у = 1,..., Ыг, по оси г.
Для аппроксимации Ег, Ег будем применять функции, непрерывные в направлении одной из осей координат и разрывные в направлении другой.
Для аппроксимации Ег применяем функции N(г)р/,/+1 (г), где
Г z - z-1 zi - zi-1
Ni(z) = { zi+1 - z zi+1 - zi 0,
, zi-1 < z < zi, zi < z < z;+1,
z е [zi-1, zi+1],
,4 I 1, г < г < г+1,
[0, г £ [у г+1].
Для аппроксимации Ег применяем N (г)рцц+1(г). Будем искать приближенное решение задачи (13 в виде
Ег = ^ Егум' (г)Ру,у+1 (г), Ег = ^ Ег^ (г)ру,у+1 (г).
ц ц
Условие соленоидальности поля E учитывается следующим образом. Пусть
E = N (гЩ(г),
где I, Ц — произвольный узел сетки. Тогда решение задачи удовлетворяет уравнению
eE grad Ni (r)Nj(z)r dr dz = 0.
(24)
Легко видеть, что для магнитного поля отлична от нуля только Иф-компонента. Ненулевая компонента магнитного поля Иф -определяется из уравнения
с учетом
1 д
- ттгИф = -ike(r, z)Ez r dr
Иф(0, z) = 0.
(23)
Магнитное поле находится интегрированием
Иф = - г 1 ге(г, г)Егйг. 0
В качестве величины, определяемой полями, рассмотрим импеданс, вычисляемый при г = г3:
Er dr
Z =
I = 2пст
rEz dr.
3. Результаты тестирования и некоторые примеры вычислений
Для тестирования сравним результаты конечно-элементного метода с аналитической формулой От-то. Отто получил приближенную формулу для величины, обратной импедансу У = 1/2:
Y = -
2ni
Zokh(\n(r2/n))2
(ln(r2/r 1) +
+ тт
n Ho(1)(kr2)
2 Ho(1)(kr1)
{/o(kr2)Yo(kn) - Jo(kn)Yo(kr2)} -
- 2> In(r2/r1) +
+
1
m=1 qm 1
Ko^m^) (io(qmkr\)Ko(qmk^)-Io(qmkr2)Ko(qmkr1))}), K0(qmkr 1) )J
n2n2
н=г3 - г2, ^ Ч ©2 -1
0
2 = \ —.
Используем следующие параметры для коаксиала
г1 = 0.125 мм, г2 = 0.25 мм, г3 = 0.375 мм.
Расстояние между пластинами Н = г3 — г2 = = 0.175 мм. Толщина пластин: г2 — г1 = 0.025 мм,
г4 — г3 = 0.025 мм. Отто предполагал, что а = то. Мы считаем, что проводимость металла равна (а = 5 • 1017 1/с в СОБ).
Проведем сравнение результатов вычислений методом конечных элементов с формулой Отто при измельчении сетки от 4 до 32 элементов на воз-
Таблица 1
Импеданс перехода коаксиал — радиальный волновод
(4 элемента на возбуждающий цилиндр по оси г)
| Ие21, Ом 11т21, Ом | Ие 21, Ом 11т21, Ом
!, Гц Вычисленное Вычисленное Вычисленное Вычисленное
МКЭ МКЭ по формуле Отто по формуле Отто
10ю 3.459 8.361 3.442 8.250
109 0.350 1.345 0.345 1.332
108 0.0359 0.186 0.0345 0.184
107 0.00388 0.0239 0.00345 0.0234
106 0.000589 0.00294 0.000345 0.00285
Таблица 2
Импеданс перехода коаксиал — радиальный волновод
(16 элементов на возбуждающий цилиндр по оси г)
| Ие21, Ом 11т21, Ом | Ие 21, Ом 11т21, Ом
!, Гц Вычисленное Вычисленное Вычисленное Вычисленное
МКЭ МКЭ по формуле Отто по формуле Отто
10ю 3.459 8.364 3.442 8.250
109 0.350 1.345 0.345 1.332
108 0.0359 0.186 0.0345 0.184
107 0.00389 0.0239 0.00345 0.0234
106 0.000599 0.00294 0.000345 0.00285
Таблица 3
Импеданс перехода коаксиал — радиальный волновод
(32 элемента на возбуждающий цилиндр по оси г)
| Ие21, Ом 11т21, Ом | Ие 21, Ом 11т21, Ом
!, Гц Вычисленное Вычисленное Вычисленное Вычисленное
МКЭ МКЭ по формуле Отто по формуле Отто
10ю 3.459 8.365 3.442 8.250
109 0.350 1.346 0.345 1.332
108 0.0359 0.186 0.0345 0.184
107 0.00389 0.0239 0.00345 0.0234
106 0.000604 0.00294 0.000345 0.00285
Таблица 4
Зависимость Z от а при / = 106 Гц
| Ие21, Ом 11т2|, Ом | Ие21, Ом 11т21, Ом
а 1/с Вычисленное Вычисленное Вычисленное Вычисленное
МКЭ МКЭ по формуле Отто по формуле Отто
5 • 1017 0.000604 0.00294 0.000345 0.00285
1018 0.000488 0.00293 0.000345 0.00285
5 • 1018 0.000389 0.000290 0.000345 0.00285
5 • 1021 0.000346 0.00286 0.000345 0.00285
буждающий цилиндр по оси г (табл. 1-3). Диапазон частот, в котором производится сравнение, — 1 МГц — 10 ГГц. Сходимость метода конечных элементов имеет место. Видно соответствие в пределах 3% между результатами, полученными разными методами.
Последние строки табл. 1-3 при частоте / = 106 Гц показывают как будто значительное расхождение результатов, полученных методом конечных элементов с формулой Отто. Это расхождение связано с тем, что результаты Отто получены для идеально проводящего металла (а = то). Поэтому для частот, при которых проникновение поля в металл значительно, наблюдается различие результатов вычислений с формулой Отто. При увеличении а сходимость конечно-элементных вычислений к результатам, полученным по формуле Отто, см. в табл. 4.
Приведем пример вычисления межслойного перехода (рис. 2) с 12 бесконечными пластинами. В табл. 5, 6 показано установление результатов при увеличении числа элементов.
Таблица 5 Импедансы, вычисленные методом конечных элементов для перехода, изображенного на рис. 2
(4 элемента на возбуждающий цилиндр (в направлении оси г)
| Ие21, Ом 11т21, Ом
!, Гц Вычисленное Вычисленное
МКЭ МКЭ
1010 137.97 26.682
109 46.114 13.079
108 41.992 1.889
107 41.631 0.248
106 41.594 0.0308
Т а б л и ц а 6 Импедансы, вычисленные методом конечных элементов для перехода, изображенного на рис. 2
(32 элемента на возбуждающий цилиндр (в направлении оси г)
| Ие21, Ом 11т21, Ом
!, Гц Вычисленное Вычисленное
МКЭ МКЭ
1010 138.110 27.379
109 46.107 13.102
108 41.992 1.891
107 41.631 0.248
106 41.594 0.0300
Рис. 3. Ег -координата поля в соединении коаксиального и радиального волноводов
Рис. 4. Ег -координата поля в соединении коаксиального и радиального волноводов
На рис. 3-5 показаны картины волновых полей для Ег, Ег и Иф, соответствующие сочленению коаксиального и радиального волноводов (рис. 1).
40 50
Рис. 5. Иф -координата поля в соединении коаксиального и радиального волноводов
На рис. 6, 7 представлены Ег - и Иф -компоненты поля для межслойного перехода (рис. 2) для случая трех бесконечных пластин.
Данные рисунки имеют главным образом иллюстративный характер, показывая возможности
25 30 35 40 45' Рис. 6. Er -координата поля в межслойном переходе
Рис. 7. Иф-координата поля в межслойном переходе
метода конечных элементов для описания электромагнитных полей. Они демонстрируют качественно правильное вычисление полей, в том числе показывают всплески на ребрах металлов.
Заключение
Представленные результаты конечно-элементных вычислений показывают большие возможности этого метода для определения характеристик межслойных переходов и высокую точность получаемых результатов. Принципиальная возможность сводить задачу в бесконечной области специального вида к задаче в конечной области с нелокальными краевыми условиями дает возможность рассматривать как задачи, охватываемые методом интегральных уравнений, так и более широкие классы задач с переменными характеристиками диэлектриков, заполнящих межс-лойные переходы.
Список литературы
1. Otto D.V. // Radio Science. 1967. 2, N 9. P. 1031.
2. Yung E.K.N., Xie Z.M, Chen R.S., Han Y.F. // Radio Science. 1999. 34, N 3. P. 615.
3. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высш. школа, 1991.
4. Handbook of Numerical Analysis. Vol. 2 / Ed. by P. G. Ciarlet, J. L. Lions. Elsevier, 1991.
5. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1974. 14, № 4. С. 947.
6. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2003. № 4. С. 6.
7. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Лавренова А.В. // Радиотехника. 2004. № 12. С. 20.
8. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А., Минаев Д.В. // Радиотехника и электроника 2005. 50, № 2. С. 140.
9. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Буткарев И.А. // Радиотехника и электроника. 2006. 51, № 8. С. 901.
10. Ho T.Q., Beker B. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1991. 39, N 6. P. 1021.
11. Ise K., Inoue K., Koshiba M. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1990. 38, N 9. P. 1032.
12. Рамо С.,Уинери Дж. Поля и волны в современной радиотехнике. М.: ОГИЗ, 1948.
Finite-element methods for junction problems for coaxial and radial waveguides A. L. Delitsyn
Department of Mathematics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: delitsyn@mail.ru.
We apply the method of mixed finite elements to the junction problem for coaxial and radial waveguides. The problem is reduced to an internal boundary-value problem with nonlocal boundary-value conditions. In the low-frequency range, we compare the results of the finite-element method with the Otto relationship.
Keywords: Maxwell equations, junctions of coaxial and radial waveguides, the method of mixed finite
elements.
PACS: 41.20.Jb.
Received 11 March 2016.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2016. 71, No. 4. Pp. 368-374.
Сведения об авторе
Делицын Андрей Леонидович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел: (495) 939-39-37, e-mail: delitsyn@mail.ru.
