CC BY
11
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 01. С. 37-49.
Б01: 10.7463/0117.0000925
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
15.12.2016 29.12.2016
УДК 621.825:539.3
Расчет напряжений и деформаций внешней обоймы роликовых механизмов свободного хода
Золотов И.А. , Шарков О.В.
1,*
о_5Ьагкоу@тад1:ги
1 Калининградский государственный технический университет, Калининград, Россия
Внешняя обойма роликовых механизмов свободного хода является важным конструктивным элементом, исследованию напряженно-деформированного состояния которого не уделяют должного внимания. В статье с применением компьютерного моделирования и расчета методом конечных элементов проведено исследование и установлен характер влияния геометрических параметров внешней обоймы на возникающие в ней напряжения и деформации. Предложено оценивать степень влияние различных геометрических параметров с помощью коэффициентов влияния. Получены эмпирические зависимости для расчета напряжений и деформаций при любом сочетании геометрических параметров внешней обоймы.
Ключевые слова: механизм свободного хода, напряженно-деформированное состояние, нагрузочная способность, долговечность, внешняя обойма, приводы машин
Введение
Одними из ответственных узлов приводов машин являются механизмы свободного хода (МСХ), совершенствование которых связано с проблемами исследования напряженно-деформированного состояния, в целях повышения нагрузочно-скоростных и уменьшения масса-габаритных характеристик. В настоящее время наиболее широкое применение в кинематических цепях различных машин находят роликовые МСХ [1-13].
При расчете роликовых МСХ обычно ограничиваются расчетом по допускаемым контактным [ая ] или касательным [т] напряжениям в местах контакта заклинивающихся роликов и внутренней звездочки [1, 5, 6, 10, 11].
Расчет напряженно-деформированного состояния (НДС) внешней обоймы обычно не проводится, а её геометрические параметры назначают согласно конструктивным рекомендациям или исходя из опыта проектирования. В случае необходимости выполнить расчет применяют формулы, полученные с использованием существенных упрощений —
внешнюю обойму сводят к плоскому кольцу, которое нагружено сосредоточенными радиальными силами. Причем действием тангенциальных сил пренебрегают [5, 14, 15].
Такой подход не вполне оправдан, так как в этом случае при проектировании приходится закладывать избыточные величины коэффициентов запасов прочности и жесткости. Это приводит к дополнительному расходу материала, а учитывая, что масса внешней обоймы может составлять от 1/3 до 1/2 всей массы МСХ [6] то экономические издержки в условиях массового производства будут значительными.
1. Модель внешней обоймы
Конструктивная схема внешней обоймы роликовых МСХ достаточно проста. Однако с точки зрения выполнения расчетов внешняя обойма представляет собой весьма сложную три или шесть раз статически неопределимую систему (в статье рассматривается последний случай). Исследование таких систем рационально выполнять на базе компьютерного трехмерного твердотельного моделирования с применением метода конечных элементов.
Расчетная схема внешней обоймы роликовых МСХ (рис. 1) представляет собой короткую тонкостенную цилиндрическую оболочку, на внутреннюю поверхность которой со стороны заклинивающихся роликов действует распределенная по её длине нормальная дм и касательная нагрузка. Один край оболочки свободен, а другой жестко сопряжен с задней стенкой (кольцевой пластиной), которая в свою очередь переходит в ступицу в виде короткой цилиндрической толстостенной оболочки.
Рис. 1. Расчетная схема внешней обоймы
На напряженно-деформированное состояние внешней обоймы наибольшее влияние оказывают следующие параметры: Б — внутренний диаметр обоймы; г — число заклинивающихся роликов; И^ — толщина оболочки; ^ — толщина кольцевой пластины; I — длина оболочки [16]. Принимая во внимание, что при проектировании внешней обоймы
роликовых МСХ параметры h, ^ и l обычно назначают в зависимости от диаметра D их удобно представить в безразмерном виде — h./D ; D и ¡¡D.
Анализ напряженно-деформированного состояния внешней обоймы проводили с использованием пакета конечно-элементных расчетов T-FLEX Анализ, интегрированного в отечественный программный комплекс для машиностроительного проектирования T-FLEX CAD 3D.
Для проведения вычислительного эксперимента в рамках методологии САD-проектирования создавали трёхмерную твёрдотельную модель внешней обоймы. Конечно-элементную модель внешней обоймы генерировали на основе тетраэдального элемента объемного НДС с четырьмя узлами. Такой элемент позволяет с одной стороны описать твердотельную модель внешней обоймы с достаточной точностью, а с другой стороны снизить временные затраты при проведении расчетов.
Граничные условия взаимодействия рабочих поверхностей внешней обоймы, в зависимости от их типа, задаются в силах или перемещениях.
Так граничные условия взаимодействия внешней обоймы с заклинивающимися роликами задавали в силах (нормальная qN и касательная qt распределенные нагрузки), которые можно определить до начала проведения расчетов [16].
Граничные условия взаимодействия ступицы внешней обоймы с рабочими элементами привода задавали в перемещениях — распределённая подвижная опора АА на внутренней цилиндрической поверхности отверстия и распределённая неподвижная опора NÀ на поверхностях шпоночного паза.
2. Постановка задачи
Характер влияния геометрических параметров внешней обоймы на её напряженно-деформированное состояние будем оценивать коэффициентами влияния: Ka(D), K8(D),
Ka(h1) , KÔ(M), Ka(h2) , Kô(h2), Ka(l) , K8(l), Ka(aH), KS(aH) . Коэффициенты влияния показывают, как меняются напряжения <5г и деформаций bR , возникающие при текущем значении параметров D, z , h./D, h2/D, l/D и оя по отношению к напряжениям (a*e=153
МПа) и деформациям ( =0,032 мм) во внешней обойме с базовыми величинами этих же параметров.
В качестве базовых величин параметров внешней обоймы принято: D = 140 мм; z =6; Н/ D =0,10; h2/D =0,08; l/D =0,35; [ая ] =1500 МПа; Dm=90 мм и dm =60 мм.
В этом случае зависимости для расчета величин наибольших напряжений и деформаций можно представить как:
ae =aeKo(D) Ko(h1) Ka(h2) Ko(l) Ka(aH ) ; (1)
= ^RK8(D)KS(h1)K8(h2)K8(l)K8(vH) . (2)
Предлагаемые зависимости (1) и (2) содержат коэффициенты влияния, для определения которых был выполнен вычислительный эксперимент.
3. Планирование вычислительного эксперимента
При планировании вычислительного эксперимента как зависимые факторы выбирали эквивалентное напряжение <5г и радиальную деформацию 8Й внешней обоймы. Как
независимые факторы выбирали основные геометрические характеристики внешней обоймы и величину действующей на неё нагрузки. При этом интервал варьирования независимых факторов принимали в пределах, которые обычно используют для реальных конструкций роликовых МСХ: Б =40-240 мм; г =3-9; И1/Б =0,06-0,14; к2/Б =0,04-0,12; ¡¡Б =0,20-0,50; оя =750-2250 МПа.
Предварительно были исследованы закономерности изменения напряженно-деформированного состояния внешней обоймы в зависимости от её геометрических характеристик.
Как было установлено изменение параметров Б и г оказывает нелинейное и взаимозависимое влияние на напряженно-деформированное состояние внешней обоймы. Следовательно, при определении коэффициентов Кстф) и К§ф) вычислительный эксперимент необходимо планировать как многофакторный, который лучше всего проводить, используя планы экспериментов близкие к D-оптимальным, например планы второго порядка 32 (таблица) [17]. При использовании таких планов для получения хороших статистических характеристик требуется достаточно небольшое число экспериментальных точек, а поверхность отклика можно описать нелинейной моделью на основе полиномов второго порядка
Таблица План вычислительного эксперимента
№ Независимые факторы
опыта XI (Б, мм) Х2 (2)
1 1 (240) 1 (9)
2 -1 (40) 1 (9)
3 1 (240) -1 (3)
4 -1 (40) -1 (3)
5 1 (240) 0 (6)
6 -1 (40) 0 (6)
7 0 (140) 1 (9)
8 0 (140) -1 (3)
9 0 (140) 0 (6)
Как было установлено изменение параметров И^/Б, И /Б и ¡¡Б для всего возможного диапазона использования Б и г оказывает нелинейной влияние на напряжения и деформации, возникающие во внешней обойме. Следовательно, при определении коэффициентов КСТ(И1), К8(И1), КСТ(И2), К$(И2), ), Кщ), вычислительный эксперимент необ-
ходимо планировать как однофакторный, а для описания функции отклика применять кривые второго полрядка [17]. Следует заметить, что изменение параметров Ка(аН) и
) оказывает линейное влияние.
Полученные экспериментальные результаты были обработаны с использованием методик регрессионного анализа [17, 18] с применением пакета МаШСА014, что позволило получить эмпирические зависимости, описывающие коэффициенты влияния.
Количество опытов (расчетов внешней обоймы при изменении размера конечных элементов) принимали равным пяти, что дает возможность выполнения статистической обработки экспериментальных результатов. В результате статистической обработки экспериментальных результатов установлено [18], что для <зв и 8Й относительная погрешность серии расчетов не превышает 1,7 % и 2,3 % соответственно.
На рис. 2 приведена поверхность отклика, характеризующая изменение коэффициента Ка(Б) в зависимости от диаметра Б и числа роликов 2 . Как видно из представленных
результатов увеличение параметров Б приводит к монотонному увеличению напряжений, по зависимости близкой к линейной. Характер влияния параметра 2 более сложный, его увеличение характеризуется зависимостью, имеющий минимум - вначале происходит уменьшение величины напряжения, а затем её рост.
Это можно объяснить следующим. При увеличение параметра Б одновременно происходит существенное нелинейное повышение нагрузок и линейной рост плеч их действия, что, как следствие, приводит к нелинейному увеличению возникающих напряжений. Характер влияния параметра 2 на изменение напряжений подробно пояснен в работе
3. Экспериментальные результаты
[16].
24(1
Рис. 2. Зависимость коэффициента Ка(Б) от параметров Б и 2
Рис. 3. Зависимость коэффициента К§ф) от параметров Б и 2
Эмпирическую зависимость для определения Кстф) можно записать как К(В) = 1,1412+1,576-10-3 В - 0,1187г + 4,8 • 10-6 В2 +
+1,03-10-2 г2 -1,4 -10-4 Вг
На рис. 3 приведена поверхность отклика, характеризующая изменение коэффициента Кд(в) в зависимости от диаметра В и числа роликов г . Как видно из представленных
результатов увеличение параметров В приводит к монотонному увеличению радиальной деформации, по зависимости близкой к нелинейной. Характер влияния параметра г , как и в предыдущем случае, характеризуется зависимостью, имеющий минимум - вначале происходит уменьшение величины деформации, а затем её рост.
Рост деформации внешней обоймы при увеличении параметра В объясняется ростом её габаритных размеров. Характер влияния параметра г на изменение деформаций подробно рассмотрен в работе [16].
Эмпирическую зависимость для определения К8ф) можно представить как
К8(В) = 4,4873+ 3,02 • 10-4 В - 1,3552г + 4,91 • 10-5 В2 +
{В) . (4)
+ 0,1052 -1,53 • 10-4 Вг
На рис. 4-7 приведен характер влияния параметров В, В, ¡¡В и ая на возникающие во внешней обойме напряжения и деформации.
На рис. 4 показаны кривые, характеризующие изменение коэффициентов КСТ(И1) и
Кд(^1) в зависимости от относительной толщины оболочки И^/В. Как видно из представленных результатов при увеличении параметра И^/В в 2,33 раза (с 0,06 до 0,14) происходит нелинейное уменьшение напряжений и деформации в среднем соответственно в 4,1 и 5,3 раза. Это можно объяснить увеличением размеров поперечных сечений цилиндрической оболочки.
Как известно [14, 15] величины напряжений и деформаций для деталей кольцевой формы будут обратно пропорциональны моментам сопротивления и инерции их поперечных сечений, а они прямо пропорциональны соответственно квадрату и кубу высоты сечений.
Ь-Ш 1 2,0 1,5 1,0 0.5
ШМ 0,06 0,08 0,! 0 0,12 0,14 й, /О
Рис. 4. Зависимость коэффициентов КСТ(И1) и К§(И1) от относительной толщины оболочки: кривые -расчет по формулам (5) и (6); точки — экспериментальные результаты
На рис. 5 показаны кривые, характеризующие изменение коэффициентов КСТ(А2) и Кб(А2) в зависимости от относительной толщины пластины О. Как видно из представленных результатов при увеличении параметра О в 3,0 раза (с 0,04 до 0,12) происходит нелинейное уменьшение напряжений и деформации в среднем соответственно в 1,87 и 2,58 раза. Это можно объяснить увеличением размеров поперечных сечений кольцевой пластины.
При этом при больших значениях О наблюдается незначительная стабилизация коэффициентов КСТ(А2) и К8(А2), так как при увеличении толщины пластина становиться более жесткой.
2.0
1.5
1,0
0.5 0 0,
\ к / ,/0)
—
ио)
- 8 102
КСТ(А2) = 0 52 + (7)
¿2/ О
К8(Й2) = 0 .26 + Ц1^ (8)
¿2/ О
И 0,04 0,06 (),0И 0,10 0,13 /т. О
Рис. 5. Зависимость коэффициентов Кст(^2) и К§(^2) от относительной толщины пластины: кривые расчет по формулам (7) и (8); точки — экспериментальные результаты
Такой характер изменения напряжений и деформаций объясняется тем, что для кольцевых пластин при неизменной нагрузке их величины обратно пропорционально квадрату и кубу их толщины соответственно [14, 15].
Необходимо отметить, что при изменении толщины оболочки величины напряжений и деформаций будут изменяться более значительно (соответственно в 2,05 и 2,19 раза), чем при изменении толщины пластины.
На рис. 6 показаны кривые, характеризующие изменение коэффициентов Кст(/) и
Кд(1) в зависимости от относительной длины оболочки //О. Как видно из представленных
результатов при увеличении параметра 1/О в 2,5 раза (с 0,2 до 0,5) происходит нелинейное увеличение напряжений и деформации в среднем соответственно в 3,87 и 2,95 раза. Это можно объяснить одновременным увеличением двух параметров — зоны действия распределенных нагрузок (нормальной дм и касательной ^^) и плеча их действия относительно опоры (жесткой заделки оболочки).
А.
Щ
:.о
1.5 0
к .. -инп\ о/ /
ГЦТ) - Рч//
уГОГ
\
р 1 ■ £ г*
Ка(1) "
К8(/) "
1
2,1 - 3,3(//П) 1
1,9 - 2,7(1/П)
(9) (10)
ОД 0.2 03 0.4 0.5 //О
Рис. 6. Зависимость коэффициентов Кау) и Кщ) от относительной толщины пластины: кривые - расчет по формулам (9) и (10); точки — экспериментальные результаты
На рис. 7 показаны кривые, характеризующие изменение коэффициентов Ка(аН) и К$(он) в зависимости от величины контактного напряжения ан в местах взаимодействия заклинивающихся роликов и внешней обоймы. Как видно из представленных результатов при увеличении напряжения ан в 3,0 раза (с 750 до 2250 МПа) происходит линейное увеличение возникающих напряжений и деформаций в 3 раза.
*И( ПН I
А ГТ|Г \
1,50
1.0 I) .50 0
{А
Г/
гп; ля | )
0.50
0.75
.25 а |
Ка(аН) - К8(аН)
а
н
[ан ]
(11)
Рис. 7. Зависимость коэффициентов Ка(ан) и К$(ан) от контактных напряжений: кривая - расчет по формуле (11); точки — экспериментальные результаты
Выполнена статистическая оценка адекватности полученных эмпирических зависимости (5)-(11) с использованием критерия Фишера и относительной погрешности расчетных и экспериментальных значений [19]. Принимая во внимание, что величины критерия Фишера меньше критических, а относительная погрешность составляет 1,9-15,4 % для деформаций и 2,3-13,7 % для напряжений, можно сделать вывод о достоверно эмпирических зависимостей.
Заключение
Разработанная методика оценки напряженно-деформированного состояния внешней обоймы роликовых механизмов свободного хода позволяет производить расчеты меха-
низмов при широком диапазоне изменения и любом сочетании их геометрических параметров, соответствующих основным типоразмерам, применяемым на практике: внешнем диаметре — D =40-240 мм; числе заклинивающихся роликов — z =3-9; относительной толщине оболочки — \ j D =0,06-0,14; относительной толщине пластины — h2/D =0,04-0,12; относительной длине оболочки — l/D =0,20-0,50; контактным напряжениям — оя =750-2250 МПа.
Установлено, что наибольшее влияние на изменение величин возникающих во внешней обойме напряжений и деформаций оказывает толщина h и длина l оболочки.
Список литературы
1. Orthwein W.C. Clutches and brakes: design and selection. 2nd ed. N.Y.: Marcel Dekker, 2004. 330 p.
2. Childs P.R.N. Mechanical design engineering handbook. Amst.; Oxf.: Butterworth-Heinemann, 2014. 817 p.
3. Standard handbook of machine design / Ed. by J.E. Shigley, C.R. Mischke. 2nd ed. N.Y.: McGraw-Hill, 1996. 1761 p.
4. Гончаров А.А. Самотормозящиеся клиновые механизмы свободного хода. Волгоград: Издательство ВолгГТУ, 2015. 198 с.
5. Архангельский Г.В., Архангельский А.Г. Роликовые механизмы свободного хода. Одесса: Наука и техника, 2009. 92 с.
6. Ряховский О.А., Иванов С.С. Справочник по муфтам. Л.: Политехника, 1991. 383 с.
7. Aliukov S., Keller A., Alyukov A. Dynamics of overrunning clutches of relay type // SAE Technical Paper. 2015. April. 2015-01-1130. DOI: 10.4271/2015-01-1130
8. Xue W., Pyle R. Optimal design of roller one way clutch for starter drives // SAE Technical Paper. 2004. 2004-01-1151. DOI: 10.4271/2004-01-1151
9. Mockensturm E.M., Balaji R. Piece-wise linear dynamic systems with one-way clutches // Transactions of the ASME. J. of Vibration and Acoustics. 2004. Vol. 127. № 5. Pp. 475-482. DOI: 10.1115/1.1897737
10. Иванов А.С., Ермолаев М.М., Куралина Н.Н., Седова Л.А. Конструирование муфт свободного хода редукторов // Вестник машиностроения. 2014. № 10. С. 3-7.
11. Хабрат Н.И. Анализ усилий в роликовой обгонной муфте // Тракторы и сельхозмашины. 2010. № 10. С. 53-56.
12. Ушнурцев С.В., Келлер А.В., Усиков В.Ю. Применение межколесного дифференциала с муфтой свободного хода на автомобилях многоцелевого назначения // Новые материалы и технологии в машиностроении. 2012. №15. С. 249-252.
13. Серегин А.А. Модернизация роликовых механизмов // Ремонт. Восстановление. Модернизация. 2008. № 12. С. 7-11.
14. Da Silva V.D. Mechanics and strength of materials. B.; N.Y.: Springer, 2006. 529 p.
15. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. 2-е изд. М.: URSS, 2015. 560 с.
16. Золотов И.А., Шарков О.В. Анализ напряженно-деформированного состояния внешней обоймы роликовых механизмов свободного хода // Известия вузов. Машиностроение. 2013. № 10. С. 36-41.
17. Сидняев Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных. 2-е изд. М.: Юрайт, 2014. 495 с.
18. Острейковский В.А., Карманов Ф.И. Статистические методы обработки экспериментальных данных с использованием пакета MathCAD. М.: ИНФРА-М, 2015. 207 с.
19. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. 416 с.
Science ¿Education
of the Baurnan MSTU
Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 01, pp. 37-49.
DOI: 10.7463/0117.0000925
Received: 15.12.2016
Revised: 29.12.2016
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Calculation of Stress and Strain on Outer Shell of Roller One-Way Clutches
I.A. Zolotov1, O.V. Sharkov1'* ':p_ifrarkoy@mailju
Kaliningrad State Technical University, Kaliningrad, Russia
Keywords: one-way clutch, strains-strain state, load capacity, durability, outer shell, drive machines
The increased load capacity and durability of the one-way clutches with simultaneous reduction of mass-dimensional characteristics is largely governed by improving the calculation procedures of the stress-strain state of their basic elements.
Best operating practices of roller one-way clutches in drive machines show that the outer shell is one of the most loaded elements that has an impact on the working capacity of clutches as a whole.
Although, when working in the drive machine, the outer shell destruction may occur quite often, its stress-strain state is, usually, calculated by the approximate and simplified formulas to calculate the rings of the simple shape with the uniform stress distribution over the cross-sections.
To study and define the impact nature of the geometrical parameters of the outer shell on its arising stress and strain, solid-state computer simulation and calculation has been performed in the national T-FLEX CAD software complex by the finite element method. The article proposes to use the influence coefficients to estimate an extent of the impact of different geometrical parameters.
During the computational experiment, the geometric parameters were varied in ranges corresponding to the main dimension types of the clutches used in drive machines: the inner diameter of the shell - D =40-240 mm; the number of block rollers - z =3-5; the relative thickness of the shell - V D =0,06-0,14; the relative thickness of the plate - h2/D =0,04-0,12; relative to the length of the shell l/D =0,20-0,50.
It has been found that with changing shell thickness the values of arising stresses and strains decrease, respectively, 2.05 and 2.19 times more than with changing plate thickness.
Processing of results of computational experiments allowed us to obtain the empirical formulas to calculate a stress-strain state in any combination and in a wide range of changing geometrical parameters of the outer shell.
The proposed procedure allows us to raise the reliability and computational accuracy of the stress-strain state of the outer shell of the one-way clutches.
References
1. Orthwein W.C. Clutches and brakes: design and selection. 2nd ed. N.Y.: Marcel Dekker, 2004. 330 p.
2. Childs Peter R. N. Mechanical design engineering handbook. Amst.; Oxf.: ButterworthHeinemann, 2014. 817 p.
3. Standard handbook of machine design / Ed. by J.E. Shigley, C.R. Mischke. 2nd ed. N.Y.: McGraw-Hill, 1996. 1761 p.
4. Goncharov A.A. Samotormoziaschiesia klinovye mekhanizmy svobodnogo khoda [Self-locking wedge mechanisms freewheel]. Volgograd: VGTU Publ., 2015. 200 p. (in Russ.).
5. Arkhangel'skij G.V., Arkhangel'skij A.G. Rolikovye mekhanizmy svobodnogo khoda [Roller mechanisms freewheel]. Odessa: Nauka i tekhnika Publ., 2009. 92 p. (in Russ.).
6. Riakhovskij O.A., Ivanov S.S. Spravochnik po muftam [Handbook of Clutches]. Leningrad: Politekhnika Publ., 1991. 384 p. (in Russ.).
7. Aliukov S., Keller A., Alyukov A. Dynamics of overrunning clutches of relay type. SAE Technical Paper, 2015, April, 2015-01-1130. DOI: 10.4271/2015-01-1130
8. Xue W., Pyle R. Optimal design of roller one way clutch for starter drives. SAE Technical Paper, 2004, 2004-01-1151. DOI: 10.4271/2004-01-1151
9. Mockensturm E.M., Balaji R. Piece-wise linear dynamic systems with one-way clutches. Transactions of the ASME. J. of Vibration and Acoustics, 2004, vol. 127, no. 5, pp. 475-482. DOI: 10.1115/1.1897737
10. Ivanov A.S., Ermolaev M.M., Kuralina N.N., Sedova L.A. Design of free-wheeling clutches of reducers. Vestnik mashinostroeniya [J. of Mechanical Engineering], 2014, no. 10, pp. 3-7. (in Russ.).
11. Khabrat N.I. Analysis of forces in the roller overrunning clutch. Traktory i sel'khozmashiny [Tractors and Farm Machinery], 2010, no. 10, pp. 53-56. (in Russ.).
12. Ushnurtsev S.V., Keller A.V., Usikov V.Yu.Application of interwheel differential with the coupling of the free wheeling on cars of the universal purpose. Novye materialy i tekhnologii v mashinostroenii [New Materials and Technologies in Machine Building], 2012, no. 15, pp. 249-252. (in Russ.).
13. Seregin A.A. Modernization of roller mechanisms. Remont. Vosstanovlenie. Modernizatsiya [Repair, Reconditioning, Modernization], 2008, no. 12, pp. 7-11. (in Russ.).
14. Da Silva V.D. Mechanics and strength of materials. B.; N.Y.: Springer, 2006. 529 p.
15. Birger I.A., Mavlyutov R.R. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. 2nd ed. Moscow: URSS Publ., 2015. 560 p. (in Russ.).
16. Zolotov I.A., Sharkov O.V. Analysis of the stress-strain state of an external roller freewheel mechanism cage. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenij. Mashinostroenie [Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building], 2013, no. 10, pp. 42-47.
DOI: 10.18698/0536-1044-2013-10-36-41 (in Russ.)
17. Sidniaev N.I. Teoriia planirovaniia eksperimenta i analiz statisticheskikh dannykh [Planning theory of experiment and analysis of statistical data]. 2nd ed. Moscow: Yurajt Publ., 2014. 495 p. (in Russ.).
18. Ostrejkovskij V.A., Karmanov F.I. Statisticheskie metody obrabotki eksperimental'nykh dannykh s ispol'zovaniempaketa MathCAD [Statistical methods of experimental data processing using MathCAD]. Moscow: INFRA-M Publ., 2015. 207 p. (in Russ.).
19. Bol'shev L.N., Smirnov N.V. Tablitsy matematicheskoj statistiki [Tables of mathematical statistics]. Moscow: Nauka Publ., 1983. 416 p. (in Russ.).
