CC BY
10
8. Наумов В. А. Математическое моделирование распространения взвешенных примесей от точечного источника и их осаждения в водотоке // Известия КГТУ. 2017. № 44. С. 46-58.
9. Шрайбер А. А., Милютин В. Н., Яценко В. П. Гидромеханика двухкомпонент-ных потоков с твердым полидисперсным материалом. Киев, 1980.
10. Шрайбер А. А., Гавин Л. Б., Наумов В. А., Яценко В. П. Турбулентные течения газовзвеси. Киев, 1987.
Об авторах
Николай Леонидович Великанов — д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
Е-mail: monolit8@yandex.ru
Владимир Аркадьевич Наумов — д-р техн. наук, проф., Калининградский государственный технический университет, Калининград.
Е-mail: van-old@rambler.ru
Сергей Иванович Корягин — д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
Е-mail: SKoryagin@kantiana.ru
About the authors
Prof. Nikolay Velikanov — I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.
E-mail: monolit8@yandex.ru
Prof. Vladimir Naumov — Kaliningrad State Technical University, Kaliningrad.
E-mail: van-old@rambler.ru
Prof. Sergey Koryagin — I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.
E-mail: SKoryagin@kantiana.ru
81
УДК 621.837.2: 539.3
И. А. Золотов, О. В. Шарков
АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ВНЕШНЕЙ ОБОЙМЫ РОЛИКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ СВОБОДНОГО ХОДА
Внешняя обойма является важным конструктивным элементом, влияющим на работоспособность роликовых механизмов свободного хода. Проведен анализ и даны рекомендации по использованию математических моделей для расчета деформаций внешней обоймы. Установлено, что при изменении числа заклинивающихся роликов в диапазоне от 3 до 7 происходит нелинейное уменьшение величины радиальной деформации, а в диапазоне от 7 до 30 — ее увеличение.
The outer shell is an important component influencing on the working capacity of roller one-way clutches. The analysis is carried out and recom-
© Золотов И. А., Шарков О. В., 2017
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 2. С. 81-87.
mendations about use of mathematical models for calculation of deformation of outer shell are made. It is established that at change of number of wedged rollers in a range from 3 to 7 there is a nonlinear decrease of value of a radial deformation, and in a range from 7 to 30 its increase.
Ключевые слова: роликовый механизм свободного хода, внешняя обойма, деформированное состояние, деформация, математическая модель.
Key words: roller one-way clutch, outer shell, strain state, deformation, mathematical model.
82
Создание современных машин тесно связано с проблемами исследования их напряженно-деформационного состояния в целях повышения нагрузочно-скоростных и уменьшения масса-габаритных характеристик их узлов и деталей.
Практика эксплуатации роликовых механизмов свободного хода (МСХ) показывает, что одними из наиболее нагруженных элементов, влияющих на работоспособность машин в целом, является внешняя обойма.
Однако при проектировании роликовых МСХ геометрические параметры внешней обоймы чаще всего не рассчитывают, а задают по конструктивным рекомендациям в зависимости от ее внутреннего диаметра О: в случае небольших габаритов — 1/5О, для больших габаритов - 1/8О [1; 2].
В некоторых источниках [1—4] приведены рекомендации по упрощенному расчету деформированного состояния внешней обоймы, когда ее расчетную схему рассматривают в виде кольца, нагруженного сосредоточенными силами, действующими в его плоскости (рис. 1). При этом используют математические модели, предназначенные для расчета колец, находящихся в плоском напряженном состоянии.
Рис. 1. Расчетная схема внешней обоймы: 1 — внешняя обойма (кольцо); 2 — заклинивающие ролики; 3 — внутренняя звездочка
Для расчета радиальных деформаций внешней обоймы роликовых МСХ в настоящее время используют несколько моделей [2 — 4] (табл. 1). Необходимо уточнить, что деформация обоймы в радиальном направлении определяется в месте приложения нормальных сил. Все обозначения в моделях (1-1) — (1-111) соответствуют принятым в расчетной схеме на рисунке 1.
Таблица 1
Математические модели для определения деформации внешней обоймы
Тип
Модель 1-I [2]
Модель 1-II [3]
Модель 1-III [4]
Формула
0,366zRlogtg— + Ehl 1 z
180 1,93(D + h)2
z3 h2
где — нормальная сила, действующая на внешнюю обойму со стороны ролика; Е — модуль упругости материала обоймы; Н — толщина обоймы; I — длина ролика; К — внутренний радиус обоймы, К = 0,50; 2 — число роликов
8 =
0, 5FnD
2EJ
(180/z)
% 1 360 --1— sin-
2z 4 z
где J — момент инерции сечения внешней обоймы
hmln =
30T(D + D1)k1k2
т°и ]
где D — внутренний диаметр внешней обоймы D1 — внешний диаметр обоймы; T — вращающий момент, передаваемый механизмов; k1 — коэффициент, учитывающий влияние числа роликов на деформацию внешней обоймы; k2 — коэффициент, учитывающий влияние радиуса кривизны на деформацию обоймы, k2 и 1,07; f — коэффициент трения скольжения, f = 0,06; [сти ] — допускаемое напряжение изгиба, [сти ] = 200 МПа. Здесь
T = 0,5DfFN, К = 2- [- - ctg ^
2z 1% z
83
Следует отметить, что модель (1-Ш) может только косвенно оценить деформацию внешней обоймы, так как позволяет рассчитывать минимальную толщину внешней обоймы из условия ее наименьшей радиальной деформации. Для этого она включает коэффициенты, учитывающие влияние числа роликов и радиуса кривизны на деформацию внешней обоймы. Одновременно эта модель учитывает и прочность внешней обоймы.
Выполним анализ предлагаемых моделей, поскольку они приведены в источниках без численных примеров расчета реальных конструкций внешней обоймы МСХ.
Как было показано в работе [5], практический диапазон изменения числа роликов обычно составляет 3 — 8, иногда до 20, а теоретический диапазон можно увеличить до 25 — 30.
Исходные данные для расчета приняты как для реальной конструкции внешней обоймы: О = 140 мм; Н = 14 мм; Ры = 22700 Н; I = 48 мм. Модуль упругости материала обоймы Е = 2,1-105 МПа.
На рисунке 2 приведены кривые, характеризующие влияние числа роликов на величину радиальной деформации внешней обоймы.
84
мм 0,626
0,25
-0.125
-0,5
0
10
2
1
15
20
25
Рис. 2. Изменение радиальной деформации в зависимости от числа роликов: 1 — модель 1-1; 2 — модель 1-11
На рисунке 3 представлен график зависимости минимальной толщины внешней обоймы от числа роликов. Для наглядности величина толщины обоймы представлена в безразмерном виде, полученном в результате деления текущей толщины Нт1п(^ на величину толщины
при г = 3.
Рис. 3. Изменение толщины внешней обоймы в зависимости от числа роликов: модель 1-Ш
Как видно из полученных результатов, для всех моделей при увеличении числа роликов величина радиальной деформации уменьшается. Следовательно, наблюдается «парадоксальное» с физической точки
зрения явление, когда вследствие увеличения числа роликов (числа сил Ры, т. е. суммарной нагрузки действующей на внешнюю обойму) величина ее радиальная деформация уменьшается.
В некоторой степени это можно объяснить тем, что при увеличении числа сил происходит изменение расчетной схемы. Схема — «кольцо, нагруженное сосредоточенными силами», — приближается к схеме — «кольцо, нагруженное распределенной нагрузкой».
При использовании каждой модели наблюдаются свои особенности.
Использование модели 1-1 показывает, что величина радиальной деформации меняет знак на «минус» при числе роликов, равном 8 (см. рис. 2). Следовательно, получается, что деформация обоймы происходит противоположно направлению действия нормальной силы, причем в точке ее приложения. Физически объяснить это явление весьма сложно. Скорее всего, это говорит о том, что использование модели 1-1 при числе роликов 2 ^ 8 некорректно.
Использование модели 1-11 показывает, что при числе роликов 2 ^ 10 величина радиальной деформации стабилизируется и практически не меняется.
При использовании модели 1-111 наблюдается уменьшение минимальной толщины обоймы по степенной зависимости, а следовательно, и радиальной деформации во всем диапазоне увеличения роликов.
Такой «парадоксальный» характер изменения радиальной деформации требует дополнительного анализа достоверности предложенных моделей 1-1 — 1-111 на основании широко используемых и хорошо проверенных моделей (табл. 2), применяемых для расчета деформированного состояния плоских колец методами сопротивления материалов [5 — 7].
Таблица 2
Математические модели для деформации плоских колец
85
Тип Формула
Модель 2-1 [6] д FNR1 " 1 Г я | в1п(360/2)| 21 ~ 2Е] _в1п2(180/2)[22 ' 4 ) я]' где К1 — радиус кривизны нейтральной оси кольца, К1 = 0,5(0 + И)
Модель 2-11 [7] Г К3 д м 1 "я 1 эт(360/2) 2 э1п2 (180/ 2)]
" 2Е] в1п2(180/ 2) 22 4 я
Модель 2-Ш [8] Г К3 5 = ^ 1 , 2Е] в1п2(180/ 2) Г К3 1 + -^ч141 ± ЕГ 2 вт2 (] "я 1. Г360|2в1п2(180/2) 1 22 4 2 ) 2 я/ 2 1 я вт(360/ 2) 1 1.80/ 2) _ 22 4 ]
На рисунке 4 представлены результаты расчета величины радиальной деформации кольца с использованием моделей таблицы 2. Величины геометрических и силовых параметры кольца были приведены ранее. Для наглядности все радиальные деформации даны в безразмерном виде, полученном в результате деления текущей деформации на величину наибольшей деформации 5тах, рассчитанной по каждой модели при 2 = 3.
86
к 5,
0,8
0,6
0,4
0,2
3
2
0
5
10
15
20
25 2
Рис. 4. Изменение радиальной деформации в зависимости от числа роликов: 1 — модель 2-1; 2 — модель 2-11; 3 — модель 2-111
Анализ приведенных кривых показывает следующее. При использовании моделей 2-1 и 2-11 получаются идентичные результаты. В этом случае для всего диапазона увеличения числа роликов 2 (числа сил Ры ) происходит нелинейное уменьшение деформации, и при достижении 10 роликов она стабилизируется и практически не меняется. Характер изменения деформации аналогичен модели 1-11.
При использовании модели 2-111 мы имеем два характерных диапазона изменения радиальной деформации. Первый диапазон от 3 до 7 роликов, в котором при увеличении их числа происходит уменьшение деформаций, и второй — от 7 до 30, в котором при увеличении их числа происходит нелинейный рост деформаций. В целом характер изменения радиальной деформации подобен изменению напряжений, возникающих в кольце [5], так как в общем случае напряжения и деформации связаны пропорциональной зависимостью.
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.
1. Использование модели 2-111, предложенной И. А. Биргером, позволяет оценить характер влияния различных конструктивных и силовых параметров внешней обоймы роликовых МСХ на возникающие в ней наибольшие радиальные деформации. Однако применение данных моделей для определения величины деформации 5 может привести к грубым ошибкам, поскольку она предназначена для расчета плоских колец, нагруженных в своей плоскости.
2. Использование моделей 2-1 — 2-11 не рекомендуется, так как полученные на ее основе результаты сложно объяснить с физической точки зрения.
3. Оценку деформированного состояния внешней обоймы роликовых МСХ необходимо выполнять на основе моделей, полученных с использованием методов позволяющих более полно учесть особенности ее напряженно-деформированного состояния, например за счет использования численных методов - метода конечных элементов.
Список литературы
1. Архангельский Г. В., Архангельский А. Г. Роликовые механизмы свободного хода. Одесса, 2009.
2. Мальцев В. Ф. Роликовые механизмы свободного хода. М., 1968.
3. Пилипенко М. Н. Механизмы свободного хода. Л., 1966.
4. Ряховский О. А., Иванов С. С. Справочник по муфтам. Л., 1991.
5. Золотов И. А., Шарков О. В. Анализ математических моделей напряженного состояния внешней обоймы роликовых механизмов свободного хода / / Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта: Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 1. С. 84 — 90.
6. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев, 1988.
7. Прочность. Устойчивость. Колебания : справочник : в 3 т. М., 1968. Т. 1.
8. Биргер И. А., Шорр Б. Я., Иосилевич Г. Б. Расчет на прочность деталей машин. М., 1993.
Об авторах
Иван Анатольевич Золотов — соиск., Калининградский государственный технический университет.
E-mail: zolivan@rambler.ru
87
Олег Васильевич Шарков — д-р техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград. E-mail: o_sharkov@mail.com
About the authors
Ivan Zolotov — applicant, Kaliningrad State Technical University. E-mail: zolivan@rambler.ru
Prof. Oleg Sharkov — I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: o_sharkov@mail.com
