Расчет на устойчивость правильных n-угольных, треугольных и ромбических шарнирно опертых пластинок с использованием отношения конформных радиусов в качестве геометрического аргумента Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.046.3; 624.073

РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПРАВИЛЬНЫХ n-УГОЛЬНЫХ, ТРЕУГОЛЬНЫХ И РОМБИЧЕСКИХ ШАРНИРНО ОПЕРТЫХ ПЛАСТИНОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОТНОШЕНИЯ КОНФОРМНЫХ РАДИУСОВ В КАЧЕСТВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО АРГУМЕНТА

© 2012 г А.А. Черняев

Черняев Андрей Александрович - аспирант, кафедра строительных конструкций и материалов, Архитектурно-строительный институт Государственного университета -учебно-научно-производственного комплекса, ул. Наугорское шоссе, 29, г. Орел, 302020, е-mail: Chernyev87@yandex.ru.

Chernyaev Andrew Aleksandrovich - Post-Graduate Student, Department of Building Designs and Materials, Architecturally-Building Institute of State University - Educational-Science-Production Complex, Naugorsky Highway, 29, Oryol, 302020, e-mail: Chernyev87@yandex.ru.

Для определения критического усилия при потере устойчивости при равномерном всестороннем сжатии упругих изотропных правильных n-угольных, треугольных и ромбических шарнирно опертых пластинок предлагается использовать единую для всех расчетную функцию одной переменной. В качестве этой переменной выступает безразмерная геометрическая характеристика формы плоской области — отношение внутреннего к внешнему конформных радиусов. Указывается на преимущество использования этого отношения в сравнении с аналогами.

Ключевые слова: расчет на устойчивость, критическая сила, правильные n-угольные, треугольные, ромбические пластинки, отношение конформных радиусов, геометрические методы строительной механики.

For definition of critical effort at loss of stability at uniform all-round compression elastic isotropic of correct n-coal, triangular and rhombic plates with hinge a support on a contour is suggested to use the uniform for all settlement function of one variable. As this variable acts the new argument of geometrical methods of the decision of two-dimensional problems of building mechanics — dimensionless geometrical characteristic of the form of flat area — the relation internal to the external conformal radiuses. It is underlined advantage of use of this relation in comparison with analogs.

Keywords: calculation on stability, critical effort, correct n-coal, triangular, rhombic plates, relation of conformal radiuses, geometrical methods of building mechanics.

Состояние проблемы и постановка задачи

Проблема обеспечения эксплуатационной надежности любых конструкций и их элементов связана с всесторонними расчетами на статические и динамические воздействия.

Таким элементом конструкций являются пластинки, широко распространенные во многих областях техники: строительстве, судостроении, авиастроении, строении гидротехнических сооружений, мостостроении, машиностроении и пр. В случае работы пластинки на сжатие (продольный изгиб) необходимо выполнение расчета на устойчивость, задачей которого является определение критического усилия. В работе рассматриваются упругие изотропные жесткие пластины средней толщины (пластинки): Дтц1/10 < И < < Дш;п/100, где И - толщина пластинки; Дт-п - минимальный габаритный размер в плане; wo < И /5, где Wo - максимальный прогиб (выгиб).

Уравнение устойчивости жесткой пластинки имеет вид [1]

D

дх4

+ 2

д 4w дх 2ду 2

4

д w

= ~Чс

д 2w ' дх2

ö2w

+ 2у-+ ß

ö2

дхду ду2

(1)

где Б - цилиндрическая жесткость пластинки; V = = ^(х, у) - функция прогибов (выгибов); qo - интенсивность внешней нагрузки; Ых, Ыу - сжимающие, Ыху -сдвигающие усилия; N = ац0, Ыу = Ыху = а, в; у - положительные коэффициенты.

Наименьшее значение параметра qo характеризует внешнюю критическую нагрузку д0> тш = q0,кр, которая находится из условия существования нетривиальных (отличных от нуля) решений однородной краевой задачи (1) при соответствующих однородных граничных условиях. Такое решение в замкнутой форме получить достаточно трудно, поэтому при решении задач устойчивости пластинок используют два основных метода: статический и энергетический [1].

Первый заключается в определении величины критической нагрузки путем нахождения собственных чисел дифференциального уравнения устойчивости (1), т.е. таких значений коэффициентов этого уравнения, для которых оно может иметь отличное от нуля решение. С его помощью получены решения для ряда частных случаев и пластинок простейших форм (круглой, прямоугольной).

Второй основан на использовании такого положения, когда моменту перехода из устойчивой формы равновесия в неустойчивую соответствует условие равенства работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях. На его основе с использованием вариационных методов [2] получены решения и для

некоторых частных случаев внешней нагрузки, граничных условий, принадлежащие в основном пластинкам простейших форм (прямоугольной, правильной треугольной). При этом стоит отметить, что их реализация связана с решением сложных дифференциальных уравнений, а для повышения точности результатов необходимо применять различные способы приближения выбираемых аппроксимирующих функций.

Другие методы (R-функций, коллокаций и пр.), в некоторых случаях являются более предпочтительными, однако достаточно трудоемки и в большинстве своем не применимы к пластинкам сложных форм (правильным и-угольным, треугольным отличным от правильного треугольника и др.).

В настоящее время рассматриваемую в статье задачу обычно решают численными методами (конечных разностей (МКР), конечных элементов (МКЭ) и др. [3]). При их реализации производится однократный расчет, при котором нет возможности отследить изменение искомого решения, например критического усилия при потере устойчивости, при изменении геометрических параметров и формы пластинки.

В тех случаях, когда необходимо оперативно получить оценку искомой физико-механической характеристики пластинки (F), в их числе критическое усилие при потере устойчивости, и (или) не требуется высокая точность, что особенно актуально на начальной стадии проектирования, активно применяют геометрические методы [4]. Они позволяют избежать решения сложных дифференциальных уравнений, в их числе (1), не требуют мощных ЭВМ и сводятся к геометрическому моделированию формы плоской области. Для их реализации выбирается некоторая геометрическая характеристика формы области (Г) (в нашем случае - области пластинки), выступающая в роли основного аргумента, в зависимости от которой и определяются искомые решения: F = /(Г). При этом используются некоторые частные известные точные решения, либо решения, полученные другими методами.

При использовании геометрических методов появляется возможность сравнивать и отслеживать изменения искомых значений физико-механических характеристик для пластинок различных классов форм (треугольных и ромбических, прямоугольных и многоугольных и т.д.), изучая поведение этого геометрического аргумента. Только точные аналитические методы дают такую же возможность при решении задач технической теории пластинок.

Среди таких методов стоит отметить изоперимет-рический (ИЗПМ), примененный впервые всемирно известными математиками Г. Полиа и Г. Сеге [5] еще в 1962 г. для решения задач математической физики, а для решения задач теории пластинок - профессором В.И. Коробко в 1980 г. [4], а также метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) [6], разработанный профессором А.В. Коробко и являющийся логическим развитием ИЗПМ. В этих методах в качестве геометрического аргумента для определения физико-механических характеристик пластинок используется интегральная характеристика формы плоской области - коэффициент формы К/. Подробнее с этой характеристикой, ее изопериметрическими свойства-

ми и закономерностями можно ознакомиться, например, в [4-6].

В настоящей работе рассматривается новый аналогичный геометрический аргумент - безразмерная характеристика формы плоской области - отношение внутреннего к внешнему конформных радиусов Г^г . Как аргументы по отдельности конформные радиусы широко используются при решении многих прикладных задач математической физики, гидро- и аэродинамики, магнитогидродинамики и пр. [5, 7]. Отношение радиусов впервые было использовано в теории пластинок профессором В.И. Коробко и доцентом А.Н. Хусточкиным в 1994 г. при исследовании задачи устойчивости [8]. В [9] было получено неравенство для определения критического усилия при потере устойчивости докр шарнирно опертых пластинок в форме правильных п-угольников, произвольных треугольников и ромбов при равномерном всестороннем

сжатии

, &

Чо,ёд ^ъЩ -

-1

D

(2)

) А-1 + | где К = 5,783 - числовой коэффициент, обращающий выражение (2) в равенство для круглых пластинок; А - площадь пластинки; ск - коэффициенты разложения функции, осуществляющей взаимнооднозначное конформное отображение области пластинки на круг, в степенной ряд: ю = /(2) = с0+с^+с2^2+с3^3+...; Л -отношение интегралов, вычисляемых через квадраты бесселевых функций [5, 7].

Неравенство (2) дает асимптотически точные значения. Однако для получения оценки с высокой точностью необходимо удержание порядка 4...6 членов ряда в разложении отображающей функции, что является очень трудоемким и значительно снижает эффективность его использования. Рассмотрим возможности устранения этого недостатка.

Шаг 1. Удержим в разложении отображающей функции лишь первый член ряда, тогда выражение (2) примет более простой вид:

&Т1 Б

%,ёз '7. (3)

Представим на рис. 1 сравнение действительных значений критического усилия до,кр (таблица, колонка 2) с верхней оценкой по выражению (3) (таблица, колонка 5), представленных в зависимости от отношения конформных радиусов Т^г (таблица, колонка 1)

для рассматриваемого множества пластинок. За действительные значения приняты известные точные решения и полученные МКЭ (с числом конечных элементов не менее 1000). Все решения представлены в общем виде: Б

%,ёд - kq ■

(4)

где кч - коэффициент пропорциональности (численное решение), зависящий от формы пластинки и ее граничных условий.

Анализ рис. 1 показывает, что при вытягивании пластинок (¡8£г ^ 0) завышенность получаемых по выражению (3) решений монотонно увеличивается и

достигает 15...20 %. Исходя из этого, заключаем, что неравенство (3) может эффективно использоваться для определения критического усилия при потере устойчивости только для незначительно вытянутых пластинок.

юч,!

Т | I I I | I |

I 1 I 1 I I | I

I 1 1 1 I I | I

1 1 1 I | I

1 1 1 1 I | i с

(t/t)

0.6 0.7 0.8 0.9

• - действительные значения kq о - верхняя оценка значений kq

1.0

юЧ",!

-1—

m

-L-L

0 0,2 0,4 0,6

• - действительные значения kq о - верхняя оценка значений kq

0,8

К)Ч„

* , 8?! ! i! 1

♦ • Y ? ! ! !: ! !!

, ? : 5 ! ! II!

Г ! ! ! 1 ! ! 1 i'i! | | ¡III

0.2 0,4 0.6 0.8

• - действительные значения kq; о - верхняя оценка значений kq

б

(t/r)

? T

« • 3 i ? 11 I 1 1 1 1

t Л 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 ! i i ■ ■ i

i 1 1 i i i i i i

-L 1 1 1 1 1 1 ! i I !

Шаг. 2. Характер изменения действительных значений критического усилия при потере устойчивости в зависимости от отношения Щт, одинаково монотонный для всего рассматриваемого множества форм пластинок (рис. 1), позволяет предположить, что эти значения, представленные на одной

координатной плоскости А "1 - Щ-г .

выродятся в единую кривую. На рис. 1 откладываем обратную

величину кч - А "1 (таблица, колонка 4), так как в этом случае их значения приближаются к конечному. (¡.Гг) Максимальное значение обратной величины критического усилия при потере устойчивости из всего множества рассматриваемых полигональных пластинок, как известно из ИЗПМ [4], принадлежит правильной и-угольной пластинке при

/7 —> оо.

Проверим это. На основании табличных данных (таблица, колонки 1, 4) отложим в координат-

ной плоскости

к -

к- - ß

q

r значения

! 0,4 0,6 0,8

• - действительные значения kq; о - верхняя оценка значений kq

Рис. 1. Оценка завышенности решений по выражению (2) для шарнирно опертых пластинок в форме: а - правильных п-угольников; б - равнобедренных треугольников; в - прямоугольных треугольников; г - ромбов

рующую Equations:

q (РИС.2).

(r/r) Эти значения для пластинок i,o рассматриваемого множества форм вырождаются в единую кривую. Воспользуемся программой Table Curve_2D и получим аппроксими-функцию рационального вида Rational

_ 1 + 10,52(ßr)2 -0,25437(ßr)4 к 0,38104(ßr)2 + 0,24668(ßr )4

(5)

Сопоставление действительных значений критического усилия при потере устойчивости при равномерном всестороннем сжатии шарнирно опертых пластинок со значениями, найденными по выражениям (3) и (5)

а

в

г

Геометрические параметры пластинок ßr Известные точные решения и решения, полученные МКЭ Верхняя оценка по (3) Решения по аппроксимирующей функции (5)

kq Источник к-1 kq kq Д, % kq Д, %

№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8

Правильные n-угольные пластинки

16-угольник 0,99 88 17,821 [МКЭ] 0,05813 18,190 2,07 17,968 0,83

12-угольник 0,9972 17,853 [МКЭ] 0,05633 18,219 2,05 17,997 0,81

8-угольник 0,9903 18,040 [МКЭ] 0,05543 18,346 1,70 18,123 0,46

6-угольник 0,9762 18,394 [МКЭ] 0,05437 18,611 1,18 18,384 -0,05

4-угольник 0,9139 19,739 [6] 0,05066 19,879 0,71 19,597 -0,72

3-угольник 0,7748 22,792 [6] 0,04388 23,448 2,88 22,741 -0,22

Равнобедренные треугольные пластинки

а = 800 0,5308 31,153 [МКЭ] 0,03210 34,227 9,87 31,068 -0,27

а = 700 0,7270 23,866 [МКЭ] 0,04190 24,990 4,71 24,007 0,59

а = 600 0,7748 22,792 [6] 0,04388 23,448 2,88 22,741 -0,22

а = 500 0,7411 23,585 [МКЭ] 0,04240 24,515 3,94 23,621 0,15

а = 450 0,7034 24,674 [МКЭ] 0,04053 25,829 4,68 24,678 0,01

а = 400 0,6556 26,178 [МКЭ] 0,03820 27,712 5,86 26,151 -0,10

а = 300 0,5342 31,350 [МКЭ] 0,03190 34,009 8,48 30,905 -1,42

Окончание таблицы

Геометрические параметры пластинок Щг Известные точные решения и решения, полученные МКЭ Верхняя оценка по (3) Решения по аппроксимирующей функции (5)

kq Источник к-1 kq kq Д, % kq Д, %

№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8

а = 200 0,3837 41,667 [МКЭ] 0,02400 47,349 13,64 41,390 -0,66

а = 100 0,2063 80,821 [МКЭ] 0,01405 88,065 15,82 81,851 2,39

Прямоугольные треугольные пластинки

а = 450 0,7034 24,674 [МКЭ] 0,04053 25,829 4,68 24,678 0,01

а = 400 0,6970 24,752 [МКЭ] 0,04040 26,066 5,31 24,866 0,46

а = 350 а = 300 0,6771 0,6436 25,381 26,589 [МКЭ] [МКЭ] 0,03940 0,03761 26,832 28,229 5,72 6,17 25,467 0,34 -0,15

26,548

а = 250 0,5941 28,329 [МКЭ] 0,03530 30,580 7,95 28,334 0,02

а = 200 0,5284 31,546 [МКЭ] 0,03170 34,383 8,99 31,184 -1,15

а = 150 0,4419 37,175 [МКЭ] 0,02690 41,113 10,59 36,325 -2,29

а = 100 0,3309 48,031 [МКЭ] 0,02082 54,904 14,31 48,094 0,13

Ромбические пластинки

а = 900 0,9139 19,739 [МКЭ] 0,05066 19,879 0,71 19,597 -0,72

а = 800 0,9036 19,810 [МКЭ] 0,05048 20,106 1,49 19,807 -0,01

а = 700 0,8724 20,329 [МКЭ] 0,04919 20,825 2,44 20,465 0,67

а = 600 0,8199 21,626 [МКЭ] 0,04624 22,159 2,46 21,644 0,08

а = 500 0,7457 23,358 [МКЭ] 0,04324 24,364 4,30 23,498 0,60

а = 450 0,7002 24,915 [МКЭ] 0,04014 25,947 4,14 24,771 -0,58

а = 400 0,6487 26,268 [МКЭ] 0,03864 28,007 6,62 26,378 0,42

а = 300 0,5277 30,972 [МКЭ] 0,03252 34,428 11,16 31,219 0,80

а = 200 0,3807 41,289 [МКЭ] 0,02462 47,722 15,58 41,706 1,01

а = 100 0,2057 73,372 [МКЭ] 0,01363 88,322 20,38 73,39 0,03

Примечание. Значения Цг подсчитаны по известным формулам [5] и заимствованы из работы автора [9]; а - для равнобедренного треугольника - угол при основании, для прямоугольного - меньший угол при гипотенузе; для ромба - острый угол, образованный сторонами; Д - разница между значениями кд в столбцах 2 и 5, 2 и 7.

Выводы

1. Значения критического усилия при потере устойчивости при равномерном всестороннем сжатии для правильных и-угольных, треугольных и ромбических шарнирно опертых равновеликих (равной площади) пластинок, представленные как функции отношения внутреннего к внешнему конформных радиусов областей, ограниченных контурами пластинок, вырождаются в единую кривую.

2. Шарнирно опертые равновеликие пластинки указанных форм с одинаковыми отношениями конформных радиусов имеют и приблизительно (с погрешностью, не превышающей 2,4 %) равную величину критического усилия при потере устойчивости при равномерном всестороннем сжатии.

3. Полученная аналитическая функция (5), единая для шарнирно опертых пластинок указанных форм, может эффективно использоваться при расчете на устойчивость таких пластинок и имеет широкие возможности при решении оптимизационных задач, связанных с выбором оптимальных с точки зрения устойчивости геометрических параметров и форм плоских элементов конструкций.

Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы Минобрнауки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» по проекту №2.1.2/10201 «Разработка теоретических основ и развитие вибрационных методов диагностики и контроля качества строительных конструкций балочного типа и пластинок».

Рис. 2. Кривая к„1 - ГЦг для шарнирно опертых пластинок

Для удобства использования в расчетах мы получили функцию для определения величины кч из выражения (4). Отклонение значений кч, получаемых по формуле (5), от действительных не превышает 2,4 % (таблица, колонки 7, 8). Отметим, что возможность объединить решения критического усилия для такого большого множества форм пластинок не представляет ни один другой аналогичный геометрический аргумент, в том числе широко известный аналог - коэффициент формы К [6].

Литература

1. Коробко В.И., Коробко А.В. Строительная механика

пластинок: Техническая теория. М., 2010. 410 с.

2. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные

основы. М., 2005. 736 с.

3. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников А.М. Численные

методы решения задач строительной механики. Минск, 1990. 349 с.

4. Коробко В.И. Изопериметрический метод в строитель-

ной механике. Теоретические основы изопериметриче-ского метода. М., 1997. 390 с.

Поступила в редакцию

5. Поли Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в ма-

тематической физике. М., 2006. 336 с.

6. Коробко А.В. Геометрическое моделирование формы

области в двумерных задачах теории упругости. М., 1999. 320 с.

7. Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения и

их приложения. М., 2002. 324 с.

8. Коробко В.И., Хусточкин А.Н. Изопериметрический

метод в задачах устойчивости пластинок. Ростов н/Д, 1994. 148 с.

9. Коробко А.В., Черняев А.А. Расчет пластин на устойчивость

с использованием отношения конформных радиусов // Строительство и реконструкция. 2010. № 6. С. 31-38.

_6 апреля 2012 г.