Динамический расчет круглых, правильных n-угольных, треугольных и ромбических жестко защемленных пластинок с использованием отношения конформных радиусов в качестве геометрического аргумента Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.04; 624.073

А.А. Черняев

ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ КРУГЛЫХ, ПРАВИЛЬНЫХ N-УГОЛЬНЫХ, ТРЕУГОЛЬНЫХ И РОМБИЧЕСКИХ ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННЫХ ПЛАСТИНОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОТНОШЕНИЯ КОНФОРМНЫХ РАДИУСОВ В КАЧЕСТВЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО АРГУМЕНТА

Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы Минобрнауки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» по проекту №2.1.2/10201 «Разработка теоретических основ и развитие вибрационных методов диагностики

и контроля качества строительных конструкций балочного типа и пластинок»

Для определения основной частоты собственных колебаний упругих изотропных круглых, правильных n-угольных, треугольных и ромбических жестко защемленных пластинок предлагается использовать единую для всех расчетную функцию одной переменной. В качестве этой переменной выступает новый аргумент геометрических методов решения двумерных задач строительной механики - безразмерная геометрическая характеристика формы плоской области - отношение внутреннего к внешнему конформных радиусов.

Динамический расчет пластинок, основная частота собственных колебаний, круглые, правильные n-угольные, треугольные, ромбические пластинки, отношение конформных радиусов, геометрические методы строительной механики

A.A. Chernyaev

DYNAMIC CALCULATION OF THE ROUND, CORRECT N-COAL,

TRIANGULAR AND RHOMBIC PLATES USING THE RELATIONS OF CONFORMAL RADIUSES FOR THE GEOMETRICAL ARGUMENT

To define the basic natural vibration frequency of elastic isotropic round, correct n-coal, triangular and rhombic plates having a rigid contour is proposed to use a uniform function of one variable. The new argument of geometrical methods for the decision of twodimensional problems of building mechanics acts as the variable. This is a dimensionless geometrical characteristic of the form having a flat area demonstrating the relation of the internal to external conformal radiuses.

Dynamic calculation of plates, basic frequency of natural vibration, round, correct n-coal, triangular, rhombic plates, relation of conformal radiuses, geometrical methods of building mechanics

1. Состояние проблемы и постановка задачи. Проблема обеспечения эксплуатационной надежности (прочности, жесткости и устойчивости) любых конструкций связана с всесторонними рас-

четами, как на статические, так и на динамические воздействия. Нормы [1] устанавливают предельные значения основной частоты собственных колебаний несущих и ограждающих элементов конструкций зданий и сооружений, при которых допускается не учитывать силы инерции, возникающие при колебаниях по соответствующей собственной форме.

Одними из таких конструкций являются пластинки1, широко распространенные также и во многих других областях техники: судостроении, авиастроении, возведении гидротехнических сооружений, мостостроении, машиностроении и пр., в которых зачастую испытывают динамические воздействия, инициирующие возникновение собственных колебаний.

Точные решения основной частоты собственных колебаний пластинок найдены лишь в ряде частных случаев для простейших форм: круглой, кольцевой, прямоугольной, правильной треугольной, и во всех остальных и практически важных случаях приходится прибегать к различным приближенным методам строительной механики.

Применение вариационных методов (В. Ритца, Б.Г. Галеркина, С.П. Тимошенко, Э. Треффца и др. [2]) требует решения сложных дифференциальных уравнений, что является достаточно трудоемким процессом, а для повышения точности результатов необходимо применять различные способы приближения выбираемых аппроксимирующих функций.

Численные методы (метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ) и др. [3]) для обеспечения высокой точности требуют привлечения мощных ЭВМ и производят однократный расчет, при котором нет возможности отследить изменение искомого решения, например основной частоты собственных колебаний, при изменении геометрических параметров и формы пластинки.

Другие методы, такие как: метод И-функций, метод коллокаций, метод компенсирующих нагрузок и пр., в некоторых случаях являются более предпочтительными в сравнении с вариационными и численными, однако также являются достаточно трудоемкими и в большинстве своем неприменимы к пластинкам сложных форм.

В тех случаях, когда необходимо оперативно получить оценку искомой физико-механической характеристики пластинки, в их числе основная частота собственных колебаний, и (или) не требуется высокая точность, что особенно актуально на начальной стадии проектирования, активно применяют геометрические методы2. Такие методы позволяют избежать решения сложных дифференциальных уравнений, не требуют мощных ЭВМ и сводятся к геометрическому моделированию формы плоской области. При этом выбирается геометрическая характеристика формы области (в нашем случае - области пластинки), выступающая в роли основного аргумента, по которому оцениваются искомые решения.

Среди таких методов стоит отметить изопериметрический метод (ИЗПМ), примененный впервые всемирно известными математиками Г. Полиа и Г. Сеге [4] еще в 1962 году для решения задач математической физики, а для решения задач теории пластинок - профессором В.И. Коробко в 1980 году [5], а также метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) [6], разработанный профессором

А.В Коробко и являющийся логическим развитием ИЗПМ. В этих методах в качестве геометрического аргумента для определения физико-механических характеристик пластинок используется интегральная

характеристика формы плоской области - коэффициент формы Kf. Подробнее с этой характеристикой,

ее изопериметрическими свойствами и закономерностями можно ознакомиться, например, в [4-6].

В настоящей работе рассматривается новый аналогичный геометрический аргумент - безразмерная характеристика формы плоской области - отношение внутреннего к внешнему конформных радиусов г/г . Как аргументы по отдельности конформные радиусы широко используются при решении многих прикладных задач математической физики, гидро- и аэродинамики, магнитогидродинамики и пр. [4, 7]. Как отношение впервые было использовано в теории пластинок профессором В.И. Коробко и доцентом А.Н. Хусточкиным в 1994 году при исследовании задачи устойчивости [8], в которой было установлено одно «универсальное» свойство:

1 В работе рассматриваются упругие изотропные жесткие пластины средней толщины (пластинки): ОШп /10 < И < 0ш1п/100, где И - толщина пластинки, Ошъ - минимальный габаритный размер в плане; Wo < И /5, где Wo - максимальный прогиб (выгиб).

2 Круг задач, к решению которых могут применяться геометрические методы, для пластинок ограничивается случаем равного для всех условия нагружения. Для задачи колебаний - это случай собственных колебаний (от действия равномерно распределенной по всей площади массы).

«Значения критического усилия при потере устойчивости от действия равномерного всестороннего сжатия для круглых, правильных п-угольных, треугольных и ромбических шарнирно опертых (без круглых) либо жестко защемленных равновеликих (равной площади) пластинок, представленные как функции отношения внутреннего к внешнему конформных радиусов областей пластинок, вырождаются в единые кривые».

Как следствие, шарнирно опертые либо жестко защемленные равновеликие пластинки указанных форм, имеющие одинаковое значение отношения конформных радиусов, имеют и одинаковые значения критического усилия.

Ни одна другая геометрическая характеристика, в том числе коэффициент формы К^, не позволяет объединить одной аналитической зависимостью решения критического усилия для такого большого подмножества форм пластинок.

Это свойство основано на возможности представления площади плоской области А (области пластинки) через внутренний г и внешний г конформные радиусы:

Для правильных п-угольных и ромбических областей равенство (1) следует из выражений для г и г как данных, которые выводятся из формулы Э.Б. Кристоффеля - Г.А. Шварца, а для треугольных установлено Х.Р. Хиги [4].

Учитывая известную математическую аналогию задач устойчивости и собственных колебаний пластинок (2), описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа четвертого порядка (см., например, [6]) можно предположить, что это «универсальное» свойство и в задаче собственных колебаний для рассматриваемого множества пластинок также может быть обнаружено. При этом параметром, аналогичным критическому усилию, будет выступать основная частота колебаний. Проверим эту гипотезу для случая жесткого защемления пластинок.

где О - цилиндрическая жесткость пластинки; А - оператор Лапласа; w - функция прогибов (выгибов); - интенсивность равномерного всестороннего сжатия пластинки; Ю - частота собственных

колебаний; т - масса единицы площади пластинки.

2. Формулы для определения конформных радиусов. В научной и справочной литературе по теории конформного отображения и математической физике приводятся формулы для нахождения внутреннего г и внешнего г и конформных радиусов для рассматриваемых в работе областей (здесь и далее для простоты изложения в тексте вместо слова «область» будем просто говорить «фигуры»; т.е. круг, правильный п-угольник, треугольник, ромб, вместо круглая, правильная п-угольная, треугольная, ромбическая область) [6]:

- для круга радиуса а:

где п - число сторон правильного многоугольника; Ь - его периметр; здесь и далее Г(х)- Г-функция (гамма-функция);

- для произвольных треугольников с углами па, пв , пу :

А = пгг .

(1)

(2)

г = а, г = а;

(3)

- для правильных п-угольников:

(4)

Г л I 12

где f (-) = —JJ ; Р - радиус описанного круга;

Г(л) {(1 - -)1-- J

- для равнобедренных треугольников с а = в выражение (5) примет вид

r = 4 п- f2 (a)f (у) • Р . (6)

Значение внешнего конформного радиуса r для треугольников получим из выражения (1):

r = Anr . (7)

- для равнобедренных треугольников по выражению (7) с учетом (5) после некоторых преобразований получим

2

Г = ctga-h , (8)

пг

где а - равный угол при основании; h - высота равнобедренного треугольника;

- для прямоугольных треугольников по выражению (7) с учетом (5) после некоторых преобразований получим

_ sin 2а • с2

r =———, (9)

4пг

где а - угол при гипотенузе; c - гипотенуза треугольника;

- для ромбов с углом па:

„12 _12

. п т _ П' т

Г =--7—Ñ----7-----Ñ" L , r =---т----------т-т--г- L , (10)

( а ^(1 -а ^ ( а ^„(1 + а ^

Г

Г

V 2/

2

8Г

1---------Г

.2 J { 2

где L - периметр ромба.

3. Значения конформных радиусов и их отношения. Подсчитанные по формулам (3)-(10) значения конформных радиусов и их отношения сведем в табл. 1-5. При расчете значения Г-функции подсчитывались в приложении «М80Гйсе Ехсе1_2003», а площади, периметры и описанные радиусы - в графическом редакторе «АгсЫСЛБ_12».

На основании табличных данных построим графики изменения отношения конформных радиусов Г/г в зависимости от характерного для каждой фигуры геометрического параметра (рис. 1-5, а). В качестве таких параметров в работе приняты следующие1: для правильных п-угольников - количество сторон п (при п ^ те , п-угольник превращается в круг) (рис. 1 б), для ромбов - острый угол а (рис. 2 б), для равнобедренных треугольников - угол при основании а (рис. 3 б), для прямоугольных треугольников - меньший угол при гипотенузе а (рис. 4 б), для произвольных треугольников - два меньших угла а и в (рис. 5 б).

Для произвольных треугольников для использования в расчетах отношения конформных радиусов Г/г удобно получить аппроксимирующую расчетную функцию. С помощью программы «ТаЬ1еСигуе_3Б», получим по значениям в табл. 5 такую функцию с погрешностью, не превышающей 1,5%:

г _ а + с 1п а + е 1п в + g(1п а)2 + г(1п в)2 + к 1п а 1п в (11)

1 + Ь 1п а + й 1п в + / (1п а)2 + к(1п в)2 + ] 1п а 1п в

где а = -0,07119; Ь = -0,18777; с = 0,07191; й = -0,21962; е = 0,026978; / = 0,008523; g = -

0,011417; к = 0,013928; I = -0,004845; _/ = 0,019253; к = -0,0021934; а и в - два меньших угла тре-

угольника (рис. 5 б).

1 Возможно принятие и других геометрических параметров, которые однозначно определяют форму фигуры. Например, вместо угла при основании равнобедренного треугольника можно принять угол при вершине, образованный равными сторонами, для произвольного треугольника - один угол и отношение основания к высоте и т.д. [9].

Таблица 1

Значения конформных радиусов и их отношения для правильных фигур

Форма области г, а г , а г/ г

№ п/п 1 2 3

Круг 1 1 1

Правильный:

20-угольник 3,169 3,1709 0,9994

16-угольник 2,5285 2,5315 0,9988

12-угольник 1,8852 1,8905 0,9972

10-угольник 1,5611 1,5688 0,9951

9-угольник 1,398 1,4076 0,9931

8-угольник 1,2337 1,2458 0,9903

7-угольник 1,0676 1,0835 0,9853

6-угольник 0,8985 0,9204 0,9762

5-угольник 0,7243 0,7561 0,9579

4-угольник 0,5394 0,5902 0,9139

3-угольник 0,3268 0,4218 0,7748

Примечание: а - для круга радиус, для правильных п-угольников - сторона (рис. 1 б)

Таблица 3

Значения конформных радиусов и их отношения для равнобедренных треугольников

а Г, к г , к г/ г

№ п/п 1 2 3

50 0,6239 5,8315 0,107

100 0,6102 2,9584 0,2063

150 0,5954 1,9952 0,2984

2 О о 0,5793 1,5097 0,3837

2 (Л о 0,5618 1,2151 0,4623

3 О о 0,5427 1,0159 0,5342

3 (Л о 0,5218 0,8712 0,5989

4 О о 0,4987 0,7607 0,6556

4 (Л о 0,4732 0,6727 0,7034

5 О о 0,4449 0,6003 0,7411

5 (Л о 0,4131 0,5395 0,7657

6 О о 0,3774 0,487И 0,7748

6 (Л о 0,3368 0,4407 0,7642

7 О о 0,2902 0,3992 0,727

7 (Л о 0,2362 0,3611 0,6541

8 О о 0,1726 0,3252 0,5308

8 (Л о 0,0960 0,2901 0,3309

Примечания: 1. а - равный угол при основании треугольника; 2. к - его высота (рис. 3 б).

Таблица 2

Значения конформных радиусов и их отношения для ромбов

а г, а г , а г/ г

№ п/п 1 2 3

50 0,0545 0,5094 0,107

100 0,1066 0,5183 0,2057

150 0,1564 0,5268 0,2969

2 О о 0,2036 0,5348 0,3807

2 (Л о 0,2481 0,5423 0,4575

3 О о 0,2898 0,5492 0,5277

3 (Л о 0,3286 0,5557 0,5913

4 О о 0,3643 0,5616 0,6487

4 (Л о 0,3970 0,5670 0,7002

5 О о 0,4264 0,5718 0,7457

5 (Л о 0,4526 0,5761 0,7856

6 О о 0,4754 0,5798 0,8199

6 (Л о 0,4949 0,5830 0,8489

7 О о 0,5108 0,5855 0,8724

7 (Л о 0,5233 0,5876 0,8906

8 О о 0,5322 0,5890 0,9036

8 (Л о 0,5376 0,5899 0,9113

9 О о 0,5394 0,5902 0,9139

Примечания: 1. а - острый угол ромба

(а 2 900); 2. а - сторона ромба (рис. 2 б).

Таблица 4

Значения конформных радиусов и их отношения для прямоугольных треугольников

а г, с г , с г/ г

№ п/п 1 2 3

50 0,0510 0,2710 0,1882

7,50 0,0737 0,2795 0,2637

100 0,0949 0,2868 0,3309

12,50 0,1145 0,2937 0,3899

150 0,1326 0,3001 0,4419

17,50 0,1492 0,3059 0,4877

2 О о 0,1644 0,3111 0,5284

22,50 0,1781 0,3159 0,5638

2 (Л о 0,1903 0,3203 0,5941

27,50 0,2012 0,3240 0,6210

3 О о 0,2106 0,3272 0,6436

32,50 0,2185 0,3301 0,6619

3 (Л о 0,2250 0,3323 0,6771

37,50 0,2301 0,3341 0,6887

4 О о 0,2337 0,3353 0,6970

42,50 0,2359 0,3361 0,7019

4 (Л о 0,2366 0,3363 0,7034

Примечания: 1. а - меньший угол при гипотенузе треугольника (а 2 450); 2. с - его гипотенуза (рис. 4 б).

Таблица 5

Значения конформных радиусов и их отношения для произвольных треугольников

10° 2 О о 3 О о 4 О о 5 О о 6 О о 7 О о 8 О о 9 О о

100 г , а 0,0538 0,0711 0,0797 0,0849 0,0885 0,0911 0,0932 0,0949 0,0963

Г, а 0,2608 0,2658 0,2696 0,2730 0,2762 0,2795 0,2830 0,2868 0,2913

г/ г 0,2063 0,2676 0,2957 0,3112 0,3204 0,3260 0,3293 0,3308 0,3308

2 О о г , а - 0,1054 0,1259 0,1397 0,1499 0,1578 0,1644 0,1699 0,1749

г, а - 0,2747 0,2822 0,2891 0,2960 0,3033 0,3112 0,3203 0,3312

г/ г - 0,3837 0,4462 0,4834 0,5064 0,5205 0,5281 0,5305 0,5281

3 О о г , а - - 0,1567 0,1790 0,1965 0,2106 0,2226 0,2333 0,2431

~, а - - 0,2933 0,3040 0,3150 0,3273 0,3410 0,3574 0,3779

г/ г - - 0,5342 0,5889 0,6239 0,6434 0,6528 0,6528 0,6434

4 О о г , а - - - 0,2092 0,2337 0,2544 0,2727 0,2893 0,3051

г, а - - - 0,3191 0,3353 0,3536 0,3752 0,4021 0,4377

г/ г - - - 0,6556 0,6970 0,7196 0,7269 0,7196 0,6970

500 г , а - - - - 0,2651 0,2925 0,3174 0,3408 0,3636

~, а - - - - 0,3578 0,3841 0,4168 0,4599 0,5217

г/ г - - - - 0,7409 0,7615 0,7615 0,7409 0,6970

6 О о г , а - - - - - 0,3268 0,3588 0,3898 0,4211

г, а - - - - - 0,4218 0,4712 0,5417 0,6546

г/ г - - - - - 0,7748 0,7615 0,7196 0,6434

7 О о г , а - - - - - - 0,3986 0,4385 0,4806

~, а - - - - - - 0,5485 0,6717 0,9099

г/ г - - - - - - 0,7269 0,6528 0,5281

8 О о г , а - - - - - - - 0,4893 0,5464

г, а - - - - - - - 0,9223 1,6518

г/ г - - - - - - - 0,5305 0,3308

900 г , а - - - - - - - - -

~, а - - - - - - - - -

г/ г - - - - - - - - ^ 0

Примечания: 1. а и в - два меньших угла произвольного треугольника (а < 900; в < 900); 2. а - основание (сторона) произвольного треугольника, принята условно большей (рис. 5 б); 3. Условно принято за а принимать меньший из двух углов (а 2 в); 4. Прочерк «-» означает, что такой треугольник уже есть в таблице.

Рис. 1. Правильные фигуры: Рис. 2. Ромбы:

а - график г/ г = / (и); б - общий вид области а - график г/ г = / (а); б - общий вид области

б)

Рис. 3. Равнобедренные треугольники: а - график г/ г = f (а); б - общий вид области

Рис. 4. Прямоугольные треугольники: а - график г/ г = f (а); б - общий вид области

Рис. 5. Произвольные треугольники: а - график г/г = f (а; в) ; б - общий вид области

4. Определение основной частоты собственных колебаний пластинок (проверка гипотезы). Для

проверки выдвинутой в начале работы гипотезы о возможности объединения единой аналитической функцией значений основной частоты собственных колебаний для круглых, правильных п-угольных, треугольных и ромбических жестко защемленных равновеликих пластинок, представленных в зависимости от отношения конформных радиусов форм пластинок, сведем в табл. 6 (колонка 2) известные значения основной частоты колебаний и значения, полученные МКЭ с использованием программного комплекса «8СЛБ_11.3» (с числом конечных элементов не менее 1000), в колонку 1 (табл. 6) - значения отношений конформных радиусов г/г для пластинок рассматриваемых форм.

Таблица 6

Сопоставление известных значений основной частоты собственных колебаний жестко защемленных пластинок со значениями, найденными по аппроксимирующей функции (13), представленные в зависимости от отношения

конформных радиусов их областей

Геометрические параметры пластинок Отношение конформных радиусов г/ г Известные значения основной частоты колебаний пластинок (12) Значения, подсч. по (13) А, %

кт к _1 кт источник кт -

№ п/п 1 2 3 4 5 6

Пластинки в форме правильных фигур

Круг 1 32,080 0,03117 [6] 32,046 -0,11

16 - угольник 0,9988 32,091 0,03128 [МКЭ] 32,095 0,01

10 - угольник 0,9951 32,148 0,03111 [МКЭ] 32,245 0,30

8 - угольник 0,9903 32,391 0,03087 [МКЭ] 32,441 0,15

6 - угольник 0,9762 33,340 0,02999 [6] 33,022 -0,96

5 - угольник 0,9579 34,050 0,02937 [6] 33,789 -0,77

4 - угольник 0,9139 35,985 0,02779 [6] 35,702 -0,79

3 - угольник 0,7748 42,508 0,02352 [6] 42,636 0,30

Окончание табл. 6

Равнобедренные треугольные пластинки

а = 800 0,5308 60,998 0,01640 [МКЭ] 62,556 2,55

а = 700 0,7270 45,275 0,02200 [МКЭ] 45,479 0,45

а = 600 0,7748 42,508 0,02352 [6] 42,636 0,30

а = 500 0,7411 44,378 0,02210 [МКЭ] 44,608 0,52

а = 400 0,6556 50,027 0,01950 [МКЭ] 50,429 0,80

а = 30° 0,5342 62,673 0,01580 [МКЭ] 62,136 -0,86

а = 200 0,3837 90,837 0,01090 [МКЭ] 90,872 0,04

Прямоугольные треугольные пластинки

а = 450 0,7034 47,148 0,02100 [МКЭ] 47,009 -0,30

а = 400 0,6970 47,192 0,02090 [МКЭ] 47,440 0,53

а = 300 0,6436 51,546 0,01940 [МКЭ] 51,368 -0,35

а = 200 0,5284 63,062 0,01570 [МКЭ] 62,857 -0,33

а = 100 0,3309 109,32 0,01280 [МКЭ] 110,366 0,95

Произвольные треугольные пластинки

а = 600, р = 450 0,7459 43,512 0,022982 [МКЭ] 44,318 1,85

а = 400, в = 800 0,7196 45,665 0,021899 [МКЭ] 45,949 0,62

а = 300, в = 700 0,6528 50,988 0,019612 [МКЭ] 50,645 -0,67

а = 300, в = 450 0,6087 54,145 0,018469 [МКЭ] 54,325 0,33

а = 200, в = 600 0,5205 64,056 0,015611 [МКЭ] 63,871 -0,29

а = 200, в = 500 0,5064 65,002 0,015384 [МКЭ] 65,781 1,20

а = 200, в = 300 0,4462 75,950 0,013167 [МКЭ] 75,757 -0,25

а = 150, в = 450 0,4215 79,774 0,012535 [МКЭ] 80,991 1,53

а = 100, в = 500 0,3204 114,82 0,008709 [МКЭ] 115,384 0,49

Ромбические пластинки

а = 900 0,9139 35,985 0,02779 [6] 35,702 -0,79

а = 800 0,9036 36,167 0,02765 [МКЭ] 36,165 -0,01

а = 700 0,8724 37,650 0,02656 [6] 37,610 -0,11

а = 600 0,8199 39,980 0,02501 [МКЭ] 40,204 0,56

а = 500 0,7457 44,163 0,02298 [МКЭ] 44,330 0,38

а = 400 0,6487 50,898 0,02013 [МКЭ] 50,964 0,13

а = 300 0,5277 61,944 0,01647 [МКЭ] 62,945 1,62

а = 200 0,3807 91,054 0,01100 [МКЭ] 91,776 0,79

Примечания: 1. Значения &г и обозначения геометрических параметров см. в табл. 1-5. 2. Значения основной

частоты представлены в виде (12). 3. А - - разница между значениями в колонках 2 и 5.

Значения основной частоты колебаний Юо представлены в общем виде зависимостью

№

т

ю = к * , (12)

о и а

где к и - коэффициент пропорциональности (численное решение), зависящий от формы пластинки и ее граничных условий; А - площадь пластинки; D и т - то же, что и в выражении (2).

В выражении (12) площадь пластинки А вычленяется из решения, и таким образом численное решение к и приводится для пластинок единичной площади (равновеликих).

На основании данных табл. 6 (колонки 1 и 3) отложим в координатной плоскости ки1 - & г значения основной частоты колебаний ки из выражения (12) (рис. 6). Откладываем обратную величину основной частоты колебаний, т.к. в этом случае их значения конечны (максимальное значение обратной величины основной частоты собственных колебаний ки1 принадлежит круглой пластинке).

о - Равнобедренные треугольные о - В форме правильных фигур

о - Прямоугольные треугольные о - Ромбические

о - Произвольные треугольные

Рис. 6. Кривая к-1 - г/г для жестко защемленных пластинок множества форм

Из рис. 6 видно, что все множество значений к-1 для пластинок рассматриваемого множества форм вырождаются в единую кривую. Воспользуемся программой «TableCurve_2D» и получим аппроксимирующую функцию рационального вида «Rational Equations»:

k = 1 + 5,0032(r/r)2 - 1,2123(r/r)4 ;

- 0,1241(r/r )2 + 0,0254(r/r )4 ’

Отклонение значений кю, получаемых по функции (13) от известных, не превышает 2,5% (табл.

6, колонки 5 и 6). Таким образом, выдвинутую в начале работы гипотезу можно считать теоретически подтвержденной, ее экспериментальная проверка планируется в ближайшее время, результаты которой будут опубликованы в последующих работах автора.

Выводы:

1. Значения основной частоты собственных колебаний для круглых, правильных n-угольных, треугольных и ромбических жестко защемленных равновеликих (равной площади) пластинок, представленные как функции отношения внутреннего к внешнему конформных радиусов областей пластинок, вырождаются в единую кривую.

2. Жестко защемленные равновеликие пластинки указанных форм, имеющие одинаковое значение отношения конформных радиусов, имеют и одинаковую величину основной частоты собственных колебаний.

3. Полученная аналитическая функция (13), единая для жестко защемленных пластинок указанных форм, может эффективно использоваться при выполнении динамического расчета (определения основной частоты собственных колебаний) таких пластинок и имеет широкие возможности при решении оптимизационных задач, связанных с выбором оптимальных с точки зрения жесткости (ограничения собственных колебаний) геометрических параметров и форм плоских элементов конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

1. СНиП 2.01.07-85*. Нагрузки и воздействия. Дата введения 01.01.1987. М.: Изд-во стандартов, 1996. 62 с.

2. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы / В.И. Сливкер. М.: АСВ, 2005. 736 с.

3. Ильин В.П. Численные методы решения задач строительной механики / В.П. Ильин,

В.В. Карпов, А.М. Масленников. Минск: Высш. шк., 1990. 349 с.

4. Полиа Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сеге. 2-е изд., стер. М.: КомКнига, 2006. 336 с.

5. Коробко В.И. Изопериметрический метод в строительной механике: в 3 т. Т. 1. Теоретические основы изопериметрического метода / В.И. Коробко. М.: АСВ, 1997. 390 с.

6. Коробко А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости / А.В. Коробко. М.: АСВ, 1999. 320 с.

7. Иванов В.И. Конформные отображения и их приложения / В.И. Иванов, В.Ю. Попов. М.: Эдиториал УРСС, 2002. 324 с.

8. Коробко В.И. Изопериметрический метод в задачах устойчивости пластинок / В.И. Коробко, А.Н. Хусточкин. Ростов н/Д: Сев.-Кав. науч. центр высш. шк., 1994. 148 с.

9. Коробко В.И. Количественная оценка симметрии / В.И. Коробко, А.В. Коробко. М.: АСВ, 2008. 128 с.

Черняев Андрей Александрович -

аспирант кафедры «Строительные конструкции и материалы» Архитектурно-строительного института Государственного университета - учебнонаучно-производственного комплекса, г. Орел

Andrey A. Chernyaev -

Postgraduate

Department of Engineering Structures and Materials Institute of Architecture and Civil Engineering at Orel State University

Статья поступила в редакцию 05.02.12, принята к опубликованию 02.03.12