CC BY
95
УДК 624.074.04
ВЗАИМОСВЯЗЬ ЗАДАЧ ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБА И СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТРЕУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК
В.И. Коробко, О.В. Бояркина
С помощью численного эксперимента исследуется функциональная связь между интегральными физическими характеристиками в задачах поперечного изгиба и свободных колебаний упругих пластинок в виде равнобедренных треугольников с однородными и комбинированными граничными условиями.
Известно [1. 2], что интегральные физические характеристики пластинок (максимальный прогиб и основная частота колебаний со) функционально связаны с площадью пластинки А, её цилиндрической жёсткостью Д видом нагрузки д(х,у) и массой единицы площади т:
Коробко Виктор Иванович Орел, ОГТУ, директор центра экспертизы промбезопасности, д.т.н., профессор
М!0 =<Х
дА2
со
о
(1)
О ' тАі
где коэффициенты пропорциональности а и (3 зависят от формы пластинки (Ф) и условий на границе (Г):
а=ДФ, Г),Р = Ф(Ф, И-
Если умножить левые и правые части выражения (1) друг на друга, то получится результат, не зависящий от площади пластинки и цилиндрической жесткости (вида материала):
,2
И'ойГ = 0,Р
4 д(х,у) = }(д{х,у)
(2)
т т
где К = оф4.
Детальное изучение этого произведения, когда в задаче поперечного изгиба пластинок внешняя нагрузка является равномерно распределенной (д(х,у) = д), проведено в работах [3, 4], где с помощью численного эксперимента показано, что для всего множества упругих изотропных пластинок с выпуклым контуром и произвольными граничными условиями произведение коэффициентов пропорциональности К = сф4, представленное в координатных осях К - Щ (где Щ -коэффициент формы пластинки [5]), с погрешностью, не превышающей (5...6)%, вырождается в одну плавную и монотонную кривую. Это свидетельствует о том, что интегральные физические параметры пластинок и со функционально связаны между собой, а произведение К = ар4 не зависит от граничных условий, а зависит только от коэффициента формы пластинок К{.
Коэффициент формы пластинки /Гу численно характеризует её «правильность» (симметричность) и определяется контурным интегралом
Кг=шшф —,
1 и
где сЬ - длина элементарного участка на границе контура пластинки; Ъ - длина перпендикуляра, опущенного из полюса, взятого внутри области, на касательную к переменной точке контура. Подробные исследования этой геометрической характеристики проведены в статье [5].
Проведем исследование взаимосвязи интегральных физических параметров м'о и со для пластинок в виде равнобедренного треугольника. За основу возьмем решения, полученные в работе [6] с помощью МКЭ и с использованием программного комплекса «Лира» (см. таблицу, колонки 3 и 4).
Анализ этих решений показал, что для пластинок в виде равностороннего треугольника полученные результаты незначительно (в пределах одного процента) отличаются от известных точных и приближенных решений, найденных с высокой точностью, которые приводятся в известной справочной и научной литературе [1, 2].
Для исправления этой систематической погрешности при решении рассматриваемой задачи с помощью программного комплекса «Лира» были введены поправочные коэффициенты Кк и Кт которые позволили с высокой точностью удовлетворить известным решениям.
Исправленные таким образом результаты и представлены в таблице в колонках 3 и 4. По этим данным построены аппроксимирующие функции 1/ю2 - »0 и - 1/со2, графики которых изображены на рисунке. Оказалось, что эти функции хорошо описываются линейными зависимостями:
1/со2 =(а1+Ьга)-А2 -т/И, (3)
где О] = 1,9937-10-6, 6, = 0,6226;
=10 -\а2+Ь2//Зл)-дА2/в, (4)
где а2 = -0,010267, Ь2 = 1608,599. Очевидно, приведенные зависимости будут справедливы и для пластинок в виде равнобедренного треугольника с произвольным законом изменения граничных условий (любая комбинация жёсткого защемления и шарнирного опирания вдоль их сто-рон)Расчеты, проведенные по формулам (3) и (4) представлены в таблице в колонках 6 и 8. Анализ этих результатов показывает:
Коробко В. И., Бояркина О. В.
Взаимосвязь задач поперечного изгиба и свободных ________________колебаний треугольных пластинок
Значения максимального прогиба и основной частоты колебаний пластинок в виде равнобедренного треугольника и взаимосвязь этих параметров
Вид опирания Угол при Решения по МКЭ Решения по (1) Решения по (2)
вершине основании а-103 Р2 р2 Д, % а-103 Д, %
1 2 3 4 6 7 8 9
1/ю2 =(1,9937 10 6 + 0,6226■ а)-1//42-т/й; (1) м>0 = 10~3(-0,010267+ 1608,599//34)-дА2/Ъ (2)
20/80 1,625 31,31 31,40 +0,29 1,631 +0,37
30/75 2,335 26,17 26,21 +0,15 2,338 +0.13
40/70 2,741 24,22 24,19 -0,13 2,732 -0,33
50/65 3,013 23,05 23,08 +0,13 3,017 +0,13
Шарнирное 60/60 3,086 22.79 22.80 +0,04 3,087 +0,03
опирание 3.035 23.05 23.08 +0,13 3,017 -0.59
по всем / \Л о 3,026 23,06 23,03 +0,13 3,015 -0,36
сторонам 2.837 23,70 23,78 +0.33 2,853 +0.92
пластинки 2,845 23,74 23,75 +0,04 2,844 +0,04
90/45 2,630 24,75 24,70 +0,20 2,616 -0,53
100/40 2,313 26,31 26,33 +0,07 2,314 +0,04
1.990 28.47 28.39 -0.28 1.974 -0.80
110/35 1,982 28,43 28,44 -0,04 1,980 -0.10
1.315 34.68 34.91 +0.66 1,327 +0.91
1,321 34,79 34,83 +0,11 1,318 -0,23
30/75 1,754 30,17 30.23 +0,20 1,757 +0,17
Боковые 40/70 1,960 28,54 28,60 +0,21 1,965 +0,25
стороны 50/65 2.019 28.21 28,18 -0,11 2,011 -0,40
пластинки 60/60 1,967 28,54 28,55 +0,04 1,965 -0.10
шарнирно 70/55 1,843 29,55 29,50 -0,17 1,832 -0,60
оперты, 80/50 1,667 31,02 31,01 -0,03 1,661 -0,36
90/45 1,456 33,07 33,18 +0,33 1,461 +0,34
100/40 1.247 35^3 35,84 -0.25 1.236 -0,88
защемлено 1,241 35,88 35,93 +0,13 1,239 -0,16
0.992 39,48 40,17 +1.75 1.022 +3,02
1,007 39,83 39,87 +0,10 1,004 -0,30
0.513 55.14 55,78 +1.16 0,519 +1.17
20/йи 0,515 55,46 55,67 +0,41 0,513 -0,39
0.819 43,93 44,20 +0.61 0.823 +0.49
Боковые зи/ / о 0,820 44.06 44,17 +0,25 0,818 -0,24
40/70 1,058 38,92 38,90 -0,05 1,052 -0,57
пластинки 50/65 1,213 36.34 36,34 0,00 1,208 -0,41
жестко 60/60 1,296 35,07 35,16 +0,27 1,298 +0,15
защемлены, 1.316 34,95 34.89 -0.17 1.307 -0.68
а основание / О/^ э 1,311 34,92 34,96 -0,11 1,309 -0,15
шарнирно 80/50 1.275 35,32 35.45 +0,37 1,279 +0,31
оперто 90/45 1,183 36,62 36,80 +0,49 1,189 +0,51
100/40 1,054 38,77 38,98 +0,53 1,060 +0,38
0.882 41.70 42.59 +2.13 0.915 +3.74
110/35 0.898 42,14 42,22 +0,19 0,896 -0,22
20/80 0.430 60.14 60.89 +1.25 0.434 +0.93
0,430 60,52 60,61 +0,15 0,429 -0,23
30/75 0,643 49,56 49,85 +0,58 0.645 +0,31
0.785 44.83 45.08 +0.49 0.790 +0.64
Жесткое 0,787 44,95 45,08 +0,29 0,786 -0,13
защемление 50/65 0,856 43,07 43,23 +0.33 0,857 +0,12
по всем 60/60 0,880 42,51 42,64 +0,31 0,880 0,00
сторонам 70/55 0,858 43,07 43,18 +0,25 0,857 -0,12
пластинки 0.790 44.63 44,94 +0.69 0.797 +0.89
80/50 0,803 44,50 44,63 +0,29 0,802 -0,12
90/45 0,723 46.96 47,02 +0,13 0,719 -0,55
0.610 49,88 51.18 +0,60 0.636 -4,26
0,623 50,53 50,65 +0,24 0,620 -0,48
Серия «Строительство и архитектура», выпуск 5
25
Теоретические исследования
1. Для пластинок с углами при вершине у от ЗОо до 100о эти формулы дают результаты, отличные от найденных с помощью МКЭ, в пределах одного процента (см. колонки 7 и 9 в таблице).
2. Для пластинок с острыми углами при у < 20° и у > 100° эта погрешность возрастает, хотя и не превышает 4,5%. В приведенной таблице жирным шрифтом выделены результаты, которые дают погрешность, превышающую 0,50%.
3. Отмечается немонотонность решений, полученных с помощью МКЭ для пластинок с острыми углами. При некоторых значениях острых углов наблюдаются «всплески» (резкие отклонения решений, достигающие 4,5%), которые затем исчезают при незначительном изменении углов пластинки. Эти всплески объясняются неустойчивостью решений, получаемых с помощью МКЭ при наличии весьма острых углов в пластинках.
4. Указанные всплески наблюдаются и для максимального прогиба, и для основной частоты колебаний пластинок. Их нетрудно сгладить, если взять средние значения результатов, полученных с помощью МКЭ и с помощью функций (3) и (4). Такие сглаженные результаты приведены ниже соответствующих строк таблицы, выделенных жирным шрифтом. Эти новые результаты, очевидно, можно считать более точными, поскольку они не противоречат общей тенденции монотонного изменения интегральных физических характеристик треугольных пластинок при постепенном изменении угла при вершине треугольника, хорошо удовлетворяют функциям (3) и (4), которые с высокой точностью описывают подавляющее большинство полученных с помощью МКЭ результатов другими авторами, в том числе и для многих пластинок с острыми углами.
Анализ линейных функций (3) и (4) показывает, что свободные члены в них на порядок ниже членов, содержащих аргументы. Пренебрегая этими членами, после некоторой корректировки коэффициентов пропорциональности Ь, можно записать:
со
1,5965
т со2
= 1,5965 —Г2
т
= Т2 =0,6264 — щ
0’
где Т - период свободных колебаний пластинок. Расчеты, проведенные по этим формулам, показывают, что получаемые результаты отличаются от соответствующих решений, найденных по формулам (3) и (4), с погрешностью, не превышающей одного процента.
Таким образом, с помощью численного эксперимента показана линейная функциональная связь максимального прогиба пластинок в виде равнобедренного треугольника с произвольными
граничными условиями, находящимися под действием равномерно распределенной нагрузки, и квадрата периода их колебаний в ненагруженном состоянии. Эта функциональная зависимость может найти широкое применение в теории моделирования строительных конструкций, а также при разработке методов контроля их жёсткости с использованием вибрационных методов.
2.5
1.5
0.5
;тг
О 0.0005 0.001 0.0015
Зависимость максимального прогиба треугольных пластинок от основной частоты их колебаний и наоборот
Литература
I Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки /С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. -М.. 1963. - 635 с.
2. Филиппов, А.П. Колебания механических систем / А.П. Филиппов. - Киев: Наукова думка, 1965.- 716 с.
3. Коробко, В. И. Изопериметрический метод в строительной механике: Теоретические основы изопериметрического метода / В. И Коробко — М.. Изд-во АСВ, 1997 - 390 с.
4. Павленко, А.А. Определение основной частоты колебаний пластинок с жестко защемленным контуром // Тез. докл. научно-практ. конф. «Инженерное обеспечение агропромышленного комплекса» / А.А Павленко. - Орел: ОГСХА, 1998. -С.112- 115.
5. Коробко, А.В. Интегральная характеристика формы в задачах строительной механики / А.В. Коробко, И.Б. Дробин // Изв. вузов. Строительство, 1994. -№4. - С. 100-104.
6. Гефель, В.В. Развитие и применение МИКФ к решению задач технической теории пластинок, связанных с треугольной областью. Дис> ... канд. техн. наук / В.В. Гефель. - Орел: ОрелГТУ, 2006.
