CC BY
36
Вычислительные технологии
Том 9, № 3, 2004
РАСЧЕТ НА ФЛАТТЕР ВЯЗКОУПРУГИХ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
Б. А. Худаяров Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства, Ташкент, Узбекистан e-mail: bakht-flpo@yandex.ru
Problems on the flutter of visco-elastic sandwich plates are considered. An influence of rheological parameters on the critical speeds of the flutter is studied.
Свурхзвуковой флаттер упругих трехслойных пластин с жестким заполнителем рассматривался в [1]. В настоящей работе исследуется флаттер вязкоупругих трехслойных пластин в сверхзвуковом потоке газа.
Рассмотрим прямоугольную трехслойную пластину со сторонами а и b, которая обтекается с внешней стороны сверхзвуковым потоком газа с невозмущенной скоростью V, направленной вдоль оси Ox. Аэродинамическое давление учитываем по линейной поршневой теории [2]. Примем, что пластины шарнирно оперты по всем четырем краям.
Уравнение движения вязкоупругой трехслойной пластины в потоке газа в случае отсутствия сдвигающих усилий примет вид
D(1 - R*)(1 - 0ft2e:71V2)V4x - Px jL(1 - Л2ДГ V2)x-
(1)
-Py jyi(1 - h20^V2)x + П|2(1 - h2fclV2)x - q =0.
Здесь x(x,y,t) — функция перемещений, связанная с прогибом W(x,y,t) соотношением
Ж = (1 - V)х, (2)
где у2 = ^ ^
где У = дх2 + ду2'
Величины О, 0, в-1, ^ характеризуют соответственно цилиндрическую жесткость трехслойного пакета, изгибную жесткость несущих слоев, жесткость заполнителя на сдвиг и удельную массу трехслойного пакета; к — толщина пакета; Рх, Ру — внешние сжимающие (растягивающие) усилия в продольном и поперечном направлении; д(х,у,1) — аэродинамическая нагрузка; Я* — интегральный оператор с ядром релаксации Я(£):
£
Я*^(Ь) = J Я(Ь — т)<р(г)<3г. о
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.
Приближенное решение уравнения (1) будем искать в виде
N M
x(x,y,t) ^ xnm(t),pnm(x,y), (3)
n= 1 m=1
где функции pnm(x,y) подобраны так, чтобы каждый член суммы (3) удовлетворял граничным условиям на кромках пластинки: xnm(t) — некоторые функции, подлежащие определению. Подставляя (3) в уравнение (1) и применяя к этому уравнению метод Бубнова — Галеркина, получим систему интегродифференциальных уравнений относительно коэффициентов (3). Введя следующие безразмерные параметры
x y V» а .
f, —t,—R(t)
aba V»
и сохраняя прежние обозначения, получим
N
Akixki + Bkixki + [(1 - R*)Ckl + Eki] xki - V* ^ Fkinmxni = (4)
n=1
Здесь Aki, Bki, Cki, Eki, Fkinm, V* = жр^а3M*/D — безразмерные параметры. Интегрирование системы (4) при ядре Колтунова — Ржаницына
R(t) = A ■ exp(-fit) ■ ta_1, 0 < a < 1
проводилось численным методом, предложенным в работах [3, 4]. Результаты вычислений представлены в таблице. В качестве критерия, определяющего критическую скорость VK*p, принимаем условие, предложенное в работе [5].
Из таблицы видно, что увеличение коэффициента вязкости A приводит к уменьшению критической скорости VKP флаттера на 59%. При A = 0 и A = 0.1 скорость флаттера соответственно равна 36 и 14.65. Как видно из таблицы, полученный результат для упругой пластины (A = 0) точно совпадает с результатами работы [1].
Изучено влияние внешних сжимающих (растягивающих) усилий в продольном и поперечном направлениях. Из таблицы видно, что с ростом сжимающих усилий px (px = Pxa2/D) в направлении скорости потока снижается критическая скорость флаттера. Напротив, растягивающие усилия px приводят к такому же пропорциональному росту критической скорости флаттера. При изменении усилий py (py = Pya2/D) в направлении, нормальном к скорости потока V, набегающего на пластинки, скорость флаттера мало изменяется.
Увеличение параметра k1 [k1 = h2^1 /a2^ приводит к существенному изменению VK*p. Исследования были проведены при k1 = 0.1, 0.2, 0.5 и 1.5. Видно, что с уменьшением жесткости заполнителя на сдвиг (ростом коэффициента k1) критическая скорость флаттера трехслойной пластинки уменьшается.
С ростом удлинения пластинки Л (Л = a/b) увеличивается ее протяженность в направлении течения и происходит сближение удлиненных краев пластинки. Последнее способствует повышению относительной жесткости системы и росту критической скорости флаттера, который можно проследить по таблице.
Изучено влияние параметра 0, характеризующее изгибную жесткость несущих слоев. Увеличение параметра 0 приводит к увеличению критической скорости флаттера (см.
106
Б. А. Худаяров
Результаты вычислений
Л а в -Рх -Ру кг Л 0 е УКР
0 0.001 0.01 0.1 0.25 0.05 0.75 0.45 1 1 0.05 0.1 36 34.2 19.45 14.65
0.01 0.1 0.5 0.7 0.05 0.75 0.45 1 1 0.05 0.1 18.17 20 21
0.01 0.25 0.01 0.08 0.1 0.75 0.45 1 1 0.05 0.1 19.5 19.43 19.42
0.01 0.25 0.05 3 2 1.5 1 0 -0.5 -1 0.45 1 1 0.05 0.1 6.38 12.2 15.1 17.93 23.77 26.5 29.6
0.01 0.25 0.05 0.75 2.75 0.5 0 -0.5 -1.5 -4 1 1 0.05 0.1 17.15 19.4 19.9 20.35 21.3 23.7
0.01 0.25 0.05 0.75 0.45 0.1 0.2 0.5 1.5 1 0.05 0.1 70.5 45.5 26.4 16.99
0.1 0.25 0.05 0.75 0.45 1 1.2 1.5 2 0.05 0.1 17.67 23.5 36.82
0.01 0.25 0.05 0.75 0.45 1 1 0 0.03 0.06 0.07 0.1 2.12 12.83 22.7 25.7
0.01 0.25 0.05 0.75 0.45 1 1 0.05 0 0.5 2.5 5 19.4 19.6 20.6 21.82
таблицу). Также изучено влияние параметра е (аэродинамического демпфирования). С ростом коэффициента е наблюдается повышение безразмерной критической скорости флаттера.
Список литературы
[1] Смирнов А.И. Сверхзвуковой флаттер трехслойных пластин // Докл. АН СССР.
1968. Т. 183, № 3. С. 540-543.
[2] Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. 1956. Т. 20, вып.6. С. 733-755.
[3] Бадалов Ф.Б. Методы решения интегральных и интегродифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости. Ташкент: Мехнат, 1987. 271 с.
[4] Бадалов Ф.Б., Эшматов Х., Юсупов М. О некоторых методах решения систем ИДУ, встречающихся в задачах вязкоупругости // ПММ. 1987. Т. 51, № 5. С. 867-871.
[5] Худаяров Б.А. Алгоритмизация задачи о флаттере вязкоупругих пластинок, обтекаемых свурхзвуковым потоком газа // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, № 6. С. 98-101.
Поступила в редакцию 23 декабря 2003 г.
