CC BY
42
Расчет металлических гофрированных конструкций как конструктивно
ортотропных
М.С. Турко, А.С. Чепурненко, Б.М. Языев Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
Аннотация: В статье рассматриваются вопросы перехода от гофрированных пластин и оболочек к гладким конструкциям эквивалентной жесткости. Приводится выражение для потенциальной энергии деформации бесконечно малого элемента эквивалентной гладкой оболочки, формулы, устанавливающие связь между внутренними усилиями и обобщенными деформациями гофрированной конструкции. Проводится обзор формул эквивалентных жесткостей гофрированной оболочки при изгибе, представленных в работах различных авторов. С целью выбора зависимостей, обеспечивающих наименьшую погрешность при замене гофрированной оболочки гладкой выполняется численный эксперимент в конечно-элементном комплексе ЛИРА. Расчет конструктивно ортотропной конструкции производится численно методом конечных разностей. Также установлено, что в монографии С.Г. Лехницкого содержится некорректная формула для момента инерции синусоидального гофра.
Ключевые слова: гофрированные конструкции, пластины и оболочки, метод конечных элементов, метод конечных разностей, ортотропия, эквивалентные жесткости.
В настоящее время возможности современных конечно-элементных расчетных комплексов позволяют определять напряженно-деформированное состояние металлических гофрированных конструкций (МГК) путем разбиения каждого гофра на плоские оболочечные или объемные элементы, однако это требует значительных вычислительных ресурсов, особенно если конструкция состоит из большого числа волн: сотен или тысяч. Возможным способом снижения затрат машинного времени при расчете МГК является замена их гладкими пластинами/оболочками эквивалентной жесткости.
К одним из последних публикаций, в которых проводится обзор выражений для эквивалентных жесткостей, относится работа [1]. Потенциальная энергия деформации элементарного элемента гофрированной оболочки авторами статьи [1] представляется в виде:
в х Т " Л11 Л12 0 Ви В12 0 " в х ~
в у Л12 Л22 0 В12 В22 0 в у
1 У ху > 0 0 Лбб 0 0 Вбб < У ху ч
2 х х £„ В12 0 В11 В12 0 х х
х у В12 В22 0 В12 В22 0 х у
2х ху 0 0 Вбб 0 0 Вбб _ 2х ху ^
(1)
где вх, ву, у^, хх, ху, Xху - так называемые обобощенные деформации, которые
включают в себя деформации срединной поверхности, а также изменения кривизн, Лп, А12, Л22, А66 - жесткости при растяжении/сжатии, Вп, В12, В22, Вбб -жесткости элемента оболочки при изгибе. Коэффициенты Вц отличны от
нуля только для несимметричного гофра.
Для симметричного гофра связь между внутренними усилиями и обобщенными деформациями представляется в виде:
'Мх
Му > =
Н
А1 А2
В12 В22
0 0
0 в,
66.
х х X' " Л11 Л12 0 " в х
■ х у ■' ■ 5 > = Л12 Л22 0 ■ в у
2х ху 5 0 0 Лбб _ У ху
(2)
где Мх, Му - изгибающие моменты; Н - крутящий момент; Ых, N -
продольные силы, - сдвигающая сила.
В статье [1] при определении эквивалентных жесткостей используются следующие обозначения: х - координатная ось в направлении гофра, е -длина проекции одной волны на ось х (рис. 1.). Также вводится безразмерная координата X = х/е, изменяющаяся в пределах одной волны в интервале от - 1/2 до 1/2. Для произвольной функции /(X), вводится понятие среднего значения {/), определяемого по формуле:
1/2
< / > = | / (X ух.
(3)
-1/2
1
Рис. 1. - Геометрия гофра Форма гофра задается уравнением х3 = х3 (X). Также вводятся
следующие величины:
ёх (V) ёф( У)
(4)
, ч ёх3 (V) ё ф( X) 2
ф(Х) = х3(Х)/р; ф = V } = '; а = 1 + ф2.
ёх ёХ
Длину дуги одной волны и момент инерции I можно вычислить по формулам:
5 = р>/а); I = кр2( ф2^, (5)
где к - толщина листа.
Первая публикация, в которой рассматривался вопрос замены гофрированных пластин эквивалентными ортотропными, принадлежит М. Губеру. На основе работы М. Губера Е. Зейделем были предложены следующие формулы для жесткостей Вм [2]:
р Ек 5 Ек
А: ^ттт^; А2 = 0; А2 = Е1; А6 =5 Ек
(6)
5 12(1 -V2) ^ -~22 -'~66 р 24( + у)-
В работах [3-5] величины 5 и I были вычислены для различной формы гофра. В публикациях отечественных ученых, в том числе [6-8], для расчета конструкций с синусоидальным гофром (х3 = Тип (2пх / р)) использовались
формулы, предложенные С.Г. Лехницким [3]:
1
5 = р
' п2Т2 ^
V1 ,
V ь
; I = 0.5кТ2
1 - 0.81
(7)
1 + 2.5 (Т / р)
Еще один вариант формул для эквивалентных изгибных жесткостей, учитывающий коэффициент Пуассона был предложен Б. Briassoulis [9]:
Р Екъ ЕкТ2 Ек3 Екъ
П„ =--т-г; Д2 =^„; Д, =-+ —т-г; П66 =—---. (8)
11 512(1 -V2) 12 11 22 2 12(1 -V2) 66 24(1 + v) V 7
В статье [10] жесткости П11 и п12 предлагается определять как и в [9], а для жесткостей П22 и П66 получены следующие формулы:
П = / 1 \ Екъ п = 5 Ек (9)
^22 1 -V2 Л4^112(1 -V2); П66 р 24(1 + (9)
В [1] для величин п22 и п66 выведены следующие формулы:
/ к4 ф'2
П22 = Е1 + + v 2ПП; П66 =Щ^к2 --р2^ ), (10)
22 12 \4аI 11 66 4\3 4а 1 + Фк I' v У
\ 48р2 а3
где |д =О = Е / (2(1 + V)).
Значения П11 и П12 в [1] предлагается вычислять, как и в [9]. Если отбросить в (10) величины более высокого порядка малости, то выражения для П22 и П66 совпадут с формулами, предложенными Е.Зейделем.
С целью выбора расчетных формул, дающих наименьшие погрешности при переходе от гофрированных конструкций к эквивалентным гладким, нами был выполнен численный эксперимент. В конечно-элементном расчетном комплексе Лира-САПР 2013 была смоделирована шарнирно опертая по контуру гофрированная пластинка, к которой была приложена равномерно распределенная по площади проективная нагрузка q = 1 кПа. Размеры конструкции в плане 2х2 м, гофр принимался синусоидальным с геометрическими характеристиками е = 0.2 м, Т = 0.0275 м, к = 0.005 м.
J
Для расчета этой же конструкции как конструктивно ортотропной использовалось дифференциальное уравнение вида:
д4 w д4 w д4 w , ч /-1 1ч
Dn^ + 2D3-V-- + D22^- = q(x, у), (11)
11 дХ4 3 дх ду2 22 dy4 V J V 7
где q(x, у) - поверхностная нагрузка, w - прогиб, D3 = 2D66 + D12.
Значения I и S вычислялись нами путем численного интегрирования, в результате чего были получены величины S = 1.17s, I = 2.05 10-6 м4. Отметим, что формулы С.Г. Лехницкого (7) дают корректный результат для S (S = 1.19s), но момент инерции оказался заниженным в 5.7 раз (I = 3.5910 м ).
При расчете в программном комплексе ЛИРА-САПР 2013 с учетом реальной геометрии конструкции получено значение максимального прогиба wmax = 0.529 мм. Изополя вертикальных перемещений приведены на рис. 2. Наиболее близкой к этому значению, оказалась величина, вычисленная на основе формул Ye. Zheng [1]. Приемлемый результат дают также формулы Е. Зейделя. Сравнение максимальных перемещений, вычисленных на основе формул авторов [1-2,9-10] с результатом, полученным в ПК ЛИРА, представлено в таблице 1.
-0J29 -0.462 -0.396 jO.33 -0.264 -0.19S -0.132 -0.066 -0.0052S О
Загружгниг 1
Мозаяка nsp SMsnisHrai по Z(G)
Рис. 2. - Изополя вертикальных перемещений
Таблица № 1
Сравнение максимальных прогибов, полученных с использованием формул
различных авторов
ПК ЛИРА Е. Зейдель [2] D. Briassoulis [9] Y. Xia [10] Ye. Zheng [1]
Wmax, мм 0.529 0.534 0.574 0.482 0.532
Литература
1. Zheng Ye., Berdichevsky V.L., Wenbin Yu. An equivalent classical plate model of corrugated structures // International Journal of Solids and Structures. 2014. Vol. 51. pp. 2073-2083.
2. Seydel E. Shear buckling of corrugated plates // Jahrbuch die Deutschen Versuchsanstalt fur Luftfahrt. 1931. №9. pp. 233-245.
3. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. 2-е изд., перераб. и доп. Москва: Гостехиздат, 1957. 463 с.
4. Szilard R. Theory and Analysis of Plates. Prentice-Hall, 1974. 532 p.
5. Lau J.H. Stiffness of corrugated plate // J. Eng. Mech. Div. 1981. Vol. 107. pp. 271-275.
6. Кадомцева Е.Э., Сикачева Н.В., Кирсанов Ю.А. Расчёт на прочность гофрированной тонкой пластины на упругом основании обратным методом // Инженерный вестник Дона, 2017, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2017/4251.
7. Лукин А.О. Определение прогибов балок с гофрированной стенкой с учетом сдвиговых деформаций // Инженерный вестник Дона, 2013, №1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1496
8. Beskopylny A.N., Kadomtseva E.E., Strelnikov G.P. The Boundary Condition Influence on a Stress-Strain State of a Corrugated Plate on an Elastic Foundation // Materials Science Forum. 2018. Vol. 931. pp. 60-65
9. Briassoulis D. Equivalent orthotropic properties of corrugated sheets // Comput. Struct. 1986. №23. pp. 129-138.
10. Xia Y., Friswell M.I., Saavedra Flores E.I. Equivalent models of corrugated panels // International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49 (13). pp. 1453-1462.
References
1. Zheng Ye., Berdichevsky V.L., Wenbin Yu. International Journal of Solids and Structures. 2014. Vol. 51. pp. 2073-2083.
2. Seydel E. Jahrbuch die Deutschen Versuchsanstalt fur Luftfahrt. 1931. №9. pp. 233-245.
3. Lekhnitsky S.G. Anizotropnyye plastinki [Anisotropic plates]. Moscow: Gostekhizdat, 1957. 463 p.
4. Szilard R. Theory and Analysis of Plates. Prentice-Hall, 1974. 532 p.
5. Lau J.H. J. Eng. Mech. Div. 1981. Vol. 107. pp. 271-275.
6. Kadomtseva E.E., Sikacheva N.V., Kirsanov Yu.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2017/4251.
7. Lukin A.O. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1496
8. Beskopylny A.N., Kadomtseva E.E., Strelnikov G.P. Materials Science Forum. 2018. Vol. 931. pp. 60-65
9. Briassoulis D. Comput. Struct. 1986. №23. pp. 129-138.
10. Xia Y., Friswell M.I., Saavedra Flores E.I. International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49 (13). pp. 1453-1462.
