CC BY
6
Расчет максимального числа зон продольной периодической локализации дрейфующих электронов в металлическом проводнике с электрическим током
проводимости
М. И. Баранов
Научно-исследовательский и проектно-конструкторский институт «Молния» Национального технического университета «Харьковский политехнический институт», г. Харьков, 61013, Украина, e-mail: baranovmi@kpi.kharkov.ua
Поступила в редакцию 28.12.2020
После доработки 25.01.2021 Принята к публикации 26.01.2021
Приведены результаты приближенного расчета максимального значения квантового числа n = nm для квантованных стоячих продольных электронных полуволн де Бройля длиной Xezn/2 = l0/n и соответственно максимального числа nm квантованных зон продольной периодической локализации длиной Aznh дрейфующих свободных электронов в цилиндрических проводниках конечных размеров (длиной l0 и радиусом r0) с аксиальным током проводимости i0(t) указанных видов и амплитудно-временных параметров (АВП). При этом учитывались квантово-волновая природа электрического тока проводимости i0(t) различных видов (постоянного, переменного и импульсного) и АВП в металлических проводниках. Результаты верификации полученного расчетного квантово-механического соотношения для определения квантового числа nm указывают на его правомерность (работоспособность) в таких прикладных областях инженерии, как высоковольтная сильноточная импульсная техника и электрофизическая обработка металлов сильным электромагнитным полем и давлением большого импульсного тока.
Ключевые слова: металлический проводник, электрический ток проводимости, квантованные продольные электронные волны де Бройля, квантованные зоны продольной локализации дрейфующих электронов в проводнике
УДК 621.3.01:621.313
https://doi. org/10.52577/eom.2021.57.4.43
СОСТОЯНИЕ И АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ
Электрический ток проводимости i0(t) различных видов, включая постоянный, переменный и импульсный, и амплитудно-временных параметров (АВП) в металлических проводниках тех или иных конструкций (исполнений), как известно, имеет квантово-волновую природу [1-3]. В этой связи поведение в пространстве и во времени t дрейфующих под действием приложенного к противоположным краям таких проводников электрического напряжения u0(t) коллективизированных свободных электронов в их кристаллических структурах подчиняется некоторым квантованным (дискретным) волновым ^-функциям Шредингера, характеризующимся собственными целыми числами n = 1,2,3..., получившими в квантовой физике (волновой механике) название квантовых чисел [4]. При этом конечное максимальное значение квантового числа n в общем случае оказывается равным nm. При практических расчетах дрейфа свободных электронов в рассматриваемых проводниках с электрическим током проводимости i0(t) различных АВП указанное значение квантового числа nm подлежит отдельному определению. Продольные
квантованные волновые упг(^)-функции Шредингера применительно к цилиндрическому пр о воднику с продольной осью OZ и аксиальным током i0(t) произвольных АВП носят гармонический характер и приводят к возникновению в его микро- и макроструктурах квантованных стоячих продольных электронных волн де Бройля длиной кегп, описывающих в таком проводнике движение вдоль координаты г указанных электронов [2]. Ранее было установлено, что вдоль металлического проводника длиной 10 с током i0(t) всегда размещается только целое число п квантованных стоячих полуволн де Бройля длиной кегп/2, удовлетворяющих соотношению [1]: пкегп/2 = /0. Минимальное значение величины кет/2 как раз и будет определяться максимальным значением квантового числа п, то есть пт. Кроме того, этим квантовым числом пт будет определяться и максимальное число продольных волновых электронных пакетов (ВЭП), периодически возникающих вдоль длины 10 проводника с эле ктрическим током i0(t) и каждый из которых содержит один относительно «горячий» продольный участок длиной Агпк и один относительно «холодный» продольный участок длиной Агпс [2, 5]. Причем для каждого ВЭП
© Баранов М.И., Электронная обработка материалов, 2021, 57(4), 43-48.
проводника с током 70(0 различных видов и АВП будет всегда выполняться равенство [2]:
/2 = (Д^й + Д^).
В [1-3] были изложены элементы теории продольной периодической локализации дрейфующих свободных электронов в цилиндрическом проводнике с электрическим аксиальным током 70(0 различных видов и АВП. Характерной особенностью такой локализации дрейфующих вдоль проводника электронов является то, что значения их усредненной объемной плотности пек на «горячих» продольных участках в предельном случае при п ^ пт будут существенно превышать (максимум в 3,5 раза) значения усредненной объемной плотности пес дрейфующих электронов на «холодных» продольных участках того же проводника [1-3].
Выполнение неравенства вида пе}1/пес > 1 будет приводить к тому, что удельная мощность тепловых (джоулевых) потерь на «горячих» продольных участках проводника будет значительно превышать удельную мощность подобных потерь на его «холодных» продольных участках. А раз так, то и температура нагрева током 70(0 его «горячих» продольных участков будет существенно больше температуры соответствующего нагрева «холодных» продольных участков проводника. Особенно явно (резко) это отличие в температурах джоулева нагрева для «горячих» и «холодных» продольных участков проводников будет проявляться в аварийных режимах работы кабельно-проводниковой продукции (КПП) силовых электрических цепей энергообъектов (например, при коротком замыкании (КЗ) или больших токовых перегрузках в них) [6] и штатных режимах работы токонесущей цилиндрической ошиновки мощных высоковольтных генераторов импульсных токов (ГИТ) [7], когда амплитуда плотности 50т тока в поперечных сечениях проводников станет принимать численное значение порядка 0,1 кА/мм2 и более. В указанных режимах работы КПП ее «горячие» продольные участки будут перегреваться и выходить из строя [8]. При этом температура нагрева медных жил КПП для их «горячих» продольных участков (при 50т ~ 0,4 кА/мм2 длиной (шириной) около Лгпй ~ 5,3 мм [2]) может превышать температуру плавления Тт меди Си (Тт ~ 1083 оС [9]) и вызывать воспламенение поясной (защитной) изоляции КПП, что чревато возникновением пожара как на энергетическом объекте, так и в сети потребителя электроэнергии.
Опытные данные, приведенные на рис. 1 для оцинкованного стального провода радиусом
г0 = 0,8 мм и длиной 10 = 320 мм (при толщине его цинкового покрытия Д0 = 5 мкм), включенного в разрядную цепь мощного высоковольтного ГИТ с апериодическим импульсом аксиального тока 70(0 временной формы 9 мс/160 мс при 50т ~ 0,37 кА/мм2 и п = 1 [7], как раз наглядно и демонстрируют такую возможность наступления локального расплавления токонесущей части КПП посередине этого стального провода на его единственном «горячем» продольном участке длиной (шириной) Дгп}, ~ 7 мм. На практике при эксплуатации разнообразной КПП требуется знать локальные зоны перегрева ее токонесущих частей в аварийных (например, при сетевых КЗ) и штатных (например, в цепях мощных ГИТ) режимах ее работы и прогнозировать как их число, так и места их возможного появления вдоль используемой в силовых цепях КПП.
Рис. 1. Опытная демонстрация локального расплавления оцинкованного стального провода (г0 = 0,8 мм; 10 = 320 мм; Д0 = 5 мкм) разрядным импульсом аксиального тока 70(Г) временной формы 9 мс/160 мс от мощного ГИТ (80т ~ 0,37 кА/мм2) в зоне его единственного (п = 1) «горячего» продольного участка длиной Дгпк ~ 7 мм, остывающего на воздухе и огнестойком асбестовом полотне [8].
Заметим, что температура нагрева на единственном (п = 1) «горячем» продольном участке используемого в указанном эксперименте оголенного (без изоляции) биметаллического провода (см. рис. 1) составляла не менее температуры плавления его стального основания (~ 1535 оС [10]), а температура нагрева на его двух «холодных» продольных участках длиной Дгпс ~ 156,5 мм с закрепленным и на болтовых соединениях краями не п р евышала температуру плавления его цинкового покрытия (~ 419 оС [10]). В этой связи в области как электроэнергетики, силовой электротехники и высоковольтной импульсной техники, так и электрофизической обработки металлов большими импульсными токами необходимо уметь количественно определять максимальное значение квантового числа п = пт для продольных квантованных полуволн де Бройля длиной Хегп/2 = 10/п и соответственно максимального числа пт квантованных зон продольной периодической локализации длиной дрей-
фующих электронов в цилиндрических проводниках с электрическим током 70(0 различных видов и АВП.
Цель статьи - расчетное определение максимального значения квантового числа п = пт продольных электронных полуволн де Бройля длиной Хегп/2 = /0/п и соответственно максимального числа пт квантованных зон продольной периодической локализации длиной Агпй дрейфующих свободных электронов в металле цилиндрического проводника с электрическим аксиальным током 70(7) различных видов и АВП.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим уединенный сплошной прямолинейный круглый цилиндрический проводник радиусом г0 и длиной 10>>г0 (рис. 2), по которому в его продольном направлении протекает аксиальный электрический ток проводимости 70(7) произвольных АВП. Пусть геометрические размеры проводника и АВП электрического тока 70(7) допускают его практически равномерное распределение по поперечному сечению £0 рассматриваемого проводника. Считаем, что продольное распределение дрейфующих коллективизированных свободных электронов в проводнике подчиняется одномерным (продольным) квантованным волновым О-функциям Шредингера [4].
свободными электронами закон сохранения его элементарных носителей электричества в следующем виде:
п .Дг .<$,п + п Дг Snn *п 10
ек пк и т ее пе и т ет 0 0?
(1)
где пет - усредненная объемная плотность свободных электронов в металле проводника до протекания по нему аксиального тока проводимости 70(7).
Как известно, величина пет равна концентрации N атомов металла проводника, умноженной на его валентность, определяемую числом неспаренных связанных электронов на валентных электронных подоболочках данных атомов (например, для меди Си, цинка 2п и железа Бе валентность равна двум [4, 10]). Концентрация N0 (м-3) атомов в металле проводника с его массовой плотностью а?0 (кг/м3) до начала протекания по нему тока 70(7) определяется известной формулой [4]:
^ = й„(Ма х 1,6606х10-27)-
(2)
Рис. 2. Общий вид круглого цилиндрического проводника длиной 10 и радиусом г0 с аксиальным током проводимости 70(Г), где АгпП, Агпе - соответственно длины (ширины) «горячего» и «холодного» продольных участков проводника [2].
С учетом квантово-механического подхода к продольному распределению дрейфующих свободных электронов в кристаллической структуре исследуемого проводника расчетным путем требуется определить в принятом приближении максимальное значение квантового числа п = пт для продольных электронных полуволн де Бройля длиной ^ег„/2 = /0/п и соответственно максимальное число пт квантованных зон продольной периодической локализации длиной АгпП указанных электронов в круглом цилиндрическом проводнике с аксиальным током 70(7) различных видов и АВП.
ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Запишем для рассматриваемого металлического проводника с дрейфующими в нем
где Ма - атомная масса металла проводника, указанная в периодической системе химических элементов Менделеева и практически равная массовому числу ядра атома металла проводника, исчисляемому в атомных единицах массы (одна атомная единица массы равна примерно 1,6606х10-27 кг [10]).
Объемные плотности дрейфующих под действием приложенного напряжения н0(7) к проводнику с током 70(7) электронов на его «горячих» пеп и «холодных» пее продольных участках могут быть при п ^ пт рассчитаны по следующим приближенным аналитическим соотношениям [2]:
п
ек
<4тт[8 + (п - 2)2 Г1;
(3)
пес * п(п - 2)пет [8 + (п - 2)2 ]-1. (4)
Что касается длины Агпк «горячего» продольного участка рассматриваемого проводника с током 70(7), то она определяется приближенным соотношением вида [2]:
Дг„
^птк(теЬ0тУ1[8 + (п - 2)2 ]-1, (5)
где е0 = 1,602х10- Кл - модуль электрического заряда электрона [4]; к = 6,626 х10-34 Дж-с -постоянная Планка [4]; те = 9,109 х10-31 кг -масса покоя электрона [4]; 50т ~ I0m/S0 -амплитуда плотности электрического тока в материале проводника; 10т - амплитуда электрического тока проводимости 70(7).
Для длины Агпе внутреннего «холодного» продольного участка рассматриваемого проводника с электрическим током проводимости 70(7) имеем [2]:
^ * - епетКтеЬ0т)-1[8 + (п - 2)2]-1. (6)
После подстановки (3)-(6) в (1) и элементарных преобразований для максимального значения квантового числа п = пт продольных электронных полуволн де Бройля длиной Ъегп/2 = 10/п и максимального числа пт квантованных зон продольной периодической локализации длиной (шириной) Дгпй в исследуемом проводнике получаем:
пт * те^0т10 ^РеЖ' К0, (7)
где К0 = {[8+(п-2)2]2 - л(л-2)[8+(л-2)2]}х х[л(6-л)]-1 - коэффициент, численно равный примерно 5,922.
Из анализа расчетного соотношения (7) и результатов квантово-механических расчетов продольного волнового распределения дрейфующих свободных электронов в цилиндрическом проводнике с электрическим током 70(7) различных видов и АВП, приведенных в [1-3], следует, что для обеспечения меньшей расчетной погрешности выбор квантового числа пт по (7) необходимо выполнять для тех случаев, когда значения длины 10 проводника по электротехнологическим условиям его работы в электрической цепи и длины 'кегп/2 в нем продольных квантованных электронных полуволн де Бройля будут минимально возможными, а значение амплитуды 50т плотности тока в металле проводника по условиям его термической стойкости - максимально возможным и соответственно когда значение длины Д^пй его «горячих» продольных участков будет минимальным. Приняв, что в ранее указанном круглом сплошном стальном проводе (г0 = 0,8 мм; 10 = 290 мм; пет = 16,82х1028 м-3 [2]) вдоль его продольной оси 02 (см. рис. 2) протекает апериодический импульс аксиального электрического тока 70(7) временной формы 9 мс/160 мс (50т ~ 0,37 кА/мм2 [2, 8]), из (7) для максимального значения квантового числа п = пт продольных электронных полуволн де Бройля длиной Хегп/2 = 10/п и соответственно максимального числа пт квантованных зон продольной периодической локализации длиной (шириной) Дгпй ~ 5,7 мм по (5) его дрейфующих свободных электронов следует, что пт ~ 32.
ВЕРИФИКАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ РАСЧЕТНОЙ ОЦЕНКИ КВАНТОВОГО ЧИСЛА пт
Проверку истинности (работоспособности) формулы (7) для выбора максимального значения квантового числа п = пт в первом приближении выполним путем сравнения результатов расчета величины пт по (7) и ранее
рекомендованному соотношению, имеющему следующий вид [2]:
пт = 2п02, (8)
где п0 - главное квантовое число для атомов металла рассматриваемого проводника, равное числу электронных оболочек в этих атомах и соответственно номеру периода в периодической системе химических элементов Менделеева, которому этот металл проводника принадлежит (например, для меди Си, цинка 2п и железа Бе п0 = 4 [4]).
Видно, что формула (8) не учитывает влияния АВП тока 70(0 и геометрических параметров проводника на выбор квантового числа пт. Данная формула была получена на основании научной гипотезы автора о том, что максимальное число разновидностей свободных эле ктронов по их орбитальному I, магнитному т1 и спиновому тц квантовым числам в металле проводника равно максимальному числу 2п02 связанных электронов в его атомах с одинаковым главным квантовым числом п0. Из (8) для стального провода (п0 = 4) с импульсным током 70(7) указанной временной формы 9 мс/160 мс (50т ~ 0,37 кА/мм2) находим, что в рассматриваемом конкретном случае пт = 32. Этот количественный результат совпадает с численными показателями для числа пт, полученными по (7).
В подтверждение работоспособности полученного расчетного соотношения (7) могут указывать также и результаты расчетной оценки усредненного числа п0т продольных квантованных электронных полуволн де Бройля в металлическом проводнике с аксиальным электрическим током 70(7) различных АВП, приведенные в [11]. Согласно достаточно строгому квантово-механическому подходу при определении в [11] квантового числа п0т была получена следующая формула:
п0т * те50т10 (е0петЙ)-' Кт , (9)
где Кт ~ 1,414 - коэффициент, определяемый математической процедурой усреднения плотности аксиального электрического тока 5,(0 ~ 70(7)/^0 в исследуемом проводнике.
Сравнивая (7) и (9), можно констатировать их удивительную аналитическую схожесть, присутствие в них (этих формулах) незыблемых мировых констант и идентичных величин 50т, 10 и пет, характерных для рассматриваемого электрического тока проводимости 70(7) и металлического проводника. При этом нам не следует забывать о том, что эти оригинальные квантово-
Рис. 3. Общий вид оцинкованного стального провода (r0 = 0,8 мм; l0 = 320 мм; Д0 = 5 мкм) после протекания по нему импульса аксиального электрического тока i0(t) временной апериодической формы 9 мс/160 мс большой плотности (Iom~ 745 А; Som = 0,37 кА/мм2; щт = 9; Д^ = 7 мм) [2].
механические формулы, связанные с расчетным описанием малоизученных на сегодня волновых продольных распределений дрейфующих свободных электронов в металле проводника с аксиальным током проводимости 70(7) различных видов и АВП, были получены совершенно различными путями. Из (7) и (9) видно, что имеет место неравенство вида: пт/п0т > 1. В действительности так и должно быть для исследуемого проводника с любым электрическим током 70(7) и любой его токонесущей (металлической) частью.
Отдельно укажем на то, что правомерность формулы (9) для определения в проводнике с электрическим током 70(7) усредненного квантового числа п0т для продольных дебройлевских электронных полуволн длиной Ъегп/2 была подтверждена данными выполненных на мощном высоковольтном ГИТ с непосредственным участием автора высокотемпературных экспериментов [2, 11], связанных с исследованием квантованных ВЭП и «горячих» продольных участков длиной (шириной) Дгпк в оцинкованном стальном проводе (г0 = 0,8 мм; 10 = 320 мм; Д0 = 5 мкм) с протекающим в нем апериодическим импульсом тока 70(7) временной формы 9 мс/160 мс большой плотности (50т я 0,37 кА/мм2). Согласно (9), при указанных исходных данных для 10, пет и 50т искомое квантовое число будет равным п0т я 9. На рис. 3 приведен общий вид этого сплошного стального провода для п0т = 9 после воздействия на него в сильноточной разрядной цепи ГИТ мощного импульса тока 70(7) с указанными АВП.
На рис. 3 четко видны четыре нагретых до белого цвета каления (такому тепловому состоянию нагрева стали соответствует температура не менее 1200 оС [10]) «горячих» продольных участков длиной (шириной) Дгпй я 7 мм, принимающих сферообразную форму из-за расплавления на них стального основания провода и вскипания в этих квантованных (п0т = 9) зонах продольной периодической локализации дрейфующих свободных электронов цинкового покрытия данного
провода [2, 11]. Следует отметить, что в соответствии с (5) расчетное значение параметра Дгпк для рассматриваемого случая (пет = 16,82х1028 м-3; 50т я 0,37 кА/мм2) оказывается примерно равным Дгп^ я 5,7 мм. Как видим, различия между опытными и расчетными значениями для длины (ширины) Дг„й «горячих» продольных участков применительно к исследуемому стальному проводу (г0 = 0,8 мм; 10 = 320 мм; Д0 = 5 мкм) с указанным апериодическим импульсом аксиального электрического тока 70(7) не превышает 19%.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. На основании результатов, ранее выполненных с учетом закономерностей квантовой физики теоретических исследований продольного волнового распределения дрейфующих свободных электронов в изотропном металле тонкого цилиндрического проводника конечных размеров (длиной 10 и радиусом г0) с электрическим аксиальным током проводимости 70(7) различных видов и АВП, получено расчетное квантово-механическое соотношение (7) для приближенного определения в этом металлическом проводнике с указанным током 70(7) максимального значения квантового числа п = пт для продольных квантованных электронных полуволн де Бройля длиной ^егп/2 = 10/п и соответственно максимального числа пт для квантованных зон продольной периодической локализации длиной (шириной) Дгпй в нем дрейфующих под действием приложенного к его противоположным краям электрического напряжения м0(7) свободных электронов.
2. Результаты выполненной верификации полученного соотношения (7) указывают на его правомерность (работоспособность) в области как высоковольтной импульсной техники, так и электрофизической обработки металлов давлением импульсного электрического тока проводимости 70(7) большой плотности (порядка 0,1 кА/мм2 и более).
3. Полученные результаты по приближенному расчетному выбору квантового числа nm указывают на работоспособность научной гипотезы автора о том, что максимальное число разновидностей дрейфующих коллективизированных свободных электронов в изотропном металле рассматриваемого проводника с электрическим током проводимости i0(t) различных видов и АВП определяется максимальным числом 2n02 связанных электронов в атомах используемого в проводнике металла с одинаковым главным квантовым числом n0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Баранов, М.И., Квантово-волновая природа электрического тока в металлическом проводнике и ее некоторые электрофизические макропроявления. Електротехнка i електромехатка, 2014, № 4, с. 25. doi: 10.20998/2074-272X.2014.4.05.
2. Баранов, М.И., Основные характеристики волнового распределения свободных электронов в тонком металлическом проводнике с импульсным током большой плотности, Электричество, 2015, № 10, с. 20.
3. Baranov, M.I., Rudakov, S.V., Calculation-experimental method of research in a metallic conductor with the pulse current of electronic wave packages and de Broglie electronic half-waves. Electrical engineering & electromechanics, 2016, no. 6, p. 45. doi: 10.20998/2074-272X.2016.6.08.
4. Кузьмичев, В.Е., Законы и формулы физики. Отв. ред. В.К. Тартаковский. Киев: Наукова думка, 1989. 864 с.
5. Марахтанов, М.К., Марахтанов, А.М., Периодические изменения температуры по длине стальной проволоки, вызванные электрическим током,
Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Машиностроение, 2003, № 1, с. 37.
6. Электротехнический справочник. Производство и распределение электрической энергии. Том 3, Книга 1. Под общей ред. И.Н. Орлова. М.: Энергоатомиздат, 1988. 880 с.
7. Baranov, M.I., Buriakovskyi, S.G., Rudakov, S.V., The instrumental providing is in Ukraine of model tests of objects of energy, aviation and space-rocket technique on resistibility to action of impulsive
current of artificial lightning. Electrical engineering & electromechanics, 2018, no. 4, p. 45. doi: 10.20998/2074-272X.2018.4.05.
8. B aranov, M.I., Local heating of electrical pathways of power electrical equipment under emergency conditions and overcurrents, Russ. Electr. Eng., 2014, vol. 85, no. 6, p. 354. doi: 1 0.3103/s1068371214060030.
9. Кнопфель, Г., Сверхсильные импульсные магнитные поля. Пер. с англ. Ф.А. Николаева, Ю.П. Свириденко. М.: Мир, 1972. 391 с.
10. Кухлинг, Х., Справочник по физике. Пер. с нем. под ред. Е.М. Лейкина. М.: Мир, 1982. 520 с.
11. Baranov, M.I., Rudakov, S.V., Calculation-experimental determination of middle number of the quantized longitudinal electronic semiwaves de Broglie in a cylindrical explorer with an impulsive axial-flow current. Electrical engineering & electromechanics, 2020, no. 2, p. 43. doi: 10.20998/2074-272X.2020.2.06.
Summary
T he results of approximate calculation of the maximal value of the quantum number of n = nm for the quantized standing longitudinal electronic de Broglie half-waves Xezn/2 = l(/n long and, accordingly, of the maximal number of nm of the quantized areas of the longitudinal periodic localization with the length of Aznh of drifting lone electrons in the cylindrical explorers of eventual sizes (long l0 and radius of r0) with the axial-flow current of conductivity of i0(t) of the indicated kinds and peak-temporal parameters (PTP) are presented, taking into account the quantum-wave nature of the electric current of conductivity of i0(t) of different kinds (permanent, variable, and impulsive) and PTP in the metallic explorers. The results of verification of the obtained calculations of the quantum-mechanical correlation for the determination of the quantum number nm confirm its possibility to be applied in such areas of engineering as high-voltage heavy-current impulsive technique and electrophysical treatment of metals by a strong electromagnetic field and by a pressure of a large impulsive current.
Keywords: metallic explorer, electric current of conductivity, quantized longitudinal electronic de Broglie half-waves, quantized areas of longitudinal localization of drifting electrons in an explorer
