CC BY
34
УДК 622 765 В.И. Мелик-Гайказян, Н.П. Емельянова, Т.И. Юшина
РАСЧЕТ КРИВЫХ РАСТЕКАНИЯ НАНОПУЗЫРЬКОВ ПО ПОВЕРХНОСТИ ЧАСТИЦ С РАЗЛИЧНОЙ СМАЧИВАЕМОСТЬЮ ЧАСТЬ 1. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ КРИВЫХ РАСТЕКАНИЯ НАНОПУЗЫРЬКОВ*
Кривые растекания (КР) нанопузырьков характеризуют изменения, которые происходят с параметрами пузырьков при их самопроизвольном растекании на твердой подложке. Описан принцип расчета КР, поясненный числовым примером. Расчет КР возможен на основе результатов численного решения уравнения Лапласа или таблиц типа Таблиц Башфорта и Адамса (ТБА). Из-за малости размера нанопузырьков необходимы двенадцатизначные ТБА. Последующие расчеты следует проводить с не меньшим числом значащих цифр. Из КР следует энергетическая возможность нанопузырьков к их самопроизвольному растеканию, приводящему к повышению флотоактивно-сти частиц и сокращению расхода флотационных реагентов. Это доказано практикой применения первых процессов пенной флотации, которые проводились вообще без реагентов, способных изменять смачиваемость поверхности частиц. Эти флотореагенты тогда еще не были открыты. Исследование самопроизвольной растекаемости нанопузырьков с целью его практического применения может повысить эффективность и экономичность процесса пенной флотации. Ключевые слова: кривые растекания нанопузырьков, принцип расчета кривых растекания, безреагентное повышение флотоактивно-сти частиц, применение таблиц Башфорта и Адамса.
Кривые растекания нанопузырьков
Рассмотрим кратко историю вопроса.
Нанопузырьки
В 2007 г. в Интернете появились микрофотографии нанопузырьков СО2 размером от 5 до 80 нм, прилипших
* Окончание (Часть 2) в ГИАБ № 9 2016 г.
ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2016. № 8. С. 306-318. © 2016. В.И. Мелик-Гайказян, Н.П. Емельянова, Т.И. Юшина.
к гидрофобной поверхности. Микрофотографии были получены в Мельбурнском университете профессором В. Даккером (W. Ducker) с коллегами [1]. Авторы считают себя пионерами, подтвердившими реальность существования нанопузырьков.
В Интернете имеются еще фотографии нанопузырьков, полученных другими авторами, и все они имеют уплощенную форму [2].
Очевидно, что при своем возникновении нанопузырьки имели сферическую форму и в них было высокое капиллярное давление Р газа.
к
Однако потом они самопроизвольно растеклись (уплости-лись), покрылись адсорбционным слоем молекул ПАВ, следы которых имелись в экспериментальной ячейке, и давление в пузырьках упало до нуля.
В первых флотационных устройствах [3, 4] микропузырьки (их размер тогда не был установлен) производились в промышленных количествах, и загрязнений на всех не хватало, поэтому в них было высокое Рк, и это обеспечивало их успешное действие при флотационном разделении частиц различных минералов по неизвестному тогда механизму.
В настоящем сообщении, также как и в предыдущих [5, 6], делается попытка выяснить механизм успешного флотационного действия микропузырьков в первых флотационных процессах для того, чтобы использовать их активирующую роль в современной флотации.
Растекание пузырька
Формы растекающегося пузырька постепенно удаляются от сферы, а его меридиональный контур ß изменяется от окружности до уплощенной формы (см. рисунок). Растекание количественно легко воспроизвести последовательностью форм ß1; ß2; ß3; ... с возрастающими по модулю мантиссами, например теми, которые приняты во второй графе табл. 2.
№1 №4 N26 N915
ß =-2,0-10"11 ß=-2,0110" ß =-2,11011 (i =-8,01011
Стадии растекания пузырька. Номера контуров пузырьков, построенных компьютером, соответствуют номерам строк в табл. 2
Из схемы видно, что диаметр периметра контакта нанопу-зырька поначалу очень мал (а = 1,1 ■ 10-13 м), и на нем не может удержаться большой пузырек. Слившись с нанопузырьком, он его просто оторвет от подложки. А после растекания нанопу-зырька его коалесценция с транспортным пузырьком может привести к флотации частиц.
С растеканием пузырька падает кривизна его поверхности и уменьшается капиллярное давление Рк газа в нем. Как следствие, объем пузырька V возрастает. Это важно, поскольку величина V в расчете является связующим звеном между растущими безразмерными значениями Р1; Р2; Р3; ...
К расчету объема большого пузырька, закрепившегося
на периметре растекшегося нанопузырька
Определим, на сколько должен растечься первичный нано-пузырек объемом V1, чтобы на его увеличенном периметре мог закрепиться коалесцирующий с ним транспортный пузырек объемом V2, причем V2 >> V1. Задачу можно количественно решить посредством уравнения Фрумкина-Кабанова [7]:
F = F2 + Fv (1)
или в развернутом виде
п ■ а ■ а ■ sine = V■ 5 ■ g + Pk ■ п ■ а2/4, (2)
где F1 и F3 — капиллярные силы прилипания и отрыва соответственно; F2 — архимедова сила отрыва пузырька; V — объем пузырька; а — диаметр периметра его основания; а — поверхностное натяжение на поверхности пузырька; e — краевой угол у основания пузырька; 5 — разность между плотностями воды и воздуха; g — ускорение свободного падения.
Записав уравнение (2) для двух случаев: а1, ei, V1 и а2, e2, V2, и, решив их относительно V2, получим
V = V ■ ^
^ 4 ■ а ■ sin 92 - а2 ■ Pk2 ^ 4 ■ а ■ sin 9j - а1 ■ Pk1 j
(3)
Приняв, что исходные значения параметров записаны в первой строке табл. 2 (а1 = 1,112 ■ 10-13 м; 01 = 0,000438°; У1 = = 7,152 ■ 10-24 м3), а периметр пузырька увеличился при растекании в 10 раз (см. рис. 1 и табл. 3, графы 17 и 22) и угол 02 возрос до 0,01°, получим, что У2 » 230 У1. При росте 02 до 0,1° У2 » 2300 У1, а при 02 = 1° величина У2 увеличится по сравнению с У1 более чем в 20 000 раз.
Очевидно, что растекание нанопузырька может быть значительно большим, чем в 10 раз. Возможно также, что прилипших нанопузырьков на частице может быть несколько.
Способность нанопузырьков к самопроизвольному растеканию из-за большого Рк в них (более 100 атм.) побудило ранее [8] предложить присвоить самопроизвольно растекающимся нано-пузырькам статус природного фрактала, учитывая что именно это их свойство было главным фактором активации процесса пенной флотации в первых ее применениях в конце XIX-го и начале XX-го столетий. Это свойство проявляется в ограниченном диапазоне размеров пузырьков [9].
Расчет кривых растекания нанопузырьков
При растекании нанопузырька изменяется его форма ß, увеличивается радиус кривизны b в его куполе, уменьшается капиллярное давление Рк газа в пузырьке, изменяется площадь П его криволинейной поверхности, растут объем V растекающегося пузырька, диаметр а периметра его контакта с подложкой, его площадь Па и краевой угол 0 у основания пузырька. То есть, изменяются, по крайней мере, 8 параметров пузырька: ß, b, Рк, П, V, а, Па и 0. Изменяются также их приращения AV, ЛП, ЛПа, необходимые для расчета работы Рк • AV расширения газа в пузырьке — источника энергии для растекания, и работ а • ЛП и а • ЛП.
а
Не меняются только параметры, которые для упрощения расчетов принимаются пока неизменными, например, поверхностное натяжение а на поверхностях П и Па.
Проведем вычисление значений перечисленных выше параметров. Они необходимы для начала расчета кривых растекания нанопузырьков.
Расчет начальных параметров нанопузырьков
Для расчета непрерывно изменяющихся с растеканием параметров нанопузырька необходим набор безразмерных таблиц типа таблиц Башфорта и Адамса (ТБА) [10, 11]. Учитывая специфику процесса растекания, выбраны 15 ТБА одного порядка (10-11) и со следующей последовательностью мантисс: 2,0; 2,000001; 2,0001; 2,01; 2,05; 2,1; 2,2; 2,45; 2,6; 3,0; 3,6; 4,2; 5,0; 6,0; 8,0.
Поскольку нанопузырьки мало отличаются от сферы, то используются двенадцатизначные ТБА. С не меньшим числом значащих цифр проводятся и расчеты. Однако в итоговые табл. 2 и 3 рассчитанные параметры вносятся с меньшим числом значащих цифр, чтобы не увеличивать объема таблиц.
Для примера, поясняющего расчет, используется табл. 1, которая содержит данные ТБА для р = -2,0 ■ 10-11. Результаты расчета по мере их получения помещаются в соответствующие графы табл. 2 и 3 со сквозной их нумерацией. В частности, в графе 2 помещена последовательность форм р, приведенная выше.
Расчет рационально начать с уровня s/b = 3,141562 в табл. 1, соответствующего точке перегиба на меридиональном контуре пузырька, когда наблюдается максимальное значение угла ф1 и, следовательно, минимальное значение угла 01 = 180° — ф1 = 180 — — 179,999562371 = 0,000437629°, при котором пузырек данного размера может прочно закрепиться на подложке. Поместим это значение 01 в первую строку графы 22.
В графе 3 приведены величины Ь, являющиеся масштабами к ТБА и равные радиусам кривизны в куполах форм растекающегося пузырька. Эти величины вычисляются посредством уравнения Лапласа [10; 11, с. 21—22]:
р_( А - А )• д • ь2, (4)
с
где и Б2 — плотности воздуха и воды соответственно.
Так, вычисленное значение Ь1 = 1,1952286093 ■ 10-8 м. Оно помещено в графу 3.
С уровня точки перегиба из табл. 1 выписывают безразмерные значения объема У1/(Ь1)3 = 4,188790205959, площади криволинейной поверхности П1/(Ь1)2 = 12,56637061446, диаметра периметра контакта пузырька с подложкой а1/Ь1 = 2(х/Ь)1, где х1/Ь1 = 0,000004653622. Они вносятся в несколько сокращенном виде в первую строку граф 6, 11 и 16 соответственно. Эти безразмерные значения переводят в размерные умножением их на величину Ь1, взятую в соответствующей степени (Ь3, Ь2 и Ь): у = 7,15223127529 ■ 10-24 м3; П1 = 1,79519580207 ■ 10-15 м2 и а1 = 1,1124279522 ■ 10-13 м. В итоговые табл. 2, и 3, эти параметры вносятся в графы 7, 12 и 17 с меньшим числом значащих цифр.
В графе 4 указаны значения Рк газа в пузырьке, вычисленные по закону Лапласа
Р _ ^ . (5)
ь
Для первой строки табл. 2 в графе 4 Рк1 = 11713240,372 Н/м2.
В графе 5 приведены отношения Р^/Р^; Рк1/Рк3; Рк1/Рк4; и т.д., чтобы, используя их, вычислять растущие объемы пузырька при его растекании.
Таблица 1
Результаты численного решения уравнения Лапласа для р = -2,0 • 10~"
л/Л Ь/р Ф, град. х/Ь г/Л У/Ь3 П/Ь2 г=[Ь/р]-(Ь/р)
1 2 3 4 5 6 1 8
0,10000 1,000000000000 5,729291472 0,099828441625 0,004995335567 0,000078262814 0,03138661904 0,000000000000
0,20000 0,999999999999 11,458869424 0,198664430460 0,019932428824 0,001239867207 0,12523914393 0,000000000000
0,30000 0,999999999999 17,188447375 0,295515429975 0,044662033285 0,006173234191 0,28061983133 0,000000000000
0,40000 0,999999999999 22,917853439 0,389410973808 0,078935890680 0,019059817332 0,49596882853 0,000000000000
0,50000 0,999999999998 28,647431390 0,479418517928 0,122413602733 0,045156092018 0,76914735009 0,000000000000
0,60000 0,999999999997 34,377123933 0,564637521371 0,174660997250 0,090259111434 1,09742741166 0,000000000000
0,70000 0,999999999996 40,106701884 0,644213098173 0,235153947423 0,160104714149 1,47751582737 0,000000000000
0,80000 0,999999999995 45,836394427 0,717353304067 0,303290421233 0,259764730388 1,90562991851 0,000000000000
0,90000 0,999999999994 51,565972379 0,783324423182 0,378386898426 0,393069546798 2,37747500063 0,000000000000
1,00000 0,999999999992 57,295321147 0,841466662363 0,459690962380 0,562143382175 2,88832350068 0,000000000000
1,10000 0,999999999991 63,024956394 0,891204184867 0,546397640133 0,767097254916 3,43311762437 0,000000000000
1,20000 0,999999999990 68,754878120 0,932038723610 0,637641313483 1,005836409797 4,00641853214 0,000000000000
1,30000 0,999999999988 74,484456071 0,963557917919 0,732500207816 1,274064392931 4,60243454327 0,000000000000
1,40000 0,999999999986 80,214148614 0,985449899957 0,830033842548 1,565572480335 5,21525644397 0,000000000000
1,50000 0,999999999985 85,944070340 0,997495481743 0,929269780797 1,872560112648 5,83877423312 0,000000000000
1,570789 0,999999999984 89,999981275 1,000000000004 0,999999673204 2,094394075743 6,28318325387 0,000000000000
1,570790 0,999999999984 90,000038571 1,000000000003 1,000000673204 2,094397217336 6,28318953706 0,000000000000
1,60000 0,999999999983 91,673648291 0,999573398624 1,029206519314 2,186123999284 6,46669528022 0,000000000000
1,70000 0,999999999981 97,403570017 0,991663135395 1,128857385926 2,496971959446 7,09282014117 0,000000000000
1,80000 0,999999999978 103,133147968 0,973844677175 1,227214754692 2,795927351807 7,71081771545 0,000000000000
1,90000 0,999999999975 108,862783215 0,946295561548 1,323302815033 3,074692764833 8,31455680438 0,000000000000
2,00000 0,999999999972 114,592361166 0,909291600690 1,416159566671 3,326323045799 8,89799298195 0,000000000000
2,10000 0,999999999969 120,322111004 0,863200784151 1,504860779087 3,545707442493 9,45531913653 0,000000000000
2,20000 0,999999999965 126,051688956 0,808486399196 1,588514861612 3,729816727665 9,98093323873 0,000000000000
2,30000 0,999999999961 131,781553386 0,745690553939 1,666292426637 3,877855983600 10,46962409253 0,000000000000
2,40000 0,999999999954 137,511131337 0,675446957743 1,737408575559 3,991125412996 10,91646003453 0,000000000000
2,50000 0,999999999945 143,240594696 0,598456121131 1,801155584839 4,072807657038 11,31699430661 0,000000000000
2,60000 0,999999999931 148,970172647 0,515484233965 1,856899063237 4,127525764917 11,66724091105 0,000000000000
2,70000 0,999999999905 154,699807894 0,427360894648 1,904081116812 4,160810341667 11,96369449682 0,000000000000
2,80000 0,999999999857 160,429385844 0,334968363439 1,942229375234 4,178507218276 12,20338707361 0,000000000000
2,90000 0,999999999736 166,159250273 0,239224084249 1,970964385333 4,186167266474 12,38393446684 0,000000000000
3,00000 0,999999999283 171,888828222 0,141094268237 1,989996165425 4,188476853212 12,50351466784 0,000000000000
3,10000 0,999999991937 177,618406160 0,041554684937 1,999136231092 4,188787861907 12,56094339403 0,000000000000
3,11000 0,999999986036 178,191363949 0,031561411432 1,999501814624 4,188789425610 12,56324042309 0,000000000000
3,12000 0,999999970113 178,764321732 0,021564981812 1,999767448809 4,188790035338 12,56490945187 0,000000000000
3,13000 0,999999896157 179,337279496 0,011566395711 1,999933107086 4,188790191219 12,56595031346 0,000000000000
3,14000 0,999994340942 179,910236852 0,001566652981 1,999998772904 4,188790205446 12,56636290379 0,000000000000
3,14100 0,999956743324 179,967531735 0,000566653592 1,999999839572 4,188790205539 12,56636960577 0,000000000000
3,141561 0,565470220805 179,999535315 0,000005653622 2,000000000168 4,188790205942 12,56637061443 0,000000000000
3,141562 0,358681903791 179,999562371 0,000004653622 2,000000000176 4,188790205959 12,56637061446 0,000000000000
3,141563 -0,040329346506 179,999572883 0,000003653622 2,000000000183 4,188790205980 12,56637061448 0,000000000000
3,141564 -0,971952872072 179,999548140 0,000002653622 2,000000000191 4,188790206008 12,56637061451 -0,000000000033
3,141565 -4,087005884190 179,999423283 0,000001653622 2,000000000200 4,188790206049 12,56637061452 -0,000000164618
Примечание. Таблица составлена по типу таблиц Башфорта и Адамса. Графа 8 содержит результат проверки точности чисел в графах 2, 3, 4 и 5 по методу Дж.К. Адамса. В каждой строке числа считаются правильными, если е = [Ь/р] — (Ь/р) = 0, и не точными, если е ф 0 (см., например, последние строки графы 8).
Таблица 2
Энергетический расчет растекания нанопузырька с начальной формой р = -2,0 • 10~" и йе= 24 нм при ст = 0,07 Н/м по подложкам (Г), (Ф) и (Нх)
№ п.п -р • ю-11 Ь, м р кМ> Н/м2 Л/Л = Г/Ь3 К> Л = = У\(,1\/1\) VI' А V = сл Р&Г Дж к сл 1.Р&Г Дж -"к сл ^ п/ь1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2,00 1,195229- Ю-8 11713240 4,188790 7,152231 • Ю-24 12,566371
2 2,000001 1,195229- Ю-8 11713237 1,000000 4,188788 <- 7,152233- Ю-24 1,78806- 10-'° 2,09439- Ю-2-' 2,09439- Ю-2-' 12,561270
3 2,0001 1,195258- Ю-8 11712948 1,000025 4,188581 <- 7,152410- Ю-24 1,77016- Ю-28 2,07337 • Ю-21 2,09432 • Ю-21 12,515145
4 2,01 1,198213 • Ю-8 11684066 1,002497 4,167950 <- 7,170090- Ю-24 1,76795- Ю-26 2,06568 • Ю-19 2,08663 • Ю-19 12,047538
5 2,05 1,210077- Ю-8 11569514 1,012423 4,086625 <- 7,241082 • Ю-24 7,09927 • Ю-26 8,21351 • Ю-19 1,03001 • ю-18 11,396472
6 2,1 1,224745- Ю-8 11430952 1,024695 3,989324 <- 7,328856 • Ю-24 8,77739 • Ю-26 1,00334- Ю-18 2,03335 • Ю-18 10,908648
7 2,2 1,253566- Ю-8 11168136 1,048809 3,807991 <- 7,501323 • Ю-24 1,72467- Ю-25 1,92614- Ю-18 3,95949- Ю-18 10,229160
8 2,45 1,322876- Ю-8 10583005 1,106797 3,419421 <- 7,916069- Ю-24 4,14746- Ю-25 4,38926 • Ю-18 8,34875 • Ю-18 9,127549
8 2,45 1,322876- Ю-8 10583005 1,106797 3,419421 <- 7,916069- Ю-24 4,14746- Ю-25 4,38926 • Ю-18 8,34875 • Ю-18 9,127549
9 2,6 1,362770- Ю-8 10273191 1,140175 3,222146 <- 8,154798- Ю-24 2,38729 • Ю-25 2,45251 • Ю-18 1,08013- Ю-17 8,651491
10 3,0 1,463850- Ю-8 9563821 1,224745 2,792527 <- 8,759659 • Ю-24 6,04860 • Ю-25 5,78477 • Ю-18 1,65860- Ю-17 7,703723
11 3,6 1,603567- Ю-8 8730534 1,341641 2,327106 <- 9,595725 • Ю-24 8,36067 • Ю-25 7,29931 • Ю-18 2,38853- Ю-17 6,749547
12 4,2 1,732051 • Ю-8 8082904 1,449138 1,994662 <- 1,036457- Ю-2-' 7,68843 • Ю-25 6,21448 • Ю-18 3,00998 • Ю-17 6,083541
13 5,0 1,889822- Ю-8 7408104 1,581139 1,675516 <- 1,130867- Ю-2-' 9,44103 • Ю-25 6,99401 • Ю-18 3,70938 • Ю-17 5,439929
14 6,0 2,070197- Ю-8 6762642 1,732051 1,396263 <- 1,238803- Ю-2-' 1,07936- Ю-24 7,29931 • Ю-18 4,43931 • Ю-17 4,859327
15 8,0 2,390457- Ю-8 5856620 2,000000 1,047198 <- 1,430446- Ю-2-' 1,91643- Ю-24 1,12238- Ю-17 5,56170- Ю-17 4,098324
Примечание. Расчет размещен в табл. 2 и 3.
м Таблица 3 .с*
Энергетический расчет растекания нанопузырька с начальной формой р = -2,0 • 10—11 и йе = 24 нм при ст = 0,07 Н/м по подложкам (Г), (Ф) и (Нх)
№ п/п Пм2 ДПм2 аДПДж ЕаДПДж х/Ь а, м П = (ла2)/4 " м2 ДПам2 аДПаДж ЕаДП Дж е:
1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Нисходящая ветвь N0
1 1,79520- Ю-15 0,000005 1,11243- 10"13 9,71928 ■ Ю-27 4,3763 ■ 10^
2 1,79447- Ю-15 -7,27779 ■ Ю-19 -5,09445 ■ Ю-20 -5,09445 ■ Ю-20 0,040224 9,61546 ■ 10"10 7,26156 ■ 10"19 7,26156 ■ 10"19 5,08309 ■ Ю-20 5,08309 ■ Ю-20 2,31
3 1,78797- Ю-15 -6,50074- Ю-18 -4,55052 ■ Ю-19 -5,05996 ■ 10"19 0,127339 3,04407 ■ Ю-9 7,27777 ■ Ю-18 6,55162 ■ Ю-18 4,58613 ■ 10"19 5,09444- 10"19 7,32
4 1,72968- Ю-15 -5,82850 ■ Ю-17 -4,07995 ■ Ю-18 -4,58594- Ю-18 0,397885 9,53503 ■ Ю-9 7,14058 ■ Ю-17 6,41281 ■ Ю-17 4,48897 ■ Ю-18 4,99841 ■ Ю-18 23,45
5 1,66877- Ю-15 -6,09131 ■ Ю-17 -4,26392 ■ Ю-18 -8,84986 ■ Ю-18 0,581127 1,40642 ■ Ю-8 1,55353- 10-к 8,39467 ■ Ю-17 5,87627 ■ Ю-18 1,08747- Ю-17 35,53
6 1,63630- ю-15 -3,24720 ■ Ю-17 -2,27304- Ю-18 -1,11229- Ю-17 0,676791 1,65779- Ю-8 2,15849 ■ Ю-16 6,04965 ■ Ю-17 4,23476 ■ Ю-18 1,51094- Ю-17 42,59
7 1,60744- Ю-15 -2,88578 ■ Ю-17 -2,02005 ■ Ю-18 -1,31429- Ю-17 0,778195 1,95104- Ю-8 2,98966 ■ Ю-16 8,31167- Ю-17 5,81817- Ю-18 2,09276 ■ Ю-17 51,10
8 1,59732 ■ Ю-15 -1,01182 ■ Ю-17 -7,08277 ■ Ю-19 -1,38512 ■ Ю-17 0,891663 2,35912 ■ Ю-8 4,37108 ■ 10-к 1,38143 ■ 10-к 9,66998 ■ Ю-18 3,05976 ■ Ю-17 63,08
Восходящая ветвь СТ
8 1,59732 ■ Ю-15 0,891663 2,35912 ■ Ю-8 4,37108 ■ 10-к 63,08
9 1,60671 ■ Ю-15 9,38440 ■ Ю-18 6,56908 ■ Ю-19 6,56908 ■ Ю-19 0,926074 2,52405 ■ Ю-8 5,00364- 10-1<; 6,32559 ■ Ю-17 4,42792 ■ Ю-18 3,50255 ■ Ю-17 67,85
10 1,65080- Ю-15 4,40923 ■ Ю-17 3,08646 ■ Ю-18 3,74337 ■ Ю-18 0,974079 2,85181 ■ Ю-8 6,38750 ■ 10-1<; 1,38386 ■ 1016 9,68703 ■ Ю-18 4,47125 ■ Ю-17 76,93
И 1,73560- Ю-15 8,48000 ■ Ю-17 5,93600 ■ Ю-18 9,67937 ■ Ю-18 0,997131 3,19793 ■ Ю-8 8,03209 ■ 10-1<; 1,64457- 10"16 1,15121 ■ Ю-17 5,62246 ■ Ю-17 85,74
12 1,82506- Ю-15 8,94646 ■ Ю-17 6,26252 ■ Ю-18 1,59419- Ю-17 0,999281 3,46161 ■ Ю-8 9,41122 ■ 10-к 1,37913 ■ 10-к 9,65393 ■ Ю-18 6,58786 ■ Ю-17 91,82
13 1,94283- Ю-15 1,17769- 10-1<; 8,24385 ■ Ю-18 2,41857- Ю-17 0,990701 3,74450 ■ Ю-8 1,10123- Ю-15 1,60104- 10"16 1,12073- Ю-17 7,70859 ■ Ю-17 97,71
14 2,08257- Ю-15 1,39737 ■ Ю-16 9,78159- Ю-18 3,39673 ■ Ю-17 0,972735 4,02751 ■ Ю-8 1,27398- Ю-15 1,72752 ■ 10-к 1,20926- Ю-17 8,91785 ■ Ю-17 103,11
15 2,34190 ■ Ю-15 2,59331 ■ 10-1<; 1,81531 ■ Ю-17 5,21205 ■ Ю-17 0,936899 4,47923 ■ Ю-8 1,57579- Ю-15 3,01807 ■ 10-к 2,11265 ■ Ю-17 1,10305 ■ 10-к 110,36
Примечание. Расчет размещен в таблицах 2 и 3.
Следующим шагом в расчете является точка 2 на рис. 2 или вторая строка в табл. 2, 3 и 4, когда растекающийся пузырек принял форму Р2 = -2,000001 • 10—11. При этом объем У2 пузырька вычисляют на основе закона Бойля-Мариотта (Б-М) по соотношению
V = (Р1/Р2) • VI. (6)
Правомерность применения закона Б-М при Рк = 11713240 Н/м2 (117 атм.) основывается на экспериментальных данных, полученных французским физиком Э. Амага в 70-х годах XIX столетия [12, с. 20-21; 13, с. 203-207].
Э. Амага приравнял константу в законе Б-М к единице, т.е. Р • V = 1,0000 при давлении Р = 1 атм, а обнаруженное в эксперименте несоответствие закону, например, для азота при Р, равном 100 или 200 атм., выразил в виде чисел 0,9910 или 1,0390 соответственно, т.е. отклонение составило примерно — 0,9% или +3,9%. По-видимому, для первых расчетов такую погрешность можно считать приемлемой, но при необходимости ее можно учесть, чтобы уточнить результаты.
Чтобы найти значения П2, а2, ф2 и 02 соответствующие рассчитанному V2, следует величину V2 перевести в безразмерный вид (см. стрелки между графами 7 и 6 во второй строке табл. 2), поделив ее на (Ь2)3, и обратиться к ТБА, соответствующей р2. По этой таблице интерполированием следует найти уровень, соответствующий V2/(b2)ъ, и для него также интерполированием определить соответствующие значения П2/(Ь2)2; х2/Ь2 и ф2. Затем, переведя их в размерный вид (кроме ф2, поместить полученные П2 и а2 во вторую строку табл. 3, в графы 12 и 17, а 02 — в графу 22. Это — второй шаг расчета.
Аналогичным образом рассчитываются параметры третьей строки табл. 2 и 3, по данным которой наносят точки 3 на рис. 2, и т.д.
В графе 8 приведены приращения объема ЛV расширяющегося газа в пузырьке при его растекании. Они используются при определении элементарной Рк • Л Vработы расширения (графа 9) и ее кумулятивного значения 2Рк • ЛV (графа 10).
В графе 13 приведены значения ЛП, характеризующие сокращение криволинейной поверхности пузырька на начальном этапе растекания. В графе 14 указаны значения выделяющейся при этом энергии а • ЛП, а в графе 15 — ее кумулятивные значения • ЛП.
В графе 18 содержится растущая площадь Па = п • а2/4, а ее приращение ЛП — в графе 19.
В графах 20 и 21 приведены потребляемая энергия а • ЛПа и ее кумулятивные значения Za • ЛПа соответственно.
На этом расчет параметров растекающегося нанопузырька и заполнение граф первой строки табл. 2 и 3 завершается.
Остальные строки заполняются аналогичным образом.
Выводы
1. Разработана методика расчета кривых растекания нано-пузырьков с начальной формой р = —2,0 • 10-11, экваториальным диаметром de = 24 нм при a = 0,070 Н/м. Расчеты пока могут быть произведены только на основе результатов высокоточного численного решения уравнения Лапласа.
2. При расчете кривых растекания необходимо использовать 10 непрерывно изменяющихся параметров растекающегося нанопузырька: р, b, Рк, П, V, a, Па, ЛV , ЛП и ЛПа. Из этого следует, что кривые растекания нанопузырьков не могут не быть информативными и отражают присущие пузырькам свойства.
3. Показана роль капиллярного давления Рк газа в нанопу-зырьке — фактора интенсивности процесса растекания
4. Установлено, что интенсивность растекания нанопузырь-ка с растеканием ослабевает. Одной из причин этого является падение Рк с растеканием.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Nanobubbles exist, and are more stable than previously thought [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.physorg.com/ news94728858.html. - (Дата обращения: 24.01.2016).
2. Нанопузырьки изучают с помощью микрожидкостных чипов [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://NanoNewsNet.ru>news... nanopuzyrki...s...mikroflyuidnykh... — (Дата обращения: 24.01.2016).
3. Hoover T. J. Concentrating ores by flotation. 3-rd ed. London. The Mining Magazine, 1916. — 320 p.
4. Сазерленд К. Л., Уорк И. В. Принципы флотации. — М.: Металлург-издат, 1958. — 411 с.
5. Мелик-Гайказян В. И., Долженков Д. В., Емельянова Н. П., Труфа-нов М. И., Юшина Т. И. Нанопузырьки и механизм их феноменальной флотоактивности и селективности действия. Часть 1. Прилипанию на-нопузырьков способствует их растекание // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2014. — № 9. — С. 52—61.
6. Мелик-Гайказян В. И., Долженков Д. В., Емельянова Н. П., Юши-на Т. И. Нанопузырьки и механизм их феноменальной флотоактивно-сти и селективности действия. Часть 2. Энергетический расчет возможности перехода А^М на примере милли-, микро- и нанопузырьков // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2014. — № 12. — С. 101—113.
7. Кабанов Б. Н., Фрумкин А. Н. Величина пузырьков газа, выделяющихся при электролизе // Журнал физической химии. — 1933. — т. 4. — вып. 5. - С. 538-548.
8. Мелик-Гайказян В. И., Титов В. С., Емельянова Н. П., Должен-ков Д. В. Фрактальные свойства нанопузырьков — основа их феноменальной флотоактитвности / Х Конгресс обогатителей стран СНГ: сборник материалов. — М.: МИСиС, 2015. — т. 1. — С. 176—187.
9. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / пер. с англ. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.
10. Bashforth F., Adams J. C. An attempt to test the theories of capillary action by comparing the theoretical and measured forms of drops of fluids. Cambridge: Univercity Press, 1883. — 140 p.
11. Мелик-Гайказян В. И., Емельянова Н. П., Юшина Т. И. Методы решения задач теории и практики флотации: учебное пособие для вузов. М.: Изд-во «Горная книга», 2013. — 363 с.
12. Раковский А. В. Курс физической химии. М.: Гостехиздат, 1939. — 544 с.
13. Андреев Н. Н., Ржевский С. Н., Горелик Г. С.; под ред. Папалек-си Н. Д. Курс физики: учебное пособие для втузов: в 2 т. — М.-Л.: ОГИЗ, 1948. —Т. 1. — 600 с. ЕЛЗ
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Мелик-Гайказян Виген Иосифович1 — доктор химических наук, профессор, руководитель лаборатории, e-mail: [email protected], Емельянова Нина Павловна1 — кандидат химических наук, доцент, e-mail: [email protected],
Юшина Татьяна Ивановна — кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой, МГИ НИТУ «МИСиС», e-mail: [email protected], 1 Юго-Западный государственный университет.
UDC 622.765
Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2016. No. 8, pp. 306-318. V.I. Melik-Gaykazyan, N.P. Emel'yanova, T.I. Yushina
THE CALCULATION OF SPREADING CURVES OF NANOBUBBLES ON PARTICLE SURFACE WITH DIFFERENT WETTABILITY PART 1. CALCULATION OF PARAMETERS OF SPREADING CURVES OF NANOBUBBLES
Curves of spreading (CS) nanobubbles characterize the changes that occur with parameters bubbles during their spontaneous spreading on a hard substrate. The principle of calculation of CS is explained by a numerical example. The calculation of CS is possible only on the basis of the results of the numerical solution of the Laplace equation or tables type Tables of Bashforth and Adams (TBA). It is necessary to apply twelve-digit tables TBA because of the small size of nanobubbles. And subsequent calculations should be carried out with the not less number of significant figures. Curves CS show that nanobubbles have the energy ability to their spontaneous spreading, resulting in increasing floatability particles and reducing the consumption of float reagents. It is proved by the practice of application of the earliest
froth flotation processes, conducted without any reagent capable of altering the wettability of the surface of the particles. These reagents had not yet were opened at that time. Research spontaneous spreading of nanobubbles with a view to its practical application will allow to promote the effectiveness and efficiency of the froth flotation processes.
Key words: curves of spreading nanobubbles, the principle of the calculation curves of spreading, nonreagent increasing floatability particles, the use of tables Bashforth and Adams.
AUTHORS
Melik-Gaykazyan V.I.1, Doctor of Chemical Sciences, Professor, Head of Laboratory, e-mail: [email protected],
Emel'yanova N.P.1, Candidate of Chemical Sciences, Assistant Professor, e-mail: [email protected],
Yushina T.I, Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, Head of Laboratory, e-mail: [email protected], Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia, 1 Southwest State University, 305040, Kursk, Russia.
REFERENCES
1. Nanobubbles exist, and are more stable than previously thought, available at: http:// www.physorg.com/news94728858.html (accessed 24.01.2016).
2. Nanopuzyr'ki izuchayutspomoshch'yu mikrozhidkostnykh chipov (Nanobubbles studied using a microfluidic.chips), available at: http://NanoNewsNet.ru>news...nanopuzyr-ki...s...mikroflyuidnykh... (accessed 24.01.2016).
3. Hoover T. J. Concentrating ores by flotation. 3-rd ed. London. The Mining Magazine, 1916.320 p.
4. Sazerlend K. L., Uork I. V. Printsipy flotatsii (Principles of flotation), Moscow, Met-allurgizdat, 1958, 411 p.
5. Melik-Gaykazyan V. I., Dolzhenkov D. V., Emel'yanova N. P., Trufanov M. I., Yushina T. I. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2014, no 9, pp. 52—61.
6. Melik-Gaykazyan V. I., Dolzhenkov D. V., Emel'yanova N. P., Yushina T. I. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2014, no 12, pp. 101—113.
7. Kabanov B. N., Frumkin A. N. Zhurnal fizicheskoy khimii. 1933. t. 4. vyp. 5, pp. 538— 548.
8. Melik-Gaykazyan V. I., Titov V. S., Emel'yanova N. P., Dolzhenkov D. V. X Kongress obogatiteley stran SNG: sbornik materialov (X CIS Congress of the Mineral Processing Engineers: collection of materials), Moscow, MISiS, 2015, vol. 1, pp. 176—187.
9. Mandel'brot B. Fraktal'naya geometriya prirody, per. s angl. (The fractal geometry of nature, English—Russian translation), Moscow, Institut komp'yuternykh issledovaniy, 2002, 656 p.
10. Bashforth F., Adams J. C. An attempt to test the theories of capillary action by comparing the theoretical and measured forms of drops of fluids. Cambridge: Univercity Press, 1883.140 p.
11. Melik-Gaykazyan V. I., Emel'yanova N. P., Yushina T. I. Metody resheniya zadach teorii i praktiki flotatsii: uchebnoe posobie dlya vuzov (Methods for solving problems in the theory and practice of flotation, Higher educational aid), Moscow, Izd-vo «Gornaya kni-ga», 2013, 363 p.
12. Rakovskiy A. V. Kurs fizicheskoy khimii (Kurs Physical Chemistry), Moscow, Gos-tekhizdat, 1939, 544 p.
13. Andreev N. N., Rzhevskiy S. N., Gorelik G. S. Kursfiz,iki: uchebnoe posobie dlya vtuzov, t. 1 (Physics course, Higher educational aid, vol. 1), Moscow-Leningrad, OGIZ, 1948,600 p.
