CC BY
12Технические науки. Строительство и архитектура
Научная статья УДК 624.03
ГРНТИ: 67. Строительство и архитектура
ВАК: 2.1.1. Строительные конструкции, здания и сооружения, 2.1.9. Строительная механика doi:10.51608/26867818_2022_2_28
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО МАТЕРИАЛА МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ НАГРУЖЕНИЙ
© Автор 2022 ГОРБАЧЕВА Ольга Александровна, инженер научно-исследовательской группы
SPIN: 6657-0301 НИИСФ РААСН, ассистент кафедры «Строительные материалы, конструкции AuthorID: 1131557 и технологии»
Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А. (410054, Россия, Саратов, ул. Политехническая, 77, e-mail: olga12zakirova@inbox.ru)
Аннотация. Статья посвящена способам повышения точности решения задач нелинейной строительной механики. На примере расчета балки из нелинейно-упругого материала показано, что модифицированный метод последовательных нагружений позволяет повысить точность решения и уменьшить трудоемкость получения результатов. Решение полученных линейных уравнений было найдено методом Бубнова-Галеркина.
Ключевые слова: физическая нелинейность, метод последовательных нагружений, модифицированный метод, метод Ньютона-Канторовича, сходимость решения, диаграмма деформирования, кривая состояния
Для цитирования: Горбачева О.А. Расчет конструкций из нелинейно-упругого материала модифицированным методом последовательных нагружений // Эксперт: теория и практика. 2022. № 2 (17). С. 28-31. doi:10.51608/26867818_2022_2_28.
fl
Original article
CALCULATION OF STRUCTURES MADE OF NONLINEAR ELASTIC MATERIAL BY THE MODIFIED METHOD OF SEQUENTIAL LOAD
© The Author(s) 2022 GORBACHEVA Olga Alexandrovna, engineer of the research group
at the Research Institute of the Russian Academy of Sciences, assistant of the department «Building materials, structures and technologies» Saratov State Technical University Gagarina Yu.A. (410054, Russia, Saratov, Politekhnicheskaya st., 77, e-mail: olga12zakirova@inbox.ru)
Annotation. The article considers ways to improve the accuracy of solving problems of nonlinear structural mechanics. Using the example of calculation is a beam from a physically nonlinear material, it is shown that the modified method of sequential loading makes it possible to increase the accuracy of the solution and reduce the complexity of obtaining results. The solution of the obtained linear equations is found with the help of the Bubnov-Galerkin variational method.
Keywords: physical nonlinearity, sequential loading method, modified method, Newton-Kantorovich method, convergence of the solution, deformation diagram, state curve
For citation: Gorbacheva O.A. Calculation of structures made of nonlinear elastic material by the modified method of sequential load // Expert: theory and practice. 2022. No. 2 (17). Pp. 28-31. (In Russ.). doi:10.51608/26867818_2022_2_28.
При решении нелинейных задач строитель- татов [1-5]. Для исследования прочности и устойчи-
ной механики применяются приближенные методы, вости конструкции необходимо иметь кривую де-
при реализации которых возникают проблемы до- формирования «нагрузка-прогиб». Для ее получения
стижения быстрой сходимости полученных резуль- удобно использовать метод последовательных
ф
ЭКСПЕРТ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
2022. № 2 (17)
EXPERT: THEORY AND PRACTICE
нагружении, однако при применении этого метода для получения решения с заданной точностью необходимо делить нагрузку на большое количество слоев [6,7], что сопровождается повышенными трудозатратами. Высокую точность решения при фиксированной нагрузке можно получить, применяя метод Ньютона-Канторовича [8], который сходится к точному решению со скоростью геометрической прогрессии, но для построения зависимости «нагрузка-прогиб» потребуются большие трудозатраты для получения решений при необходимом числе фиксированных значений нагрузки. В работах В.В. Петрова [7,9] предложен модифицированный метод построения зависимости «нагрузка-прогиб», где результаты, полученные методом последовательных нагружений, являются носителями нулевых приближений метода Ньютона- Канторовича. Такой выбор «хорошего» нулевого приближения позволяет построить зависимость «нагрузка-прогиб», с заданной точностью и меньшими трудозатратами.
В качестве примера рассмотрим задачу изгиба балки, выполненной из физически нелинейного материала. Для применения метода последовательных нагружений (МПН) рассмотрим дифференциальное уравнение изгиба балки в инкрементальной форме и в безразмерном виде [6]
(i)
h/2
da(e)
Jk = J ^ Л( ') *
-h/2
(2)
ментальной диаграммы деформирования [10]. На рис. 1 приведены результаты аппроксимации.
где £ = х/1 - безразмерная координата (l - длина балки), и(£) = W/Л - безразмерный прогиб (W-прогиб, h - высота прямоугольного сечения балки), Аи(£) = ДW/Л - приращение безразмерного прогиба, Др%) = %/е40 - приращение безразмерной равномерно распределенной поперечной нагрузки % (Е - модуль упругости, Е70 - осевой момент инерции сечения балки), ■4(и(£)) = 4^)/Е^ - безразмерная переменная
жесткость балки, зависящая от касательного модуля
Рис. 1
По результатам аппроксимации диаграммы деформирования, далее используется полином 9-ой степени, который более точно аппроксимирует экспериментальную кривую. Касательный модуль определим по формуле:
Ек = ^=Е - 3 т * Ю2 + 5т / ю4 +
+7т3г6 (W")6 + 9т/
Подставляя (3) в (2), и выражая деформации через прогиб получим выражение жесткости в безразмерном виде:
9^4л а 2 15у2р*
Чи ) +
(4)
jiAuh! -арИ2 + И4+
112
~7УъР
"К )
6 , ~Пу4Р
Экспериментальную диаграмму деформирования материала балки <r = a(e) аппроксимируем подходящим аналитическим выражением. Рассмотрим три варианта аппроксимации диаграммы деформирования сплава алюминия: в виде кубической параболы <(e¡) = Ee¡ -mef; неполного полинома 5-ой степени <(e¡) = Ee¡ -m1ef + m2e5; неполного полинома 9-ой степени <(e¡) = Ee¡ -mef + m2e5 + mfej + m4e9. Коэффициенты этих функций были найдены из условий прохождения полиномов через характерные точки экспери-
192 у ' 2816 где у = т\/Е, У2 = т>2/Е, уъ = т3/Е, у4 = т4/Е - безразмерные коэффициенты, р = Л/1 - безразмерная длина балки.
Решение линейного уравнения (1) с известными переменными коэффициентами (4) при заданных граничных условиях будем искать методом Бубнова-Галеркина. В первом приближении прогиб и приращение прогиба балки ищем в виде:
и = Кр(£), Ди = ДКр(^) (5)
где ДK - обобщенная координата, а <р(£) - аппроксимирующая функция, которая должна удовлетворять заданным граничным условиям. Эту функцию строим статическим методом В.З. Власова в виде прогиба балки из упругого материала. В результате получим аппроксимирующую функцию
<р& = 2#4 - 3#3 +# (6)
Применяя к уравнению (1) метод Бубнова-Га-леркина в первом приближении, после интегрирования и необходимых преобразований, получим линейное алгебраическое уравнение:
ДК (/ - 3/2к2 + 15/3К4 + 7/4К6 + 27/5К8 ) = Д(3 , (7)
Технические науки. Строительство и архитектура
ф
коэффициенты которого определяются по формулам:
Л = Jp'Vt, / = 3rßJр"р(р"Р + 2(/')2)d£,
/3 = ^rß8J(p")3p(p"PV + 4(р)2)dt,
/4 rß2JP'h{p'PV + ^(P)2)dt, (8)
/5 = ^ rß J (P)7 p(PPV + 8 (P)2) dt,
1
AQ = Jp Ap(t)dt,
0
Решение уравнения(7) имеет вид
AK, =-
AQ,
Л-^и +15/з^! + У&1 +21}ЪК% (9) (У = 0,1,2,3,...) где индекс у' обозначает номер последовательного нагружения
При расчете МПН прогиб в центре балки при фиксированной нагрузке составил: при 3 ступенях нагружения - 32,5х10-3, при 6 ступенях нагружения -34,1х10-3, при 12 ступенях нагружения - 35,2х10-3 и 35,8х10-3 при 24 ступенях нагружения. Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что при уменьшении величины ступени нагружения (соответственно увеличении количества ступеней нагружения) точность решения повышается. Но сходимость решения медленная и для ее повышения необходимо существенно уменьшать величину ступени нагружения.
Для улучшения сходимости и получения более точного решения используем модифицированный метод последовательных нагружений, суть которого заключается в применении метода Ньютона-Канторовича на каждом этапе нагружения МПН.
Уравнение Ньютона-Канторовича в безразмерной форме имеет вид:
JkAun-1 )
d2Aun d?
--p?)
d2 d?
J?K 1 ) f
, (10)
J?(u)=1 - )2+^{u'U )4 +
20
112
u-1 )6+27^1 u-1 )8
192 v n > 2816 v n >
(11)
содержит касательный модуль Ek, а переменная жесткость
JtU-1 )=1 - rß4 K-1 )2+%f К* )4+
rJßLi,\8
(12)
)6 +iu" )
+ 192 Г"-1 ) + 7R1R Г"-1 )
содержит секущий модуль ес . Здесь ип = ип-1 +Аип.
Дифференциальное уравнение (10)линейное, но содержит переменные коэффициенты и громоздкую правую часть. Для получения рекуррентной формулы, позволяющей уточнять нулевое приближение метода Ньютона-Канторовича, применим к уравнению (10) метод Бубнова-Галеркина в первом приближении. Приращение прогиба на каждой итерации будем искать в виде Аип = АКпр(^), суммарный
прогиб обозначим ип = Кпф(%). Аппроксимирующую
функцию выбираем в виде (6), которая не изменяется в процессе итераций. После необходимых преобразований получим линейное алгебраическое уравнение, решение которого имеет вид АК = а - /Л-! + з/К3-! - з^ - /к7^ - з/к9-!
п / - 3/К-! + 15/зК^ + 7/К-! + 27/К-! ' Коэффициенты в (13) по-прежнему определяются по формулам (8).
На рис. 2 представлены зависимости прогиба в центре балки от величины нагрузки. Прямая 1 соответствует закону Гука, кривая 2 получена МПН при 3 ступенях нагружений, а кривая 3 получена ММПН при 3 ступенях нагружения с уточнением на каждом этапе нагружения. Уточнение прогиба в центре балки модифицированным методом составило 20,7% от линейного решения и 11,2% от МПН при трех ступенях нагружения.
0.12
где переменная жесткость при аппроксимации диаграммы деформирования полиномом 9-ой степени в безразмерном виде
2816
10 20 РИС. 2
На рис. 3 представлены прогибы в середине пролета балки в зависимости от величины приложенной нагрузки. Результаты получены МНК с выбором нулевого приближения на прямой (закон Гука) и ММПН с уточнением на каждой ступени нагружения.
Для построения кривой «нагрузка-прогиб» МНК необходимо иметь результаты решения при нескольких значениях нагрузки, при этом для каждой нагрузки решение приходится искать с 2 - 3 уточнениями. При построении кривой ММПН на каждой ступени нагружения достаточно одного уточнения.
ЭКСПЕРТ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
2022. № 2 (17)
a, b3c,d3
р—0.21 Ь-
ЛУ
р-0.175
1 - модифицированный метод ual=19.4-10Aiibl=21.2-10-3,
Uj2=24.3 • 10"3, ub2=28.2 lO3. iu-28.6 ■ 10-3, ua}=29.1 -10-3.им=35.9-10-3, uc3=36.4 10"3,ud3=36.6 10"3
р=о У
18 23 28 33 11 -Ю-3
Рис. 3
Таким образом, можно сделать вывод, что при одинаковом числе ступеней нагружения (3 слоя) модифицированный метод увеличивает точность решения и имеет более высокую сходимость по сравнению с методом последовательных нагружений. При этом для получения решения и построения кривой состояния «нагрузка-прогиб» модифицированным методом требуется меньше трудозатрат, чем при решении задачи методом Ньютона-Канторовича и методом последовательных нагружений.
Список источников
1. Наумов А.М. Применение метода последовательных нагружений при решении задач механики плоских
EXPERT: THEORY AND PRACTICE
стержней // Известия высших ученых заведений. Машиностроение. 2016. №12. С. 33 - 42.
2. Rashidinia J. Finite difference methods for a class of two-point boundary value problems. IUST International Journal of Engineering Science, 2008, vol. 19, no. 5-2, pp. 67-72.
3. Dinkar Sharma, Ram Jiwari, Sheo Kumar. Numerical Solution of Two Point Boundary Value Problems Using Ga-lerkin-Finite Element Method. International Journal of Nonlinear Science, 2012, vol. 13, no. 2, pp. 204-210.
4. Borse K.N., Dubey S. Geometric Linear and Nonlinear Analysis of Beam. International Journal of Engineering Research & Technology, 2013, no. 2 (7), pp. 415-423.
5. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Чумакова С.В. Операторные методы в нелинейной механике // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. 2003. №2. С. 70 - 80.
6. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика / Петров В.В. - М.: Инфра-Инженерия, 2014. 480 с.
7. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1975.
8. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977.
9. Петров В.В. Решение нелинейных задач строительной механики модифицированным методом последовательных нагружений // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2021. №17(4). С. 146 - 152.
10. Селяев, В.П. Влияние вида функциональной зависимости "а - s" на расчетные прогибы балки из нелинейно деформируемого / В.П. Селяев [и др.] // Эксперт: теория и практика. 2022. № 1(16). С. 46-54.
Статья поступила в редакцию 10.03.2022; одобрена после рецензирования 22.03.2022; принята к публикации 22.03.2022. The article was submitted 10.03.2022; approved after reviewing 22.03.2022; accepted for publication 22.03.2022.
